2.4.1.Định nghĩa
Phép afin f : Enk→ Enk được gọi là phép đồng dạng nếu nền fr là phép biến đổi đồng dạng.
Khi fr có hệ số đồng dạng là p, ta nói rằng f có tỷ số đồng dạng là p.
Nhận xét: Phép dời là phép đồng dạng tỷ số 1. 2.4.2.Định lý (Sự nhận biết phép đồng dạng)
Ánh xạ f : Enk→Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p > 0 sao cho với mọi M, N ∈Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = p.d(M,N).
Chứng minh:
(⇒):
Cho ánh xạ f : Enk→Enk là một phép đồng dạng. Khi đó theo định nghĩa ta có fr là phép biến đổi đồng dạng.
Vì fr là phép biến đổi đồng dạng nên tồn tại số p > 0 sao cho f ( )r rx =p xr, với mọi xr∈Ek n r . Từ đó: với mọi M, N ∈Enk thì:
d(f(M),f(N)) f(M)f(N)= uuuuuuuuur = f(MN)ruuuur =p MNuuuur =p.d(M,N) (⇐):
Cho ánh xạ f : Enk→ Enk thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho với mọi M, N ∈ Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = p.d(M,N).
Xét tương ứng φ : Ek Ek
n → n
r r
xra xr'
được xác định như sau: Lấy điểm I cố định thuộc Enk. Gọi I’ = f(I). Với xr∈Ek
n
r
, I∈Enk thì ∃! M∈Enk sao cho: IMuuur= xr. Suy ra ∃! M’∈Enk sao cho: M’ = f(M).
Mà I’∈Enk nên ∃!xr'∈Ek n
r
sao cho: xr' I'M'= uuuur Đặt φ( )xr = xr'. Theo cách xác định trên ta có ϕ là một ánh xạ từ Ek Ek n → n r r . Lấy yr∈Ek n r
. Khi đó, ∃! N∈Enk sao cho: INuur= yr. Suy ra ∃! N’∈Enk sao cho: φ( )yr = =yr' I'f (N) I' N'uuuuuur uuuur= Nhận thấy:
d(f(M),f(N)) = p.d(M,N) ⇔ d(M’,N’) = p.d(M,N) ⇔ M'N'uuuuur =p MNuuuur
⇔ I'N' I'M'uuur uuuur− =p IN IMuuur uuur−
⇔ (I'N' I'M')*(I'N' I'M') p ( IN IM)*(IN IM)uuur uuuur− uuur uuuur− = 2 uuur uuur− uuur uuur− ⇔
2 2 2
I'N'*I'N' I'M' * I'M' 2(I'N'* I'M') p (IN * IN) p (IM * IM) 2p (IN *IM)+ − = + −
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(1) Lại có:
2 2 2 2
2 2
I'N'* I'N'= I'N' = f (I)f (N) = f (IN) =p IN =p ( IN * IN)
uuur uuur uuur uuuuuuuuur r uuur uuur uuur uuur
2 2 2 2
2 2
I'M' * I'M'= I'M' = f (I)f(M) = f (IM) =p IM =p (IM * IM)
uuuur uuuur uuuur uuuuuuuuur r uuur uuur uuur uuur
(3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: I'N'*I'M' p ( IN *IM)uuur uuuur= 2 uuur uuur
2 φ( )*φ( ) p ( * )y x y x ⇔ r r = r r Do đó ϕ là phép biến đổi đồng dạng. Mặt khác: φ(MN) φ(IN IM) φ( ) φ( ) φ( ) ' ' I'N' I'M' M'N' f(M)f(N) y x y x y x = − = − = − = − = − = =
uuuur uuur uuur r r r r
uuur uuuur uuuuur uuuuuuuuur
r r
Suy ra φ = fr hay ϕ là ánh xạ nền của f.
Do đó f là ánh xạ afin có nền fr là một phép biến đổi đồng dạng. Suy ra f là phép đồng dạng.
Hệ quả: Phép đồng dạng không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý.
2.4.3.Tính chất
2.4.3.1.Tập hợp các phép đồng dạng lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Nhóm này được gọi là nhóm đồng dạng.
Thật vậy: Ta luôn có:
•Tích của hai phép đồng dạng là một phép đồng dạng: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất:
- Tích của hai phép afin là một phép afin.
- Tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng.
- Nếu ϕ có nền là φr, ψ có nền là ψr thì ψ.ϕ có nền là ψ.φr r (Với ϕ, ψ là các ánh xạ afin).
•Nghịch đảo của một phép đồng dạng là một phép đồng dạng: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất:
- Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin.
- Nghịch đảo của một phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng. - Nếu phép afin ϕ có nền là φr thì ϕ-1 có nền là φr−1.
Vậy tập hợp các phép đồng dạng lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk.
2.4.3.2.Phép đồng dạng biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng.
Thật vậy: Vì phép đồng dạng là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng.
2.4.3.3.Phép đồng dạng f : Enk → Enk có thể được phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép dời của Enk.
Thật vậy: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất:
•Tích của hai phép afin là một phép afin.
•Phép biến đổi đồng dạng có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao.
•Nếu ϕ có nền là φr, ψ có nền là ψr thì ψ.ϕ có nền là ψ.φr r (Với ϕ, ψ là các ánh xạ afin).
2.4.3.4.Phép afin f : Enk → Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao của hai đường thẳng bất kỳ.
Chứng minh :
(⇒):
Cho phép afin f : Enk→Enk là một phép đồng dạng. Khi đó theo định nghĩa ta có fr là phép biến đổi đồng dạng.
Vì fr là phép biến đổi đồng dạng nên fr bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Do đó f bảo toàn tính trực giao hai đường thẳng bất kỳ.
(⇐):
Cho phép afin f : Enk→ Enk bảo toàn tính trực giao của hai đường thẳng bất kỳ. Suy ra fr bảo toàn tính trực giao của hai vectơ bất kỳ.
Do đó fr là phép biến đổi đồng dạng. Suy ra f là phép đồng dạng.
2.4.4.Phương trình của phép đồng dạng
Định lý:
Đối với mục tiêu trực chuẩn { , }O eri 1,n, phương trình của phép đồng dạng f:
Enk→Enk (với tỷ số đồng dạng p > 0) có dạng: [x'] = pA [x] + [b], trong đó A là ma trận x k – trực giao cấp n; [x], [x’], [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm X, f(X), f(O)∈Enk.
Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép đồng dạng trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn.
* Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi đồng dạng.