biểu diễn trực quan hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

biểu diễn trực quan hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

Chương 1 : MỞ ĐẦU

1 Lời giới thiệu

Nhiệm vụ của người GV là mở rộng trí tuệ của HS chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có Khi GV dạy một kiến thức mới muốn HS khắc sâu kiến thức vừa học đòi hỏi GV phải có nhiều cách khác nhau thể hiện kiến thức đó một cách khách quan và dễ hiểu nhất Bởi vì, các tri thức được mô tả bằng mô hình, sơ đồ, hình ảnh trực quan…gắn liền với thực tế, thao tác được thì các kết quả thường dễ được chấp nhận hơn so với

các kiến thức đòi hỏi tư duy trừu tượng

Chính vì vậy, GV có thể nghĩ đến việc tiếp cận một khái niệm, một tính chất, một kết quả toán học bằng cách sử dụng CNTT mà cụ thể là biểu diễn trực quan động có nghĩa là một hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng cách kích chuột và kéo rê các đối tượng hình học trong khi các tính chất hình học đó của hình vẽ và mối quan hệ giữa các đối tượng được bảo toàn Khi đó, những biểu diễn trực quan động không những là phương tiện để minh họa cho quá trình dạy của GV mà còn là công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình tư duy của HS GV đang tìm kiếm những biểu diễn toán trực quan, đặc biệt là biểu diễn trực quan động làm cầu nối cho các biểu diễn toán thực tế mà HS quen thuộc với các biểu diễn ký hiệu trừu tượng giúp HS tự kiến tạo tri thức toán cho mình một cách tích cực

CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là một công cụ hỗ trợ cho

sự tương tác của HS và GV bởi các đồ dùng dạy học thích hợp Những phương tiện dạy học thông tin nhằm kích thích và tạo thích thú lôi cuốn HS vào việc học toán và hiểu toán

1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Trong thực tế giảng dạy, khi đi đến các nội dung hình học, để chỉ cho HS thấy mối quan hệ của các đối tượng hình học là khó Trong bài toán quỹ tích, các yếu tố biến thiên và bất biến được trình bày bằng phương pháp truyền thống

sẽ khá vất vả và khó hiểu Do đó hiệu quả giáo dục chưa cao Việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy sẽ giúp cho GV thiết kế bài giảng có hiệu quả cao hơn,

HS tiếp thu kiến thức trực quan sinh động, từ đó các em tự giác tích cực trong học tập, ngoài ra các vấn đề như quỹ tích, bài toán thực tế, phép biến hình…nếu được minh họa sinh động của mô hình hoặc hình vẽ thì HS có thể hiểu nhanh hơn, nhớ lâu kết hợp lập luận suy diễn và minh họa, kiểm nghiệm bằng máy giúp hình thành kiến thức rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS

Sử dụng các minh họa thao tác được có thể sẽ giúp HS hiểu về bản chất của một số kiến thức như quỹ tích, các tính chất trong vectơ…Đồng thời, còn giúp

HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng, kiểm chứng các phỏng đoán

và tính toán một số phép tính rườm rà

Chính vì vậy, việc nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng là đáng quan tâm

1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng được các nhà giáo dục đặc biệt quan tâm Trong môi trường máy tính với phần mềm toán học có nhiều tác nhân giúp kích thích HS hoạt động tìm tòi khám phá, HS hình thành kiến thức mới bằng chính hoạt động thực hành của mình, HS kiểm nghiệm với số lượng đủ lớn các trường hợp theo ý tưởng toán đã nêu ra, nhờ đó cảm nhận được sự thuyết phục của sự kiện biến đổi biểu thức, hợp lý của hình vẽ, tính đúng đắn

của lời giải, định lý, tính chất đưa ra Do vậy, chúng tôi chọn “biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng” làm đề

tài nghiên cứu cho khóa luận này

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu này gồm:

(1) Nghiên cứu một số tính năng của phần mềm GSP để xây dựng một số biểu diễn trực quan động nhằm hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

(2) Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

(3) Phát hiện con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS khi

có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động

3 Câu hỏi nghiên cứu

Mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử dụng các biểu diễn động hỗ trợ việc khám phá một số kiến thức hình học phẳng và nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời

các câu hỏi sau:

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động

trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được

những hiệu quả trong giảng dạy và học tập?

Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích

cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao?

Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học

phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào?

4 Định nghĩa các thành phần

Mục này sẽ dành cho việc định nghĩa các thành phần, thuật ngữ dùng trong khóa luận như: biểu diễn, biểu diễn bội, trực quan, biểu diễn trực quan, biểu diễn trực quan động, tương tác, vấn đề, suy luận, tư duy, tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán…

 Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục

toán Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ

 Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý

tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau

 Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải

thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi (2003)

 Biểu diễn trực quan: Là biểu diễn dựa trên hình ảnh thực tế, sơ

đồ…để có thể hình dung được các đối tượng trừu tượng

 Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là

biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn (Minh Phúc, 2010)

 Tương tác: những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa

các chủ thể và khách thể Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin, kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV- HS,

HS - HS

 Vấn đề: là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà

khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006)

 Suy luận: chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng

chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L.D, 2004)

 Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề Tư duy là quá

trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng

 Tư duy logic: Là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy

nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển

 Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan

hệ, suy nghĩ về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị

 Tư duy phê phán: Là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi

khía cạnh của bài toán hay tình huống Tư duy phê phán thể hiện qua việc HS có khả năng nhận ra giả thuyết và các yêu cầu của bài toán, tính đầy đủ của lời giải…Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán, nhớ và kết hợp với thông tin

đã học

5 Ý nghĩa của việc nghiên cứu

 Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy những mô hình động phục

vụ trong việc khám phá kiến thức hình học phẳng của HS

 Nghiên cứu này giúp HS khám phá các kiến thức hình học phẳng một cách hiệu quả hơn thông qua các biểu diễn trực quan động

 Đồng thời, kết quả nghiên cứu sẽ giúp GV thấy được con đường khám phá, phát hiện các kiến thức hình học phẳng của HS Từ đó, GV có những phương pháp giúp HS thấy được con đường để đi đến giải quyết các đề toán học Bên cạnh đó, GV cũng có thể đưa ra các tác động trong quá trình đi tìm lời giải cho các vấn đề toán học của HS Nếu các em đi chệch hướng, thì các tác động trên có vai trò dẫn dắt Nếu các em đi đúng con đường nhưng gặp khó khăn thì các tác động của GV đóng vai trò hỗ trợ

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được trình bày trong năm chương

 Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan

Chương trình bày nền tảng lịch sử, nền tảng lý thuyết, gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan

 Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu

Chương này, đưa ra phương pháp nghiên cứu, thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế

 Chương 4: Kết quả nghiên cứu

Chương này, nêu lên những kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1

 Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng

Chương này, nêu lên kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu Từ đó, lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu

7 Tóm tắt

Trong chương 1, tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài "Biểu diễn trực

quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng",

đồng thời tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ cho khóa luận Tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2

Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu

1.1 Khái niệm hình học động

Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm như Sketchpad và Cabri Các phần mềm này thực thi với công

cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử

Các bản vẽ trên Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các

công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc Sketchpad nhớ

các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối

tượng tự do Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nhớ đường tròn (C) có tâm O và đi qua điểm P…

Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học Có nhiều tranh luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của học sinh Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận của các em Việc phổ biến các phần mềm tới tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết

kế sẵn trong dạy và học Toán

1.2 Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán bằng phần mềm hình học động

Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời gian dài Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý tưởng toán học Một số khác khẳng định những lợi ích quan trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực,

bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc

sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh

PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống thực PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [27, tr 11]) PISA cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực

2 Nền tảng lý thuyết

2.1 Lý thuyết kiến tạo

Lý thuyết kiến tạo về cơ bản là một lý thuyết dựa trên quan sát và nghiên cứu khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi: CON NGƯỜI HỌC NHƯ THẾ NÀO? Lý thuyết này nói rằng con người kiến tạo những sự hiểu biết và tri thức về thế giới thông qua trải nghiệm và phản ánh Khi chúng ta đối mặt với một điều gì mới mẻ, chúng ta phải điều ứng nó với những ý tưởng và kinh nghiệm có từ trước Cũng có thể nó sẽ thay đổi điều mà ta đã tin tưởng hoặc loại bỏ chúng

vì không thích đáng Trong bất cứ trường hợp nào, chúng ta thật sự là những nhà kiến tạo cho tri thức cho chính bản thân Để làm điều này, chúng ta phải đưa ra những nghi vấn, khám phá và đánh giá cái mà chúng ta biết

Trong lớp học, quan điểm kiến tạo của việc học có thể đi đến một số lượng những thực nghiệm dạy học khác nhau Trong hầu hết các trường hợp, nó thường có nghĩa là khuyến khích người học sử dụng những kỹ năng hoạt động (thực nghiệm, giải quyết vấn đề thực tế) để tạo nhiều thông tin và rồi phản ánh, nói về những cái mà chúng đang làm và sự hiểu biết của chúng đang thay đổi như thế nào

Trong quá trình dạy học người GV không những quan tâm đến phương pháp

giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến HS học như thế nào Bởi vì việc học

của HS không chỉ đơn giản là phản chiếu lại những gì đã được dạy mà HS phải tích cực kiến tạo tri thức cho riêng mình Về cơ bản lý thuyết kiến tạo cho là

việc học gắn liền với sự tương tác của hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng

 Đồng hóa: Nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì

tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;

 Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với

những sơ đồ nhận thức đang có (cũ) Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó (kiến thức đã có không bao giờ bị xóa đi)

Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau :

 Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;

 Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể

Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta Bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã được kiến tạo, HS có thể nắm tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép HS tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau Khi đó HS có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về khái niệm được xây dựng GV đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ HS xây dựng kiến thức chính xác Đôi khi HS kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể Khi đó GV cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép HS thử nghiệm kiến thức của mình Một HS nhận ra rằng tri thức được sáng tạo không đúng với tình huống các em có thể điều chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp

HS tự kiến tạo tri thức mới cho riêng mình vì thế vai trò của người thầy không phải là đọc giảng mà tạo ra những tình huống cho HS HS sẽ học toán tốt nhất khi các em được đặt trong môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em

có khả năng kiến tạo các hiểu biết toán học cho riêng mình Theo quan điểm này có nhiều cách tiếp cận để cải thiện việc dạy học toán trong nhà trường như tìm nhiều cách khác nhau để thu hút từng HS tham gia, phát triển môi trường giàu thông tin để khảo sát toán học, chuẩn bị nhiều bài toán hoặc vấn đề liên quan để HS đối chứng thực nghiệm

Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực chủ động và sáng tạo của HS trong quá trình nhận thức Một môi trường học tích cực gắn liền với sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của HS Niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở

sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề Tính tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của HS Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú

và bồi dưỡng động cơ học tập

2.2 Biểu diễn bội

2.2.1 Vai trò của biểu diễn trong dạy học toán

Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong

đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau

Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:

 Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;

 Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;

 Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;

 Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn

Biểu diễn như là một công cụ của tư duy Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin Chẳng hạn, chúng ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của đường cong tại một điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm đó Đồ thị sẽ giúp ta đưa đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa khái niệm tiếp tuyến Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn:

Giai đoạn phát

Biểu diễn ký hiệu Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu

Sử dụng các minh họa như hình vẽ,

sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính

Biểu diễn thực thao tác được

Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác

Biểu diễn thực tế

Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối

tượng

2.2.2 Những tiếp cận dạy học hình học phẳng theo biểu diễn bội

Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng HS phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị Từ đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ chỉ một biểu diễn như nhau

Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để HS nắm bắt được bản chất toán học của nó Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau

Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm

2.3 Biểu diễn trực quan - Biểu diễn trực quan động

 Thao tác trực tiếp Chẳng hạn như bài toán thực tế đánh golf Dựng

một điểm M trên biên của bức tường Sau đó, kéo rê M đến các vị trí khác nhau để thấy được đường đi của trái banh Bạn sẽ nói “Tôi

kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó

sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”

 Chuyển động cập nhật liên tục Các thay đổi được cập nhật liên tục

trong suốt quá trình kéo rê Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm Chẳng hạn, tỉ số

, , sin sin sin

A B Cthay đổi như thế nào khi kéo rê các đỉnh A B C, ,của tam giác ABC quanh đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và thay đổi bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lúc đó, số liệu của các tỉ số trên sẽ tự cập nhật

 Môi trường tối ưu cho các thao tác Thực nghiệm của bạn chỉ liên

quan đến những đối tượng mà bạn thao tác Bạn khám phá chúng, làm việc với chúng Giao diện của chương trình hầu như không gây

ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ

Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho HS có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, GV có thể cho HS tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề

2.3.2 BDTQĐ – Chiếc cầu nối giữa dạy và học

Mối quan hệ giữa CNTT với dạy - học toán đã đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu Ngay cả với những GV có kinh nghiệm dạy học nhất, họ cũng phải cảnh giác rằng phải mất nhiều hơn một lần giải thích một cách rõ ràng để HS nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó Để cho HS nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản

là bằng cách GV nói cho các em biết các quan hệ đó Con đường hình thành khái niệm của một HS ở giai đoạn đầu thường khác với con đường mà thầy giáo dự định, hoặc không theo một thứ tự được biết của toán học Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học

CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là sự hỗ trợ một đặc tính tương tác của HS và GV bởi các đồ dụng dạy học phù hợp Những phương

tiện dạy học thông tin điện tử đem lại những khả năng có tính động cơ, kích thích sự thích thú để lôi cuốn HS vào việc học và hiểu toán

Nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng toán học, GV tìm kiếm cách để thuyết phục HS

Còn nếu việc dạy toán được xem như là quá trình kiến tạo, thì CNTT được sử dụng gắn liền với người học, nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ và tinh thần dám đặt câu hỏi và phản ánh của HS Như vậy, những điều đó đang thay đổi môi trường sư phạm, nó cho phép GV sử dụng CNTT một cách phù hợp

và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức

2.3.3 BDTQĐ - Công cụ của tư duy

Kết hợp lí luận về biểu diễn bội và môi trường thao tác động, biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này

để hỗ trợ HS kiến tạo tri thức toán

Biểu diễn trực quan bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học được thiết

kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết

kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác Chúng

có thể hỗ trợ HS khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số Với những công cụ và công nghệ phù hợp, HS có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học

Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho

HS một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá trình mà nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ

Có thể nói rằng, việc sử dụng biểu diễn trực quan hình học động sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho HS tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy khả năng tư duy của HS

2.4 Giải quyết vấn đề

Phương pháp giải quyết vấn đề đã phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong gần suốt một thế kỷ 20 để đến gần đây mới được sử dụng thực sự ở nhiều trường học ở Hoa Kỳ và trở thành một yếu tố chủ đạo trong cải cách giáo dục ở một số nước khác Đó là một phương pháp dạy và học mới phù hợp với triết lý về khoa học và giáo dục hiện đại, đáp ứng tốt những yêu cầu về giáo dục trong thế kỷ 21

Có nhiều phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề Trong phần này tôi liệt kê các phương pháp thường được sử dụng cho hình học phẳng và cuộc sống

 Phát biểu quy luật

 Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê trường hợp)

GV cần phải giúp HS phát triển những phương pháp cụ thể để giải quyết vấn

đề Những vấn đề tốt tạo cho HS cơ hội để củng cố và mở rộng tri thức của mình và kích thích tìm kiếm tri thức mới Hầu hết các khái niệm toán học đều

có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa trên những kinh nghiệm quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những tình huống toán học Để phát triển tư duy toán học cho HS, GV cần chọn các vấn đề toán học có một

trong những đặc điểm:

 Hấp dẫn và thách thức HS;

 Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác;

 Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;

 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán học hoặc áp dụng một kỹ

năng toán;

 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;

 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát

3 Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)

3.1 Giới thiệu về PISA

Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA là một nổ lực hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ chức OECD để đánh giá học sinh tuổi 15 được chuẩn bị tốt như thế nào để đáp ứng các thử thách của các xã hội ngày nay Đánh giá PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dựng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách thức thường ngày Các kỹ năng này phản ánh khả năng của HS tiếp cận việc học trong suốt cuộc đời của mình bằng cách áp dụng những gì các em học được ở nhà trường và các môi trường ngoài nhà trường, bằng cách đánh giá các lựa chọn và quyết định của mình Đánh giá này được chung sức định hướng bởi các nước tham gia, đưa những quan tâm chiến lược của các quốc gia gần lại với nhau với tinh hoa khoa học ở mức độ quốc gia và quốc tế

3.2 Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA

Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA là nhất quán với lý thuyết của tính tích hợp và mở rộng về cấu trúc và sử dụng ngôn ngữ như đã được phản ánh trong những nghiên cứu về hiểu biết văn hóa xã hội gần đây Trong cuốn Mở đầu cho một Chương trình Hiểu biết (1998) của James Gee, thuật ngữ " hiểu biết" chỉ việc sử dụng ngôn ngữ của loài người Khả năng để đọc, viết, nghe và nói một ngôn ngữ là công cụ quan trọng nhất mà thông qua nó hoạt động xã hội của loài người được dàn xếp

Thực ra, mỗi ngôn ngữ của nhân loại và việc sử dụng ngôn ngữ có một thiết

kế rắc rối gắn chặt với cách phức tạp theo nhiều chức năng Để một người là

hiểu biết trong một ngôn ngữ suy ra rằng người đó biết nhiều nguồn thiết kế của ngôn ngữ và có thể sử dụng các nguồn đó cho nhiều chức năng xã hội khác nhau Một cách tương tự, việc xem toán học như là một ngôn ngữ kéo theo HS phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan đến bài toán và các

em cũng phải học để sử dụng các ý tưởng như vậy để giải quyết các vấn đề không quen thuộc trong nhiều tình huống được xác định theo các chức năng

xã hội

3.3 Toán học hoá

OECD/PISA kiểm tra các năng lực của HS để phân tích, suy luận và giao tiếp các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi

HS sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm học đường và cuộc sống Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”

Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình,

“các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678) Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa Những bước này được chỉ ra ở Hình 1

Hình 1 Quy trình toán học hóa

(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp; (3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế;

(4) Giải quyết bài toán;

(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 Xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán, (de Lange, trong PISA)

Một khi HS đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình

có thể tiếp tục trong toán học HS sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết Các em sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988) Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:

 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

 Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;

nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công nhận này là:

 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó

Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc

4 Các kết quả nghiên cứu liên quan

Có rất nhiều nghiên cứu phân tích những lợi ích của việc sử dụng các biểu diễn trực quan động góp phần đổi mới phương pháp dạy học

Như trong bài báo với tiêu đề “Tích hợp công nghệ thông tin với nghiên cứu bài học để giúp GV toán tự nâng cao năng lực và hoàn thiện nghiệp vụ sự phạm” của Trần Vui (2006), đã nói lên việc sử dụng công nghệ thông tin kết

hợp với nghiên cứu bài học như là một công cụ để phát triển tay nghề dạy học của GV

Trong bài báo với tiêu đề " Những đóng góp đáng quan tâm của các biểu diễn trực quan trong việc dạy toán" của Trần Vui, Trường ĐHSP Huế đã các định

vai trò của biểu diễn trực quan trong hệ thống biểu diễn toán Những kết quả nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa các lời giải toán học thuần túy kí hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán

Nhóm tác giả Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2007) đã nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ HS khám phá các chủ đề trong nội dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động, thiết kế bằng phần mềm GSP Các sách chủ yếu bám sát nội dung sách giáo khoa Kèm theo mỗi cuốn sách là một đĩa CD các mô hình thao tác được sắp xếp trình tự theo các nội dung kiến thức của sách giáo khoa Những đầu sách này là tài liệu bổ ích cho GV và HS trong dạy và học toán

Bên cạnh đó, đề tài nghiên cứu “Thiết kế mô hình toán phục vụ dạy học giải quyết vấn đề trong hình học 10 nâng cao” của tác giả Trương Thị Hồng Thủy

(khóa luận tốt nghiệp, 2007) Trong đề tài, tác giả đã đùng phần mềm GSP thiết kế các mô hình động để dẫn tới một số định nghĩa và hướng giải quyết các bài toán trong chương trình hình học 10 nâng cao

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU

1 Giới thiệu

Với mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử dụng các biểu diễn trực quan động thông qua việc khám phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng Chương này nhằm giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu của khóa luận Chương bao gồm: Thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập và phân tích dữ liệu

2 Phương pháp nghiên cứu

 Khảo cứu: Khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về biểu diễn trực quan động như bài báo, khóa luận, luận văn, sách để biết được họ làm

gì, thiếu gì

 Định tính: Phân tích các quá trình khám phá dựa trên các biểu diễn trực quan động Từ đó, đưa ra kết luận Đồng thời, phần nào giải thích được tại sao HS có được kết quả nào đó

 Định lượng: Thống kê các kết quả khám phá khi tiến hành thực nghiệm

sư phạm

3 Thiết kế quá trình nghiên cứu

 Nghiên cứu phần mềm The Geometer’s Sketchpad để xây dựng các mô hình động nhằm hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng

 Nghiên cứu các tác động của phần mềm động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng

 Tiến hành thực nghiệm dựa trên các phiếu hỏi, phiếu thăm dò ý kiến

HS và GV để từ đó thấy được tác động tích cực và con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động

4 Đối tượng nghiên cứu

Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: HS lớp 10, lớp 11 HS sẽ được nghiên cứu trong một lớp học của trường trung học phổ thông Hai Bà Trưng ở thành phố Huế

5 Công cụ nghiên cứu

 Kế hoạch bài dạy: Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trong 1 tiết, đưa

ra ba mô hình có trong khóa luận Đó là, mô hình phát hiện định lý sin trong tam giác, hai mô hình của bài toán 1 và bài toán 2 trong nội dung các bài toán quỹ tích

 Các mô hình động: Chúng tôi sẽ thiết kế một số mô hình động như: Mô hình phát hiện định lý cosin, định lý sin, một số mô hình của bài toán quỹ tích, mô hình khám phá kiến thức phép biến hình và mô hình bài toán thực tế

 Phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập: Chúng tôi sẽ thiết kế phiếu trắc nghiệm bằng những câu hỏi thăm dò ý kiến HS và GV, thiết kế phiếu học tập theo các mục đích nghiên cứu đã đề ra

6 Quy trình thu thập dữ liệu

 Khảo cứu để có những nền tảng lý thuyết cần thiết cho khóa luận

 Chuẩn bị các mô hình động về hình học phẳng trong sách giáo khoa hình học và một số bài tập liên quan đến kiến thức lớp 10, lớp 11, phiếu học tập Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu các biểu diễn trực quan động của một số định nghĩa hay bài toán trong tiết dạy HS sẽ quan sát, sau đó, GV đưa ra các câu hỏi vấn đáp để HS khám phá kiến thức Nhà nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập

 Thông qua các hoạt động dạy - học của GV và HS chúng tôi nghiên cứu

và trả lời cho câu hỏi: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập, các biểu diễn trực quan động có tác dụng tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học ra sao, con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ

của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào

7 Quy trình phân tích dữ liệu

 Với dữ liệu từ các câu hỏi vấn đáp, các phiếu học tập, phiếu trắc nghiệm, các bảng hỏi đối với học sinh được nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phân tích quá trình khám phá kiến thức hình học phẳng góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ ba

 Với dữ liệu thu được từ học sinh, chúng tôi thấy được các tác động của phần mềm động trong việc học toán của học sinh, thấy được các điểm mạnh, các hạn chế của phần mềm như thế nào, góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất

 Với dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu phần mềm GSP, chúng tôi nghiên cứu cách sử dụng hiệu quả các tính năng trong phần mềm, từ đó xây dựng các biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời giáo viên sử dụng như thế nào

để dạy hiệu quả hơn, góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai

8 Các hạn chế

Việc tiến hành dạy thực nghiệm có thể gặp nhiều khó khăn Các câu hỏi đưa

ra nhằm hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức có thể chưa phù hợp với học sinh của lớp đang nghiên cứu Nội dung trong phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể quá khó hoặc quá dễ đối với học sinh Do đó, thu thập dữ liệu không theo chứng kiến của mình Kết quả của các phiếu trắc nghiệm, phiếu trắc nghiệm

có thể có độ chính xác không cao Kết quả nghiên cứu lấy từ lớp chúng tôi nghiên cứu có thể không phù hợp với các đối tượng khác

9 Tóm tắt

Trong chương 3, chúng tôi đã thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và dự đoán những khó khăn có thể mắc phải Từ đó, đưa ra kết quả nghiên cứu trong chương 4 một cách có hệ thống và khoa học

Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Giới thiệu

Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng thiết kế được trình bày ở chương 3 Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thu được, để lần lượt trả lời các câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1

2 Các kết quả nghiên cứu

2.1 Kết quả cho hỏi nghiên cứu thứ nhất:

Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động

trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập?

Chúng tôi chọn nội dung 1 và nội dung 2 để đưa vào nghiên cứu bởi vì, chúng tôi thấy rằng, định lý cosin và định lý sin trong tam giác là hai kiến thức khá quan trọng trong hệ thống kiến thức lớp 10 Đồng thời, quá trình khám phá hai định lý này sẽ giúp HS bước đầu có những tư duy logic, tư duy sáng tạo và tư suy phê phán

Nội dung 1: Định lý cosin trong tam giác

Hình 2

Mở file kl | 1.gsp

c

A' B'

B A

C

Hình 3 Mô hình phát hiện định lý cosin

1 Giới thiệu cách dựng mô hình:

 Dựng tam giác ABC có các cạnh tương ứng a b c, ,

 Trên mỗi cạnh dựng các hình vuông và hình bình hành như hình 2

2 Khảo sát mô hình:

 Di chuyển C tới các vị trí: C nằm trong, C nằm trên và C nằm ngoài nửa đường tròn để HS quan sát tất cả các trường hợp

H: Tính diện tích các hình vuông màu đậm, màu nhạt và diện tích hình

vuông ABA B' ' theo a b c, , ?

H: Dự đoán về sự bằng nhau của hai hình bình hành?

H: Sau đó, GV áp dụng Measure | Area để HS quan sát và đưa ra nhận xét

đúng đắn về diện tích hai hình bình hành?

Trường hợp điểm C nằm trên nửa đường tròn

Mở file kl | 2.gsp

1 Liệu ta có thể ghép hai hình

vuông màu đậm và màu nhạt

thành hình vuông ABA B' ' được

không? Nếu được thì tiến hành

như thế nào?

2 Sau đó, GV nhấn nút cat để HS

quan sát

H: Từ đó, em hãy đưa ra một hệ

thức liên hệ giữa diện tích các

hình vuông nói trên?

c

b

a

A' B'

B A

C

Hình 4 Điểm C nằm trên đường tròn

Trường hợp điểm C nằm trong nửa đường tròn

B A

C

Hình 5 Điểm C nằm trong đường tròn

Trường hợp điểm C nằm ngoài nửa đường tròn

H: Hãy tính phần diện tích còn dư

của hình vuông màu đậm và hình

vuông màu nhạt khi tiến hành

B A

C

Hình 6 Điểm C nằm ngoài đường tròn

 Kéo rê điểm C di động bất kì sao cho C nằm ngoài đường tròn

H: Với diện tích hình vuông màu đậm, hình vuông màu nhạt, hình vuông

' '

ABA B và diện tích hai hình bình hành như trên Em hãy đưa ra đẳng thức liên hệ giữa các diện tích đó trong trường hợp này?

Vậy, với tam giác ABC có BCa CA, b AB, c Ta có đẳng thức gì?

Nội dung 2: Định lý sin trong tam giác

C

A

B

Hình 7

1 Trường hợp tam giác ABC vuông tại A

 Mở file kl | 4.gsp

H: Khi kéo rê điểm A, ta thấy góc

·

ABC và góc BCA· thay đổi phụ

thuộc vào b c, , còn các yếu tố nào

không thay đổi?

 Như vậy, ta có thể nghĩ đến việc so

sánh sự thay đổi của hai tỷ số

C B

Hình 8 Tam giác ABC vuông tại A

H: Nhận xét về sự thay đổi của các tỷ số

ABC BCA khi kéo rê điểm

A quanh đường tròn đường kính BC?

H: Vậy, ta có hệ thức liên hệ giữa các đối tượng a b c, , ,

sinBAC, sinABC, sinBCA R, như thế nào?

 Nhấn nút ABC đều để học sinh quan sát hình

2 Trường hợp tam giác ABC đều

 Nhấn nút tiso

H: Quan sát hình và cho biết đẳng

thức trên còn đúng với tam giác

ABC đều không?

H: Tính sinCAB· , sin·ABC, sin·BAC?

H: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC được xác định như

C B

Hình 9 Tam giác ABC đều

 Kéo rê các điểm A B C, , bất kì

Trường hợp tam giác ABC thường

Kéo rê một trong các yếu tố sau: điểm

A, điểm B, điểm C, bán kính R

H: Khi đó đẳng thức còn đúng

không?

lớn của góc ·BAC và góc · 'BA C khi

góc ·BAC nhọn và khi góc BAC· tù?

Hãy chứng minh cho nhận xét đó?

C B

Hình 10 Tam giác ABC thường

Tương tự cho góc ·ABC BCA, ·

Vậy, với tam giác ABC bất kỳ ta có đẳng thức gì?

Nội dung 3: Các bài toán quỹ tích

Các bài toán quỹ tích là kiến thức tương đối khó Do đó, chúng tôi nghiên cứu vấn đề này nhằm giúp HS nắm chắc hơn kiến thức Cụ thể, chúng tôi đưa bài toán 1 tương đối dễ, tuy nhiên, HS phải hiểu rõ định nghĩa elip Bài toán 2, đòi hỏi các em không những nắm chắc kiến thức mà còn phải thấy được mối quan

hệ giữa các đối tượng bất biến và biến thiên Bài toán 3 sẽ giúp HS giải một bài toán quỹ tích dựa trên tọa độ của các đối tượng Giúp HS có cái nhìn mới trong việc giải các bài toán quỹ tích

 Lấy 1 điểm C bất kỳ trên đoạn AB, chọn lần lượt B C, vào

Transform | Mark Vector;

 Chọn F2, áp dụng Transform | Translate

 Lấy điểm A bất kỳ trên đường tròn Dựng đoạn thẳng AF1, AF2

 Dựng đường trung trực đoạn AF1:

 Dựng trung điểm đoạn AF1: Chọn đoạn thẳng AF1, áp dụng

Construct | Midpoint;

 Chọn trung điểm vừa dựng, chọn đoạn thẳng AF1, áp dụng

Construct | Perpendicular Line

 Xác định giao điểm của đường trung trực đoạn AF1 và AF2: Áp dụng

Point Tool

 Tạo vết cho quỹ tích điểm M : Chọn M vào Display | Trace Objects

2 Hướng dẫn học sinh khám phá:

 Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng:

 Gọi đường tròn cần dựng là ( )C có tâm O, bán kính a

 Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc trong với (C1): OO1r1a;

 Điều kiện cần và đủ để ( )C tiếp xúc ngoài với (C2): OO2r2a;

 Từ đó, ta dựng được điểm M sao cho OO1OO2 r1r2

 Áp dụng Compass Tool để vẽ đường tròn tâm F2 bán kính 2a;

 Từ đó vẽ được hai đường tròn cố định

 Lấy điểm A bất kì trên (C1);

 Dùng Compass Tool dựng đường tròn (C3) tâm A bán kính r2;

 Chọn lần lượt O A1, áp dụng Construct | Ray dựng tia O A1 Tia O A1 cắt đường tròn (C3) tại hai điểm B C, Trong đó, O B2 r1r2;

 Dựng đường trung trực O B2 cắt tia O A1 tại O;

 Điểm O vừa dựng là tâm đường tròn cần tìm

2 Hướng dẫn học sinh khám phá:

 Xét đường tròn ( )C tâm O bán kính a, tiếp xúc trong với đường tròn 1

(C) tại M , tiếp xúc ngoài với đường tròn (C2) tại N

 Quan sát hình vẽ và đánh dấu vào các ô tương ứng:

H: Từ đó, hãy nêu mối liên hệ giữa các đối tượng thay đổi và cố định ?

đường tròn (C1), (C2)?

Bài toán 3:

Cho hai đường tròn ( )C và ( ')C có phương trình :

( ) :C x y  4 và ( 'C ) :x y  1.

Các điểm A B, lần lượt di động trên ( )C và ( ')C sao cho Ox là phân

giác của góc ·AOB Gọi M là trung điểm AB Lập phương trình quỹ tích của M

 Lấy điểm B bất kỳ trên (C2)

Lấy điểm B1 đối xứng với B

qua Ox: Kích đúp vào Ox, chọn

B , áp dụng Transform | Reflect;

 Điểm A cần tìm là giao điểm

của đường thẳng OB1 và đường

tròn ( )C

(C)

(C')

x y

M

A B'

H: Kéo rê điểm B, hãy quan sát tọa độ B1 Khi đó, hãy cho biết B1 có mối liên quan với B như thế nào?

 Đo tọa độ điểm A, B C,

(chọn A, B C, , áp dụng Measure | Coordinates)

B?

H: M x y( , ), hãy biểu diễn tọa độ điểm M theo tọa độ điểm B? Kết hợp thêm điều kiện B( ')C ta có điều gì?

Nội dung 4 : Khám phá một số kiến thức của phép biến hình

Phép vị tự là phép biến hình tương đối khó, chúng tôi chọn nội dung bài toán

1 để nghiên cứu nhằm mục đích giúp HS nắm chắc được kiến thức cơ bản của phép biến hình từ đó phát triển khả năng quan sát của HS Bài toán 2, nhằm mục đích củng cố các phép biến hình, các em thấy được mối quan hệ giữa các phép biến hình

giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k ,biến góc thành góc bằng nó

Mở file kl | 8.gsp

 Mở trang mới;

 Dựng đường thẳng d, trên d lấy

điểm M và điểm O nằm ngoài d

 Dựng điểm M' là ảnh của điểm M

H: Có nhận xét gì về đường thẳng và ảnh của nó qua phép vị tự?

H: Làm thế nào để xác định ảnh của một đường thẳng qua một phép vị

 Dựng tam giác ABC

và miền trong của nó

N

Hình 16

Cho điểm N di động trên biên của tam giác ABC

xét gì về tam giác và ảnh của nó qua phép vị tự?

Từ đó, hãy cho biết:

H: Ảnh của đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự là gì?

Làm thế nào để xác định ( ')I là ảnh của đường tròn ( )I qua một phép

vị tự?

H: Phép vị tự có bảo toàn độ lớn của một góc không?

chính nó?

Thay đổi tỉ số k Nháy các nút điều khiển và quan sát, nhận xét, cho dự đoán

về các câu hỏi trên Từ đó, đi đến định lý và hệ quả có nội dung là bài toán 3

Bài toán 2: Củng cố phép biến hình

1

a b



Hình 17