2.2.1.Định nghĩa m – phẳng giả Euclide chỉ số p
Giả sử cho Enk là không gian giả Euclide n chiều chỉ số k với nền là không gian vectơ Vnk. Vì Enk là không gian afin nên ta có thể nói về các phẳng của nó. Giả sử Amp là m – phẳng của Enk có phương là Vmp, trong đó Vmp là không gian con của Vnk (tức là Vmp là không gian vectơ con không suy biến của Vnk). Khi đó, do Vmp cũng là một không gian vectơ giả Euclide nên Amp là một không gian giả Euclide con của Enk. Vì vậy, ta gọi
Amp là m – phẳng giả Euclide chỉ số p.
Nhận xét: Không phải mọi m – phẳng của Enk đều là m – phẳng giả Euclide. Ví dụ: Các đường thẳng đẳng hướng không phải là m – phẳng giả Euclide.
Như vậy, các phẳng trong không gian giả Euclide có các vị trí tương đối đã xác định như trong không gian afin.
Sau đây, ta sẽ xét thêm một vài vị trí tương đối của các phẳng mà trong không gian afin chưa định nghĩa.
2.2.2.Hai phẳng trực giao
Định nghĩa 1: Hai cái phẳng P và Q của Enk được gọi là trực giao nếu phương của chúng trực giao với nhau. Ký hiệu: Q⊥P hay P⊥Q.
Vậy: P⊥Q ⇔ P Qr⊥ r
Định nghĩa 2: Hai phẳng P và Q của Enk được gọi là bù trực giao với nhau nếu phương của chúng bù trực giao với nhau.
Vậy: hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau ⇔ Q Pr= r⊥
2.2.3.Tính chất
2.2.3.1.Nếu hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau thì dimP + dimQ = n.
Thật vậy:
Vì P và Q bù trực giao với nhau nên Q Pr= r⊥. Suy ra: dimP + dimQ nr r= Do đó: dimP + dimQ = dimP + dimQr r = n
2.2.3.2.Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q trực giao với nhau thì chúng có không quá một điểm chung.
Thật vậy:
Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide trực giao với nhau nên Pr∩ =Q {0}r r Từ đó: nếu M, N ∈P∩Q thì MN Puuuur∈ ∩ =r Q {0}r r
Suy ra: MN 0uuuur r= hay M ≡ N.
2.2.3.3.Nếu P là cái phẳng giả Euclide và phẳng Q bù trực giao với P thì Q cũng là cái phẳng giả Euclide.
Thật vậy:
Vì P là cái phẳng giả Euclide nên Pr là không gian vectơ con không suy biến của Ek
n
r
. Do đó Q Pr = r⊥ cũng là không gian vectơ con không suy biến của Ek n
r
. Suy ra Q là cái phẳng giả Euclide.
2.2.3.4.Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q bù trực giao với nhau thì chúng có một điểm chung.
Thật vậy:
Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide bù trực giao với nhau nên chúng có không quá một điểm chung và Pr∩ =Q {0}r r
Theo tính chất a ta có: dimP + dimQ = n Giả sử P∩Q = ∅. Khi đó:
dim(P + Q) = dimP + dimQ - dim(P + Q)r r + 1 = n – 0 + 1 = n + 1 > n Điều này vô lý vì (P+Q) ⊆Enk
Vậy P và Q có một điểm chung duy nhất.
2.2.3.5.Nếu phẳng P trực giao với phẳng Q và phẳng S bù trực giao với phẳng Q thì P
và S cùng phương.
Thật vậy:
Vì P trực giao với Q nên P Qr⊥ r Vì S bù trực giao với Q nên S Pr= r⊥ Suy ra: P Sr⊆ r hay P và S cùng phương.
2.2.3.6.Hai phẳng phân biệt cùng bù trực giao với một cái phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau và có cùng số chiều.
Thật vậy:
Cho P và S là hai cái phẳng phân biệt cùng bù trực giao với phẳng Q. Khi đó: theo tính chất e ta có P và S cùng phương và P = Sr r
Mà P và S phân biệt nên chúng song song nhau và có cùng số chiều.
2.2.3.7.Qua một điểm M đã cho có một và chỉ một cái phẳng bù trực giao với một cái phẳng đã cho.
Thật vậy:
Giả sử P và S là hai cái phẳng cùng qua điểm M và bù trực giao với phẳng Q. Theo tính chất f ta có P và S cùng phương và P = Sr r
Mà P và S cùng qua M nên P∩S≠∅. Do đó P≡S hay P duy nhất.