Hệ động lực ngẫu nhiên suy biến và áp dụng

ĐẠI * HỌC * QUỐC GIA HÀ MỘI % TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN ■ ■ * t Q tr nd Q tr ■ rd Q tr ■ th Q tr Tên để tài HỆ■ ĐỘNG ■ Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN ■ VÀ ÁP DỤNG ■ (Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications) Mã số: QT 01-01 Chủ trì để tài: NGUYỄN HỮU Dư Các cán tham gia đê tài: GSTSKH GSTSKH ThS CN Nguyễn Duy Tiến Phạm Kỳ Anh Lê Công Lợi Vũ Hải S § HQ C Q I J O C G IA H Á N Ó ( T R U N G T  M TH Ô N G TIN THƯ V IÉ N DI / z t f HÀ NỘI 2002 NỘI DUNG I Chủ trì II Các cán tham gia III Báo cáo tình hình thực đề tài tiếng Việt IV Báo cáo tình hình thực đề tài tiếng Anh V Tài VI Kết luận VII Tóm tắt kết nghiên cứu khoa học IX Phụ lục: Các báo liên quan đến đề tài X Phiếu đăng ký đề tài Hà Nội, n gà y 10 thá n g 04 năm 2003 Mà SÔ: QT 01-01 BÁO CÁO KÊT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NCKH CẤP ĐẠI HỌC QUổC Glà 2000-2003 ■ ■ Tên đề tài (hoặc dự án): HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN VÀ ÁP DỤNG (R a n m D e g en e rate D ynam ical S yste m s and T h e ir A p p lica tio n s) Mã số: QT 01-01 Cơ quan chủ trì để tài (hoặc dự án): Đai hoc Khoa hoc Tư ■ ■ ■ ■ nhiên,* ĐHQG Hà Nôi > Sõ cán tham gia Tên cán phối hợp nghiên cứu: • • • • GS TSKH N g u y ễ n D u y T iế n GS TSKH P h m Kỳ A n h ThS Lê C ô n g Lợi CN Vũ Hải S â m uv uv uv uv Mục tiêu nội dung nghiên cứu: • Đ ể tài n ghiên cứu tồn ngh iệ m toá n C a u ch y ch o hệ sai p hân ẩn tu yế n tính Đ ồng thời chúng tơi để cậ p đến tính ch ất đ ộng lực của hệ • Chứng m inh điểu kiện để tồn n gh iệ m bị ch ặn trê n tồ n trụ c số • C h ỉ trình sai phản m ột hệ phương trình vi phản đại số c h ỉ s ố I dẫn đến phương trình sai phân có ch ỉ số I, đ thời nghiệm phương trình sai phân hội tụ nghiệm P T vi p hân bước sai phân dần đến Các kết đạt được: • Đ ã hồn n nh 03 báo 1) N guyen Huu Du and Dao Thi Lien, s ta b ility R adii o f D iffe re n tia l A lg e b ic E quations, Tạp chí Khoa học, Đ H Q G Hà Nội 2) N guyen Huu Du O ptim al C o n trol P roblem fo r L ya p u n o v E xp o n e n t o f R andom M atrix P roducts, Journal o f Optimization Theory and Applications, vol 2, no 105(2000), pp 347-369 3) L.c Loi, P.K Anh and N.H Du O n L in ea r Im plicit N o n -a u to n o m o u s S yste m s o f D ifference E quations, Journal o f D ifference Equations and Applications, Vol 8, N012 (2002) • V iế t 01 sách tiêu đề: D ự báo chuỗi thời gian, th ả o trẽn trình in ỏ NXB Đ H Q G Hà Nội • Đ ang đ tạo 06 nghiên cứu sinh 05 cao học • Đ ã đ tạo 10 cử nhản tốn - tin ứng dụng Tình hình kinh tế đề tài: a) S ố tiền cấp: 16.000.000d b) Tình hình chi tiêu • Bồi dưõng báo cáo viên viết sách • T huê chuyên gia nước (mời giảng S em inar): 4.000.000Ổ + Tiền phòng: 440.000Ổ + Tiền ăn đưa khách H along: 1.560.000Ổ + Bổi dưỡng thu yế t trình 2.000.000Ổ • T h uê chuyên gia nươc: báo • S ao chụp tài liệu 1.000.000Ổ • M ua văn phịng phẩm 1.360.000Ổ • Chi quản lý phí (4% ) Xác nhận Khoa Tốn-Cơ-Tin học 3.000.000Ổ X 2.000.000Ổ = 6.000.000Ổ 640.000Ổ Chủ nhiệm Đề tài PGSTS Nguyễn Hữu Dư Xác nhận Trường ĐH Khoa học Tự nhiên REPORT ON PROJECT QT - 01 - 01 I Title of Project: Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications II Code of Project: QT 01-01 III Head of Research Group: A ss Prof Dr N g u yen H uu Du IV Particippants: Prof Nguyễn Duy Tiến Prof Phạm Kỳ Anh Lecturer Lê Công Lợi Lecturer Vũ Hải Sâm Member Member Member Member V Target and Contents: The project focuses on two mains following problems 1) The solvability of Cauchy problem for implicit difference system s and the dynamic property of the solutions We have characterized the space of initial conditions such that the solution starting from which exists We give a sufficient condition ensuring the existence of a bounded solution on whole R 2) We also investigate some numerical methods to find approximate solutions and realization this algorithm on the computer We show that the discretization process of a differential algebraic equation with index tractable will leads to an implicit difference equation wit index-1 Further, the solution of this difference equation converges to the solution of initial equation when the step tents to (Please, refer to the attached report) VI Resume of main results a) Three articles for this direction have been written and have been published on the cited m athem atical journals Nguyen Huu Du Dao Thi Lien, stability Radii of Differential Algebraic Equations, Tạp chí Khoa học, ĐHQG Hà Nội Nguyen Huu Du Optimal Control Problem for Lyapunov Exponent of Random Matrix Products Journal of Optimization Theory and Applications vol 2, no 105(2000), pp 347-369 L.c Loi, P.K Anh and N.H Du On Linear Implicit Non-autonom ous System s o f Difference Equations, Journal of Difference Equations and Applications, Vol 8, N012 (2002) b) One book titled “ Time Series and Prediction" is in print at Publishing House “Hanoi National University" c) Training and education: Suporting for + 06 Ph.D students + 05 m aster students + 10 B.A students of applied mathematics VII Finance: The project has been supported with a total grant 16.000.000VND This sum is delivered as follows: Support for scientific research 6.000.000VND Support for seminars and scientific activities: 3.000.000D Inviting a foreigner professor to give a lecture 4.000.000D + Rental room fee: 440.000Ổ + Accom odation 1.560.000Ổ + Lecture fee 2.000.000d Photocopy documents 1.000.000D Stationery and other 1.360.000D Adm inistration fee (4%) 640.000D Total: 16.000.000VND Hanoi 25 June 2003 Head of Project Ass.Prof Dr Nguyen Huu Du TÓM TẮT KẾT OUẦ NGHIỀN cửu KHOA HỌC THỰC HIỆN CHO DỀ TÀI QT 01-01 NGUYỄN H ũ ll D F a c u lty o f M a th e m a tic s , I n f o r m a tic s a n d M ech an ics, e tn am N a tio n a l U n iv ersity , 334 N guven T i, T h a n h X u a n , H an o i, V ietn am Đề tài nghiên cứu dáng điệu tiệm cận ciia hộ phương trình vi-sai phân đại số ự ổn định lược đồ sai phân giải phương trình vi phân đại số Để tài nghiên cứu hài toán điéu khiến số mũ Liapunov cùa hệ sai phân chịu nhiễu Markov hệ "ổn clịnh có thé” Được biết việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận đặc biệt dáng điệu thời gian vỏ hạn đóng vai trị quan trọng lý thuyết hệ động lực nói chung hệ lực ấn nói riêng Biết hệ động lực có ổn đinh hav khơng giúp điéu đầu vào: kiém soái đầu nhu' tìm hiếu xu huớng phát trién ác quấn sinh học Mịl troim nhữntỉ câu hói đặt hệ ổn định có tính chất bề vữna hay s Nói cách khác, với nhiều đu bé liệu hệ cịn có ổn định hay khơng'.' Nếu với I bé hệ cịn ổn đinh lliì liệu ta tăng cường độ lớn đến mức độ khịne cịn nil Bài tốn nà\ sơ nhóm nghiên cứu Hinrichesen Piiicharđ an tên gọi 1Ì1 tìm bán kính ổn định ciia hệ Mục tiêu chúng tỏi muốn phát trien ;ết quà cho hệ phươns trình VI phân đại số Hơn nêu chịu nhiêu có tác nhân điều khiến tham gia vào 1lệ LI ta ế lìm đưoc tiêu chuán đẽ chọn hệ ổn định nliãl theo nghĩa hay khỏnc dan cluniìí ta đen hài loán diều khiên sỏ mũ Liapunov cua hệ Bài tốn dối với hệ khơng giái sị hạng có chi sị cao nhát theo ố hạng cịn lụi việc nghien cứu chúng giái thê Chúng tòi dề cạp 'ái gọi phươna trình sai phùn ấn nghiên cứu tốn Cauchv cua Chi tiết ơng trình tlnivèt minh nhu sau: N KÍNH ƠN Đ I N H C U A P l i U Ơ N G T RÌ NH SAI P H  N ĐAI s ố Tronc nhữmi lliãp niên qua loạt cacs cỏna trình dã đé cập đơn việc dó bén cùa mõt hộ sỏ dó bán kính ổn dịnh Irons nlũmc vấn đê thời su nh ổn định đề xướng bới Hinrichesen and Pritchart định nghĩa giá Ị) cúa chuẩn nhiều cho hệ khơng cịn ổn định Mặt khác, phát triến khoa học kỹ thuật, hệSUNbiến đưa hiên cứu kỹ lưỡng bán kính ổn định cúa hệ phương trình vi phân đại sô A X ' ( t ) - B X ( t ) = {) (1 1) : ma trận sô va B (see [5 ]) Bài toán nghiên cứu ma ngược ta chuyến vể phương trình vi phân thường X ' ( t ) = h I X ( t ) ;ác cõng trình [9 10 .] bán kính ổn định đặc trưna bới hàm ( t i - M ) ~ l Cơng trình đề cập đến trường hợp ma trân /1 kỳ dị Theo rình [5] [12], cấn phái nghiên cứu chi sỏ' cặp { A B } Tuv nhiên ín trớ nên phức tdp nhiều mà giá trị liêng cùa hệ khơng phu liên tục vão nhiều Việc tìm hiểu xem với điểu kiện bán kính ốn định thực bán kính ill phức tốn quan trọnc Chúng lịicũng chi điéu ú đẽ xẩv trường hợp nàv Các kết q nhân sau: hiẻu có câu tr ú c lý a) BỚII kuili oil ílịnlì plí cua lié ( I I I du'o'1 cho ho'i fr iMip IK'(*)II]- ’ ;(.s) = F ( s A - Ề r l E h) T ồn t ại m a t r n t i A clì(> I ^ I Ị = t i e licit clìi lie'll G'(.s)| i l ụ l dược ÍỊÌÚ ì Iihííỉ trẽn /K ( ) N ế u E — F = / (ỉ( > clìi licit iiìíHA D ) — u hăng n h a u cú a h án kính oil đ ịn h thự c phức lý G i sứ hệ ị 1.1) t h o a m ã n c i íỊÌá rlìict vé lìệ ilươiiíỊ t r o n * R " ta ỉ l ion chi tl in licit K h i d ó h n k i n h Ihhiii (IH I\ ĩ Ổn d i n h p h i í c ( ì ( ’ h un kính Ổn đ ị n h i hực đ-ỉỉ í ríni íi n n va í ỉ B ■ 1) |l H e i l ỉ ) ih ío n licit \'iì i l l ! l i c i t / ’ > Ví / JJ l a m a Ĩ I Ú I I M c llc z , lứ c lu l '( phán IIÍ (lia s iluứiig nạoại n ữ phún n ì h,j VỚI J)n > Im no dó p — (ị)n ) I\ ( ỉiá sít' f l l l (hf(fìiạ P ( Ẳ — / Ợ ) _1 > 0: > với m ọ i I (^1-4 — Kill dó Đinh ly sau da\ cln rõ khác biẽt aiữa phưttniỉ trình y\ vi phân dại sị > phán thươn« \ a phuone Neil = dn V I i i r i x sẹ , - ||G'(.s)|| không dạt dược m axim um lại ÍỊÌĨ tri hữu hạn Cỉia c ’H U Ơ N G T R Ì N H S A I P H  N Ẩ n Chúng ta xét phương trình sai phân án , = B „ r n + (Ị„ I I — 0.1,2 , (2.1) ,4„, B„ e q„ € K"' ma trận cho với 4,, luôn suy biến, g trình xem kết q sai phân theo lược đổ Euler từ phương trình vi lại sị A( t).r' f C'(t).r = (2) ỉ ta mn tìm cách lách hệ phương trình thành phương trình đại sô sai phân biệt rường họp hạn g hãng Ta ln gia thiết rank.4„ = /• ( n G N ) tron2 ( ) < / ■ < ììì Giá thiết SVL) (khai kỳ dị) cùa ma trân A„ ‘ *tt ,, ma trận dườiiíi chéo \'ứi é 'ax: G ia s ứ m u irụu G„: I' II y 'n li - I giá trị kỳ dị cúa A„ ( —-4„ + VoỢ\'J_Ị kha ìiỊỂụch v„ ! ma trận trực Khi dó ta có cúc licn hự i/ II/ P n -i - G,11-^11 //// C r l B „Q „ = V „^Q V ÌỈ ‘/ W - , 0: Q „ ì C - l D llQ„ IV A‘i'll ( ì I CÙI IU kliõn^ SIỈ\ hit'll vù I / ’, (),,\ ,,\ (•' li : ( ÙII^ la plicp c lucii lí ’ 1 I\ / ỉ , - V n - tQ V n ỉ - () \\ < A,, ] P „ ( ; ; , i ì Bn Hon f »8 llù nghĩa Phương trình (2.1) gọi có chi số i/ r a n k A n = r (0 < V < m ) ii/ Các ma trận G„ : = Ạ , -Ị- B t1V„Q Ì^ỊịỊ không kỳ dị \ ’ới n e N Bố đề sau chứng tỏ định nghĩa đắn Gia sử A„ = „ E ,A ',L i = Ọ „ l ' „ r „ +11G „ = I - r„4- i hai khai triển kỳclị cùa -4„ l B „ , đỏ G „ : - A , + B „ \ 7„ Q V a n d M k!' : 1_ (: • = rr -0 - 1B n - \ - i (0 ) < s < /; — í5 / ’„ - lý Gia sứ pliiíoniỊ tiìnlì sui phán ấn có (III s ổ 1, klìi dó IỊ> II in li - ' n.1 = B „ r n + (Ịn (li £ N ) P(){.r () — T(|) í / ó 7(1 £ K ' " /í> r c v /('/, (V; í//í_v Illicit i m h i ệ m ' r ■>'ị P ^ - Q V Ị G - 1^ ^ = + G „ 1fyt>) — \ ị Q V Ỉ G y l (Ị[ ' ■>,, = /».{.u;l,: 17 „ - E r : ; J C a s ///?í/ aA “ V + - \ ’„ Q ĩ ' , ' L i G „ l holds In fact, if the index of {j4, Ỡ} = wc rlioo.se p = / — Q where Q is the projection on her A along = {; f- c : D z c ni l A } Wc d en ote by ( C, D ) the spectrum of the pencil { C, D } , i.e the set of all solutions of the equation (let(AC - D ) = In case c — I we write simply ( D ) for ( ỉ , D ) It is known that s y s te m (2.1) is asym p totically stable iff all finite eigenvalues of the pencil { A , 13} lie within the h alf left hand side of com plex plan (se e[5]) (2.1) litis only a unique solution X ( t ) = •S If ( A , D ) = till'll Indeed ( A , B ) = implies that for any det(.s/l - B ) — ilet w d e t ( s l , i - k - B i ) d c t ( s /)đ et T = nonzero constant Thus (i — k = i.e th e eq u ation (2.4) must be absent Hence, (2.1) is equivalent to (2.5) which has only a trivial solution X ( t ) = In this case we also consider (2.1) is asym ptotically stable by ch oosing p = S t r u c t u r e d d i s t u r b a n c e s As is (lone ill O D E 's case, one fixes a pencil of matrices { A , D } to he stable: a pair of matrices E € K " IX,\ F e K qxr n and consider the disturbed system A X ' ( t ) - ( D + E A F ) X ( t ) = 0, where A * K 1’ " T h e m atrix CM ) is called struct u m l (li.stnrhance D enote t)Y v \ = Ị A ễ h' l' X' i ; (3.1) is either iirc^ular or unstable } i.e V/v if the set of "bad” disturbance Let = inf{ị|A|Ị : A e VA- } stn ic tu n 'd stability radius of the quadruple { A , D, E F } VY [sup.,e A - VV' there arc two I'.wh a) T h e pencil o f m atrices { A B * E A F } 1> ! [ sup IIGC.s)!!]-1 [sups.e r + ||G(.s)||j" 1>) T h e pencil of matrices { A D + E A F } is irregular, then lor am- s r ( " a voctnr X / surli that sA r it rxi.st.s ( B t E A F ) : r = Bv using a similar procrđuio \vc can prove ( i f > [.sup,tCM ||G(.s)||]' We now prove the inverse relation d(' < [supitfM |Kr(.s)JM For any s > wc find •S(J € C’ sucli that ||G(ó’o )||-1 < [supvC(M ||G(.s)||]_1 + £ Suppose that u G C ‘‘ such that ||u|| = and ||G(ố'o)u|| = ||G(so)|| A corollary of Haln-Banach theorem follows that there is a linear function y* defined on c p such that ||i/*|| = and i/'GUo)?/ = !!G'(s(i)i/|| = ||G(s„)|| P u t A = ||G ( s ())||_17iy* € C p x '' It is clear that A G ( s )v = ||G ( s o ) ir 1uy*G(so)ú = ||O(.s0) i r 1Ti ||G(.9u) II = u Honce ||A|| > ||G ( s o ) ||_ On the other hand, from A = ||G(S())|| ||G(.S())||_ EAG(s{))u = Therefore IIA.II = Ev 7^ ] u y ' we have ||A|| < Further, since AG(.Si ))u = ||G(.so)|| u we obtain Let r := (-S'0v4 — B ) ~ l E u then (i'()j4 - B) r = E u whirl) fol­ lows E A F r = (S()j4 — B ) x or (.S().4 - B - E A F ) x = i.e ,S() € ( A , B + E A F ) This means that the sy stem AX'(t) - (B + E A F ) X ( t) = is unstable Therefore, A e Vo Further d c < ||A || = l|G(So) 1+ £ < [ su p ||G (s)||] sec + B ecause £ is a r b i t r a l th en d c < [supseC+ ||G (s )||]- Thus d c = [ sup ||G (s )||]- sec+ We n ote th a t the function G{ s) is analytic on the half plan c + then by m axim um principle, it only a tta in s m axim um at s = oc or on i R Thus d r = [sup ||G ( s )||]- • s-e ifi Following th e above argument, we see that if there exists S'o e C ' || situation, we solve the problem with A B € R " ' and with a Euclid norm in the set of 711 X / i - m a tr ic e s, th a t is if M = ( m , j ) is a m X m - m a tr ix then | y | | = £ \w ,j\'2 We deal with the way to obtain the decom position (2.2) First we decom pose (.4 - D) ~ ' A into •Jordan form by a nonsingular matrix s th at is ( A - B ) - ' A = S d m g ( M V )S' ] where V' is a liilpotent m atrix o f the form (2.3) and M is nonsingular T he matrix i r and T in (2.2) is given by \Y = ( A - B ) S d i a g ( M J ) - T = S d m g ự , ( V - ) " 1): U = V(\- / ) (3.2) IÍ 6'(s) is unbounded on C’+ then d c — and there is no thing to say The assum ption G ( s ) to be b ounded implies that F T d i a g ( O M J) \ V ~ 1E = M) > Thus G( s ) := F T d l ag { { s i - ( U - i y x) W ~ l E = F T d i a g ( { s I - B ỉ ) - ỉ)\\ 1E Let f(.' i ) = 11c (1 / s) 112 if Ỷ and / ( ) = liiris-joc | | G ( l / s ) | | (we remark that this limit always exists) It is easy to see that f ( s ) = IIF T d i a g ( s ( I - sB] ) ~ - Ỉ ) W 'iTịl2 Since all entries of the matrix G( s ) are only rational functions which are analytic th e n by t h e m a x im u m p rinciple, th e m a x im u m o f G( s ) takes place o n ly at s = X or s i R Therefore, G ( s ) attains its m axim um at s = oo iff f ( s ) has the m axim um value at s = (of course we consider only s in c + ) Thus, taking a ray t —> t ■e, t > where e — (cos a , sin a ) , T ? < ct < § , the attain m ent o f m axim um value at of / ( s) implies t h a t / / ( ) ^ for e v e r y f ’X 0) It IS 6ctsy to S6€? tlicit = cos a [ F T d i a g ( , - I ) W ~ XE } * [ F T d i a g ( , ) W ~ l E ] = COS a C * D , where c = [FTdiag(0, - I ) W ~ l £ ’]; D — [ F T d i a g ( I , ) W ~ l E] and c * D denotes the Frobenius inner product of two matrices c , D Ill using the expressions of w and T in (3.2) we obtain c : = FTdi agi 0, - I ) W ~ lE = FTdiag(0, U ( U - I ) ~ l - I ) W ~ l E = F ĩ d i a g ( , v - I ) W = F S d i a g ( I , (V - / ) _ ) • d t a g i 0, V - I ) d i a g ( M 1E 1, ) S ~ 1( A - B ) = F Sd i a g ( Q, I ) S ~ 1( A - B ) - l E and D : = FTdiag(1,0)W l E — F T W lE + c = F S d i a g ( I , { V - i y l ) d ia g ( M ~ l , I ) S ~ l ( A - B ) ~ l E + c = F [ S d i a g ( M , V - ) " ‘]-1 (vl - B y 1E + c —F[(A - B ) ~ ' A - Sdi agi , ) S ~1}"1(A - B) — F[A - [A - B)Sdi ag{0, +c 1E + c 1E N g u y e n H u u D u, D ao Thi Lien 22 S u m m in g up, we have: if the case c c *D > then G( s ) has m axim u m at a finite value s Ill * D = we can com p u te higher derivatives of / to obtain the answer hut thí' formula is co m p lica ted and we not realize here E x a m p le Let US calcu late stability radius of the structured perturbed equation A X ' ( t ) - ( D + E A F ) X ( t ) = where A is disturbance and / »/ V It is seen that rncl totioallv stable \ B = -1 -] and a ( A , B ) = - i fl o 1— tq II o II \° II to /1 1 ) F = 1/ \0 T B y a direct com pu tation we obtain 3.S 11 s+1 :s.s+i Xs+l G( s) = F ( s A - B ) ~ l E = 3.S+1 ■5+1 3.S+1 3.S+1 3s+l s+ 3s f I s 3j~+*1 Thus ||G(.s)|| = m a x { | ^ j | , 13 ^+jl} which attains its maxim um at So = and ||G'(0)|| Hcnce (l(! — 1/3 C h oose u = ^ ^ then ||G(0)fi|| = G'(0) = Let IJ* = (0 0), we have A = ||6 ’(0)|| 1U Ị J * = /0 I \0 /3 \ /3 1/3 / Moreover, d e t( sA - B - E A F ) — 2s = for ■s = E x a m p l e Let US consider the equation A X ' ( t ) - D X ( t ) = where A = ^ ill 111 Ỉ Ì - (.s/1- ^ ^ ” j It is seen that ind ( Ả B ) — 1: D) = ( ,S'/ ( ;S/ 1) ỉ/ỉ)- Hence' (A,B) — -1 ~Ị j and G( s) = n i a x { / , l / + | s / ( s + l ) | } which (loesn t attain its m a x im u m oil c + Further, lim.s TC i:C?f.s)t| = 2, i.e ( I f = /3 If we choose » = ( (f “ ':)/v /í2 + ) it is clear that Hull = and I G( s) u\ \ = is large Tims, with ;/" = ( -A IK»’( S') Ịi uy' — = when tf.s ) i we have rnnvprws co n verges fr> to I( T2 ( B + A )A '(i) = i.e tin s \ / [t is easy to verify d e t ị s A — B — A ) = - ^ for all S', i.e t | u (-quat lull -l.Y'lM \ G( s) ơ(A 'TC ị B t A ll '111(1 jLiiumi.y IVLU.ÍI JW u ijjL n iu n ii Iii.yc.6razc equations lias a unique solution 'J'l — 0; X’ = which lb asym ptotically stable -Í Thí* e q u a l i t y o f r e a l a n d c o m p l e x s t a b i l i t y r a d iis o f D A F s h i t h is section , w e a r e c o n c e r n e d w it h a h p e d a l c a s e w h e r e I lie r o m p U 'x -,1 ,»lJilit\ radius is equal to real stability radius For DAEs this is a difficult question because muk'i the action of the pcncil of matrices { A , B } tlip positive cone R + is 11« longn invai I,mt I'vm b o th A and B arc p o s it iv e W e are able to so lv e problrni under a V('I V St lie t h y p o th e s is S u p p o s e ' t h a t A D E R ' " y '" A matrix H = a the absolute o f the m atrix M is said to 1)C' positive it n , ; > 1(11 am I / Denote = ( m ( / ) by \ M \ = (In;,,!) and of the vector (■ I)V |.C! - ( |./-Ị i- i-; J t k m I)- Wc define a partial ordci relation ill R " < * m |,v M < N M - N < Lc't ị i ( Á l ì ) l>e t h e a b s c i s s a s p e c t r u m of t h e pencil { A D } i.e ị i ( A B ) in;ix{'RA : A f n(A.D)} \Vc‘ consider th e equation A X ( t ) - B X ( t ) = 0, (1.1) where A B are stan t matrices in R " ‘ X1" the pencil { A , B } is regular If n i d ( A D ) > ] t lie'll tli(T(’ is n oth in g to say because dc — ỉìtfi = So we suppose that n l i A D ) — and tilt' following d itions are satisfied: i) > (4.2) ii) T I k t c exists a sequence (i„): t n > 0; t „ —> oc such that ( t „ A B) > for all // (4.3) iii) T h e eq u ation (4.1) is asym ptotically stable We remark th a t the above conditions ensure a positive system on O D E s case Let us choose th e m on oton ou s norm in R ” ‘ T h a t is, if |x| < \y\ then ||./;|| f |ỊỊ|r|i- L e m m a Le t t he syst em (4.1) satisfi es above condi t i ons, t hen for ni l Xsucli thfit > / i ( A B ) , we have |(A,4 - B ) ~ l x I < (?RA,4 - i? ) ~ 11:í;I f or a ny X € R " ‘ Proof Let us take an t, t u e R such th at t > f i ( A, B ),and t u - t > f i { A B ) Suppose th at A = f + iu>, we have to prove that |[(i + i u ) A - B\ *x| < ( t A - B ) ' | t | for all X G R ' " ■ By simple calculation we have ((/ + i u; ) A - B y = ( t n A - B ) “ ] [7 - { t u - t - i u ) A ( t „ A - / ? ) - ’] P u ttin g C ( t „ ) - ( t „ A - B ) ~ \ we obtain [ệt + i u ) A - £ ) ] - ' = G( we have t „ - \tn - t - Ũ j \ > t - £ = f i ( A, B ) for t n sufficiently large, i.e t „ - / / ( D) > \ t „ - t - i u \ On the other hand, by hypotheses i) and ii), A G ( t „ ) i.s positive matrix, then by Perron-Frobenius theorem : r ( A G ( t n )) = n { A G { tn)) e ( A G ụ „ ì) Tins means that l G ( í „ ) ) / - A G ( t n )] = o d et[(tn A - B ) - A / r { A G { t n))] = det[(i„ - \ / r ( A G { t n )))A - B\ = Therefore, r(i4C*{frilj > t n - f i ( A , D ) which implies \t„ Thus t „ - TT^ĩgcTTTTĨ e t - iuj\r(AG'(tn )) < Hence, by (4.3) \((t + i uj ) A - B ) - l x I < G ( t n ) ị ' \tn - t - i u ) \ n { A G ( t n ) ) n \x\ = G { t „ ) [ I - |i„ - t - i u K A G i t n ) } - 1^ = [(i„ - |in - t - i u \ ) A - B\ 1|x| Lot; t.,, -> X we obtain l i \ < ( t A - B ) ~ l \ x\ |[(* + f c ^ - ] Lem m a 4.1 is proved, ộ L e m m a G ( t ) = ( t A - B ) ~ x > f or any t > ụ ( A , B ) Mor eover , G ( t ) is decreasi ng O I1 ( f i ( A , D ), ic ) Proof- Let í() > ụ,(A,D) By using Lemma 4.2 we see that |G(f0)| < GVftio) = Gi to) thon Gịto) > Th(' clccrea.Mii”, o f G( t ) on B) , dc) follows from tlie first part o f th í’ le m m a H11(1 the fact thilt for s t > f j ( A , B ) one lias G{ s ) - G ( t ) — (t - s ) G ( s ) A G ( t ) Ộ Because the function G( s ) is analytic on half plane c + then it only attain s maximum at s - X or s G i R Furthermore, m onotonous norm is chosen then by Lem m a -4.1 Cits) attain s the m a xim u m OI1 [o.^c) On the other hand, by Lemm a 4.2 it follows that (V s) h;vs its niaxinmin at t = i.e ||G(0)|| = max{|ỊG(A)|| : JfA > 0} = IIz? M| From IVmum - Frobciiius theorem, there exists u > ||»|| = such that G(())ti Ịị6'(())ịị By II,sill" once more Haln-Banach theorem for positive sy stem there i-xi.sts positive linear f111II t loiiiil (/■ sat isf ving y ' ( G ( ) u ) = ||6'(())|| 1Iitj ' |G (0)u|| = i|G(0)|| and Ill'll = Let A ■ Following t lie way a.s above we can prove that A is "had = matrix and l|_V' = for all t > Let Q he a projection oil K e r A then it IS known that (2.1) is equivalent to A " -Z ? A '= where Q — - Q { A - D Q ) Q X = B: p = - Q and B — P ( A - B Q ) (4.4) ' B We liotr that Ộ does not depend oil the choice o f the projection Q and P ( A - B Q ) ~ [ = P ( A D Q Y which implies that B is independent of the choice of Q So it is seen that (2.1) i.s positive' if and only if p > and B is a P - Mctlez matrix, i.e all entries of B are positive except for entries b,j with p, j > whore p = Indeed, from (4.4) the general solution (if (2.1) is A’, = I*xp(/Z?)PAV Thus, the' positivitv condition implies that p > (with / = 0) Oil tin* other hand, fur t is small we h a \c < c x \ ) ( t B ) P = p + Ỵ ^ Ụ B Ỵ ' = p + t B + o( t ) , II as / > -X which follows th at if p n = tlien bjj > Conversely, if B is a P - Metlez matrix then in n o t in g th a t p is a p r o j e c tio n w hich c o m m u t e w ith B th e n for an Q such th a t t t P -ị D > we have' exp( t D ) P = exp{ - O i t P + t ( D + a P ) ) P = exp( - a t P ) exp( t( B + ( \ P ) ) P = ex p ( —a t ) expf t( B + a P ) ) P > We now su p p ose that the system (2.1) is positive In adding conditions that P ( A B Q ) ~ ] > and Q { A - B Q ) ~ l > we can prove that G ( t ) = ( t A - B ) ~ ] > for any t > and t large To verify this attesta tio n we have only to remark that ( A - D Q Y 1( t A - B ) = t P - ( A - B Q ) 1B = t P + Q - B = (P + Q /t)[tI - (P + tQ)B] = { P + Q / m i B Thus G ( t ) = [(,4 - B Q ) - l ( t A - D ) ] (^4 - D Q ) ~ l = [ # + Q / t ) ( t I - B) } l (A BQ)~l = (t l - B)- ]P{ A - B Q ) - ' + t ( t l - B ) ~ l Q( A - B Q Y = ( t - B ) - ‘ P(A - B Q ) - ’ + Q{A - B Q )~ l (4.5) Since D is a P - Met.lez then there is a to stich th at (t - B ) ~ l p > tor any t > /(, Tints, under the h yp oth eses P ( A - B Q ) ~ l > and Q ( A - B Q ) - ' > the relation (4.5) tells that G ị t ) > for t > f() H ow ever, if is Cflsy to giV6 H11 (?XRinpl® \^rhcrG th e syst.Gm p o s i t n c but tlic lc s o K c n t ( t A - B Y is not positive So far we not know if the positive condition ensures the equality of (!(■ and (in- A n answer of this problem is welcome N g u y e n H u u D u, D ao Thi Lien > W e consider th e case where G( s ) attains m axim um at s = oo From the relation (4.5) we see th a t lim oo ||G(s)|| = lim i £ / t + ;i->oo where Q\ B are given as in (4.4) Let ||G(OII = | | Q M - S Q ) - 1|| = max||G(.s)|| s£C * ( t n ) be a sequence in (0, oo) such tliat OG For any n we ch oose u n E R " ‘ and y* w ith (i/*)r e R m such that ||u„|| lini„♦.* t „ = = 1:||ỉ/*|| = 1; ||G(í„ ) u ri II = ||G (i„ )|| and y * { G ( t n ) u n ) = ||G (i„)tin || as in §3 Let A n = | |G ( O I | ‘ iL,,Aj'„ It is clear th at t n is an eigenvalue of the pencil { A , B + A n } with the corresponding eigenvector :c„ = ( t „ A - B ) ~ l Ur, lim,, This means that A u € V j i It it) eiusy to S('C tluit IIA,, II = l i u i , , ^ * ||G ( i „ ) ||_1 = (lr i.e., dc = d R Thus, T h e o r e m 4.4 I f t he resol vent G( s ) has nut m a x i m u m val ue on t he r i g h t - h a n d l i dl f o f coi npl vx p l a n t hen d c — D r E x a m p l e C o m p u te the stability A - /1 \0 radius of the system A X ' ( t ) - D X { t ) - with 0\ I 0/ /-2 = -1 \0 0\ I - 1/ It is seen th at ind { A, B ) = 1; ( A , B ) = { - / - \/5 /2 ; - / + p /1 0\ \o 0/ = I0 10 ; /-2 B =ị VO 0\ 1/ -1 I V / } and : T hus D is P - Metlez Moreover, 0\ ( 1 > \ 0 1/ /0 / 0 \1 P[A - B Q ) ~ l = 1 ‘ \ 0 1/ T hen G’(■•>') > for any t > and it attains the maximum at So - with R efo rcn ces V Dragaii T lie Asymptotic- Bcliavioi of the Stability Hadiu.s for a Siligulaily Perturbed Linear S ystem I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l nf Robust and N o n l i n e a r C o n t r o l (19 98 ) 817-829 D Hinrichesen and A.J Pritcliard Stability Radii of Linear System s Sys C o n t i L e t 7(198G),4-10 D Hinrichesen and A J Pritchard Stability Radii for S tru ct 11 red Perturbations and th e Algebraic Riccati E quations Linear System s Sys C o n t r u t 8(19SG).105-113 D Hinrichsen and N.K Son Stability Radii of Positive Discrete T im e S ystem s un­ der Affine Param eter Perturbations, ỉ i ì t e m a t ĩ o n n l J o u r n a l o f ĩ ĩ ohust and N m ú m c u r Cont r ol (1 9 ) 1169-1188 R Marz E xtra-ordinary Differential Equation A ttem p ts to all analysis of Differ­ ential Algebraic S y stem Preprint N() 97-8 Humboldt Univeisitat Zu Berlin (1997) G TL Quill B B cn ilia id sso n A Rant.zer E I Davison, p M Vomifi, and J.c Doyle A Formula for C o m p u ta tion ()! (lie R'vil Structured Stability Radius Aut omat i ca 31 (1995) 879-890 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHQGHN, Tốn - Lý t XVIII, n ° l - 2002 BÁN K Í N H ố N ĐỊNH Đ ố i VỚI CÁC PHUƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI s ố Nguyễn Hữu Dư Khoa Tốn C Tin học, Đ ì l Khoa học T ự nhiên, D/ỈQGHN Đào Thị Liên Khoa Toán, Đại học Sư phạm Thái Nguyên Trong báo chúng tỏi đề cập đến việc tính bán kính ổn định cho hệ mỏ tả phương trình vi phân đại sơ có dạng AX' ( t ) + B X ( t ) = 0, a, b ma trận số Một công thức bán kính ổn định phức đưa khác biệt trường hợp phưong trình vi phán thường phương trinh vi phân đại số Chúng cũne nshicn cứu trường hợp đạc biệt mà bán kính ổn định thực và phức Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G IA H À N Ộ I T Ọ P CHÍ K H O A H Ọ C TOÁN - VẬT LÝ t.XVIII, n°l-2002 M Ụ C LỤC Ng uy ễn Đức Đạt Về cãn tuyến tính dàn Ng uy ễn X u n H ã n Các kỳ dị hồng ngoại hàm Green fecmion chu I tuyến Wils on T r ầ n T r ọ n g Huệ v ể đặc trưng tính chất quy 10 Ng uy ẻn H ữ u Dư, Đ Thị Lién Bán kính ốn định đỏi với phương trình vi phân đại s ố Lé Văn Ngọc, Võ Văn T h u ậ n , Đ ặn g Q u a n g Thiệu Mó phóng xa Cerenkov Detector Auger mặt đất 16 2X N gu yễ n Vũ N h n , Nguyẻn Q u a n g Báu Tính tốn hệ sỏ hấp thụ sóng đicn từ yếu điện tử tự siêu hạng pha tạp bãng phương pháp KuboM o r i 37 Đ m V ăn Nhỉ Sự bảo toàn số bất biến mỏdun đặc biệt hoá 47 N g uy ễn N h X u ân Tái chuẩn hố hàm Green Electron mỏ hình BIoch-Norsieck cho Q E D , 55 PHIẾU ĐÃNG KÝ KẾT QUẢ NGHIÊN cứu KH - CN Tên để tài (hoặc dự án): HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN VÀ ÁP DỤNG (Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications) Mã số: QT 01-01 Cơ quan chủ trì dể tài (hoặc dự án): Đại học Khoa hoc Tư nhiên, ĐHQG Hà Nội Địa chỉ: 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội Tel: 8585277 Cơ quan quản lý dể tài (hoặc dự án): Đại học Quốc gia Hà Nội Địa chỉ: Địa chỉ: 144 Xuân Thuỷ, cầu Giấy, Hà Nội Tel: 8340 564 Tổng kinh phí thực chi: 16.000.000d Trong đó: - Từ ngân sách Nhà nước - Kinh phí Trường: ■ Vay tín dụng: - Vốn tư có: ■Thu hồi: 16.000.000đ 0 0 Thời gian nghiên cứu: năm Thdi gian bắt đẩu: 2000 Thdi gian kết thúc: 2002 Tên cán phôi hợp nghiên cứu: • GS TSKH Nguyễn Duy Tiến • GS TSKH Phạm Kỳ Anh • ThS Lê Cơng Lợi • CN Vũ Hải Sâm Sõ đăng ký đề tài S( chúmg nhận đ ăng ký kết nghiên cứu: Ngày uv uv uv uv Bào mât: Phô biên rộ n g rãi: P hổ biên hạn chê Bảo mât X Tóm tắt kêt nghiên cứu: Đề tài ghiên cứu tồn nghiệm toán Cauchy cho hệ sai phân ẩn tuyến tính đồng thời để cập đến tính chất động lực của hệ Các kết đạt la đăc trưng lớp điểu kiện ban đầu toán Cauchy tổn nghiệm điều kiện để tổn nghiệm bị chặn tồn trục số Ngồi chung tơi qua trinh sai phân m ột hệ phương trình vi phân đại số số dẫn đến phương trình sai phân có số 1, thời nghiệm phương trình sai phân hội tụ vể nghiệm cua PT vi phàn bước sai phân dẩn đến (Xem báo cáo kèm theo) Kiến n g h ị q u y m ô đ ố i tượ ng áp d ụn g n gh iê n cứu: Các kết mở rộng cho hệ động lực ẩn phi tuyến trường hợp hệ động lực vô hạn chiểu Ho tên Học hàm hoc vi Kí tên Đóng dấu C hủ n h iệ m để Thủ trưở ng Chủ tịc h Hội Thủ trư ỏ n g tài q uan ch ủ trì để đ ồn g đánh giá quan quản lý để tà i c h ín h thức tài N g u yễn Hữu Dư PGSTS ... HIỆN ĐỀ TÀI NCKH CẤP ĐẠI HỌC QUổC Glà 2000-2003 ■ ■ Tên đề tài (hoặc dự án): HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN VÀ ÁP DỤNG (R a n m D e g en e rate D ynam ical S yste m s and T h e ir A p p lica... cùa hệ sai phân chịu nhiễu Markov hệ "ổn clịnh có thé” Được biết việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận đặc biệt dáng điệu thời gian vỏ hạn đóng vai trị quan trọng lý thuyết hệ động lực nói chung hệ. .. nói chung hệ lực ấn nói riêng Biết hệ động lực có ổn đinh hav khơng giúp điéu đầu vào: kiém soái đầu nhu' tìm hiếu xu huớng phát trién ác quấn sinh học Mịl troim nhữntỉ câu hói đặt hệ ổn định