Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận Từ tận đáy lòng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng phấn đấu để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9A (khóa 2015–2017) ln động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Cúc i Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục ii Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tuyến tính dương 1.2 Hệ tuyến tính dương có trễ 1.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11 2.2 Ví dụ số 15 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ 17 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ 17 3.2 Ví dụ số 26 Kết luận luận văn 29 ii Tài liệu tham khảo 30 iii Một số ký hiệu viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều n x T n chuẩn Euclide véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R , x 2 x2i = i=1 x ∞ Rn×r chuẩn vô véctơ x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn , x ∞ = max |xi | i=1, ,n không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ ma trận A, A = A λmax (AT A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = A A ma trận không âm A≻0 A ma trận dương LM Is Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) iii Mở đầu Một hệ động lực gọi hệ động lực dương gọi tắt hệ dương quỹ đạo véc tơ trạng thái điều kiện ban đầu nằm orthant dương với điều kiện đầu vào không âm Hệ dương xuất nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ q trình sinh học, hóa học, mơ hình dân số, học, kinh tế học [3], [6], [7] Do việc nghiên cứu tính chất định tính hệ động lực dương có trễ khơng có trễ nhận quan tâm nhiều nhà khoa học giới Tính ổn định theo nghĩa Lyapunov cho hệ dương nghiên cứu [9], [10], [11] Chú ý tính ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiên cứu dáng điệu hệ động lực dương khoảng thời gian vô hạn Tuy nhiên, ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ động lực dương thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận Một hệ dương gọi ổn định hữu hạn thời gian ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Những năm gần đây, có vài kết nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương Chẳng hạn, [5], tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch dương Gần đây, tốn ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân thứ nghiên cứu [13] Chú ý kết nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch sử dụng định nghĩa ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ chuyển mạch Định nghĩa khác hoàn toàn định nghĩa hữu hạn thời gian đưa Amato cộng [2] Do việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian hệ động lực dương cách sử dụng định nghĩa Amato cộng [2] cần thiết có ý nghĩa khoa học Vì lý phân tích trên, luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Luận văn gồm có chương với nội dung sau: Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" Trong chương này, giới thiệu số khái niệm kết hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Nội dung chương tham khảo tài liệu [7], [8] Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương" Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng toán quy hoạch tuyến tính bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ" Bằng cách sử dụng ý tưởng chọn hàm Lyapunov báo [14], chứng minh số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ số Cuối chương, chúng tơi đưa hai ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [1], [7], [8] 1.1 Hệ tuyến tính dương Trước hết, chúng tơi nhắc lại số khái niệm ma trận dương, ma trận Metzler khái niệm hệ dương Định nghĩa 1.1 [7] Cho ma trận A ∈ Rn×m (i) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m gọi ma trận không âm aij ≥ 0, A ∀i = 1, , n, ∀j = 1, , m Khi ma trận khơng âm A ký hiệu (ii) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m gọi ma trận dương tất thành phần ma trận A dương, tức aij > 0, ∀i = 1, , n, ∀j = 1, , m Khi ma trận dương A ký hiệu A ≻ Ngoài ra, ta ký hiệu Rn+ = {x = (x1 , , xn )T ∈ Rn : xi ≥ (i = 1, , n)}, Rn×m = {A = (aij )n×m ∈ Rn×m : aij ≥ (i = 1, , n, j = 1, , m)} + Định nghĩa 1.2 Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m gọi ma trận Metzler aij ≥ 0, ∀ i = j Định lí sau cho ta mối quan hệ tính dương ma trận mũ ma trận Metzler Định lý 1.1 [7] Cho A ma trận vng cấp n Khi A ma trận Metzler eAt 0, với t > −1 Ví dụ 1.1 Cho ma trận A = 1 0 Theo Định nghĩa 1.2 A ma trận Metzler Ta tính ma trận eAt eAt −t 2t −t e −3e + 3e 2t = e 2t 0 e Ta thấy eAt ma trận không âm Tiếp theo, trình bày khái niệm hệ động lực dương Xét hệ điều khiển tuyến tính mơ tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, (1.1a) x(0) = x0 , (1.1b) y(t) = Cx(t) + Du(t), (1.1c) x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm véc tơ điều khiển, y(t) ∈ Rp véc tơ quan sát, A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×m ma trận số cho trước ... cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương Chẳng hạn, [5], tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch dương Gần đây, tốn ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn. .. tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng tốn quy hoạch tuyến tính bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ. .. gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân thứ nghiên cứu [13] Chú ý kết nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch sử dụng định nghĩa ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ chuyển