SKKN giúp học sinh khá giỏi lớp 9 giải bài toán cực trị và bài toán về số nghiệm của phương trình quy về bậc hai bằng cách sử dụng định lí vi ét

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Người thực hiện: Hồng Minh Hạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị cơng tác: Trường THCS Đông Hải SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Tốn THANH HỐ NĂM 2017 MỤC LỤC Mở đầu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phần I: Sử dụng định lý Vi-et cho tốn biểu thức nghiệm phương trình bậc hai Phần II: Sử dụng định lý Vi-et để giải tốn số nghiệm phương trình quy bậc hai Kết luận kiến nghị Tr ang 2 19 MỞ ĐẦU 1.1.Lý chọn đề tài Trong môn học bậc tiểu học, trung học sở hay trung học phổ thơng, mơn tốn mơn học khó hấp dẫn lý thú Việc học tốn có ý nghĩa lớn học sinh Nó giúp em bước phát triển lực tư khoa học; hình thành kĩ ứng dụng toán học vào thực tiễn vào việc học tập môn học khác Ở trường THCS, dạy học tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lý việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS coi giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình tốn THCS Định lý Vi-ét ” phần kiến thức vô quan trọng Định lý Vi-ét ứng dụng có vai trị "chìa khố" mở hướng giải cho nhiều toán khác nhau, từ toán đến toán nâng cao như: toán nghiệm phương trình quy bậc hai, tốn chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN biểu thức Điều cho thấy, phạm vi ứng dụng định lý Vi-ét giải toán đa dạng phong phú Và để giải dạng tốn địi hỏi học sinh phải có tư sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức có logic hệ thống La mơṭgiao viên giang day Toan bâcc̣ THCS, ban thân lai đươc nha trương trưc tiêp giao trach nhiêṃ bồi dưỡng đôịtuyên hoc sinh gioi Toan tham dư ki thi cac câp thành phố va cấp Tỉnh, cung rât trăn trơ để em làm tốt dạng toán đờồ̀ng thời giúp em có tư sáng tạo trình khai thác ứng dụng định lý Vi-ét Và cao giúp em tìm tịi, phát hiện, tạo hứng thú trình học mơn Tốn Xuất phát từ thực tế lý lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-et giải tốn tìm cực trị toán số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh nắm vững kiến thức định lí Vi-et, biết phân tích điều kiện đề cho, xác định rõ yêu cầu, có phân loại định hướng rõ ràng tốn có liên quan, từ có hướng giải đúng, tự tin giải tập nhanh hơn, có hiệu cao.Trên sở giúp học sinh phát triển khiếu thân thơng qua việc tìm hiểu ứng định lý Vi-ét mức độ cao - Mở cho em góc nhìn mẻ định lý Vi-ét, đáp ứng nguyện vọng việc nâng cao kiến thức, khám phá kiến thức mới, kích thích tìm tịi sáng tạo , từ tạo niềm say mê u thích tốn học nhiều - Góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn, đặc biệt nâng cao chất lượng học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp 9A, 9C trường Trung học sở Đơng Hải Thành phố Thanh Hóa - Tỉỉ̉nh Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp vấn đề lý luận việc dạy toán ứng dụng định lý Vi-ét - Phương pháp pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết áp dụng đề tài - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Rút học cho thân đồồ̀ng nghiệp để giảng dạy tốt NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Định lý Vi-ét ứng dụng phong phú đa dạng Có nhiều cách vận dụng định lý tùy thuộc vào đặc thù toán Điều tương đối khó học sinh THCS Để vận dụng tốt nội dung khơng chỉỉ̉ địi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức có kỹ giải tốn định mà cịn hỏi em phải trải qua thao tác tư như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố, đặc biệt hố, khái qt hóa Thơng qua em biết tìm phương pháp giải vấn đề; có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh; Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết Điều giúp phát huy tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh góp phần xây dựng rèn luyên em trở thành người động sáng tạo thích ứng với thay đổi cuả hoàn cảnh phát triển xã hội 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nhiệm: Tại trường THCS Đông Hải, lớp 9A 9C tơi giảng dạy tốn ứng dụng định lý Vi-ét như: tính tổng tích nghiệm phương trình bậc hai, nhẩm nghiệm, tìm hai số biết tổng tích, xét dấu nghiệm phương trình bậc hai em biết cách làm Cịn tốn mức độ vận dụng vận dụng cao liên quan đến số toán chứa tham số số nghiệm phương trình quy bậc hai, chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị em khơng thể biết cách vận dụng định lý Vi-et để làm Trong trình giảng dạy học sinh lớp 9, thân tơi nhận thấy dạng tốn khó mà tài liệu tham khảo chỉỉ̉ đưa tập giải mà không nêu phương pháp rõ ràng cho dạng tốn Do học sinh khơng biết phương pháp suy luận để vận dụng kiến thức học Trước vấn đề thấy cần thiết phải có cách tiếp cận ứng dụng định lý Viet giải số toán nâng cao để giúp học sinh có thêm kiến thức, nâng cao kỹ giải toán vận dụng định lý Vi-et, bồồ̀i dưỡỡ̃ng tư sáng tạo em 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Để phát huy hiệu phát triển tư sáng tạo học sinh địi hỏi người giáo viên cần có nhiều cố gắng tìm tịi nghiên cứu đầu tư Vì q trình giảng dạy tơi áp dụng giải pháp sau đây: +) Bước đầu tạo hứng thú cho em toán vận dụng Từ kiến thức khai thác, xây dựng hệ thống dạng toán vận dụng với nhận dạng rõ ràng giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải ( khái quát hoá kiến thức ) sử dụng kiến thức học Muốn vậy, cho học sinh lật lật lại vấn đề, tìm khía cạnh sâu sắc nội dung để học sinh hiểu nắm kiến thức Và để đạt điều này, chuẩn bị nhiều câu hỏi chủ đạo có tính định hướng, giao cơng việc cụ thể để HS phát tìm tịi lời giải vận dụng kiến thức lời giải +) Sau phân loại hướng dẫn ví dụ, cuối phần, giao tập để em luyện tập củng cố kiến thức Và cuối kiểm tra kiến thức đánh giá kỹ vận dụng Sau tơi xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-ét để giải tốn tìm cực trị tốn số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Kiến thức vận dụng: 1/ Định lý Vi-ét đảo: (Tìm số biết tổng tích ) Nếu số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v nghiệm phương trình bậc hai : x Sx P 2/ Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm Phương trình bậc hai: ax + bx + c = ( a ) có nghiệm b2 4ac Trong phần vận dụng định lý Vi- ét đảo để chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN mà biểu thức có tính đối xứng, (có thể đưa dạng chứa tổng chứa tích hai biến) có điều kiện ràng buộc đẳng thức có tính chất đối xứng Tơi đưa phương pháp giải toán sau: Đặt vế chứa biến bất đẳng thức biểu thức cần tìm cực trị A - Biểu diễn tổng hai biến tích hai biến theo A - Sử dụng định lý Vi-ét đảo: hai biến nghiệm phương trình bậc hai với tham số A - Để tồn hai biến phương trình bậc hai (tham số A) phải có nghiệm Từ tìm miền giá trị A Cách làm tạo nhiều hứng thú với em giải số tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị mà lâu em e ngại cơng cụ đơn giản, quen thuộc, định lý Vi-ét đảo Ví dụ 1: Cho a, b thỏa mãn: a + b =1 Chứng minh: a3 b3 ab 12 Hướng dẫn: Đặt A = a b ab Vì a + b =1 nên A a b3 ab a b 3ab A a b ab 2ab ab a b Ta có A nên a, b nghiệm pt: X ab X Để tồồ̀n a, b pt (1) phải có nghiệm A 4A 04A2A 2 Dấu "=" xảy khi0 pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 A (1) = nên a b 2 Nhận xét: Đặt A = a b ab biết a + b =1 việc tìm tích ab theo A đơn giản Từ xác định phương trình bậc hai nhận a, b làm nghiệm tìm điều kiện để phương trình có nghiệm cơng việc tương đối dễ dàng với học sinh Để giải tốn theo phương pháp khác địi hỏi học sinh phải nắm tính chất bất đẳng thức số bất đẳng thức phụ phải biết cách áp dụng Điều học sinh khơng phải dễ Ví dụ 2: Cho số thực x , y , z khác thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz ; x2 = yz Chứng minh : x2 Hướng dẫn: Gợi ý HS tìm y + z yz theo biến x sử dụng định lý Vi-et đảo để tìm điều kiện tờồ̀n y z y z xyz xy z x x yz x2yz x2 y; z nghiệm phương trình: t2 x3 x2 xt (1) Để tồồ̀n y, z pt (1) phải có nghiệm x3 x 4x2 x2 x2 x2 Vì x2 0; x2 nên x x2 (đpcm) Nhận xét: Cách làm đơn giản, dễ hiểu, học sinh sử dụng đến kiến thức bất đẳng thức Ví dụ 3: Cho a, b dương có a + b =1 Tìm GTNN M 1 a b Hướng a b dẫn: Ta có: M 1 ( a + b =1) a b ab a b ab M ab abM 2M Nếu M = = vơ lý nên M ≠ ab a b Ta có: 2M M 32M nên a,b nghiệm pt: X 2M X ab M Để tờồ̀n a, b pt (1) phải có nghiệm 2M 9M 12 9M 12 MM M (1) M mà a, b dương nên M >0 Do Vậy M NN pt (1) có nghiệm kép X1 = X2 = nên a b 12 Nhận xét: - Việc giải toán cách sử dụng hệ bất đẳng thức Cosi khơng khó Nhưng em, việc vận dụng bất đẳng thức phụ vào giải tốn lại khó Cách làm giúp em tháo gỡ khó khăn đồng thời mở cho em hướng suy nghĩ cho toán cực trị hai biến đưa dạng chứa tổng tích - Ba ví dụ: 1, 2, cách làm tốn khơng phức tạp Tuy nhiên nhiều tốn phức tạp hơn, ngồi việc sử dụng điều kiện tồn hai biến phải kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN biểu thức bậc hai biến Ví dụ 4: Cho x y a; x2 y2 xy Tìm GTLN, GTNN P x y2 xy 2 Hướng dẫn: x y xy xy x y Ta có: x2 y2 xy Vì x y a x y a x y a nên xy a 3xy a (1) 4a x; y nghiệm phương trình: t2 a t a2 4a (2) Để tờồ̀n x, y pt (2) phải có nghiệm 02 a a2 4a 03a2 12a a a 0 a (3) Theo ta có: P P 2a2 x y2 xy x y2 8a a2 4a a 2 3xy a2 a2 4a 9 Vậy: PLN = a = thỏa mãn ĐK (3) Khi thay a vào (1) ta x y x 3; y3 3; y xy x Mặt khác: P 2a2 8a a a Vậy: PNN Vì theo (3) a 0; a nên P =1 a = a = Khi thay a vào (1) ta x y x y x y x y xy xy Nhận xét: Đối với tốn này, thơng thường em làm sau Tìm x + y xy theo a sau thay vào P tìm GTLN, GTNN P mà khơng có điều kiện a Như có GTNN mà khơng có GTLN Đó sai lầm chủ yếu HS không sử dụng Vi-et đảo tìm ĐK để x, y tồn suy điều kiện a Do GV cần khắc sâu để HS không mắc phải sai lầm Những tốn cực trị phức tạp có bậc hai bậc ba vận dụng định lý Viet để giải Ví dụ 5: Cho x; y dương thỏa mãn: 1 Tìm GTNN A xy x y Hướng dẫn: Ta có: x y x y 2xy Đặt x + y =S; xy = P ta được: S = 2P Mặt khác: Để tờồ̀n x; y S2 4P 2P2 4P P2 P PP 0(1) Vì x; y dương nên P > Do từ (1) ta có P ≥ Từ gt A xy nên A xy x y xy P P Vì P ≥ nên P Do A A (vì A > 0) xy x y Vậy ANN = P = y x Ví dụ 6: Cho số x; y thỏa mãn: x x Tìm GTLN, GTNN biểu thức: F Hướng dẫn: Ta có: x x y y xy x 23 y 23 x3 y3 xy x3 y 23 x3 y33 xy x Đặt y 3 y x 3 y xy xy y S 3 xy P từ biểu thức ta có S2 S S S3P P Để tờồ̀n x; y S P S S2 S S2 4S0 SS4 (*) 0 S Theo ra: F x y xy S P S S2 S S 2S 3 3F S 2S Vì S nên F 2.4 F Vậy: FNN = S = P = ( theo (*)) x y FLN = S = P = 4( theo (*)) Do x ; y nghiệm pt t 4t t1 t 2 x BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho x; y dương x + y = Tìm GTNN biểu thức: x y 1 a/P b / Q1 2 y x x y Bài 2: Cho số a,b,c thoả mãn điều kiện y x y a+b+c=-2; Bài 3: Cho a + b = a2 + b2 + c2 = Chứng Chứng minh: a a Bài 4: Tìm GTLN, GTNN A = x + y + z biết y 12 b a; b; c 25 b 2 yz z 32x2 Bài 5: Cho x + y = m; x2 + y2 = - m2 Tìm GTLN, GTNN F = xy - 6(x + y) Bài 6: Cho x; y thỏa mãn: x + y = x2 + y2 Tìm GTLN P = xy PHẦN II: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Kiến thức vận dụng Xét dấu nghiệm phương trìnhbậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a 0) b;P S a c a - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm trái dấu P < ac 0 - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm dấu : P 0 - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm dương là: P S P - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm âm là: S 0 - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm kép dương là: S 0 - Điều kiện để phương trình (*) có nghiệm kép âm là: S Trong phần tơi trình bày phương pháp giải cách tổng quát số dạng tốn liên quan đến số nghiêm phương trình quy bậc cách lựa chọn cách đặt ẩn phụ khơn ngoan để đưa tốn việc xét dấu nghiệm phương rình bậc hai theo ẩn phụ, sử dụng định lý Vi -ét cách thông qua ví dụ để đến tốn tổng qt Đầu tiên, tơi đưa ví dụ tốn phương trình trùng phương chứa tham số sau: Ví dụ 1: Cho phương trình: x4 2mx2 m2 3m (1) a) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiêm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Với ví dụ trên, học sinh biết đặt x2 ẩn phụ t ( t 0) em giải quen phương trình bậc bốn trùng phương Tuy nhiên, sau đưa phương trình bậc hai ẩn t em lại khơng biết xử lý theo u cầu tốn cho phương trình bậc hai Một vài em biết phương trình (1) vơ nghiệm phương trình bậc hai ẩn t vơ nghiệm Cịn trường hợp khác, em không suy luận Vướng mắc em chưa tìm mối liên hệ số nghiệm x với số nghiệm t Do đặt ẩn phụ x t t tơi nêu rõ: với t = x2 nên nghiệm x = 0; với t > x t nên nghiệm x = t , với t x2 = t nên nghiệm x = t a) Để phương trình (1) vơ nghiệm pt (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vơ nghiệm ' 3m m TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm t1 t2 ' P 0S 3m m 3m (vô nghiệm) 2m Kết luận : Vậy với m phương trình (1) vơ nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t1 t P m 3m m ' TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 t2 P 0S 3m 2 m 3m 2m 2 m m m m m m 2 Kết luận : Vậy với m m phương trình (1) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm t = nghiệm âm pt (2) có nghiệm kép TH1: Phương trình (2) có nghiệm t = nghiệm âm P m 3m (vô nghiệm) t1 t S 2m TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép 0 3m S 2m (vô nghiệm) Kết luận : Vậy khơng có giá trị m để phương trình (1) có nghiệm d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương ' 3m m 2m S TH2 : Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 t ac m 3m m Kết luận : Vậy với m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm nghiệm dương P m 3m m t1 t 2m S m Kết luận : Vậy với m = m = phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm dương m ' 3m 2m t t2 S 2m m m P 3m m m m m Kết luận : Vậy với phương trình (1) có nghiệm phân biệt m Nhận xét: Từ ví dụ 1, học sinh có nhìn rõ ràng cho tốn nghiệm phương trình bậc trùng phương trường hợp dẫn dắt giáo viên, em tự suy luận kiến thức xét dấu theo định lý Vi-ét học, nên yêu cầu em đưa toán tổng quát: Bài toán tổng quát Cho phương trình bậc bốn trùng phương: ax4 bx c a 0, x R a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vơ nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Đặt x t t , thay vào pt (1) ta phương trình bậc hai ẩn t: at bt c Với t = nghiệm x = 0; với t > nghiệm x = a) Để phương trình (1) vơ nghiệm pt (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vơ nghiệm0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm t1 t P S b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t TH1: Phương trình (2) có nghiệm t1 t P TH2: Phương trình (2) có nghiệm t1 t P 0S c) Để phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm t = nghiệm âm pt (2) có nghiệm kép TH1: Phương trình (2) có nghiệm t = nghiệm âm P t1 t S 0 TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép S d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương S TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 t ac e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiệm nghiệm dương t t1 t2 P S f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt 0 pt (2) có nghiệm dương t1 t S Nhận xét: Với cách rõ mối quan hệ nghiệm x nghiệm t tạo hứng thú cho em cách suy luận đồng thời bước đầu tạo thói quen viết rõ ràng mối quan hệ số nghiệm x với số nghiệm t đặt ẩn phụ Để phát triển tư em nữa, tơi đưa ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình x2 2x 2m x2 2x m a) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Nhận xét: Thông thường em đặt ẩn phụ là: x2 - 2x = t đưa phương trình (1) phương trình t2 - 2mt + m + = (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm Phương trình(1) có nghiệm phương trình (2) có hai nghiệm Cịn trường hợp phương trình (1) có nghiệm em khơng biết làm Một vài em hiểu vấn đề tốt sau đặt ẩn phụ x2 - 2x = t, từ điều kiện có nghiệm pt ẩn x theo t, em suy điều kiện t t -1 Khi đó, em biết để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm t -1 Đây toán so sánh nghiệm phương trình bậc hai với mốt số thực khác vượt ngồi khả em em trang bị kiến thức so sánh nghiệm phương trình bậc hai với (hay xét dấu ngiệm) từ định lý Vi-ét Như vậy, với cách thứ sai, cách làm thứ hai lại đến bế tắc Do đó, tơi hướng dẫn em suy luận để đặt ẩn phụ sau: Hướng dẫn: Vì x2 2x x 2x 1 x suy x2 2x x x nên Đặt t x 2 x t , suy x 2 x t Thay vào phương trình (1) ta phương trình sau: t2 m t 3m Với t = x 2 x ta nghiệm x = 1, Với t > x2 2x tx t nên ta nghiệm x t a) Để phương trình (1) vơ nghiệm pt (2) vơ nghiệm có hai nghiệm âm TH1: Phương trình (2) vơ nghiệm 13 m 13 ' m2 m 2 TH2: Phương trình (2) có nghiệm âm ' 13 m2 m t1 t 0P 03m S Kết luận : với m m 3 m 13 phương trình (1) vơ nghiệm b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm t TH1: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t1 t P 3m m TH2: Phương trình (2) có nghiệm thỏa mãn: t1 t2 Kết luận : với m ' m2 P 3m m 4S m 3 m m 13 13 phương trình (1) có nghiệm c) Để phương trình (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm t = nghiệm âm pt (2) có nghiệm kép TH1: Phương trình (2) có nghiệm t = nghiệm âm 3m P t1 t m m S TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép 0: 0m m (vô nghiệm) S 02 m d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (3) có hai nghiệm trái dấu nghiệm kép dương TH1: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 t P 3m m 34 TH2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương: ' m 0 t1 t m m S m 13 Kết luận : với m m 13 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt pt (2) có nghiêm nghiệm dương t tP 03m 0 S m ( vô nghiệm) Kết luận : Vậy khơng có giá trị m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt ' m2 m 0 t1 t 2S 03m P m pt (2) có nghiệm dương 13 m Kết luận : với m 13 phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài tốn tổng qt Cho phương trình bậc bốn dạng tam thức: ax2 bx c 2ax2 bx c0 10;a a) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Xét a > (với a < 0, làm tương tự) b b 4ac Ta có ax bx c ax nên 2a a ax b 4ac a 4a bx c đặt t ax2 bx c Thay ax bx c t b2 x 0, 2a b 4ac t 4a b 4ac vào phương trình (1) ta phương 4a t k t k (2) với k b 4ac 4a Phương trình (2): t 2 kt k2 k (3) a) Để phương trình (1) vơ nghiệm pt (3) vơ nghiệm có hai nghiệm âm b) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t c) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (3) có nghiệm t = nghiệm âm pt (3) có nghiệm kép d) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu e) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm nghiệm dương f) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (3) có nghiệm dương Cụ thể trường hợp giống trường hợp toán Nhận xét: Khi gặp dạng toán em học sinh thường đặt t ax2 bx c với điều kiện t b2 4ac a > 0, t b2 4ac a < Phương 4a 4a trình nhận t t , để giải yêu cầu toán học sinh gặp trở ngại khơng có cơng cụ để giải Chính với cách giải trình bày tạo cho em học sinh hứng thú, em sử dụng kiến thức đơn giản, quen thuộc định lý Vi-et để giải dạng tốn Sau tổng qt hai ví dụ nêu trên, tơi tiếp tục đưa thêm tốn tổng quát phương trình bậc bốn thường gặp nữa: Bài tốn tổng qt Cho phương trình bậc dạng: x a x b x c x d k với a c b d a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vơ nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) a c x2 x ac x b d x bd k a c2 a cx Nhận thấy x đặt t x a c a cx a cx t 2 nên 2 thay x x 2 a c a c , t 0, vào (2) ta phương trình bậc hai ẩn t: a c2 t ac bd t Với t = a c ac bd 2 a c a c nên nghiệm x x với t > x k a c ; 2 a c a c t nên nghiệm xt 2 a c Nhận xét: Bằng cách đặt t x a cx 2 a c = x ta 2 đưa tốn xét dấu phương trình bậc hai ẩn t với t Do đó, với yêu cầu toán ta trường hợp tương tự toán toán Ví dụ Cho phương trình: xx m x m x m 3m , với tham số m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hướng dẫn: Ta biến đổi phương trình (1) x mx x2 mx m 3m Nhận thấy x2 mx m x t x 2 mx m t , thay x2 trình (2) ta phương trình: m t 2m t2 Với t = x m2 m m nên đặt mx t m t vào phương nghiệm x = m Với t > x m t hai nghiệm x = m t a) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm kép dương có hai nghiệm trái dấu TH1: Phương trình (2) có nghiệm kép dương (vơ nghiệm) m2 10m 21 S m TH2 : Phương trình (2) có nghiệm trái dấu: t1 t ac 2m m 5 Kết luận : Vậy với m phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm dương m m 10m 21 m t1 t2 S m P 2m m (vô nghiệm) m Kết luận : Vậy khơng có giá trị m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho phương trình: x4 m 1x2 m2 m a) Tìm điều kiện để phương trình (1) vơ nghiệm b) Tìm điều kiện để phương trình (1) vơ nghiệm c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt f) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm phân biệt Bài Cho phương trình: 2x2 4x 2 2m1 x 4x m 3m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Bài Cho phương trình: x x x x 2m a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt d) Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt 1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài nghiên cứu thử nghiệm thời gian dài Tôi nhận thấy học sinh nắm hứng thú học tập, tư em mạch lạc hơn, vận dụng kiến thức linh hoạt Nhờ làm tập em làm nhanh có hiệu hơn, có số em cịn đưa cách giải hay ngắn gọn cho tốn Tơi thử nghiệm với hai nhóm học sinh lớp 9, nhóm 10 em học sinh giỏi theo hai cách dạy khác nhau: Nhóm thứ tơi dạy theo cách thơng thường, nhóm thứ hai tơi dạy theo đề tài thu kết sau: Nhóm thứ nhất: Dưới điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 50 40 10 0 Nhóm thứ hai: Dưới điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 10 30 40 20 Do việc bờồ̀i dường học sinh giỏi mang lại kết tương đối tốt: Năm học 2016-2017, tơi có học sinh đạt giải tốn 9: Cấp thành phố: giải nhì, giải ba; Cấp tỉỉ̉nh: giải khuyến khích Cùng với thành tích khác, thành tích góp phần đưa trường THCS Đơng Hải lên vị trí thứ 37 trường thi học sinh giỏi cấp thành phố KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ: Với đề tài: “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi-ét để giải tốn tìm cực trị tốn số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” hệ thống đưa số toán tổng quát nghiệm phương trình quy bậc hai, tốn cực trị; đồồ̀ng thời nêu lưu ý cần thiết để gặp ví dụ khác, em giải Trên dạng tập ứng dụng Định lí Vi-ét cách tương đối mà lựa chọn để truyền đạt đến học sinh, mong qua em vận dụng tốt phát huy lực học tập mơn tốn Qua thực tế giảng dạy tìm hiểu tài liệu cố gắng thể đề tài nghiên cứu Tuy nhiên trình thực khơng thể tránh khỏi tờồ̀n tại, thiếu sót mong bạn đờồ̀ng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà tơi đưa có hiệu cao Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 10 tháng 04 năm 2017 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHƠNG COPY Người viết Hồng Minh Hạnh TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Đề thi học sinh giỏi cấp tỉỉ̉nh, cấp thành phố, đề thi vào trường chuyên tỉỉ̉nh 2/ '' Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số'' - Nguyễn Đức Tấn ... “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi- ét để giải tốn tìm cực trị tốn số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” hệ thống đưa số tốn tổng qt nghiệm phương trình quy bậc hai, tốn cực trị; đờồ̀ng... dụng Sau tơi xin trình bày nội dung đề tài “Hướng dẫn học sinh giỏi lớp sử dụng định lý Vi- ét để giải tốn tìm cực trị tốn số nghiệm của phương trình quy bậc hai ” PHẦN I: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT. .. y2 Tìm GTLN P = xy PHẦN II: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ÉT ĐỂ GIẢI BÀI TỐN VỀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Kiến thức vận dụng Xét dấu nghiệm phương trìnhbậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a 0)