Về tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ CÚC VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CHO LỚP HỆ ĐỘNG LỰC DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Mai Viết Thuận Từ tận đáy lòng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy cố gắng phấn đấu để xứng đáng với công lao Thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để học tập nghiên cứu Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K9A (khóa 2015–2017) ln động viên giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập, nghiên cứu Nhân dịp này, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Nguyễn Thị Cúc i Mục lục Lời cảm ơn i Mục lục ii Một số ký hiệu viết tắt iii Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hệ tuyến tính dương 1.2 Hệ tuyến tính dương có trễ 1.3 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 11 2.2 Ví dụ số 15 Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ 17 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ 17 3.2 Ví dụ số 26 Kết luận luận văn 29 ii Tài liệu tham khảo 30 iii Một số ký hiệu viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian véctơ Euclide thực n−chiều n x T n chuẩn Euclide véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ R , x 2 x2i = i=1 x ∞ Rn×r chuẩn vô véctơ x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn , x ∞ = max |xi | i=1, ,n không gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị λ(A) tập hợp tất giá trị riêng ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ ma trận A, A = A λmax (AT A) A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A≥B nghĩa A − B ≥ A>0 ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = A A ma trận không âm A≻0 A ma trận dương LM Is Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) iii Mở đầu Một hệ động lực gọi hệ động lực dương gọi tắt hệ dương quỹ đạo véc tơ trạng thái điều kiện ban đầu nằm orthant dương với điều kiện đầu vào không âm Hệ dương xuất nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ q trình sinh học, hóa học, mơ hình dân số, học, kinh tế học [3], [6], [7] Do việc nghiên cứu tính chất định tính hệ động lực dương có trễ khơng có trễ nhận quan tâm nhiều nhà khoa học giới Tính ổn định theo nghĩa Lyapunov cho hệ dương nghiên cứu [9], [10], [11] Chú ý tính ổn định theo nghĩa Lyapunov nghiên cứu dáng điệu hệ động lực dương khoảng thời gian vô hạn Tuy nhiên, ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ động lực dương thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận Một hệ dương gọi ổn định hữu hạn thời gian ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Những năm gần đây, có vài kết nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương Chẳng hạn, [5], tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch dương Gần đây, tốn ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch phân thứ nghiên cứu [13] Chú ý kết nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ chuyển mạch sử dụng định nghĩa ổn định hữu hạn thời gian lớp hệ chuyển mạch Định nghĩa khác hoàn toàn định nghĩa hữu hạn thời gian đưa Amato cộng [2] Do việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian hệ động lực dương cách sử dụng định nghĩa Amato cộng [2] cần thiết có ý nghĩa khoa học Vì lý phân tích trên, luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Luận văn gồm có chương với nội dung sau: Chương "Một số kiến thức chuẩn bị" Trong chương này, giới thiệu số khái niệm kết hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Nội dung chương tham khảo tài liệu [7], [8] Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương" Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng toán quy hoạch tuyến tính bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ" Bằng cách sử dụng ý tưởng chọn hàm Lyapunov báo [14], chứng minh số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ số Cuối chương, chúng tơi đưa hai ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ sử dụng chứng minh kết luận văn cho chương sau Kiến thức sử dụng chương tham khảo [1], [7], [8] 1.1 Hệ tuyến tính dương Trước hết, chúng tơi nhắc lại số khái niệm ma trận dương, ma trận Metzler khái niệm hệ dương Định nghĩa 1.1 [7] Cho ma trận A ∈ Rn×m (i) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m gọi ma trận không âm aij ≥ 0, A ∀i = 1, , n, ∀j = 1, , m Khi ma trận khơng âm A ký hiệu (ii) Ma trận A = (aij )n×m ∈ Rn×m gọi ma trận dương tất thành phần ma trận A dương, tức aij > 0, ∀i = 1, , n, ∀j = 1, , m Khi ma trận dương A ký hiệu A ≻ Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ Bằng cách sử dụng ý tưởng báo [14] việc xây dựng hàm không âm, đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ Điều kiện đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính Ngồi ra, với cách tiếp cận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii, đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ dương có trễ thơng qua việc giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính 3.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ số:    x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − τ ), t ≥ 0,   x(t) = φ(t), (3.1) t ∈ [−τ, 0], x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, A, D ∈ Rn×n ma trận số cho trước, số dương τ độ trễ, φ(t) ∈ C([a, b], Rn ) điều kiện ban đầu 17 Trước hết, chúng tơi nhắc lại định nghĩa tính ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ số (3.1) Định nghĩa 3.1 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Hệ (3.1) gọi ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) với điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b], Rn ) thỏa mãn φ := max t∈[−τ,0] x(t) ∞ φ(t) ∞ ≤ c1 ta có < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính dương ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính có trễ (3.1) Định lý 3.1 Cho A ma trận Metzler, D ∈ Rn×n + , số dương T Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Giả sử tồn véc tơ λ = (λ1 , , λn ) ≻ số dương α cho điều kiện sau thỏa mãn −αIn + A + e−ατ D T (3.2a) λ ≺ 0, c1 Λ ≤ βc2 e−αTf , (3.2b) β= i∈{1,2, ,n} Λ=n λ ∞ λi , + n − e−ατ α λT D ∞ Khi hệ (3.1) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Chứng minh Vì A ma trận Metzler ma trận D nên theo Định lí 1.3, hệ (3.1) hệ dương Tiếp theo, ta chứng minh hệ (3.1) ổn định T hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Đặt (−αIn + A + e−ατ D) λ = −r Khi r ≻ Ta xét hàm khơng âm sau t eα(t−s−τ ) λT Dx(s)ds, T V (xt ) = λ x(t) + t−τ xt ∈ C([−τ, 0], Rn ) 18 (3.3) Lấy đạo hàm hàm V (xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.1), ta thu đánh giá sau V˙ (xt ) − αV (xt ) = −αλT x(t) + λT x(t) ˙ + eα(t−τ ) e−αtλT Dx(t) − e−α(t−τ ) λT Dx(t − τ ) t eα(t−s−τ ) λT Dx(s)ds −α t−τ ≤ −αλT x(t) + λT Ax(t) + λT Dx(t − τ ) + e−ατ λT Dx(t) − λT Dx(t − τ ) = λT −αIn + A + e−ατ D x(t) = −rT x(t) ≤ (3.4) Vậy, ta có V˙ (xt ) ≤ αV (xt ), ∀t ∈ [0, Tf ] (3.5) Lấy tích phân hai vế bất phương trình bên từ tới t, ta có V (xt ) ≤ V (x0 )eαt = V (φ)e αt = eα(−s−τ ) λT Dx(s)ds eαt T λ x(0) + −τ ≤ Λ φ eαt ≤ c1 ΛeαTf (3.6) Mặt khác, đánh giá đơn giản, ta thu V (xt ) ≥ λT x(t) ≥ β x(t) ∞ (3.7) Kết hợp điều kiện (3.6), (3.7) (3.2b), ta thu x(t) ∞ < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] Do hệ (3.1) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Định lí chứng minh Nhận xét 3.1 Khi cố định số α, điều kiện (3.2a) toán qui hoạch tuyến tính theo λ Điều kiện giải hộp cơng cụ lập trình tuyến tính tối ưu (linear programming optimal toolbox) tài liệu [12] 19 Nhận xét 3.2 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Từ Định lí 3.1 Nhận xét 3.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) hệ (3.1): Bước Kiểm tra xem A có ma trận Metzler D ∈ Rn×n + Bước Cho trước số dương α Ta giải toán qui hoạch tuyến tính (3.2a) để tìm véc tơ λ = (λ1 , , λn )T ≻ Bước Tính β Λ Bước Kiểm tra điều kiện (3.2b) Nếu điều kiện thỏa mãn sang Bước Nếu trái lại quay trở lại Bước Bước Kết luận hệ (3.1) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Tiếp theo, chúng tơi mở rộng kết Định lí 3.1 cho lớp hệ tuyến tính dương đa trễ số Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính đa trễ số  p    x(t) ˙ = Ax(t) + Di x(t − τi ), (3.8) i=1    x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], τ = max{τ1 , , τp }, x(t) ∈ Rn véc tơ trạng thái, số không âm τi ≥ 0(i = 1, , p) độ trễ, A, Di ∈ Rn×n (i = 1, , p), φ(t) ∈ P C([−τ, 0], Rn ) điều kiện ban đầu Định nghĩa 3.2 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Hệ (3.8) gọi ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) với điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b], Rn ) thỏa mãn φ := max t∈[−τ,0] x(t) ∞ φ(t) ∞ ≤ c1 ta có < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tính dương ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính đa trễ số (3.8) Định lý 3.2 Cho A ma trận Metzler, Di ∈ Rn×n + (i = 1, , p), T số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Giả sử tồn véc tơ λ = (λ1 , , λn ) ≻ 20 số dương α cho điều kiện sau thỏa mãn T p −αIn + A + e −ατi Di λ (3.9a) 0, i=1 c1 Λ ≤ βc2 e−αTf , (3.9b) β= i∈{1,2, ,n} λi , n Λ=n λ ∞+ α p − e−ατi λT Di ∞ i=1 Khi hệ (3.8) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Chứng minh Vì A ma trận Metzler, ma trận Di 0(i = 1, , p), nên hệ (3.8) hệ dương theo kết Định lí 1.3 Tiếp theo, ta chứng minh hệ (3.8) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Đặt T p −αIn + A + e −ατi λ = −r Khi r Di i=1 Xét hàm không âm sau: p t eα(t−s−τi ) λT Di x(s)ds T V (xt ) = λ x(t) + i=1 (3.10) t−τi Lấy đạo hàm hàm V (xt ) dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.8), ta thu đánh giá sau V˙ (xt ) − αV (xt ) p T eα(t−τi ) e−αt λT Di x(t) − e−α(t−τi) λT Di x(t − τi ) T = −αλ x(t) + λ x(t) ˙ + i=1 p t eα(t−s−τi) λT Di x(s)ds −α i=1 t−τi 21 p T p T e−ατi λT Di x(t) T ≤ −αλ x(t) + λ Ax(t) + λ Di x(t − τi ) + i=1 i=1 p λT Di x(t − τi ) − i=1 p =λ T e−ατi Di −αIn + A + x(t) = −rT x(t) ≤ (3.11) i=1 Từ suy V˙ (xt ) ≤ αV (xt ), ∀t ∈ [0, Tf ] (3.12) Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức từ tới t, ta có V (xt ) ≤ V (x0 )eαt p = V (φ)e αt = eα(−s−τi) λT Di x(s)ds eαt T λ x(0) + −τi i=1 ≤ Λ φ eαt ≤ r1 ΛeαTf (3.13) Mặt khác, ta có V (xt ) ≥ λT x(t) ≥ β x(t) ∞ (3.14) Kết hợp điều kiện (3.13), (3.14) (3.9b), ta thu x(t) ∞ < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] Do hệ (3.8) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Nhận xét 3.3 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Từ Định lí 3.2 Nhận xét 3.1, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) hệ (3.8): Bước Kiểm tra xem A có ma trận Metzler Di ∈ Rn×n + (i = 1, , p) Bước Cho trước số dương α Ta giải tốn qui hoạch tuyến tính (3.9a) T để tìm véc tơ λ = (λ1 , , λn ) ≻ 22 Bước Tính β Λ Bước Kiểm tra điều kiện (3.9b) Nếu điều kiện thỏa mãn sang Bước Nếu trái lại quay trở lại Bước Bước Kết luận hệ (3.8) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Với cách dùng chuẩn véc tơ trạng thái x(t) chuẩn vô Định lí 3.2 đưa điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương đa trễ (3.8) thơng qua việc giải tốn qui hoạch tuyến tính Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tốn ổn định hữu hạn thời gian cho hệ tuyến tính dương đa trễ (3.8) trường hợp chuẩn véc tơ trạng thái x(t) chuẩn Euclide (chuẩn 2) Định nghĩa 3.3 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Hệ (3.8) gọi ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) với điều kiện ban đầu φ(t) ∈ C([a, b], Rn ) thỏa mãn φ := max t∈[−τ,0] x(t) φ(t) ≤ c1 ta có < c2 , ∀t ∈ [0, Tf ] Định lý 3.3 Cho A ma trận Metzler, ma trận Di 0, (i = 1, , p), số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Giả sử tồn số dương α, ma trận đường chéo xác định dương P, p ma trận đối xứng xác định dương Q1 , , Qp cho kiện sau thỏa mãn:   Ω P D1 P D2 P Dp  11     ∗ −Q1   < 0, (3.15a) Ω=    ∗ ∗ −Q2    ∗ ∗ ∗ −Qp c21 λmin (P ) λmax (P ) + α p λmax (Qi ) − e−ατi ≤ c22 e−αTf , (3.15b) i=1 p e−ατi Qi T Ω11 = P A + A P − αP + i=1 Khi hệ (3.8) dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) 23 Chứng minh Vì A ma trận Metzler, ma trận Di 0(i = 1, , p), nên hệ (3.8) hệ dương theo kết Định lí 1.3 Tiếp theo, ta chứng minh hệ (3.8) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Xét hàm Lyapunov–Krasovskii: p t eα(t−s−τi ) xT (s)Qx(s)ds T V (xt ) = x (t)P x(t) + i=1 t−τi Lấy đạo hàm hàm V (xt ) theo t dọc theo quỹ đạo nghiệm hệ (3.8), ta thu V˙ (xt ) − αV (xt ) p T T ≤ x (t) P A + A P − αP + p e −ατi xT (t)P Dix(t − τi ) Qi x(t) + i=1 i=1 p xT (t − τi )Qi x(t − τi ) − i=1 = ξ T (t)Ωξ(t), (3.16) ξ(t) = xT (t) xT (t − τ1 ) xT (t − τp ) T Từ điều kiện (3.15a), ta có V˙ (xt ) − αV (xt ) ≤ 0, (3.17) ∀t ≥ Nhân hai vế bất đẳng thức (3.17) với e−αt, ý d dt e−αtV˙ (xt ) − αe−αtV (xt ), ta thu d −αt e V (xt ) ≤ 0, ∀t ∈ [0, Tf ] dt Lấy tích phân hai vế bất đẳng thức từ tới t, ta có (e−αt V (xt )) = (3.18) p V (xt ) ≤ V (x0 )e αt = ≤ ≤ eα(−s−τi) xT (s)Qi x(s)ds eαt T x (0)P x(0) + λmax (P ) + λmax (P ) + α α 24 i=1 p λmax (Qi ) − e−ατi φ eαt i=1 p λmax (Qi ) − e−ατi i=1 c21 eαTf (3.19) Bằng tính tốn đơn giản, ta thu ước lượng sau V (xt ) ≥ λmin (P ) x(t) 22, ∀t ∈ [0, Tf ] (3.20) Kết hợp điều kiện (3.19), (3.20) (3.15b), ta có x(t) ∀t ∈ [0, Tf ] < c2 , Do hệ (3.8) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Nhận xét 3.4 Khi cố định số α, điều kiện (3.15a) bất đẳng thức ma trận tuyến tính Việc giải số bất đẳng thức ma trận tuyến tính tham khảo sách chuyên khảo Boyd cộng tài liệu tham khảo [4] Nhận xét 3.5 Cho số dương Tf , c1 , c2 (c1 < c2 ) Từ Định lí 3.3 Nhận xét 3.4, ta có thủ tục sau để xét tính ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) hệ (3.8): Bước Kiểm tra xem A có ma trận Metzler Di ∈ Rn×n + (i = 1, , p) Bước Cho trước số dương α Ta giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (3.15a) để tìm ma trận P, Q1 , , Qp Bước Tính λmin (P ), λmax (P ), λmax (Qi )(i = 1, , p) Bước Kiểm tra điều kiện (3.15b) Nếu điều kiện thỏa mãn sang Bước Nếu trái lại quay trở lại Bước Bước Kết luận hệ (3.8) hệ dương ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (c1 , c2 , Tf ) Nhận xét 3.6 Kỹ thuật chứng minh Định lí 3.3 áp dụng cho hệ tuyến tính có trễ khơng dương thu điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ kiểu Tuy nhiên, kỹ thuật chứng minh 25 Định lí 3.2 đặc trưng cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ khó áp dụng kỹ thuật chứng minh để nghiên cứu hệ tuyến tính khơng dương Điều thể tính chất riêng lớp hệ động lực dương 3.2 Ví dụ số Trong mục này, chúng tơi đưa hai ví dụ số minh họa cho kết lí thuyết Định lí 3.1 Định lí 3.3 Ví dụ 3.1 Xét hệ tuyến tính có trễ    x(t) ˙ = Ax(t) + Dx(t − 0.5),   x(t) = φ(t), (3.21) t ∈ [−1, 0], x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 ma trận     −0.6 0.2 0.3 0.3 , D =   A= 0.3 −0.5 0.4 0.1 Ta thấy A ma trận Metzler, D ∈ R2×2 + Do theo Định lí 1.3, hệ (3.21) hệ dương Tiếp theo, ta xét tính ổn định hữu hạn thời gian hệ (3.21) Cho Tf = 3, c1 = 0.1, c2 = 0.6 Ta thấy điều kiện (3.2a) (3.2b) Định lí 3.1 thỏa mãn với α = 0.2 λ = [173.1255 136.1829]T ≻ Vậy hệ (3.21) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (0.1, 0.6, 3) Ví dụ 3.2 Xét hệ tuyến tính có ba trễ    x(t) ˙ = Ax(t) + D1 x(t − 0.5) + D2 x(t − 1) + D3 x(t − 1.5),   x(t) = φ(t), t ∈ [−1.5, 0], 26 (3.22) 0.7 x (t) x (t) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10 Time(sec) Hình 3.1: Quỹ đạo véc tơ trạng thái x(t) = (x1 (t), x2 (t))T ∈ R2 hệ (3.21) x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t))T ∈ R3 ma trận    −8 0.1 0.5       A =  −9  , D1 = 0.1 0.4    −5 0.5 0.6    0.9 0.8 0.1 0.5 0.1       D2 = 0.1 0.3 0.5 , D3 = 0.7 0.8    0.7 0.5 0.6 0.2 0.4 0.8    0.3 ,  0.7  0.4   0.6 ,  0.7 Ta thấy A ma trận Metzler, Di ∈ R3×3 + (i = 1, 2, 3) Do theo Định lí 1.3, hệ (3.22) hệ dương Tiếp theo, ta xét tính ổn định hữu hạn thời gian hệ (3.22) Cho Tf = 5, c1 = 0.1, c2 = 0.5 Ta thấy điều kiện 27 Định lí 3.3 thỏa mãn với α = 0.005     1.8582 0 6.7865 −1.0764 −2.2577         P = 3.0068  , Q1 = −1.0764 11.5867 −2.0696 ,     0 2.4827 −2.2577 −2.0696 5.5253     7.9612 −0.4926 −1.9151 7.1505 −1.0324 −1.9647         Q2 = −0.4926 11.5299 −2.4284 , Q3 = −1.0324 11.2391 −2.2790 ,     −1.9151 −2.4284 4.6691 −1.9647 −2.2790 5.3119 Vậy hệ (3.22) ổn định hữu hạn thời gian tương ứng với (0.1, 0.5, 5) 28 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Bằng cách tiếp cận sử dụng quy hoạch tuyến tính bất đẳng thức ma trận tuyến tính, luận văn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Cụ thể, luận văn trình bày kết sau: Đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương; Đưa số điều kiện đủ cho tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương đơn trễ đa trễ số; Đưa 04 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Trường Thanh (2015), Điều khiển H∞ hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên, Luận án tiến sĩ Toán học, Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQG HN Tiếng Anh [2] Amato F., Ambrosino R., Ariola M., Cosentino C and De Tommasi G (2014), Finite-time Stability and Control, Springer [3] Anderson D.H (1983), Compartmental Modeling and Tracer Kinetics, Springer, New York [4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E and Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia [5] Chen G and Yang Y (2014), "Finite-time stability of switched positive linear systems", International Journal of Robust and Nonlinear Control 24(1), 179–190 [6] Farina L and Rinaldi S (2000) Positive Linear Systems: Theory and Applications, Wiley, New York [7] Kaczorek T (2002), Positive 1D and 2D systems, Springer 30 [8] Kaczorek T (2009), "Stability of positive continuous-time linear systems with delays", Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 57(4), 395–398 [9] Liu X., Yu W and Wang L (2010), "Stability analysis for continuoustime positive systems with time-varying delays", IEEE Transactions on Automatic Control 55(4), 1024–1028 [10] Ngoc P.H.A (2013), "Stability of positive differential systems with delay", IEEE Transactions on Automatic Control 58(1), 203–209 [11] Son N.K and Hinrichsen D (1996), "Robust Stability of positive continuous time systems", Numerical Functional Analysis and Optimization 17(5–6), 649–659 [12] Vanderbei R.J (2014), Linear Programming: Foundations and Extensions, Springer [13] Zhang J., Zhao X and Chen Y (2016), "Finite-time stability and stabilization of fractional order positive switched systems", Circuits, Systems, and Signal Processing 35(7), 2450–2470 [14] Zhu S., Li Z and Zhang C (2012), "Exponential stability analysis for positive systems with delays", IET Control Theory and Applications 6(6), 761–767 31 ... cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ động lực dương Chẳng hạn, [5], tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn cho lớp hệ tuyến tính chuyển mạch dương Gần đây, tốn ổn định hữu hạn ổn định hóa hữu hạn. .. kiến thức định LMI thuật toán để giải LMI 10 Chương Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương 2.1 Tiêu chuẩn ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương Xét hệ phương... tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ tuyến tính dương với cách tiếp cận sử dụng tốn quy hoạch tuyến tính bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương "Tính ổn định hữu hạn thời gian cho lớp hệ