Hệ động lực p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM HOÀNG THU HÀ HỆ ĐỘNG LựC P—ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC Sư PHẠM HOÀNG THU HÀ HÊ ĐỘNG LựC P - ADIC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS HÀ TRẦN PHƯƠNG Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn, Ban Giám hiệu, Phịng Đào nhà trường Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu, trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Hà Trần Phương, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy bạn để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Mở đầu hệ đông lực p—adic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ 1.1.2 Tập hút, tập đẩy tính chất 1.2 Điểm bất động ánh xạ 12 1.2.1 Quan hệ Riemann - Hurwitz 12 1.2.2 Điểm bất động hàm nguyên 16 Họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia 20 2.1 Họ chuẩn tắc định lý Montel 20 2.1.1 Họ chuẩn tắc tính chất 20 2.1.2 Định lý Montel 26 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 36 2.2.1 Một số khái niệm 36 2.2.2 Tính chất tập Julia 39 Kết luận Tàiliệu tham khảo 42 44 Mở đầu Một vấn đề nghiên cứu quan trọng hàm phân hình nghiên cứu hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình, tức nghiên cứu tính chất ánh xạ lặp thực hàm phân hình Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết hệ động lực phức nghiên cứu quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến tập hợp qua ánh xạ, điểm bất động ánh xạ, tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou Cuối kỷ 19, kết nghiên cứu hệ động lực phức tập trung vào tính chất địa phương ánh xạ chỉnh hình lặp lân cận điểm bất động Năm 1906, P Fatou cho biết dáng điệu toàn cục ánh xạ thông qua số kết nghiên cứu Về sau, vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới G Julia, S Lattes, J F Ritt, J Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ lặp thực hàm phân hình phức, thời gian gần nhà tốn học nghiên cứu tính chất tương tự cho ánh xạ thực hàm phân hình trường không Acsimet Những nghiên cứu công bố P C Hu, C C.Yang, A F Beardon, W K Hayman, I N Baker, E Hille, A Escassut Hu, P.C & Yang, C.C tập hợp lại sách "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]) Với mong muốn tìm hiểu kiến thức ban đầu lý thuyết hệ động lực p—adic chọn đề tài "Hệ động lực p—adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngồi ra, luận văn giới thiệu số kết nghiên cứu tính chất chuẩn tắc họ ánh xạ phân hình lý thuyết Julia-Fatou tác giả giới công bố thời gian gần Luận văn chia làm hai chương, Chương chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna cho hàm phân hình p—adic giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p—adic quỹ đạo ánh xạ, tính chất bất biến ánh xạ, điểm bất động ánh xạ Chương chúng tơi trình bày nghiên cứu họ hàm chuẩn tắc lý thuyết Fatou - Julia Thái Nguyên, tháng năm 2016 Người viết luận văn Hoàng Thu Hà Chương Mở đầu hệ động lực padic 1.1 Tập hút tập đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ Trước hết ta giới thiệu số khái niệm Cho M tập hợp hợp khác rỗng, f : M —! M ánh xạ Một tập E M là: (a) Bất biến tiến f (E) = E; (b) Bất biến lùi f-1(E) = E; (c) Hoàn toàn bất biến f-1(E) = E = f (E) Nếu f đơn ánh bất biến tiến kéo theo bất biến lùi hồn tồn bất biến (do f tồn ánh) Một cách tổng qt, ta có liên hệ sau: Bổ đề 1.1 ([6]) Nếu E bất biến lùi f (E) = E \ f (M) c E; Nếu f (E) c E, f (E) c E E bất biến lùi -1 Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Do f (E) c E nên với x E : f (x) E Suy x f-1 (E) suy E c f-1(E) suy E = f-1(E) □ Cho M; N hai khơng gian topo, kí hiệu C(M; N) tập ánh xạ liên tục từ M vào N Lấy f C(M; N) ta kí hiệu lặp f f = id,f = f-1 o f = f o f”- (n> 0)) n Ta ký hiệu quỹ đạo tiến x M O (x) = [ {r(x)} + n>0 Các phần tử O (x) gọi phần tử x Ta kí hiệu quỹ đạo lùi x O-(x) = [ ff ”•(»)}• + n>0 Các phần tử O“(x) gọi phần tử trước x Ta kí hiệu quỹ đạo tồn phần x O(x) = O (x) [ O~(x) + Tổng quát, với E c M, ta định nghĩa quỹ đạo tiến, lùi, toàn phần E cách tương ứng O (E)= S f (E), + O-(E)= S f- (E), n O(E) = O (E) S O~ (E) n n>0 + n>0 Hiển nhiên, ta có O (E) = [ O (x), + O-(E) = [ O~(x) + Với x, y M, ta xác định quan hệ ~ M x ~ y tồn m, n N cho f (y) = f (x), nghĩa x y có chung phần tử Ta thấy: m n • \ ~ ” đối xứng x ~ y tồn m, n N*f (x) = f (y) Suy f (x) = f (y) suy y ~ x m n n m • \ ~ ” phản xạ x ~ x với n : f (x) = f (x) n n • \ ~ " bắc cầu x ~ y, y ~ z tồn m, n,k,l N*: f (x) = f (y),f (y) = f (z) (x)) = (f (y))k suy f (x) = (f (y)) , nl suy f (x) = (f (z)) = f (z) m n m k l k n mk l mk k n n Bởi ~ quan hệ tương đương M Ta kí hiệu lớp tương đương chứa x [x], gọi quỹ đạo tổng quát x Vì ~ quan hệ tương đương nên hai quỹ đạo tổng quát đồng rời Dễ dàng chứng minh [x] = O (x)U + n>0 J n>0 u O-(f (x)) n =u O(f (x)) n Định lý 1.2 ([6]) Các quỹ đạo tổng quát tập nhỏ có tính chất bất biến lùi Hệ 1.3 ([7]) Một tập E M bất biến lùi hợp lớp tương đương [x] Trong trường hợp này, phần bù M \ E phải hợp lớp tương đương bất biến lùi Hệ 1.4 ([7]) Giả sứ f : M ! M ánh xạ mở liên tục giả sứ E bất biến lùi Thì phần Eo, biên @E, bao đóng E E bất biến lùi Với E c M, ta xác định [E]= [ [x] Khi [E] bất biến lùi (vì [x] bất biến lùi) Hiển nhiên, E bất biến lùi [E] = O(E) = E Tập [E] tập có tính chất bất biến lùi nhỏ chứa E Một điểm bất động ánh xạ f : M ! M điểm x M cho f (x) = x Kí hiệu tập điểm bất động f Fix(f) Một k- vòng (vòng bậc k) k- gồm k phần tử x , , xk-1 M đôi khác cho f (xi) = Xi+1(0 ỉ k - 1; f (x -i) = X0 fc Đối với họ k-vòng {x , , x _ g, hiển nhiên xi thỏa mãn f (xi) = xi, nghĩa {x0; ,xk-ig c Fix(f ) k k k Mỗi x gọi điểm bất động cấp k f Một 1-vịng f điểm bất động f Đặt: i Per(f) = u Fix(f ) k k=1 Các điểm cuả Per(f) gọi điểm tuần hoàn f Hiển nhiên x Per(f) f (x) = x với k Z Giá trị k bé cho f (x) = x gọi chu kỳ x Nếu k chu kỳ x k > 1, {x, f (x); , f k~ (x)g k-vòng f Bởi Per(f) hợp vòng f Với x M, ta xác định tập w - giới hạn L (x) x bởi: k + k + L+(x) = \ uf (x) k>0 n>k n Hệ 2.14 ([7]) Giả sứ F họ hàm phân hình tập mở D c Cp Nếu hàm F không nhận hai giá trị phân biệt a,b C , F liên tục cầu đồng bậc D p Chứng minh Nếu b = 1, hệ suy từ Hệ 2.13 Khi a b hữu hạn, ta xét họ G =Ư (7^ I f 2F| -aJ Hiển nhiên, hàm G phân hình khơng nhận giá trị b—a Do G đồng liên tục cầu D Bổ đề suy từ bất đẳng thức X(f(z),f (w)) a) X(f(z) - a;f(w) - a) |V\2 ( X (Ja| „, \f (z) - a f (w) - aJ \ □ Định lý 2.15 ([7]) Một ánh xạ hữu tỷ f thỏa mãn điều kiện Lipschitz X(f (z),f (w)) K(z,w) C , liên tục cầu Cp p Chứng minh Đặt Rf(z) = (ĩ1y1/'(z)| V|f(z)| ỉ (2.8) Xét trường hợp sau: • f (z) ! z ! • f (z) ! z ! • f (z) ! a = z ! ta chứng minh z!1 lim Rf(z) < +1 Ta chứng minh điều tương tự cực điểm Rf (z) (2.8) Đối với ánh xạ Mobius f (z) = aẼj±tỊ,, ad - bc = 1, cz + d □ ta ước lượng A Định lý 2.15 Do f0(z) = , AỌ, nên (cz + d) z hàm Rf (2.8) là: R (z f |z|v max{|az + b| , |cz + d|} )= thỏa mãn bất đẳng thức Rf (z) > ||f , II f II = max {|a|, |b|, |c|, |d|} Ta chứng minh |z|v R (z f max{|a|, | )= |c| | ,K , , (max{ |a| , | z | , | b | , | c | , | z | , | d |}) v | z | — b | , | cz — a | } Thật vậy, | z | -., (max{| | , | z | , | b| , | a c | , | z | , | d|}) | z | > R (z f )= max < | a | dz — b suy \\f \ = Iif\I, a — cz Nhận thấy f (z) = 1 R (f (z ))R (z) f-1 f =1 (2.9) Tiếp theo ta chứng minh max{ | | f (z) |v )= (f (0),f (1)) (f(, ),f (1),f {| df (6 f b 2|, f| (i),f f ((0)) Xa Ta có hơn, ta giảRthiết f-1 (f (z)) xrằng =tồn>xtại «max zdz xa(f (> w)) 0(i))sao z)>|| -«m cho II xc(z, z) w) -> a«.| }J R (z f Ỵ2 (2.10) Khi x(f(0),/(l))x(/(1),f(l))x(f(1),f(0)) > n3 Biến đổi vế trái bất đẳng thức ta (max f|a|, |c|} max f\b\, |c|} max f|a + b\, |c = d|}) \ Chú ý a ỏ = ad — bc = d(a + b) — b(c + d), = ự(a + b) — b(c + d)| , max fd(a + b), b(c + d)} , max f | b | , | d | } max f | a + b | , | c + d | } Bởi ta rút gọn max f | a| , | c | } tương tự Suy ||f II = maxf | a| ;| b | ;| c | ; max f | b | , | d |}6 | d |} 6 x(f (z),f(w)) kéo theo II f ||2 x(z,w) Định lý 2.16 ([7]) Cho F họ hàm phân hình tập mở D Cp Cho '1, ' , '3 hàm phân hình D cho: jnf x('i(z);'j(w)) > a> 0; 'l= j Z;W2D Nếu f F thỏa mãn f (z ) = 'i(z); ỉ = 1; 2; 3; z D; F đồng liên tục cầu D Chứng minh Trước hết, theo (2.9) với f ánh xạ Mobius x(f(z),f(w)) IIf II2x(z,w) Do f song ánh nên z = f 1(f (z)) Suy x(z,w) = x(f-1(f (z ));f-1(f (w))) ||f- || x(f (z),f (w)) = \\f IR x(f(z);f (w)) (Ỉ( Điều kéotlieo ||f II" x(f(z),/(«>)) x(f(z),/(«>)) II/1| X Z),f(w)) Bởi vậy, với g ánh xạ Mobius 2 2 llgir2x(go f(z);gof(w)) x(f(z);f(w)) llgll x(gof(z);gof(w)) Do F đồng liên tục cầu D g o f đồng liên tục cầu D Khơng tính tổng qt, ta giả sử '3(D) Bây ta xét họ G =1F I F = f '; ỄFỊ f I - '2 J Hiển nhiên, hàm G chỉnh hình khơng nhận giá trị Do G đồng liên tục cầu D Tương tự họ Ỉ Gi = ( h I h =—T ;f eổ| F1 đồng liên tục D hàm G1 chỉnh hình khác (-1) Tiếp theo ta xét họ G = {^h I T = '2 - '1; h Gig Cố định z D Chú ý x(^(z)'(h), T(z0)h(z0)) max {A(z)x(h(z); h(z0)); B(z)xWz); ^(z0))g đây, () () = I$(z)| Ih(z)IvIh(z0)Iv ; I $(z )h(z) I _| *(z>)h(z>) I _ ’ ) = I h(z>) II $(z) I _| $(zọ)I _ I $(z )h(z) I _I ^UOhiX) I _ Vì T giải tích z ; nên T bị chặn lân cận z C (z ; r) A, B bị chặn C (z ,r) A, B bị chặn C (z ,r) Từ tính liên tục T z tính đồng liên tục G1 kéo 0 p p 0 p theo G đồng liên tục cầu z , đồng liên tục cầu D Chú ý _ ~ '1 r ™ F = — -— G, suy f - '2 f Xn '2f - '1 _, '2 - '1 r = Fvr = f '2 + FZT ’ -)H(z0M a > Z;W2D Nếu hàm f F thỏa mãn f (z) = 'i(z) F đồng liên tục cầu D i = 1, 2, z D □ 2.2 Lý thuyết Fatou - Julia 2.2.1 Một số khái niệm Giả sử D ký hiệu C Cp Trong phần này, ta xét ánh xạ chỉnh hình khác f : D ! D Nếu D = C , f hàm nguyên (bao gồm đa thức) Nếu D = C , f hàm hữu tỷ gọi ánh xạ hữu tỷ Định nghĩa 2.18 ([7]) Một họ F hàm phân hình địa phương xác định tập mở D gọi chuẩn tắc z D tồn đĩa C [z ; r] c D cho F chuẩn tắc C [z ; r] p p p p p Hiển nhiên, họ F chuẩn tắc D chuẩn tắc điểm D Lấy họ {U } tập mở D mà F chuẩn tắc, ta có nguyên lý sau: Định lý 2.19 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình địa phương xác định tập mở D Khi tồn tập mở cực đại F(F) D mà F chuẩn tắc Dặc biệt, f : D ! D ánh xạ chỉnh hình, tồn tập mở cực đại F(f) c D mà họ {f }n== chuẩn tắc Các tập hợp F(F) F(f) Định lý 2.19 thường gọi tập Fatou F f tương ứng Các tập Julia F f ký hiệu tương ứng bởi: J(F) = D \ F(F), J(f ) = D \ F(f) Dễ thấy J(F), J(f) tập đóng D Nếu F hữu hạn, ta xác a n định J(F) = Tương tự, lấy tập hợp {Vp} lớp tất tập mở D mà F đồng liên tục cầu, ta có nguyên lý Định lý 2.20 ([7]) Giả sử F họ hàm phân hình địa phương xác định tập mở D Khi tồn tập mở cực đại F equ(F) D mà F đồng liên tục cầu Dặc biệt, f : D ! D ánh xạ chỉnh hình, tồn tập mở lớn F equ(f) = Fequ(f, ỵ) D mà họ hàm {f }n= đồng liên tục cầu n Xác định tập đóng Jequ(F) = D \ Fequ(F), Theo Định lý 2.9, ta có: F(f) c Fequ (f) , Ta có kết sau: Jequ(f) = Jequ(f, x) = D \ Fequ(f, x) J equ (f) c J(f) Định lý 2.21 ([7]) Các tập F = F(f) J = J(f) bất biến lùi, nghĩa f-1(F) = F f-1(J) = J (2.11) Chứng minh Giả sử A c D đĩa Giả sử D thành phần f (A) Vì F J tập D, khẳng định giả thiết suy từ đồng tầm thường -1 f \D' = f ~ \D f \D' hai trường hợp phân biệt sau: a) A c F Khi với z D0, D0 c f_ (A) suy f (z) A f chuẩn tắc y = f (z) nên f chuẩn tắc z Vậy f chuẩn tắc b) A \ J = Điều có nghĩa dãy {f } khơng chuẩn tắc D0, D0 \ J = Nếu cho A co lại tới điểm z J f_ (z ) c J f (J) c J z n n 1 n n n n -1 0 □ Chú ý f toàn ánh, f (D) = D Theo Bổ đề 1.1 (2.11) f (F) = F, f (J) = J (2.12) Do đó, F J hồn tồn bất biến Ngoài ra, ta dễ dàng chứng minh tập Fequ(f) Jequ(f) hoàn toàn bất biến Định lý 2.22 ([7]) Với số nguyên dương m > 2, ta có F(f) c F(f ), m J(f ) c J(f) (2.13) J f ) = J (f) (2.14) m Hơn nữa, D = Cp, F f ) = F f), m m Chứng minh Điều đủ để chứng minh tập Fatou Khi họ {f } chứa họ {f }, ta có (2.13) Giả sử D = C Cho đĩa A c C , ta có họ F = {f \A \ n > 0} , F = {f o f \ \ n > 0} Rõ ràng F = Fo u UFm-1, f liên tục cầu C theo Định lý 2.15, F chuẩn tắc F0 chuẩn tắc □ mn n p n j p A p Chú ý Định lý 2.22 cho tập Fequ(f) Jequ(f )• Định lý 2.23 ([7]) Tập Julia J(f) chứa tất điểm đẩy Chứng minh Giả thiết, điểm bất động Ệ f đẩy Bằng định nghĩa, tồn lân cận U Ệ cho với zj U—[£](j — 1;2, •••);nj Z+ với f (zj) U với n > nj• Lấy dãy {zjg c U — [£] cho Zj ! Ệ j ! 1: Giả sử, Ệ F(f )• Ta tìm đĩa A c U có tâm Ệ dãy {f g f mà hội tụ cầu tới hàm ộ A Hiển nhiên, n nk n C ộ(Ệ) — £ ộ hàm liên tục cầu A Viết A — p[ Lấy j, với Zj Cp[Ệ; r] x(ộ(zj),Ệ) < r Sau có k cho x(f (Zj), ộ(zj)) < r với k > k cho nk 0 x(f nk(z , j ko, f (zj) U n > nj • Điều mâu thuẫn □ nk nk k Như vậy, D — C , Định lý 2.23 Định lý 2.22 cho thấy tập Julia J(f) chứa bao đóng tập chứa tất điểm đẩy J(f) tập đóng Vậy theo chứng minh Định lý 1.10 chứng minh kết sau: p Định lý 2.24 ([7]) Tập Fatou F(f) tập chứa tất điểm hút Nếu z điểm hút bất động, chứng minh Định lý 1.10, đặc biệt theo (1.1), ta có r R+ cho C (z ; r) c F(f )• Từ đó, F(f) hồn tồn bất biến, ta có p Att(zo) — O“(Cp(zo; r)) c F(f) đó, F(f) chứa vùng thu hút z0 • Hơn nữa, f ánh xạ hữu tỷ theo Định lý 2.22 Định lý 1.10, F(f) chứa tất chu kỳ hút vùng thu hút Hiển nhiên, Định lý 2.24 giữ cho tập Fequ(f) Theo Định lý 1.12 (1.2), ta thấy Định lý 2.23 cho Jequ(f )• Từ chứng minh Định lý 1.23 ta có: Định lý 2.25 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ bậc nhỏ hai Khi tập Exc(f) điểm bỏ chứa F(f )• Định lý 2.26 ([7]) Tập Fequ(f) chứa tất điểm bất động trung lập Chứng minh Lấy z điểm bất động trung lập f Khơng tính tổng quát, ta giả sử z — 0^ Theo (1.2), ta có r R+ cho: 0 |f(z) — |z | I, z2 Cp[0;4 Vì thế, cách lặp lặp lại, ta thu \f (z)\ = \zI; n n Z+; z Cp[0;r] Do ff (z)} đồng liên tục z = 0, đồng liên tục cầu z = □ n 2.2.2 Tính chất tập Julia Định lý 2.27 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > 2, giả sứ E c C đóng, hồn tồn bất biến Khi E có hai phần tứ E c Exc(f) c F(f), E vô hạn Jequ(f) c E p Chứng minh Theo Định lý 1.21, E có hai phần tử E vô hạn Nếu E hữu hạn, Định lý 1.23 Định lý 2.25 kéo theo E c Exc(f) c F(f) Giả sử E vô hạn Chú ý E = C — E hồn tồn bất biến Do đó, ánh xạ f : E ! E mở Theo Hệ 2.14, họ F = ff } đồng liên tục cầu E , hiển nhiên E c Fequ(f) Bởi vậy, Jequ(f) c E □ c c n p c c c Theo Định lý 2.27 ta có: Định lý 2.28 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > Khi J(f )(tương ùng., Jequ(f)) rỗng J(f )(tương ùng., J equ(f)) vơ hạn Thật vậy, Jequ(f) rỗng Trong thực tế, Exc(f) chứa hai điểm, trường hợp f(z) = z , theo Hệ 2.14, họ ff } đồng liên tục cầu C — Exc(f) C — Exc(f) hồn tồn bất biến, Fequ(f) = Cp theo Định lý 2.27 khơng biết liệu kết luận J(f) = hay không? Cho ánh xạ f (z) = z , ta có: d p n p d J(f) c Cp Khi J(f )(tương ùng.,Jequ(f)) = Cp, J(f)(tương ùng.,Jequ(f)) phần rỗng Chứng minh đây, viết J = J(f) F = F(f) Chú ý ta có phân tích rời Cp = J u @J u F o Từ đó, F J hàm hoàn toàn bất biến, theo Hệ 1.4, J @J hoàn toàn bất biến Nếu F khơng rỗng, @J u F vơ hạn, đóng, o hồn tồn bất biến, chứa J (theo Định lý 2.27) Do đó, J c @J, tức J =0 Jo = Tương tự, ta chứng minh khẳng định cho tập Jequ(f) □ Định lý 2.30 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > Khi đó, tập dẫn xuất Jequ(f) rỗng vơ hạn J equ(f) Chứng minh Cho J0 = J'e (f) tập dẫn xuất Jequ(f), là, tập hợp điểm tích lũy Jequ(f) Khi J0 đóng Giả sử J' = Từ f liên tục, rõ ràng f (J0) c J', J' c f (J0) Lại có, dễ dàng thấy f~ (J ) c J' từ f ánh xạ mở, suy luận J0 hoàn toàn bất biến Từ Định lý 2.27 suy J0 vơ hạn, J (f c J (f J equ ) J’, equ ) = ° 1 / Định lý 2.31 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > Giả sứ Jequ(f) = lấy D tập mở, khác rỗng thỏa mãn Jequ(f) Khi Cp - Exc(f) c O+(D) Chứng minh Viết S = Cp - O+(D) Nếu S chứa hai điểm nhỏ riêng biệt, gọi z z , theo Hệ 2.14, họ {f } đồng liên tục cầu D, D c Jequ(f) Điều mâu thuẫn Do S chứa nhiều điểm C Lấy z Exc(f) Theo Định lý 1.24, quỹ đạo phía sau O~(z) z vơ hạn, n p O~(z) \ O (D) = + theo lý luận Do đó, tồn vài điềm w số nguyên không âm m,n cho f (w) = z w f (D) Nó z f (D) Định lý chứng minh □ m n m +n Định lý 2.32 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > Giả sứ Jequ(f) = 0, khơng có điểm lập Khi đó, Jequ(f) chùa tập dẫn xuất tập Per(f) điểm tuần hoàn f Dặc biệt J equ (f ) c Per(f) Chứng minh Lấy D tập mở thỏa mãn Jequ(f) Ta chứng minh D chứa vài phần tử Per(f) Ta chọn điểm w Jequ(f) \ D cho w không giá trị tới hạn f Do đó, có bốn điểm phân biệt f-2(w) Đặt ba số w , w , w , phân biệt từ w dựng lân cận Dị (i = 0,1, 4) Wị, với bao đóng rời lẫn nhau, cho Do c D f : Dj ! D đồng phôi, với j = 1, 2,3 2 o Lấy 'j : D ! Dj nghịch đảo f : Dj ! D Nếu o o Z+ fn(z ) = 'j(z); j = 1; 2,3;n ;z Do, theo Định lý 2.16 {f g đồng liên tục cầu D Điều khơng thể Do \ Jequ(f) = Vì thế, tồn z D ,j {1, 2, 3g n Z cho f (z) = 'j (z) Điều nghĩa f (Z) = f ('j (z)) = z z điểm tuần hoàn D □ Định lý 2.33 ([7]) Cho f ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > giả sứ J (f equ ) = 1) Nếu z Exc(f), Jequ(f) c O~(z) n o + n 2+n 2) Nếu z Jequ(f), Jequ(f) = O~ (z) Chứng minh Lấy z Exc(f) cho D tập mở bất kỳ, không rỗng thỏa mãn Jequ(f) Theo Định lý 2.31 ta có z f (D) với n O~(z) \ D = Điều chứng tỏ (1) Nếu z Jequ(f), ta có: n Jequ(f) c O-(z) c Jequ(f), quan hệ từ (1) thứ quan hệ thứ hai xuất phát từ bất biến hồn tồn tập đóng Jequ(f) Như (2) chứng minh □ Định lý 2.34 ([7]) Cho f g hai ánh xạ hữu tỷ với deg(f) > deg(g) > Giả sứ fo g = g o f; Jequ(f ) = 0, J ( equ g) = J (g) Thỉ, Jequ(f) equ Chứng minh Ta tiếp tục theo chứng minh Beardon’s [2] Cho tập E c Cp, định nghĩa Diam[E] = sup x(z,w) Z;W2E Theo Định lý 2.15, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz x(f (z),f (w)) Ảx(z,w) C Lấy w Fequ(g) Từ {g g đồng liên tục cầu w, cho " > 0, có số dương ỏ cho: Diam[g (Cp(w,ỗ))] < ", Ả n p n hay Diam[g o f (Cp(w, ỗ))] = Diam[f o g (Cp(w, ố))] n n ADiam[gn(C (w, ố))] < " p Do đó, {g } đồng liên tục cầu f(w); đặc biệt, f(w) Fequ(f) Điều chứng tỏ f và, thế, f , ánh xạ Fequ(g) nó, {f } đồng liên tục cầu Fequ(g) theo Hệ 2.14 Ta kết luận Fequ(g) c Fequ(f), và, đối xứng Fequ(g) = Fequ(f) □ n n n KẾT LUẬN Với mục đích giới thiệu kết ban đầu lý thuyết hệ động lực p—adic, luận văn chúng tơi trình bày số kết sau đây: Giới thiệu số kiến thức mở đầu hệ động lực p—adic như: Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ, khái niệm tính chất tập hút, tập đẩy; quan hệ Riemann - Hurwitz; điểm bất động hàm phân hình Nghiên cứu số khái niệm tính chất ban đầu họ chuẩn tắc, Định lý Montel; khái niệm tập Fatou tập Julia, số tính chất tập Julia lý thuyết Fatou - Julia Tài liêu tham khảo [1] Baker, I N (1960), "The existence of fixpoints of entire functions", Math Z 73 [2] Beardon, A F (1991), "Iteration of rational functions", Springer Verlag [3] Escassut, A (1962), "Analytic elements in p - adic analysis", World Scientific Publishing Co Pte Ltd [4] Hayman, W K (1964), "Meromorphic functions", Oxford: Clarendon Press [5] Hille, E (1962), "Analytic function theory II", Ginn and Company [6] Hu, P.C & Yang, C.C (1999), "Differentiable and complex dynamics of several variables", Kluwer Academic Publishers [7] Hu, P.C & Yang, C.C (2000), "Meromorphic functions over Non Archimedean Fields", AKluwer Academic Publishers X jjk -k+j d I X d" _k+j d'-1 : k > j=1 = dn-1 : k = ... lý thuyết hệ động lực p? ? ?adic chọn đề tài "Hệ động lực p? ? ?adic" Mục đích luận văn giới thiệu số tính chất quỹ đạo, tính chất bất biến, điểm bất động ánh xạ thực hàm phân hình trường Cp Ngồi ra,... Gamelin Ngày động lực phức lĩnh vực phát triển mạnh mẽ, liên kết với lĩnh vực khác có nhiều ứng dụng rộng rãi Song song với việc phát triển lý thuyết hệ động lực ánh xạ l? ?p thực hàm phân hình phức,... Chương Mở đầu hệ động lực padic 1.1 T? ?p hút t? ?p đẩy 1.1.1 Tính chất bất biến lùi tiến ánh xạ Trước hết ta giới thiệu số khái niệm Cho M t? ?p h? ?p h? ?p khác rỗng, f : M —! M ánh xạ Một t? ?p E M là: (a)