Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một công cụ đắc lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp những bài toán chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng toán khá quen thuộc, nhưng để tìm ra lời giải không phải là một việc dễ dàng.
LỜI NĨI ĐẦU B ất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng, nó vừa là đối tượng để nghiên cứu mà cũng vừa là một cơng cụ đắc lực, với những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của tốn học. Trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở các cấp những bài tốn chứng minh bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng tốn khá quen thuộc, nhưng để tìm ra lời giải khơng phải là một việc dễ dàng Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá phong phú, đa dạng và đã được khá nhiều tài liệu đề cập đến. Một trong những phương pháp chứng minh bất đẳng thức hoặc sáng tạo ra bất đẳng thức là việc sử dụng các tính chất đại số và hình học của tích phân Trên tinh thần đó tiểu luận gồm các phần: mục lục, mở đầu, 7 vấn đề, phụ lục, kết luận và tài liệu tham khảo Vấn đề 1: Bất đẳng thức của hàm số giới nội và lồi Vấn đề 2: Bất đẳng thức của hàm số liên tục Vấn đề 3: Bất đẳng thức của hàm số liên tục và đơn điệu Vấn đề 4: Bất đẳng thức của hàm số khả vi Vấn đề 5: Bất đẳng thức của hàm số khả tích Vấn đề 6: Sử dụng cơng thức tính độ dài cung phẳng để chứng minh bất đẳng thức Vấn đề 7: Sử dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng để chứng minh bất đẳng thức Nội dung trong 5 vấn đề đầu đề cập đến việc sử dụng các tính chất đại số đơn giản của tích phân để chứng minh một số bài tốn liên quan, trên cơ sở đó đưa ra những ví dụ áp dụng để sáng tạo ra bất đẳng thức, 2 vấn đề cịn lại đề cập đến việc thơng qua những ước lượng trực quan từ hình học để chứng minh bất đẳng thức kèm theo những ví dụ minh hoạ cụ thể Để hồn thành tiểu luận này, chúng tơi đã cố gắng tập trung nghiên cứu, xong do ít nhiều hạn chế về thời gian cũng như về năng lực nên tiểu luận chắc chắn cịn nhiều vấn đề chưa đề cập đến hoặc có đề cập nhưng chưa đi sâu vào khai thác ý tưởng vấn đề. Vì vậy tiểu luận khó tránh khỏi những thiếu xót nhất định. Chúng tơi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đọc về tiểu luận này Quy Nhơn, ngày 11 tháng 11 năm 2009 Vấn đề 1 Bất Đẳng Thức Của Hàm Số Giới Nội Và Lồi Bài toán. Giả sử rằng trên [a,b] hàm f(x) giới nội và lồi. Chứng minh rằng f (a ) + f (b) b �a + b � f ( x)dx ( b − a ) f � � a �2 � Chứng minh Vì f(x) lồi trên [a,b] nên với bất kỳ x 1,x2 [a,b] ta có bất đẳng thức so sánh f( 1x1 + 2x2) 1f(x1) + 2f(x2) nếu 1 0 , 2 0 , 1 + 2 = 1 (theo định nghĩa) Vì hàm lồi trên một đoạn nên nó liên tục. Như vậy, f(x) khả tích trên [a,b]. Sử dụng tính chất lồi của f(x) ta có a +ξ b −ξ �a + b � f� + ) > [ f (a + ξ ) + f (b − ξ ) ] , a ξ b − a �= f ( 2 �2 � Tích phân theo ξ trịg khoảng [0,ba] ta nhận được b −a b −a �b a+b 1� ) f ( a + ξ ) d ξ + f ( b − ξ ) d ξ ( b − a) f ( � �� �= �f ( x)dx (1) 2 �0 �a ( b − a) trong tích phân đầu ta thay a + ξ = t , cịn tích phân thứ hai thay b ξ = z. Chia [a,b] b−a� � thành n phần bằng nhau �∆xi = � và lập tổng tích phân với ξ k = xk n � � b − a n−1 � k ( b − a ) � b − a n−1 �� � k� k Sn = a+ 1− � a + b� � f� � f� �= � n k =0 � n n n n � � � k = � � � k � k� k �� k� 1− � a + b �> � 1 �f (a ) + f (b) Do f(x) lồi , ta có f � � n � n� n �� n� � b − a n−1 �� k b−a � n +1 n −1 � k� � 1 �f (a ) + f (b) �= f (a ) + f (b) � (2) Bởi vậy Sn > � � � n k =0 � n � n� � � n �2 Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2) khi n (do f(x) khả tích ) ta nhận được b b−a f ( x)dx ( f (a) + f (b) ) a f (a ) + f (b) b �a + b � Kết hợp (1) và (2) ta có ( b − a ) f ( x)dx ( b − a ) f � � a �2 � Ví dụ 1.1. Cho 0 0, p > 2. Ta có y '' = − p( p − 1) x p−2 < Vậy hàm số y = f(x) bị chặn và lồi trên [a,b]. Khi đó f (a ) + f (b) b f ( x)dx ( b − a) a p p p b p −a − b � ( b − a) �− x dx a p +1 p +1 a −b p p � ( a − b) a + b � p +1 p +1 p +1 p −1 b−1 � ( p − 1) a −b �ab ( p + 1) a −b ( ) ( ) ) ( ( ( ) 2 Ví dụ 1.2 Với 0 S2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = f(x) = x + ,với , R 3) Nếu đồ thị y = f(x) lồi thì S3 1 thoả Chứng minh + ab, ∀a, b > p q p q Lời giải 1 Xét hàm số y = xp1, x > 0. Vì + = nên x = yq1. Do đó ta có hàm ngược yq = xq1. Ta p q p q a p−1 b q −1 a b dx + �x dx �� ab + �ab có �x p q Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b = f(a) = ap1 Nhận xét. Bài toán ở vấn đề 1 là một trường hợp riêng của bài toán 7.1 Cho hàm số y = f(x) > 0, với x [a,b] . Với mọi phép phân hoạch [a,b] bởi các điểm chia a = a0 a1 < < an = b , ta có a b � x + 1dx + � x − 1dx b +1 − f (an+1), f (ai ) f ( x)dx a i = (*) n a − a max f (an+1), f (ai ) = S i =0 n+1 i S= n ( ( ) ) ( ) ( ) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a =b hoặc a0 = a an+1 = b f(x) = const Phương pháp để ra những dạng toán như trên là Xác định được hàm số y = f(x) > 0 với x [a,b] Chọn phép phân hoạch biểu diễn bất đẳng thức qua b S , S , f ( x)dx và dựa vào (*) để kết luận bất đẳng thức. đối với bài tốn max, a min ta cần lưu ý khả năng dấu “=” xảy ra Ta có thể mở rộng lên cho tích phân 2 lớp như sau Cho f(x,y) > 0 khả tích trên D. Cho mọi phép phân hoạch trên D thành các miền nhỏ có diện tích B0 , B1, B2 , , Bn n B f x , y , f xi , yi Gọi S = i +1 i +1 i =0 i n B max f x , y , f xi , yi S = i+1 i+1 i =0 i ( ( ( ( ) ( ) ( )) )) Khi đó ta có: S � �f ( x, y )dxdy S D Qua các ứng dụng hình học của tích phân ta có chung một phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đó là Cho y = f(x) liên tục và khơng âm trên [a,b] và gọi A(a,f(a)), B(b,f(b)). Chia [a,b] thành n phần bởi các điểm chia : a = x0 x1 xn = b Trên cung AB lấy các điểm A , A , , A có hồnh độ x , x , , x n−1 n−1 a) Dựa vào độ dài cung AB và độ dài đường gấp khúc AA1A2 An−1B ta tạo được một số bất đẳng thức b) Dựa vào diện tích hình thang cong giới hạn x = a, x = b, y = f(x), y = 0 và diện tích các hình thang nhỏ ( hay diện tích các hình chữ nhật nhỏ) ta tạo được một số bất đẳng thức BÀI TẬP 1) Chứng minh n R* ta có ( n + 1) n < n !e n < ( n + 1) n + 2) Tìm giá trị lớn nhất của �π� P = barcsinbcos2a+ 1b , a �� 0, � ,b � � 4� ( 0,1) , ab = π n 1 + =1 p q a p bq + > ab Chứng minh a, b > 0 ta có p q 4) Chứng minh x, y : 0 0 , q > 0 thoả ( 5) Chứng minh x ta có + x ln x + + x ) y−x + x2 6) Chứng minh với x > y ta có ( x − y ) ( − x − y ) < ln 1+ x 1+ y 7) Với a, b 1 chứng minh ab e a −1 + b ln b 8) Chứng minh n − + n − 22 + + n − ( n − 1) π n 4 �π� , ∀x � 0, � π � 2� ab a a −b < ln < 10) Cho 0 0, x �( 0, a ) , α < α � 1� f ( x) = �x + � , x > 0, α > � x� x2 f ( x) = , a > 0, x x+a f ( x) = ,x >0 x x , a > 0, x (0, a ) a−x f ( x) = eax , a > f ( x) = , x 0, a 1 + eax � �ax f ( x) = � e + ax � e � � � 1� f ( x) = ln � 1+ � ,x >0 � x� f ( x) = ln(1 + eax ), a > f ( x) = � �ax f ( x) = ln � e + ax � e � � f ( x) = sin k x, x �( 0, π ) , k < f ( x) = ln(1 + ), x (0, π ) sin x π f ( x) = cos k x, x �(0, ), k < π f ( x) = tan k x, x γ (0, ), k 2) Một số hàm lõm f ( x) = xα , x > 0, < α < α f ( x) = ( a − x ) , a > 0, x �(0, a ), < α < 1 f ( x) = ln x n , x > 1, n = 1, 2, f ( x) = ln(eax − 1), x > 0, a > f ( x) = ln x, x > π f ( x) = cos k x, x �� [0, ], k [0,1] f ( x) = sin k x, x �� [0, π ], k [0,1] f ( x) = ln(sin x), x [0, π ] sin x f ( x) = , x [0, π ] + sin x f ( x) = ln(1 − cos x), x (0, π ) x f ( x) = arcsin ,x 1+ x x f ( x) = arcsin , a > 0, x > a+x f ( x) = arctan x, x > KẾT LUẬN Tiểu luận đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề chính sau đây Đã cụ thể hố các tính chất đại số của lý thuyết tích phân xác định bằng những bài tốn và ví dụ cụ thể. Tiểu luận cịn đưa ra bảng một số hàm lồi,hàm lõm trong phần phụ lục để phục vụ cho việc sáng tạo ra bất đẳng thức Sử dụng tính chất hình học của tích phân để chứng minh bất đẳng thức. Đây là một vấn đề khơng mới nhưng cịn ít tài liệu tốn THPT viết về vấn đề này Trình bày hệ thống các ví dụ áp dụng bao gồm 50 bài, trong đó 28 bài tham khảo trong các tài liệu, cịn lại 22 bài được sáng tác dựa trên những kết quả từ các bài tốn Trong q trình thực hiện đề tài chúng tơi cịn thấy một số vấn đề chưa được đề cập hoặc có nhưng chưa đi sâu nghiên cứu như: dấu hiệu để nhận biết các yếu tố đại số cũng như hình học của tích phân trong các bài tốn bất đẳng thức cụ thể, việc mở rộng các tính chất đại số của tích phân xác định cho tích phân 2 lớp, 3 lớp,…;mở rộng tính chất hình học của tích phân từ khơng gian 2 chiều lên 3 chiều, sử dụng tích phân để chứng minh các bất đẳng thức chứa các số tổ hợp, nghiên cứu việc dùng tích phân để chứng minh các bất đẳng thức cơ bản như bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức Cosi,…Vì thời gian khơng cho phép nên chúng tơi chưa thể thực hiên được những điều mong muốn nhưng chắc chắn trong thời gian đến chúng tơi sẽ tập trung tìm hiểu và để tâm nhiều hơn về những vấn đề cịn đặt ra TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Q Dy ( chủ biên ), Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thoả; Tuyển tập 200 bài thi vơ địch tốn, NXBGD [2] Võ Giang Giai, Chun đề bất đẳng thức, NXBĐHQG Hà Nội [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài tốn bất đẳng thức , giá trị lớn nhất _ giá trị nhỏ nhất, NXBTPHCM [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ biên ), Bất đẳng thức và một số vấn đề liên quan, NXB ĐHKHTN Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXBGD [6] Hội tốn học VN, Tạp chí tốn học tuổi trẻ [7] Lê Hồng Đức (2009), Phương pháp giải tốn tích phân, NXBĐHSP [8] Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải tốn chun đề tích phân, NXBĐHQG Hà Nội [9] Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia mơn tốn, NXBĐHQG Hà Nội [10] http://anhngq.wordpress.com/baocaokhoah%e1%bb%8dc/ http://www.dayhocintel.net/diendan/showthread.php?p=49662 http://www.khkt.net/chude/13251/motsoloptichphandacbiet/ http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=35223 http://diendantoanhoc.org/old/modules.php?name=News&file=article&sid=275 http://www.ebook.edu.vn/?page=1.1&view=2029 http://mathsvn.violet.vn/present/show/entry_id/2205346 ... Chú ý. Nếu f, g đều là? ?hàm? ?giảm thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu a) vẫn đúng. Tức là f, g đơn điệu cùng chiều thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu a) đúng Nếu f là? ?hàm? ?giảm, g là? ?hàm? ?tăng thì? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?câu b) vẫn đúng. Tức là f, g... [2] Võ Giang Giai, Chuyên đề? ?bất? ?đẳng? ?thức, NXBĐHQG Hà Nội [3] Trần Văn Kỷ, Chọn lọc 394 bài toán? ?bất? ?đẳng? ?thức? ?, giá trị lớn nhất _ giá trị nhỏ nhất, NXBTPHCM [4] Nguyễn Văn Mậu ( chủ biên ),? ?Bất? ?đẳng? ?thức? ?và một? ?số. .. lấy tích phân một lớp hai lần, coi x là tham? ?số, ta lấy tích phân theo biến y, sau đó ta mới lấy tích phân theo biến x như thế việc chứng minh sẽ dễ dàng Vấn đề 4. Bất? ?Đẳng? ?Thức? ?Của? ?Hàm? ?Số? ?Khả Vi Bài tốn 4.1. Cho? ?hàm? ?số? ?y = f(x) có đạo? ?hàm? ?liên tục trên [a,b] và
