Giúp học sinh khá, giỏi lớp 9 giải bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn dạng a b đạt giá trị nguyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CHỨA CĂN DẠNG A ĐẠT GIÁ TRỊ NGUYÊN B Người thực hiện: Võ Kim Anh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS TT Bến Sung SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có vị trí đặc biệt quan trọng trường phổ thông Kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu, tảng giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; tạo tiền đề giúp em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Trong dạy học Tốn, khơng cung cấp cho học sinh kiến thức bản, giúp em nắm khái niệm, định lí, quy tắc, mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp để giải các tập tốn; từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập, sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo, hoàn thiện nhân cách Mỗi tập toán học sử dụng với dụng ý khác nhau, tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố kiểm tra Thông qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học Do đó, việc hướng dẫn học sinh phương pháp, kỹ tìm tịi, sáng tạo q trình giải tốn vơ cần thiết quan trọng, có ý nghĩa định đến kết học tập học sinh Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn Tốn trường trung học sở thường xuyên ôn thi học sinh giỏi, ôn vào 10, nhận thấy dạng tốn: “Rút gọn biểu thức chứa tìm giá trị nguyên tìm tất giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên” đa dạng Trong đề toán thi vào Trung học phổ thông thi học sinh giỏi lớp thường có dạng tốn Tuy khơng phải dạng tốn q khó, đa số học sinh khá, giỏi mắc sai lầm như: chưa định hướng cách giải, biến đổi sai, nhận định vấn đề chưa dẫn đến giải sai Ngay số đáp án đề thi vào 10, thi học sinh giỏi giải chưa tốn Vậy làm để em hiểu chất toán, tìm cách giải giải vấn đề tơi ln suy nghĩ trăn trở Đó lý lựa chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh khá, giỏi lớp giải tốn Tìm giá trị biến để biểu thức A đạt giá trị nguyên”, xem x = t ≥ , tử B mẫu thức biểu thức có bậc khơng bậc hai biến t 1.2 Mục đích nghiên cứu Trên sở nghiên cứu lý luận phân tích thực trạng, đề xuất số biện pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp giải toán Tìm giá trị biến để biểu thức chứa dạng A đạt giá trị nguyên B 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp giải tốn Tìm giá trị chứa dạng A đạt giá trị nguyên, tử mẫu thức B biểu thức có bậc không bậc hai biến t 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu tham khảo, đề thi, văn - Khảo sát thực tế, thu thập thơng tin - Thực hành giải tốn - Thống kê xử lý số liệu 1.5 Những điểm SKKN - Xây dựng phương pháp chung giải dạng tốn Tìm giá trị biến biến để biểu thức chứa dạng A đạt giá trị nguyên, tử mẫu thức B biểu thức có bậc không bậc hai biến t - Giúp học sinh nhận dạng toán để lựa chọn phương pháp giải phù hợp để biểu thức chứa dạng NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Trong q trình phát triển, xã hội ln đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính vậy, mơn nhà trường trung học sở phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi hoạt động dạy học đòi hỏi người giáo viên phải tuân thủ yêu cầu sư phạm, nguyên tắc phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo người học; người học thực chủ thể hoạt động dạy học Để làm tốt cơng tác này, giáo viên phải nắm rõ hình thức giáo dục học sinh khá, giỏi Từ đó, giáo viên có phương pháp dạy học sáng tạo, đặc biệt đối mơn Tốn để bồi dưỡng đạt hiệu cao Trong chương trình mơn Tốn lớp 9, dạng tốn “Rút gọn biểu thức chứa tìm giá trị nguyên tìm tất giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên” đa dạng Tuy khơng phải dạng tốn q khó, nhiều học sinh khá, giỏi lại giải sai Để giải tốn tìm giá trị biến để biểu thức chứa đạt giá trị nguyên, học sinh cần: - Biến đổi rút gọn biểu thức chứa xác - Tách phần nguyên (nếu có) - Nhận dạng biểu thức để chọn cách giải phù hợp - Lập luận chặt chẽ - Giải bất đẳng thức thu - Hoàn thiện lời giải trả lời 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN A Khi giải tốn Tìm giá trị biến để biểu thức chứa dạng đạt giá B trị nguyên, tử mẫu thức biểu thức có bậc khơng q bậc hai biến t, học sinh thường: - Viết biểu thức dạng tổng biểu thức nguyên phân thức, tử số nguyên biết - Lập luận biểu thức nguyên mẫu ước tử Đây cách giải khơng hợp lí biến dấu Nếu làm ta ngầm công nhận x số nguyên với giá trị x không âm Điều tra việc nắm kiến thức 20 học sinh giỏi lớp 9A trường THCS Thị trấn Bến Sung năm học 2017 - 2018 2018 - 2019 qua đề kiểm tra dạng tốn Tìm giá trị biến để biểu thức chứa đạt giá trị nguyên, kết thu sau: * Năm học 2017 - 2018: Tổng số học sinh Giải Giải sai Không giải 20 16 10% 80% 10% * Năm học 2018 - 2019: Tổng số học sinh 20 Giải 15% Giải sai 13 65% Không giải 20% - Qua bảng khảo sát cho thấy: Hiểu biết học sinh dạng tốn cịn hạn chế, chủ yếu dựa kiến thức phân thức đại số lớp - Việc định hướng để giải dạng tập chưa rõ ràng, sở lý thuyết vận dụng vào giải tốn cịn chưa phù hợp, số em không vận dụng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết +) Nếu n số tự nhiên mà không số phương n số vơ tỉ Chứng minh: Giả sử , n số vô tỉ viết dạng ( p, q ) = n= p với p, q ∈ N, q ≠ q p không số tự nhiên, q > q 2 Ta có p = nq , gọi x ước nguyên tố q, p Mx , p Mx Do n khơng số phương nên Như x ước nguyên tố p q, trái với ( p, q ) = Vậy n phải số vô tỉ +) Phương trình bậc hai ẩn x: ax + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm ∆ ≥ 2.3.2 Các biện pháp: a) Giúp học sinh nhận dạng phương pháp chung để giải tốn A * Giải tốn: Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị nguyên, B A, B biểu thức chứa x x = t ≥ phạm vi SKKN ta xét biểu thức A B có bậc khơng q bậc hai t * Phương pháp chung: - Nếu x nguyên: + Tử có bậc nhỏ bậc mẫu: Ta quy đồng, khử mẫu đưa dạng phương trình bậc hai ẩn t, xem A tham số Giả sử tồn t để biểu thức A có giá trị nguyên phương trình bậc hai thu phải có nghiệm Nếu đặt Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ tìm miền giá trị A, chọn giá trị phù hợp A, thay vào biểu thức tìm x, đối chiếu điều kiện trả lời (Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai) + Tử có bậc cao bậc mẫu: ++) Biến đổi biểu thức sau rút gọn thành dạng: a A = P( x) + Q( x) Trong đó: + a số nguyên + P(x) đa thức biến x, Q(x) biểu thức chứa x Khi đó: P(x) số nguyên nên biểu thức A nhận giá trị nguyên Q(x) có giá trị ước a Từ ta đưa trường hợp mà A nhận giá trị nguyên, sau đối chiếu điều kiện để kết luận (Sử dụng tính chia hết) ++) Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai + Tử có bậc bậc mẫu: ++) Biến đổi biểu thức sau rút gọn thành dạng: a A= m+ Q( x) Trong đó: + a, m số nguyên + Q(x) biểu thức chứa x Khi đó: Biểu thức A nhận giá trị nguyên Q(x) có giá trị ước a Từ ta đưa trường hợp mà A nhận giá trị nguyên, sau đối chiếu điều kiện để kết luận (Sử dụng tính chia hết) ++) Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai - Nếu x hữu tỉ x số thực: + Đưa toán tìm điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai (như trên), hoặc: a + Đưa dạng A = m + Q( x) Trong đó: + a, m số nguyên + Q(x) biểu thức chứa x a = k ∈ Z , tính x theo k Dựa vào điều kiện x x để giải Đặt Q( x) bất phương trình, thu miền giá trị k Từ chọn giá trị k phù hợp, thay vào tìm x, đối chiếu điều kiện, trả lời (Sử dụng phương pháp xét miền giá trị) * Các kiến thức thường sử dụng: - Sử dụng tính chia hết - Xét miền giá trị - Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai - Đánh giá hai vế - Xét miền giá trị kết hợp với tính chia hết b) Lựa chọn phương pháp giải cho dạng toán * Một số ví dụ minh họa a +6 a +1 a) Tìm số nguyên a để M số nguyên b) Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên - Hướng dẫn: a) ĐK: a ≥ Bài 1: Cho biểu thức M = * Phương pháp: Sử dụng tính chia hết 5 Ta có: M = + Để M số nguyên phải số nguyên a +1 a +1 Ta biết a số nguyên a số nguyên a số phương số vơ tỉ a khơng số phương Để số ngun a khơng thể số vơ tỉ a +1 suy a + ước tự nhiên (vì a số nguyên, a + > 0) ⇒ a + 1∈ { 1; 5} ⇒ a ∈ { 0;16} • Với a = M = • Với a = 16 M = Vậy a = a = 16 M có giá trị số nguyên b) * Phương pháp: Xét miền giá trị 5 M = 1+ Để M số nguyên phải số nguyên a +1 a +1 5−t Đặt = t, t ∈ Z, t > , ta có: = t a + t ⇔ a = a +1 t 5−t ≥ , giải điều kiện ta < t ≤ Vì a ≥ nên t Do t ∈ Z nên t ∈ { 1; 2; 3; 4; 5} Ta có: t a 2 a 16 4 16 M   Vậy a ∈ 16; ; ; ;   16  Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thanh Hóa năm 2010 - 2011)  a +3 a −  1  − Cho biểu thức A =  ÷ − ÷ với a > 0, a ≠ a − a + a     1) Rút gọn A 2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên - Hướng dẫn: 1) Rút gọn biểu thức A = a +3 2) * Lời giải đáp án: Biểu thức A đạt giá trị nguyên ⇔ a + ước Do a + ≥ nên a + = ⇔ a = (TMĐK) Nhận xét: Cách giải chưa cơng nhận a + số nguyên mà chưa xét đến khả a số nguyên • Cách giải đúng: * Phương pháp: Xét miền giá trị 4 ⇒ a = − (vì A ≠ ) Từ kết rút gọn: A = a +3 A 4 a > nên a > ⇔ − > ⇔ < A < A Vì A nguyên nên A = ⇔ a = ⇔ a = (TMĐK) Vậy với a = A có giá trị nguyên  x −7  x +3 + − Bài 3: Cho biểu thức A =  ÷:  x − 2 x + 2x − x −  5x − 10 x (x > 0, x ≠ 4) a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x cho A nhận giá trị nguyên - Hướng dẫn: a) Với x > 0, x ≠ ta có: A = ( ) ( 2 x +1 + ( ) ( ) x −2 −5 x +7 x x −2 x = x +3 x +1 x − 2 x +1 )( ) 10 b) * Phương pháp: Xét miền giá trị Giả sử tồn x để A có giá trị ngun, lúc phương trình: A= ( ) x ⇔ A x + = x ⇔ ( − 2A ) x = A (*) có nghiệm x +1 Ta có: 5 (*) có dạng: x = , pt vơ nghiệm 2 A 5 ≥ ⇔ ≤ A < , A nguyên nên • Nếu A ≠ x = − 2A 2 A ∈ { 0;1; 2} • Nếu A = x = ⇒ x = (không thỏa mãn) 1 - Với A = x = ⇒ x = ( thỏa mãn) - Với A = x = ⇒ x = (khơng thỏa mãn) Vậy A có giá trị nguyên x = 15 x − 11 x − 2 x + + − Bài 4: Cho A = x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên - Hướng dẫn: a) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠ - Với A = 15 x − 11 x − 2 x + + − = x + x − 1− x x +3 15 x − 11 x −2 x +3 − − = x −1 x +3 x +3 x −1 A= ( )( ( ) ) ( ( x + 3) ( x − 1) ( − x ) ( x − 1) = − x = ( x + 3) ( x − 1) x + 15 x − 11 − x − )( x +3 − x +3 = )( )= x −1 ( −5x + x − x +3 )( ) x −1 b) * Phương pháp: Xét miền giá trị Giả sử tồn x để A có giá trị ngun, lúc phương trình có nghiệm 2− x = t ( t ∈ Z) x+3 11 Ta có t ( ) x ( t + ) = − 3t (*) x +3 = 2−5 x ⇔ • Nếu t = - (*) có dạng : • Nếu t ≠ −5 x = t ∈ { −4; − 3; − 2; − 1; 0} x = 17 , phương trình vô nghiệm − 3t ≥ ⇔ −5 < t ≤ , t nguyên nên t +5 x = 14 ⇒ x = 196 (thỏa mãn) 11 121 - Với t = - x = ⇒ x = (thỏa mãn) 64 - Với t = - x = ⇒ x = (thỏa mãn) 25 - Với t = - x = ⇒ x = (thỏa mãn) 16 - Với t = x = ⇒ x = (thỏa mãn) 25 121 64 25   ; ; ;  Vậy A có giá trị nguyên x ∈ 196; 16 25   x2 − x 2x + x ( x − 1) − + Bài 5: Cho biểu thức: A = x + x +1 x x −1 a) Rút gọn biểu thức A x b) Tìm x để giá trị biểu thức số nguyên A - Hướng dẫn: a) ĐK: x > 0, x ≠ x  x −1 x + x +1    − x x +1 + x −1 x +1 A= x + x +1 x x −1 = x − x − x −1+ x + = x − x +1 - Với t = - ( )( ) ( ) ( )( ) b) * Phương pháp: Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai x x Giả sử tồn x để B = = có giá trị nguyên, lúc phương x − x +1 A trình Bx − B x + B = x ⇔ Bx − ( B + ) x + B = có nghiệm Đặt x = t ≥ ta có phương trình ẩn t: Bt − ( B + ) t + B = (1) • Nếu B = x = 0, khơng thỏa mãn ĐKXĐ nên B ≠ ⇒ Pt (1) có nghiệm ∆ = B2 + 4B + − 4B2 = − 3B2 + 4B + ≥ ⇔ − ≤B≤2 • Do B nguyên B ≠ nên B = B = 12 • Nếu B = phương trình t − 3t + = có hai nghiệm 3+ 3− 7±3 thỏa mãn ĐK t ≥ , lúc x = (t/m) ; t2 = 2 • Nếu B = phương trình 2t − 4t + = ⇔ t − 2t + = ⇔ t = thỏa mãn ĐK t ≥ , lúc x = (khơng t/m) 7±3 x Vậy với x = có giá trị ngun A Bài 6: Cho biểu thức:  + 3a   6a +  3a − 3a ÷ − A =  ÷ 3a − 3a + 3a + ÷ + 3a    a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nguyên a để A nhận giá trị nguyên - Hướng dẫn: a) ĐKXĐ: a ≥ 0, a ≠  + 3a   6a +  3a − 3a ÷ − a) A =  ÷ 3a − 3a + 3a + ÷ + 3a     + 3a − 3a + 3a   6a + 3a     − 3a − =    3a − 3a + 3a + 3a + 3a +  + 3a    6a + − 3a 3a − = − 3a + 3a = 3a − 3a + 3a + t1 = ( )( ) ( ) ( )( ( ( ) ( 3a + 3a + = = ( 3a − 1) ( 3a − 2) ( 3a + 3a + ) ( 3a − 1) ( A= (1) ( 3a − 2) )( ) ) ) 3a − 3a − 2 ) b) * Phương pháp: Đánh giá hai vế Với a ∈ Z: - Nếu 3a không số phương ⇒ 3a số vơ tỉ Ta có: A = ( ( ) 3a − 3a − 2 ) ⇔ ( ) 3a − A = 3a − 3a + ⇔ ( A + ) 3a = 2A + 3a + (*) Do A∈ Z, a ∈ Z, nên xảy đẳng thức (*) khi: 13  A = −2  A+2=0 ⇔ ( A ≠ -2   a = t / m ( ) 2A + 3a + =  ( Thử lại: a = A = ) −1 3−2 - Nếu 3a số phương A= Do 3a ( ) 3a − + = 3a = ( 2A + 3a + ∈ Q , vơ lí) A+2 ) 4−2 −2 3−2 = = −2 3−2 3−2 ( ) 3a ∈ Z Lúc đó: ∈Z 3a − 3a − 3a ∈ Z ⇒ 3a − ∈ Z nên A ∈ Z 3a − ước nguyên = 3a + 3a − = ⇒ a = (t/m) - Với 3a − = −1 ⇒ a = ∉ Z =4 Thử lại: a = A = + 3− Vậy a∈ { 1; 3} A nhận giá trị nguyên Bài 7: Cho biểu thức: x −1 x − 5x + x + B= − − x + x − 3x + x − Rút gọn biểu thức B tìm giá trị x ∈ Q để B nhận giá trị nguyên - Hướng dẫn: ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ - Với x −1 x − 5x + x + − − x + x − 3x + x − x −1 x −2 5x + x + − − = x + x −1 x + x −1 B= ( )( ) ( x − 1) − ( x − ) ( x + ) − ( 5x + x + ) = ( x + 2) ( x − 1) x − 3) ( x − 1) ( 3x − 10 x + x −3 = = =1− = ( x + ) ( x − 1) ( x + ) ( x − 1) x + 2 * Phương pháp: Xét miền giá trị 5 ∈ Z Đặt = k ∈ N * ta có B∈Z ⇔ x +2 x +2 x= x +2 − 2k k 14 − 2k ≥0 ⇒00 + 3k = + k ∈ Z nên x số nguyên Mk (2) Lại có: k k Từ (1) (2) ⇒ k ∈ { −4; − 2;1; 2; 4} A∈ Z ⇔ ∈ Z Đặt x −3 = k ∈ Z , k ≠ Ta có x −3 - Với k = −4 ⇒ x = ⇒ x = (loại) - Với k = −2 ⇒ x = ⇒ x = (nhận) - Với k = ⇒ x = ⇒ x = 49 (nhận) - Với k = ⇒ x = ⇒ x = 25 (nhận) - Với k = ⇒ x = ⇒ x = 16 (nhận) Vậy x ∈ { 1;16; 25; 49} A có giá trị số nguyên x= 15 Bài 9: (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn Tốn lớp - Tỉnh Thanh Hóa năm học 2017 - 2018) Cho biểu thức: x−2 x x +1 + 2x − x + + với x > 0, x ≠ x x −1 x x + x + x x2 − x Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên - Hướng dẫn: ĐKXĐ: x > 0, x ≠ P= x−2 x x +1 + 2x − x + + = x x −1 x x + x + x x2 − x x−2 x x +1 + + = x −1 x + x +1 x x + x +1 x P= ( = 2x − x + )( ) ( ) ( x − 1) ( x + x + 1) x ( x + x − 2) x − 1) ( x + ) ( x +2 = = x ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + * Phương pháp: Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai x +2 Giả sử tồn x để P = có giá trị số nguyên, lúc phương trình x + x +1 Px + P x + P = x + ⇔ Px + ( P − 1) x + P − = có nghiệm Đặt x = t ≥ ta có phương trình ẩn t: Pt − ( P − 1) t + P − = (1) • Nhận thấy: 1  x + > , x + x + =  x + ÷ + > ∀x ≥ nên P > 2  ⇒ Pt (1) có nghiệm ∆ =  − ( P − 1)  − 4P ( P − ) = −3P + 6P + ≥ ⇔ 3−2 ≤ P ≤ 3+ 3 • Do P nguyên P > nên P = P = • Nếu P = pt (1) trở thành t = ⇔ t = thỏa mãn ĐK t ≥ , lúc x = (khơng t/m) t = • Nếu P = pt (1) trở thành 2t − t = ⇔ t ( 2t − 1) = ⇔  t =  thỏa mãn ĐK t ≥ , lúc x = (không t/m) x = (t/m) 16 +2 10 = ∉Z Với x = , P = 1 + +1 Vậy khơng có giá trị x để P có giá trị số nguyên 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, với đồng nghiệp nhà trường Qua việc áp dụng kinh nghiệm Giúp học sinh khá, giỏi lớp giải toán A đạt giá trị nguyên vào giảng B dạy cho đối tượng học sinh lớp 9A trường THCS Thị trấn Bến Sung năm học 2019 - 2020, với đề kiểm tra mức độ tương đương năm học trước, hiệu thu rõ rệt Cụ thể: Tìm giá trị biến để biểu thức chứa dạng Tổng số học sinh 20 Giải 16 80% Giải sai 20% Không giải 0 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua trình giảng dạy, nghiên cứu bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp mơn Tốn, dạng tốn “Tìm giá trị biến để biểu thức chứa dạng A đạt B giá trị nguyên”, rút số học kinh nghiệm sau: - Giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo, thường xuyên bổ sung kiến thức tích luỹ kinh nghiệm nội dung cần bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi thông qua loại tài liệu có sáng kiến phù hợp với điều kiện thực tế vấn đề nảy sinh bồi dưỡng học sinh khá, giỏi mơn Tốn - Để giúp học sinh làm tốt dạng giáo viên giáo viên cần rõ sai lầm mà học sinh thường mắc phải, phân tích kĩ lập luận sai để học sinh ghi nhớ rút kinh nghiệm làm tập Sau đó, giáo viên cần tổng hợp, hướng dẫn học sinh nhận diện, đưa phương pháp giải cho dạng để học sinh giải tập dễ dàng Đây vấn đề nhỏ mà thân đúc rút qua trình giảng dạy, bồi dưỡng nhiều năm học, nhằm giúp học sinh khá, giỏi lớp nhận dạng định hướng cách giải dạng toán để đạt kết tốt kì thi vào Trung học phổ thơng, thi học sinh giỏi cấp, từ góp phần nâng cao chất lượng mũi nhọn chất lượng đại trà nhà trường Tôi mong nhận góp ý chân thành từ đồng nghiệp! 3.2 Kiến nghị: Không XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Như Thanh, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Võ Kim Anh 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình Các đề thi vào 10 tỉnh Đề thi học sinh giỏi lớp tỉnh Thanh Hoá năm 2018  ... ch? ?a tìm giá trị nguyên tìm tất giá trị biến để biểu thức có giá trị ngun” ? ?a dạng Tuy khơng phải dạng tốn q khó, nhiều học sinh khá, giỏi lại giải sai Để giải tốn tìm giá trị biến để biểu thức. .. Các biện pháp: a) Giúp học sinh nhận dạng phương pháp chung để giải toán A * Giải tốn: Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị nguyên, B A, B biểu thức ch? ?a x x = t ≥ phạm vi SKKN ta xét biểu thức. .. lời giải trả lời 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN A Khi giải tốn Tìm giá trị biến để biểu thức ch? ?a dạng đạt giá B trị nguyên, tử mẫu thức biểu thức có b? ??c khơng b? ??c hai biến t, học sinh