Một số vấn đề về hình học giả Euclide

Một số vấn đề về hình học giả Euclide

MỤC LỤCPHẦN MỞ ĐẦU 2PHẦN NỘI DUNG 4CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 41.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .41.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 91.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 131.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP .201.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 251.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 32CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .412.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .412.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .432.3. PHÉP DỜI 452.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG .482.5. SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .522.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .56PHẦN KẾT LUẬN 64TÀI LIỆU THAM KHẢO .65Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI“Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin. Đây là những môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này.Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu về các loại hình học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨULuận văn với đề tài “Một số vấn đề về Hình học giả Euclide” nhằm làm rõ định nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. Đồng thời, luận văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh.Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức về Đại số tuyến tính, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học.3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU•Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh.•Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong hình học giả Euclide.•Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hình học Euclide, phân tích, so sánh để rút ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hình học giả Euclide. Sau đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống.•Dựa vào cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide để rút ra cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide. Trên cơ sở đó, tìm Trang 2 hiểu mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh.4. PHẠM VI NGHIÊN CỨUNghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, không gian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tìm hiểu lý thuyết tổng quát.5. NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP•Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không gian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nền tảng kiến thức cho phần tiếp theo.•Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hình và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh.Trang 3 PHẦN NỘI DUNGCHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN1.1.1.Định nghĩaCho không gian vectơ n chiều Vn trên trường số thực R.Một ánh xạ: Vn × Vn → R ( , ) *a b a br rr rađược gọi là một tích vô hướng trên Vn nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:(E1*)* * , ,na b b a a b V= ∀ ∈r r rr r r.(E2*)*( ) * * , , ,na b c a b a c a b c V+ = + ∀ ∈rr rr r r r r r r.(E3*)( )* .( * ) , , ,na b a b R a b Vλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈rr rr r r.(E4*) Có n vectơ ( 1, )ia i n=r sao cho:* 0i ia a>r r, với i ≤ k.* 0i ia a<r r, với i > k.* 0i ja a=r r, với i ≠ j.Khi đó, không gian vectơ Vn được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, ký hiệu là Vnk.1.1.2.Tính chấta)kn( )* * * , , , Va b c a b b c a b c+ = + ∀ ∈rr r rr r r r r r.Thật vậy:* * *1 2 1( ) ( ) ( )( )* *( ) * * * *E E Ea b c c a b c a c b a c b c+ = + = + = +r r r rr r r r r r r r r rb)kn*( ) .( * ) , , , Va b a b R a bλ λ λ= ∀ ∈ ∀ ∈r r rr r r.Thật vậy:** *31 1( )( ) ( )*( ) ( )* ( * ) .( * )EE Ea b b a b a a bλ λ λ λ= = =r r r rr r r rc)kn*0 0* 0 , Va a a= = ∀ ∈r rr r r.Thật vậy:Trang 4 *3( )0* (0. )* 0.( * ) 0Ea b a b a= = =rr rr r r, với knVb∈r.)*0 *(0. ) 0.( * ) 0Do ba a b a b= = =rr rr r r, với knVb∈rd)kn( )* * * , , , Va b c a c b c a b c− = − ∀ ∈r r rr r r r r r r.Thật vậy:*3( ))( )* ( ( ))* * ( )* * *EDo ba b c a b c a c b c a c b c− = + − = + − = −r r r rr r r r r r r r r re)kn*( ) * * , , , Va b c a b a c a b c− = − ∀ ∈r r rr r r r r r r.Thật vậy:* *1 1( ) ( ))*( ) ( )* * * * *E EDo da b c b c a b a c a a b a c− = − = − = −r r r rr r r r r r r r r r1.1.3.Nhận xét1.1.3.1.n vectơ 1,{ }inar nói trong tiên đề (E4*) là cơ sở của Vnk.Thật vậy:Từ (E4*) ta suy ra 0, 1, .ia i n≠ ∀ =rr (Vì nếu ∃i sao cho 0ia=rr thì ta có * 0i ia a=r r, mâu thuẫn với tiên đề (E4*))Xét:10.ni iik a==∑rrNhân vô hướng hai vế với ( 1, )ja j n=r, ta được: 1*( ) 0, 1, .nj i iia k a j n== =∑r r1( * ) 0, 1, .ni j iik a a j n=⇒ = =∑r r( * ) 0, 1, .j j jk a a j n⇒ = =r r (Vì * 0j ia a=r r, với i ≠ j)0, 1, .jk j n⇒ = = (Vì * 0j ja a≠r r)Vậy 1,{ }inar độc lập tuyến tính trong Vnk.Do hệ n vectơ 1,{ }inar độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều Vnk nên ta suy ra 1,{ }inar là cơ sở của Vnk.1.1.3.2.Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n chính là không gian vectơ Euclide.Thật vậy:Trang 5 Xét Vnn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vì tích vô hướng trên Vnn thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng minh tích vô hướng trên Vnn thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide, tức là chứng minh x∀r ∈ Vnn thì * 0x x≥r r và * 0 0x x x= ⇔ =rr r r.Theo câu a) ta có hệ 1,{ }inar nêu trong tiên đề (E4*) là cơ sở của Vnn thỏa * 0 ( 1, )i ia a i n> ∀ =r r và * 0, .i ja a i j= ∀ ≠r rTừ đó: x∀r ∈ Vnn thì xr có dạng: 1ni iix k a==∑r r, với ki ∈ R ( 1, )i n∀ =.21 1 , 1 1* ( )*( ) . ( * ) ( * ) 0.n n n ni i j j i j i j i i ii j i j ix x k a k a k k a a k a a= = = =⇒ = = = ≥∑ ∑ ∑ ∑r r r r r r r rDấu “=” xảy ra21( * ) 0ni i iik a a=⇔ =∑r r0, 1,ik i n⇔ = ∀ =0x⇔ =rrVậy tích vô hướng trên Vnn thỏa tiên đề (E4) nên Vnn là không gian vectơ Euclide n chiều.1.1.4.Ví dụa)Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích vô hướng: * ( )*( )x y a ib c id ac bd= + + = −r r, trong đó x a ib C= + ∈r, y c id C= + ∈r.b)Không gian R4 là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vô hướng: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4* ( , , , )*( , , , )x y x x x x y y y y x y x y x y x y= = + + −r r, trong đó 41 2 3 4( , , , ) Rx x x x x= ∈r, 41 2 3 4( , , , ) Ry y y y y= ∈r.Khi đó R4 được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian – Thời gian. Người ta thường dùng mô hình không gian này khi nghiên cứu về hình học vũ trụ.c)Không gian Rn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô hướng: 1 1*k ni i j ji j kx y x y x y= = += −∑ ∑r r, trong đó n1( , ., ) Rnx x x= ∈r, n1( , ., ) Rny y y= ∈r.1.1.5.Module của vectơTa định nghĩa module của vectơ ur là số ur sao cho:Trang 6 *u u u=r r r, nếu * 0u u≥r r*u i u u= −r r r, nếu * 0u u<r r, trong đó i là đơn vị ảo.Trong cả hai trường hợp, ta đều ký hiệu *u u u=r r r. Như vậy module của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo.Nhận xét: u∀r∈Vnk, λ∀∈R thì: 2( )*( ) ( * ) .u u u u u uλ λ λ λ λ= = =r r r r r r.Vectơ ur được gọi là vectơ đơn vị nếu 1u=r hoặc u i=r.1.1.6.Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide1.1.6.1.Định nghĩaCho hai vectơ ar và br thỏa 0a≠r, 0b≠r. Số phức ϕ xác định bởi công thức: *cos.a ba bϕ=rrrr (1) được gọi là số đo góc của hai vectơ ar và br. Ký hiệu: ( , )a bϕrr.Từ công thức (1), ta suy ra cosϕ có thể là số thực hoặc là số thuần ảo.Ta có các trường hợp: Trường hợp 1: cosϕ là số thực. Ta xét:•1 cos 1ϕ− ≤ ≤: Khi đó ϕ là số thực và ta quy ước chọn ϕ ∈ [0,π].•cos 1ϕ>: Khi đó ta đặt: cosaϕ=(1; )a⇒ ∈ +∞.Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên [1;+∞) nên với (1; )a∈ +∞ thì tồn tại số thực θ sao cho: cos a chϕ θ= =.Mà cosch iθ θ= nên suy ra: cos cosiϕ θ=.Do đó ta chọn iϕ θ= và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số thuần ảo.•cos 1ϕ< −: Khi đó cos 1ϕ− > Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực θ sao cho: cos chϕ θ− =.cos cos cos( ).ch i iϕ θ θ π θ⇒ = − = − = −Ta chọn iϕ π θ= − và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số phức. Trường hợp 2: cosϕ là số thuần ảo. Lúc này ta có thể viết: cos ibϕ=, với b∈R.Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với b∈R thì tồn tại số thực θ sao cho: b shθ=.cos sin cos( ).2ib ish i iπϕ θ θ θ⇒ = = = = −Trang 7 Do đó ta chọn 2iπϕ θ= − và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số phức.Vậy: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các góc có số đo thuần ảo hay phức với phần thực là π hoặc 2π.1.1.6.2.Tính chấti)( , ) ( , )a b b aϕ ϕ=r rr r.Thật vậy:* *cos ( , ) cos ( , ). .a b b aa b b aa b b aϕ ϕ= = =r rr rr rr rr rr r( , ) ( , )a b b aϕ ϕ⇒ =r rr r.ii)Với p, q ∈ R thì: ( , ), 0.( , )( , ), 0.a b pqpa qba b pqϕϕπ ϕ>=− <rrrrrrThật vậy:( )*( ) ( * )cos ( , ) .cos ( , ). .pa qb pq a b pqpa qb a bpqpa qb pq a bϕ ϕ= = =r rr rr rr rr rr rDo đó:+ Nếu pq > 0 thì: cos ( , ) cos ( , )pa qb a bϕ ϕ=r rr r( , ) ( , ).pa qb a bϕ ϕ⇒ =r rr r+ Nếu pq < 0 thì: cos ( , ) cos ( , ) cos( ( , ))pa qb a b a bϕ ϕ π ϕ= − = −r r rr r r( , ) ( , )pa qb a bϕ π ϕ⇒ = −r rr r.iii)ar cùng phương với brcos ( , ) 1a bϕ⇔ =rrThật vậy:ar cùng phương với bra pb⇔ =rr, với p∈R.2* ( )* *cos ( , ) .a b pb b p b b pa bp pa b pb bbϕ⇔ = = = =r r r r rrrrr r rrrcos ( , ) 1a bϕ⇔ =rr.iv)( , ) * 0.2a b a bπϕ= ⇔ =r rr rTrang 8 Thật vậy:*( , ) cos ( , ) 0 0 * 02.a ba b a b a ba bπϕ ϕ= ⇔ = ⇔ = ⇔ =rrr r rr r rrr.1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN1.2.1.Định nghĩaHai vectơ ar, br ∈ Vnk được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu * 0a b=rr. Ký hiệu: a b⊥rr.Ta thấy rằng có những vectơ khác 0r mà lại vuông góc với chính nó, những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: vectơ 11 1* *nn na ava a a a= +−r rrr r r r (trong đó 1ar, nar là các vectơ nói trong tiên đề (E4*)) là một vectơ đẳng hướng.Hệ vectơ 1,{ }imbr gồm các vectơ 0ib≠rr thuộc Vnk được gọi là hệ trực giao nếu * 0 ( 1, )i ib b i m≠ ∀ =r r và * 0 ( ; , 1, )i jb b i j i j n= ∀ ≠ =r r (tức là chúng từng đôi một trực giao với nhau).Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ 1,{ }inar nói trong tiên đề (E4*) là một cơ sở trực giao của Vnk.1.2.2.Định lýMọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh:Giả sử hệ 1,{ }imbr là hệ trực giao.Xét: 10.mi iik b==∑rrNhân vô hướng hai vế với ( 1, )jb j m=r, ta được: 1*( ) 0, 1, .mj i iib k b j m== =∑r r1( * ) 0, 1, .mi j iik b b j m=⇒ = =∑r r( * ) 0, 1, .j j jk b b j m⇒ = =r r (Vì * 0j ib b=r r, với i ≠ j)Trang 9 0, 1, .jk j m⇒ = = (Vì * 0j jb b≠r r)Vậy 1,{ }imbr độc lập tuyến tính trong Vnk.1.2.3.Định lýTrong Vnk, nếu ta có n vectơ ( 1, )ib i n=r sao cho * 0 ( 1, )i ib b i n≠ ∀ =r r và * 0 ( )i jb b i j= ∀ ≠r r thì ta sẽ có đúng k vectơ ibr sao cho * 0i ib b>r r và (n – k) vectơ jbr sao cho * 0j jb b<r r. Chứng minh:Theo đề bài ta suy ra hệ 1,{ }inbr là cơ sở trực giao của Vnk, do đó 1,{ }inbr độc lập tuyến tính trong Vnk. Không mất tổng quát giả sử * 0,i ib b i l> ∀ ≤r r và * 0,i ib b j l< ∀ >r r. Ta sẽ chứng minh l = k.• Nếu l > k:Dễ thấy rằng l vectơ 1br, 2br, ., lbr độc lập tuyến tính trong Vnk (Vì 1,{ }inbr độc lập tuyến tính). Vì vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều Vl. Tương tự, gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính 1ka+r, 2ka+r, ., nar nói trong tiên đề (E4*).Vì l > k nên Vl và Vn-k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k. Gọi l n kc V V−∈ ∩r và 0c≠rr thì: 1 1l ni i j ji j kc b aλ µ= = += =∑ ∑rr r.Do đó:21 1 , 1 1* ( )*( ) ( * ) ( * ) 0l l l li i j j i j i j i i ii j i j ic c b b b b b bλ λ λλ λ= = = == = = >∑ ∑ ∑ ∑r r r r r rr r (1) và 21 1 , 1 1* ( )*( ) ( * ) ( * ) 0n n n ni i j j i j i j i i ii k j k i j k i kc c a a a a a aµ µ µ µ µ= + = + = + = += = = <∑ ∑ ∑ ∑r r r r r r r r (2)(1) và (2) mâu thuẫn nhau nên l > k là không thể được.• Nếu l < k:Gọi Vn-l là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính 1lb+r, 2lb+r, ., nbr.Trang 10 [...]... ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E 1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide r r r r r r r Mặt khác, do P dương nên: ∀x ∈P thì x * x ≥ 0 và x * x = 0 ⇔ x = 0 Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide Vậy P là một không gian vectơ Euclide Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide Nhận xét: Nếu... của không gian vectơ Euclide 1.3.2.2.Mọi không gian vectơ con âm của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide Thật vậy: Trang 14 Gọi P là không gian vectơ con âm của Vnk Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide r Gọi m là số chiều của P và {xi }1,m là một cơ sở tùy ý của P... sẽ là một không gian vectơ giả Euclide Khi đó ta gọi P là không gian con của Vnk Nhận xét: Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide Ví dụ: không gian vectơ con một chiều của Vnk r r r r sinh bởi vectơ đẳng hướng v = e1 + en (với {ei }1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide. .. VECTƠ GIẢ EUCLIDE 1.3.1.Định nghĩa Định nghĩa 1: Giả sử P là không gian vectơ con của Vnk Khi đó trong P xác định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép toán cộng và nhân trong Vnk Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong Vnk áp dụng cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) Nếu ánh xạ * thỏa thêm tiên đề (E4*) thì trên P xác định được một. .. thức trên trở thành: r r r r r r xh * ui r r uh * ui = xh * ui − r r (ui * ui ) = 0 ui * ui r r r Vậy {ui }1,m là một cơ sở trực giao của P thỏa ui * ui < 0, ∀i = 1, m Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide chỉ số 0 1.3.2.3.Nếu P là không gian vectơ con âm của Vnk thì P thỏa bất đẳng thức Schwarz: r r r r r r r r ( x * y... với V’nl Ký hiệu: Vnk ≅ V’nl 1.5.2.Tính chất của đẳng cấu trực giao 1.5.2.1.Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k Chứng minh: (⇒): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’ml k l Nếu Vnk ≅ V’ml thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính ϕ : Vn → V 'n sao r r r r r r cho ϕ ( x ) *ϕ ( y ) = x * y , ∀x , y ∈ Vnk r r r r... gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k 1.4.2.1.Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính k k Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : Vn → Vn k k Xét ánh xạ S : Vn × Vn → R r r r r r r ( x , y ) a S ( x , y ) = ϕ ( x )* y Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của ϕ và tích vô hướng xác định trên Vnk) r Giả sử {ei }1,n là một cơ sở trực... đổi đồng dạng hệ số r r x = ϕ −1 ( z ) , 1 p Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm 1.6.4.2.Phép biến đổi đồng dạng bảo toàn góc giữa hai vectơ Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên 1.6.4.3.Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi... Nếu có một phép biến đổi tuyến tính ϕ của Vnk thì xác định duy nhất một r r r r r r dạng song tuyến tính S sao cho S ( x , y ) = ϕ ( x )* y , ∀x , y ∈Vnk Khi đó nếu ϕ có ma trận A=[a ij ] n×n đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận C=[cij ] n×n thỏa cij =a ji , với j ≤ k, và cij =-a ji , với j > k Trang 21 Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong Vnk thì tồn tại duy nhất một phép... = Vnk 1.3.2.11.Nếu P là không gian con của Vnk thì P không suy biến Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P là một không gian vectơ giả Euclide r r r r Xét x ∈P và x * y = 0 , ∀y ∈P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của r r tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: x = 0 Do đó P không suy biến 1.3.2.12.Nếu P là không gian con của Vnk thì P⊥ không suy biến Thật vậy: . văn với đề tài Một số vấn đề về Hình học giả Euclide nhằm làm rõ định nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. . hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh.Ngoài ra, việc thực hiện đề