Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)

Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)Hệ động lực P Adic (LV thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG THU H H NG LC P ADIC LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2016 I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM HONG THU H H NG LC P - ADIC Chuyờn ngnh : TON GII TCH Mó s : 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS TS H TRN PHNG Thỏi Nguyờn - 2016 Li cam oan Tụi xin cam oan rng ni dung trỡnh by lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi ti khỏc Tụi cng xin cam oan rng cỏc kt qu nờu lun vn, ti liu tham kho v ni dung trớch dn m bo tớnh trung thc chớnh xỏc Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngi vit lun Hong Thu H i Li cm n Lun c thc hin v hon thnh ti trng i hc S phm i hc Thỏi Nguyờn Qua õy tụi xin chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn, Ban Giỏm hiu, Phũng o nh trng v cỏc Quý Thy Cụ ging dy lp Cao hc K22 (2014- 2016) trng i hc S phm- i hc Thỏi Nguyờn ó tn tỡnh truyn t nhng kin thc quý bỏu, ó trang b kin thc c bn v to iu kin tt nht cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh ti PGS TS H Trn Phng, ngi ó tn tỡnh ch bo, to iu kin v giỳp tụi cú thờm nhiu kin thc, kh nng nghiờn cu, tng hp ti liu hon thnh lun mt cỏch hon chnh Tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố v cỏc ng nghip ó ng viờn, giỳp tụi quỏ trỡnh hc ca mỡnh Do thi gian v trỡnh cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn Tụi xin chõn thnh cm n! Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngi vit lun Hong Thu H ii Mc lc Li cam oan i Li cm n ii Mc lc iii M u 1 M u v h ng lc padic 1.1 Tp hỳt v y 1.1.1 Tớnh cht bt bin lựi v tin ca ỏnh x 1.1.2 Tp hỳt, y v tớnh cht 1.2 im bt ng ca ỏnh x 1.2.1 Quan h Riemann - Hurwitz 1.2.2 im bt ng ca hm nguyờn H hm chun tc v lý thuyt Fatou - Julia 2.1 H chun tc v nh lý Montel 2.1.1 H chun tc v tớnh cht 2.1.2 nh lý Montel 2.2 Lý thuyt Fatou - Julia 2.2.1 Mt s khỏi nim 2.2.2 Tớnh cht Julia 3 12 12 16 20 20 20 26 36 36 39 Kt lun 42 Ti liu tham kho 44 iii M u Mt nhng nghiờn cu quan trng i vi hm phõn hỡnh ú l nghiờn cu v h ng lc ca cỏc ỏnh x lp thc hin bi cỏc hm phõn hỡnh, tc l nghiờn cu tớnh cht ca ỏnh x lp c thc hin bi mt hm phõn hỡnh Nhng nghiờn cu chớnh lý thuyt h ng lc phc l nghiờn cu qu o ca ỏnh x, tớnh cht bt bin ca mt hp qua ỏnh x, im bt ng ca ỏnh x, tớnh cht chun tc ca mt h ỏnh x phõn hỡnh v lý thuyt Julia-Fatou Cui th k 19, cỏc kt qu nghiờn cu v h ng lc phc trung vo tớnh cht a phng cỏc ỏnh x chnh hỡnh lp lõn cn ca im bt ng Nm 1906, P Fatou ó cho bit dỏng iu ton cc ca ỏnh x ny thụng qua mt s kt qu nghiờn cu ca mỡnh V sau, ny thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii nh G Julia, S Lattes, J F Ritt, J Milnor, L.Carleson, T,W Gamelin Ngy ng lc phc l mt lnh vc phỏt trin mnh m, liờn kt vi cỏc lnh vc khỏc v cú nhiu ng dng rng rói Song song vi vic phỏt trin lý thuyt h ng lc ca cỏc ỏnh x lp thc hin bi cỏc hm phõn hỡnh phc, thi gian gn õy cỏc nh toỏn hc nghiờn cu tớnh cht tng t cho ỏnh x thc hin bi mt hm phõn hỡnh trờn trng khụng Acsimet Nhng nghiờn cu ny c cụng b bi P C Hu, C C.Yang, A F Beardon, W K Hayman, I N Baker, E Hille, A Escassut v c Hu, P.C & Yang, C.C hp li cun sỏch "Meromorphic functions over Non - Archimedean Fields" ([7]) Vi mong mun tỡm hiu cỏc kin thc ban u v lý thuyt h ng lc padic chỳng tụi chn ti "H ng lc padic" Mc ớch chớnh ca lun gii thiu mt s tớnh cht v ca qu o, tớnh cht bt bin, v im bt ng ca ỏnh x thc hin bi mt hm phõn hỡnh trờn trng Cp Ngoi ra, lun cng gii thiu mt s kt qu nghiờn cu tớnh cht chun tc ca mt h ỏnh x phõn hỡnh v lý thuyt Julia-Fatou c cỏc tỏc gi trờn th gii cụng b thi gian gn õy Lun chia lm hai chng, Chng chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc lý thuyt phõn b giỏ tr Nevanlinna cho cỏc hm phõn hỡnh padic v gii thiu v mt s kin thc m u v h ng lc padic nh qu o ca ỏnh x, tớnh cht bt bin ca ỏnh x, im bt ng ca ỏnh x Chng chỳng tụi trỡnh by cỏc nghiờn cu v h hm chun tc v lý thuyt Fatou - Julia Thỏi Nguyờn, thỏng nm 2016 Ngi vit lun Hong Thu H Chng M u v h ng lc padic 1.1 Tp hỳt v y 1.1.1 Tớnh cht bt bin lựi v tin ca ỏnh x Trc ht ta s gii thiu mt s khỏi nim c bn Cho M l mt hp hp khỏc rng, f : M M l mt ỏnh x Mt E ca M l: (a) Bt bin tin nu f (E) = E; (b) Bt bin lựi nu f (E) = E; (c) Hon ton bt bin nu f (E) = E = f (E) Nu f l n ỏnh thỡ bt bin tin s kộo theo bt bin lựi v hon ton bt bin (do ú f ton ỏnh) Mt cỏch tng quỏt, ta cú cỏc liờn h sau: B 1.1 ([6]) Nu E l bt bin lựi thỡ f (E) = E f (M ) E; Nu f (E) E, f (E) E thỡ E l bt bin lựi Chng minh (1) Hin nhiờn (2) Do f (E) E nờn vi mi x E : f (x) E Suy x f (E) suy E f (E) suy E = f (E) Cho M, N l hai khụng gian topo, kớ hiu C(M, N ) l cỏc ỏnh x liờn tc t M vo N Ly f C(M, N ) ta kớ hiu cỏc lp ca f bi f = id, f n = f n1 f = f f n1 (n > 0)) Ta ký hiu qu o tin ca x M bi O+ (x) = {f n (x)} n Cỏc phn t O+ (x) c gi l phn t k tip ca x Ta kớ hiu qu o lựi ca x bi O (x) = {f n (x)} n Cỏc phn t ca O (x) c gi l phn t trc ca x Ta kớ hiu qu o ton phn ca x bi O(x) = O+ (x) O (x) Tng quỏt, vi E M , ta nh ngha qu o tin, lựi, ton phn ca E mt cỏch tng ng bi O+ (E) = f n (E), O (E) = n0 f n (E), O(E) = O+ (E) O (E) n0 Hin nhiờn, ta cú O (E) = O+ (x), O+ (E) = xE O (x) xE Vi mi x, y M , ta xỏc nh quan h trờn M bi x y v ch tn ti m, n N cho f m (y) = f n (x), ngha l x v y cú cựng chung mt phn t k tip Ta thy: i xng vỡ x y v ch tn ti m, n N f m (x) = f n (y) Suy f n (x) = f m (y) suy y x phn x vỡ x x vi mi n : f n (x) = f n (x) bc cu vỡ x y, y z v ch tn ti m, n, k, l N : f m (x) = f n (y), f k (y) = f l (z), (f m (x))k = (f n (y))k suy f mk (x) = (f k (y))n , suy f mk (x) = (f l (z))n = f nl (z) Bi vy l mt quan h tng ng trờn M Ta kớ hiu lp tng ng cha x l [x], v gi l qu o tng quỏt ca x Vỡ rng l quan h tng ng nờn hai qu o tng quỏt bt k hoc ng nht hoc ri D dng chng minh c O (f n (x)) [x] = O+ (x) n O(f n (x)) = n nh lý 1.2 ([6]) Cỏc qu o tng quỏt l cỏc nh nht cú tớnh cht bt bin lựi H qu 1.3 ([7]) Mt E ca M l bt bin lựi nu v ch nu nú l hp ca cỏc lp tng ng [x] Trong trng hp ny, phn bự M \ E ca nú cng phi l hp ca cỏc lp tng ng v ú cng l bt bin lựi H qu 1.4 ([7]) Gi s f : M M l ỏnh x m liờn tc v gi s rng E l bt bin lựi Thỡ ú phn E , biờn E , bao úng E ca E cng l bt bin lựi Vi mi E M , ta xỏc nh [E] = [x] xE Khi ú [E] l bt bin lựi (vỡ [x] l bt bin lựi) Hin nhiờn, nu E l bt bin lựi thỡ [E] = O(E) = E Tp [E] l cú tớnh cht bt bin lựi nh nht cha E Mt im bt ng ca ỏnh x f : M M l mt im x M cho f (x) = x Kớ hiu cỏc im bt ng ca f bi Fix(f ) Mt k - vũng (vũng bc k ) l mt k - b gm k phn t x0 , , xk1 ca M ụi mt khỏc cho f (xi ) = xi+1 (0 k 1; f (xk1 ) = x0 i i vi mt h k -vũng {x0 , , xk1 }, hin nhiờn l xi tha f k (xi ) = xi , ngha l {x0 , , xk1 } Fix(f k ) Mi xi nh vy cng c gi l im bt ng cp k ca f Mt 1-vũng ca f chớnh l mt im bt ng ca f t: Fix(f k ) Per(f ) = k=1 Cỏc im cu Per(f ) c gi l cỏc im tun hon ca f Hin nhiờn l x Per(f ) v ch f k (x) = x vi k Z+ no ú Giỏ tr k nht cho f k (x) = x c gi l chu k ca x Nu k l chu k ca x thỡ k 1, v {x, f (x), , f k1 (x)} l mt k -vũng ca f Bi vy Per(f ) l hp cỏc vũng ca f Vi mi x M , ta xỏc nh w - gii hn L+ (x) ca x bi: L+ (x) = f n (x) k 0n k V ú F ng liờn tc ti a nh lý 2.12 ([7]) Gi s F l h cỏc hm chnh hỡnh trờn m D Cp Nu mi hm thuc F khụng nhn giỏ tr hng thỡ F l liờn tc cu ng bc trờn D Chng minh Ly z0 D Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi thit z0 = Chỳ ý rng mi hm F cú th biu din nh l mt chui ly tha trờn mt a cc i tõm ti 0, ta gi l Cp (0, ) Ta cú (r, f ) = 0, r < f khụng cú khụng im Cp (0, ) Suy à(r, f ) = |a |r = |a0 | = const Suy aj z j = |a0 | = |f (0)|, f F |f (z)| = i=0 t F1 = {f F | |f (0)| 1} , F2 = {f F | |f (0)| > 1} , | f F2 F3 = f Khi ú F1 v F3 b chn u trờn Cp (0, ) Theo nh lý 2.11, chỳng ng liờn tc trờn Cp (0, ) Chỳ ý rng (f (z), f (w)) = 1 , f (z) f (w) 1 f (z) f (w) Ta suy F2 ng liờn tc cu trờn Cp (0, ) F3 ng liờn tc trờn Cp (0, ) F = F1 F F Vy F ng liờn tc trờn Cp (0, ) H qu 2.13 ([7]) Gi s F l h cỏc hm chnh hỡnh trờn mt m D ca Cp Nu mi hm ca F khụng nhn mt giỏ tr a Cp , thỡ F l ng liờn tc cu trờn D Chng minh Kt lun ca chng minh da vo nh lý 2.12 v bt ng thc (f (z), f (w)) |a| (f (z) a, f (w) a) 30 H qu 2.14 ([7]) Gi s F l mt h cỏc hm phõn hỡnh trờn mt m D Cp Nu mi hm ca F khụng nhn hai giỏ tr phõn bit a, b Cp , thỡ F l liờn tc cu ng bc trờn D Chng minh Nu b = , thỡ h qu trờn c suy t H qu 2.13 Khi c a v b hu hn, ta xột h |f F f a G= ba Do ú G ng liờn tc cu D B trờn c suy t bt ng thc Hin nhiờn, mi hm G u phõn hỡnh v khụng nhn giỏ tr (f (z), f (w)) (|a| ) (f (z) a, f (w) a) 1 , = |a| f (z) a f (w) a nh lý 2.15 ([7]) Mt ỏnh x hu t f tha iu kin Lipschitz (f (z), f (w)) (z, w) trờn Cp , v vy nú l liờn tc cu u trờn Cp Chng minh t Rf (z) = |z| |f (z)| |f (z)| (2.8) Xột cỏc trng hp sau: f (z) z f (z) z f (z) = z ta chng minh c lim Rf (z) < + Ta cng chng minh c iu z tng t ti cỏc cc im ca Rf (z) (2.8) i vi ỏnh x Mobius f (z) = az + b , cz + d 31 ad bc = 1, ta cú th c lng nh nh lý 2.15 Do f (z) = , nờn (cz + d)2 hm Rf (2.8) s l: |z| max{|az + b| , |cz + d|} Rf (z) = tha bt ng thc Rf (z) f , , õy f = max {|a|, |b|, |c|, |d|} Ta s chng minh Rf (z) = Tht vy, nu |z| |z| max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|} thỡ , (max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|})2 Rf (z) nu |z| > thỡ Rf (z) = |b| |d| max |a|, , |c|, |z| |z| Nhn thy f (z) = (max{|a|, |z|, |b|, |c|, |z|, |d|})2 dz b suy f = f , v a cz Rf (f (z))Rf (z) = Tip theo ta s chng minh Rf (z) = Ta cú Rf (f (z)) = |z| max{|dz b|, |cz a|} |f (z)| max {|df (z) b| , |cf (z) a|} õy (f (z), f (w)) f (z, w) (2.9) Xa hn, ta gi thit rng tn ti > cho (f (0), f (1)) , (f (1), f ()) 32 , (f (), f (0)) (2.10) Khi ú (f (0), f (1))(f (1), f ())(f (), f (0)) Bin i v trỏi ca bt ng thc ta c (max {|a|, |c|} max {|b|, |c|} max {|a + b|, |c = d|})2 Chỳ ý rng = ad bc = d(a + b) b(c + d), v ú = |d(a + b) b(c + d)| , max {d(a + b), b(c + d)} , max {|b|, |d|} max {|a + b|, |c + d|} Bi vy ta rỳt gn c max {|a|, |c|} max {|b|, |d|} , tng t ú , kộo theo f (f (z), f (w)) Suy f = max {|a|, |b|, |c|, |d|} 2 , v (z, w) nh lý 2.16 ([7]) Cho F l h cỏc hm phõn hỡnh trờn mt m D ca Cp Cho , , l cỏc hm phõn hỡnh trờn D cho: inf (i (z), j (w)) > 0, z,wD i = j Nu mi f F tha f (z) = i (z), i = 1, 2, 3, z D, thỡ F l ng liờn tc cu trờn D Chng minh Trc ht, theo (2.9) vi f l ỏnh x Mobius (f (z), f (w)) f 33 (z, w) Do f l song ỏnh nờn z = f (f (z)) Suy (z, w) = (f (f (z)), f (f (w))) f = f 2 (f (z), f (w)) (f (z), f (w)) iu ny kộo theo f (f (z), f (w)) Bi vy, vi g l ỏnh x Mobius thỡ g (g f (z), g f (w)) (f (z), f (w)) (f (z), f (w)) g f (f (z), f (w)) (g f (z), g f (w)) Do ú F ng liờn tc cu trờn D v ch g f ng liờn tc cu trờn D Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s (D) Bõy gi ta xột h f ,f F G= F |F = f Hin nhiờn, mi hm G l chnh hỡnh v khụng nhn giỏ tr Do ú G ng liờn tc cu D Tng t h G1 = h|h= ,f G F cng ng liờn tc D mi hm G1 chnh hỡnh v khỏc (-1) Tip theo ta xột h G2 = {h | = , h G1 } C nh z0 D Chỳ ý rng ((z)(h), (z0 )h(z0 )) max {A(z)(h(z), h(z0 )), B(z)((z), (z0 ))} õy, |(z)| |h(z)| |h(z0 )| A(z) = , |(z)h(z)| |(z0 )h(z0 )| |h(z0 )| |(z)| |(z0 )| B(z) = |(z)h(z)| |(z0 )h(z0 )| Vỡ l gii tớch ti z0 , nờn b chn lõn cn ca z0 l Cp (z0 , r) v ú A, B b chn u Cp (z0 , r) v ú A, B b chn u Cp (z0 , r) T tớnh liờn tc ca ti z0 v tớnh ng liờn tc ca G1 kộo 34 theo G2 ng liờn tc cu ti z0 , v ú ng liờn tc cu trờn D Chỳ ý f rng F = G, suy f f= f = + , F F ngha l, F = {2 + | G2 } Bõy gi ta cú (f (z), f (z0 )) = (2 (z) + (z), (z0 ) + (z0 )) max {C(z)C(z0 )(2 (z), (z0 )), H(z)H(z0 )((z), (z0 ))} , õy |2 (z)| C(z) = |2 (z) + (z)| |2 (z)| , |(z)| H(z) = |2 (z) + (z)| Chỳ ý rng H [max {|2 (z) + (z)|, |2 (z)|}] |2 (z) + (z)| |2 (z)| Do l hm gii tớch ti z0 , nờn b chn mt lõn cn ca z0 , gi l Cp (z0 , r), v ú C v H b chn u Cp (z0 , r) Bi vy, F ng liờn tc cu ti z0 , ú F ng liờn tc trờn D Bng cỏch chng minh tng t nh lý 2.16, ta cú th chng minh c nh lý sau: nh lý 2.17 ([7]) Gi s F l h cỏc hm phõn hỡnh trờn m D ca Cp Gi s , l hai hm gii tớch trờn D cho: inf (1 (z), (w)) z,wD > Nu mi hm f F tha f (z) = i (z), i = 1, 2, thỡ F ng liờn tc cu trờn D 35 z D, 2.2 Lý thuyt Fatou - Julia 2.2.1 Mt s khỏi nim Gi s D l ký hiu ca Cp hoc Cp Trong phn ny, ta s xột mt ỏnh x chnh hỡnh khỏc hng f : D D Nu D = Cp , thỡ f l mt hm nguyờn (bao gm a thc) Nu D = Cp , thỡ f l mt hm hu t v c gi l ỏnh x hu t nh ngha 2.18 ([7]) Mt h F cỏc hm phõn hỡnh a phng xỏc nh trờn mt m D c gi l chun tc ti z0 D nu tn ti mt a Cp [z0 ; r] D cho F l chun tc trờn Cp [z0 ; r] Hin nhiờn, h F chun tc trờn D nu v ch nu nú chun tc ti mi im ca D Ly h {U } cỏc m ca D m trờn ú F l chun tc, ta cú cỏc nguyờn lý sau: nh lý 2.19 ([7]) Gi s F l h cỏc hm phõn hỡnh a phng xỏc nh trờn mt m D Khi ú tn ti m cc i F(F) ca D m trờn ú F l chun tc c bit, nu f : D D l ỏnh x chnh hỡnh, thỡ tn ti mt m cc i F(f ) D m trờn ú h {f n } n=1 l chun tc Cỏc hp F(F) v F(f ) nh lý 2.19 thng c gi l cỏc Fatou ca F v f tng ng Cỏc Julia ca F v f c ký hiu tng ng bi: J(F) = D \ F (F), J(f ) = D \ F (f ) D thy J(F), J(f ) l cỏc úng ca D Nu F hu hn, ta xỏc nh J(F) = ỉ Tng t, ly hp {V } l lp tt c cỏc m ca D m trờn ú F l ng liờn tc cu, ta cú nguyờn lý nh lý 2.20 ([7]) Gi s F l h cỏc hm phõn hỡnh a phng xỏc nh trờn mt m D Khi ú tn ti mt m cc i Fequ (F) ca D m trờn ú F l ng liờn tc cu c bit, nu f : D D l ỏnh x chnh hỡnh, thỡ tn ti mt m ln nht Fequ (f ) = Fequ (f, ) ca D m trờn ú h hm {f n } n=1 l ng liờn tc cu Xỏc nh cỏc úng Jequ (F) = D \ Fequ (F), Jequ (f ) = Jequ (f, ) = D \ Fequ (f, ) Theo nh lý 2.9, ta cú: F (f ) Fequ (f ), Jequ (f ) J(f ) Ta cú kt qu sau: 36 nh lý 2.21 ([7]) Cỏc F = F (f ) v J = J(f ) l bt bin lựi, ngha l f (F ) = F v f (J) = J (2.11) Chng minh Gi s D l a no ú Gi s D l thnh phn no ú ca f () Vỡ rng F v J l ca D, khng nh ca gi thit c suy t ng nht tm thng f n |D = f n1 |D f |D v bi hai trng hp phõn bit sau: a) F Khi ú vi mi z D , D f () suy f (z) ú f n chun tc ti y = f (z) nờn f n chun tc ti z Vy f n chun tc b) J = ỉ iu ny cú ngha l dóy {f n } khụng chun tc D , v vỡ th D J = ỉ Nu chỳng ta cho co li ti im z0 J thỡ f (z0 ) J v f (J) J bi vỡ z0 l bt k Chỳ ý rng f l ton ỏnh, ú f (D) = D Theo B 1.1 v (2.11) thỡ f (F ) = F, f (J) = J (2.12) Do ú, F v J l hon ton bt bin Ngoi ra, ta d dng chng minh c rng Fequ (f ) v Jequ (f ) l hon ton bt bin nh lý 2.22 ([7]) Vi mi s nguyờn dng m F (f ) F (f m ), 2, ta cú J(f m ) J(f ) (2.13) J(f m ) = J(f ) (2.14) Hn na, nu D = Cp , thỡ F (f m ) = F (f ), Chng minh iu ú chng minh Fatou Khi ú h {f mn } cha h {f n }, vỡ th ta cú (2.13) Gi s D = Cp Cho a Cp , ta cú h F = {f n | | n 0} , Fj = f i f mn | | n Rừ rng F = F0 Fm1 , v hn na f j l liờn tc cu u Cp theo nh lý 2.15, F l chun tc nu v ch nu F0 l chun tc 37 Chỳ ý rng nh lý 2.22 cũn ỳng cho cỏc Fequ (f ) v Jequ (f ) nh lý 2.23 ([7]) Tp Julia J(f ) cha tt c cỏc im y Chng minh Gi thit, mt im bt ng ca f l y Bng nh ngha, tn ti lõn cn U ca cho vi mi zj U [](j = 1, 2, ), nj Z+ vi f n (zj ) / U vi mi n nj Ly dóy {zj } U [] cho zj thỡ j Gi s, F (f ) Ta cú th tỡm mt a U cú tõm v dóy {f nk } ca f n m hi t cu u ti hm trờn Hin nhiờn, () = v l hm liờn tc cu trờn Vit = Cp [; r], r > Ly j, vi zj Cp [; r] v ((zj ), ) < r Sau ú cú k0 cho (f nk (zj ), (zj )) < r vi mi k > k0 cho (f nk (zj , ) max{(f nk (zj ), (zj )), ((zj ), )} < r, ú f nk (zj ) , vi mi k > k0 , nhng f nk (zj ) / U nu nk > nj iu ny mõu thun Nh vy, nu D = Cp , nh lý 2.23 v nh lý 2.22 cho thy Julia J(f ) cha bao úng ca cha tt c cỏc im y vỡ J(f ) l úng Vy theo chng minh ca nh lý 1.10 chỳng ta chng minh c kt qu sau: nh lý 2.24 ([7]) Tp Fatou F(f) l cha tt c cỏc im hỳt Nu z0 l im hỳt bt ng, bng chng minh ca nh lý 1.10, c bit theo (1.1), ta cú r R+ cho Cp (z0 ; r) F (f ) T ú, F (f ) l hon ton bt bin, ta cú Att(z0 ) = O (Cp (z0 ; r)) F (f ) ú, F (f ) cha vựng thu hỳt ca z0 Hn na, nu f l ỏnh x hu t theo nh lý 2.22 v nh lý 1.10, thỡ F (f ) cha tt c chu k hỳt v vựng thu hỳt Hin nhiờn, nh lý 2.24 gi cho Fequ (f ) Theo nh lý 1.12 v (1.2), ta thy nh lý 2.23 ỳng cho Jequ (f ) T chng minh ca nh lý 1.23 ta cú: nh lý 2.25 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t bc nh nht bng hai Khi ú Exc(f ) ca cỏc im b c cha F (f ) nh lý 2.26 ([7]) Tp Fequ (f ) cha tt c cỏc im bt ng trung lp Chng minh Ly z0 l im bt ng trung lp ca f Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s z0 = Theo (1.2), ta cú r R+ cho: |f (z)| = |z|, z Cp [0; r] 38 Vỡ th, bng cỏch lp i lp li, ta thu c |f n (z)| = |z|, n Z+ , z Cp [0; r] Do ú {f n (z)} l ng liờn tc ti z = 0, v ng liờn tc cu ti z = 2.2.2 Tớnh cht Julia nh lý 2.27 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) 2, v gi s E Cp l úng, hon ton bt bin Khi ú hoc E cú ớt nht hai phn t v E Exc(f ) F (f ), hoc E l vụ hn v Jequ (f ) E Chng minh Theo nh lý 1.21, hoc E cú ớt nht hai phn t hoc E l vụ hn Nu E l hu hn, nh lý 1.23 v nh lý 2.25 kộo theo E Exc(f ) F (f ) Gi s E l vụ hn Chỳ ý rng E c = Cp E l hon ton bt bin Do ú, ỏnh x f : E c E c l m Theo H qu 2.14, h F = {f n } l ng liờn tc cu E c , v hin nhiờn E c Fequ (f ) Bi vy, Jequ (f ) E Theo nh lý 2.27 ta cú: nh lý 2.28 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) Khi ú hoc J(f )(tng ng., Jequ (f )) l rng hoc J(f )(tng ng., Jequ (f )) l vụ hn Tht vy, Jequ (f ) cú th rng Trong thc t, nu Exc(f ) cha hai im, trng hp f (z) = z d , theo H qu 2.14, h {f n } l ng liờn tc cu Cp Exc(f ) vỡ Cp Exc(f ) l hon ton bt bin, v ú Fequ (f ) = Cp theo nh lý 2.27 õy chỳng ta khụng bit liu cú th kt lun rng J(f ) = ỉ hay khụng? Cho ỏnh x f (z) = z d , ta cú: J(f ) Cp 0; , nhng chỳng ta khụng th xỏc nhn liu J(f ) = Cp 0; hay J(f ) = ỉ nh lý 2.29 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) Khi ú hoc J(f )(tng ng., Jequ (f )) = ỉ hoc Cp , hoc J(f )(tng ng., Jequ (f )) l phn rng Chng minh õy, vit J = J(f ) v F = F (f ) Chỳ ý rng ta cú s phõn tớch ri Cp = J o J F T ú, F v J l hm hon ton bt bin, theo H qu 1.4, J o v J l hon ton bt bin Nu F khụng rng, ú J F l vụ hn, úng, 39 hon ton bt bin, v cng cha J (theo nh lý 2.27) Do ú, J J, tc l J = ỉ hoc J o = ỉ Tng t, ta cú th chng minh s khng nh ny cho Jequ (f ) nh lý 2.30 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) Khi ú, hoc dn xut ca Jequ (f ) l rng hoc nú l vụ hn v bng Jequ (f ) Chng minh Cho J = Jequ (f ) l dn xut ca Jequ (f ), ú l, hp cỏc im tớch ly ca Jequ (f ) Khi ú J l úng Gi s rng J = ỉ T ú f l liờn tc, rừ rng f (J ) J , v vỡ th J f (J ) Li cú, d dng thy f (J ) J t ú f l ỏnh x m, v chỳng ta suy lun rng J l hon ton bt bin T nh lý 2.27 suy rng J l vụ hn, v Jequ (f ) J , v vỡ th Jequ (f ) = J nh lý 2.31 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) Gi s Jequ (f ) = ỉ v ly D l m, khỏc rng tha Jequ (f ) Khi ú Cp Exc(f ) O+ (D) Chng minh Vit S = Cp O+ (D) Nu S cha hai im nh nht riờng bit, gi l z1 v z2 , theo H qu 2.14, h {f n } l ng liờn tc cu D, v ú D Jequ (f ) iu ny mõu thun Do ú S cha nhiu nht mt im ca Cp Ly z / Exc(f ) Theo nh lý 1.24, qu o phớa sau O (z) ca z l vụ hn, v ú O (z) O+ (D) = ỉ theo lý lun trờn Do ú, tn ti mt vi im w v s nguyờn khụng õm m, n cho f m (w) = z v w f n (D) Nú ch rng z f m+n (D) nh lý c chng minh nh lý 2.32 ([7]) Cho f l mt ỏnh x hu t vi deg(f ) Gi s Jequ (f ) = ỉ, khụng cú im cụ lp Khi ú, Jequ (f ) cha dn xut ca Per(f ) ca im tun hon ca f c bit Jequ (f ) Per(f ) Chng minh Ly D l m tha Jequ (f ) Ta s chng minh D cha vi phn t ca Per(f ) Ta chn mt im w0 Jequ (f ) D cho w0 khụng l giỏ tr ti hn ca f Do ú, cú ớt nht bn im phõn bit f (w) t ba s ú l w1 , w2 , w3 , phõn bit t w v dng lõn cn Di (i = 0, 1, 4) ca wi , vi bao úng ri ln nhau, cho D0 D v f : Dj D0 l mt ng phụi, vi j = 1, 2, 40 Ly j : D0 Dj l nghch o ca f : Dj D0 Nu f n (z) = j (z), j = 1, 2, 3; n Z+ ; z D0 , theo nh lý 2.16 {f n } l ng liờn tc cu D0 iu ny khụng th vỡ D0 Jequ (f ) = ỉ Vỡ th, tn ti z D0 , j {1, 2, 3} v n Z+ cho f n (z) = j (z) iu ny ngha l f 2+n (z) = f (j (z)) = z vỡ th z l im tun hon D nh lý 2.33 ([7]) Cho f l ỏnh x hu t vi deg(f ) Jequ (f ) = ỉ v gi s rng 1) Nu z / Exc(f ), thỡ Jequ (f ) O (z) 2) Nu z Jequ (f ), thỡ Jequ (f ) = O (z) Chng minh Ly z / Exc(f ) v cho D l m bt k, khụng rng tha Jequ (f ) Theo nh lý 2.31 ta cú z f n (D) vi mi n v O (z) D = ỉ iu ny chng t (1) ỳng Nu z Jequ (f ), ta cú: Jequ (f ) O (z) Jequ (f ), ú quan h u tiờn t (1) v th quan h th hai xut phỏt t bt bin hon ton ca úng Jequ (f ) Nh vy (2) c chng minh nh lý 2.34 ([7]) Cho f v g l hai ỏnh x hu t vi deg(f ) deg(g) Gi s rng f g = g f, Jequ (f ) = ỉ, v Jequ (g) = ỉ Thỡ Jequ (f ) = Jequ (g) Chng minh Ta tip tc theo chng minh ca Beardons [2] Cho bt k E Cp , nh ngha Diam[E] = sup (z, w) z,wE Theo nh lý 2.15, f tha iu kin Lipschitz (f (z), f (w)) (z, w) trờn Cp Ly w Fequ (g) T ú {g n } l ng liờn tc cu ti w, ú cho bt k > 0, cú s dng cho: Diam[g n (Cp (w, ))] < , 41 hay Diam[g n f (Cp (w, ))] = Diam[f g n (Cp (w, ))] Diam[g n (Cp (w, ))] < Do ú, {g n } l ng liờn tc cu ti f (w), c bit, f (w) Fequ (f ) iu ny chng t rng f v, vỡ th, mi f n , ỏnh x Fequ (g) chớnh nú, {f n } cng l ng liờn tc cu trờn Fequ (g) theo H qu 2.14 Ta kt lun rng Fequ (g) Fequ (f ), v, i xng Fequ (g) = Fequ (f ) 42 KT LUN Vi mc ớch gii thiu nhng kt qu ban u lý thuyt h ng lc padic, lun ny chỳng tụi ó trỡnh by mt s kt qu sau õy: Gii thiu mt s kin thc m u v h ng lc padic nh: Tớnh cht bt bin lựi v tin ca ỏnh x, khỏi nim v tớnh cht ca hỳt, y; quan h Riemann - Hurwitz; im bt ng ca hm phõn hỡnh Nghiờn cu mt s khỏi nim v tớnh cht ban u v h chun tc, nh lý Montel; khỏi nim Fatou v Julia, mt s tớnh cht Julia v lý thuyt Fatou - Julia 43 Ti liu tham kho [1] Baker, I N (1960), "The existence of fixpoints of entire functions", Math Z 73 [2] Beardon, A F (1991), "Iteration of rational functions", Springer Verlag [3] Escassut, A (1962), "Analytic elements in p - adic analysis", World Scientific Publishing Co Pte Ltd [4] Hayman, W K (1964), "Meromorphic functions", Oxford: Clarendon Press [5] Hille, E (1962), "Analytic function theory II", Ginn and Company [6] Hu, P.C & Yang, C.C (1999), "Differentiable and complex dynamics of several variables", Kluwer Academic Publishers [7] Hu, P.C & Yang, C.C (2000), "Meromorphic functions over Non Archimedean Fields", AKluwer Academic Publishers 44 ... () zCp g () P cho P v Q l a thc cựng trờn Cp v chỳ ý rng t Q s v mu s ca P (z)Q(z) P (z)Q (z) g = Q2 (z) Vit g = 14 cng l a thc cựng T ú à0g (z) = zCp g () à 0P QP Q (z) = deg (P Q P Q ) zCp Q(z)2... hp ca cỏc lp tng ng [x] Trong trng hp ny, phn bự M E ca nú cng phi l hp ca cỏc lp tng ng v ú cng l bt bin lựi H qu 1.4 ([7]) Gi s f : M M l ỏnh x m liờn tc v gi s rng E l bt bin lựi Thỡ ú phn... g(z0 ) v f (g(z0 )) thuc Cp ng thc cho ph p ta m rng nh ngha ca àf (z0 ) trng hp z0 = hoc f (z0 ) = (hoc c hai trng hp) Ta chn , Aut(Cp ) vi (z0 ), (f (z0 )) Cp v xỏc nh àf (z0 ) = àf