Dạy học phát triển tư duy cho học sinh lớp 6 qua chuyên đề phân số

Mục lục Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cớ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiên kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 2 17 18 18 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước nhiệm vụ tâm xuyên suốt tất cấp học hệ thống giáo dục nói chung Việt Nam nói riêng Công tác dạy học không trang bị cho em học sinh kiến thức khoa học nhân loại mà phải giúp cá nhân học sinh phát huy tối đa lực em từ mồi em phát triển kiến thức, lực nhân cách người Để thực mục tiêu chiến lược giáo dục, đào tạo giai đoạn Nhiệm vụ người giáo viên phải nâng cao chất lượng dạy học Việc nghiên cứu đổi phương pháp giảng dạy để đem lại hiệu cao việc làm quan trọng giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách chủ động, hỗ trợ em tự tìm tòi, nghiên cứu kiến thức từ sách giáo khoa, sách tham khảo từ thực tiễn cách xác, khoa học, đồng thời khơng ngừng phát triển tư kỹ học sinh cách linh hoạt Đặc biệt với mơn tốn, khơng giúp em có kiến thức mơn tốn, có kỹ giải tốn, khả vận dụng toán vào sống mà phải giúp em phát triển lực tư duy, từ em linh hoạt hơn, sáng tạo học toán, linh hoạt sáng tạo việc giải tình đặt đời sống sản xuất Chính tơi nhận thấy mơn tốn, ngồi việc học sinh học lý thuyết, làm tập…thì việc khai thác kiến thức từ toán sang thành toán khác quan trọng cần thiết để phát triển tư Đặc biệt chương trình dạy- học tốn lớp (đầu cấp) Việc mở rộng từ toán thành tốn khác kỹ chun sâu mơn tốn Chính lẽ giáo viên nhiều năm giảng dạy đúc kết kinh nghiệm để đưa số phương pháp dạy học với mục đích giúp cho học sinh có hứng thú học mơn toán tốt Hơn năm gần cấp tiểu học em khơng kỳ thi học sinh giỏi, điều mà hội để em phát triển tư sáng tạo bị hạn chế Khả tư trừu tượng, khái quát hóa, cụ thể hóa bị hạn chế nhiều Vì tơi chọn đề tài “DẠY HỌC PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP QUA CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ” 1.2 Mục đích nghiên cứu Thơng qua việc Thơng qua dạy học chun đề phân số, nhằm kích thích tư sáng tạo, giúp em biết nghiên cứu sâu cách cho em tập dượt dùng số thao tác tư duy, khái quát hóa, tương tự hố,… để tự đặt, thay đổi tốn từ toán ban đầu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Toàn học sinh khá, giỏi lớp - Phạm vi: Học sinh lớp trường THCS Cẩm Thành Các năm 2016-2017 2017-2018 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Thực nghiệm - Thống kê, phân tích kết NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Tư q trình nhận thức phản ánh thuộc tính chất mối liên hệ quan hệ có tính quy luật vật tượng khách quan mà trước ta chưa biết Tư có đặc điểm: Tính có vấn đề Tính khái qt Tính gián tiếp Tư người có quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ Tư có quan hệ với nhận thức cảm tính Tư hành động Mỗi hành động tư trình giải nhiệm vụ nảy sinh trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn: Quá trình tư bao gồm nhiều giai đoạn liên tục: từ gặp tình có vấn đề nhận thức vấn đề vấn đề giải Sau giải lại làm nảy sinh vấn đề mới, khởi đầu cho q trình tư phức tạp Các thao tác tư bao gồm: Phân tích, tổng hợp; So sánh; Khái qt hóa, trừu tượng hóa Theo Carol Dweck, nhà tâm lí học đại học Stanford tư chi làm loại “Tư cố định” “Tư phát triển” Tư không nuôi dưỡng, phát triển hợp lí tư cố định, bất biến, người khó có thành cơng Còn tư ni dưỡng, hợp lí phát triển tư phát triển tích cực sinh sơi mạnh mẽ thách thức nhìn nhận thất bại “không phải chứng cho không hiểu biết mà bước đệm cổ vũ cho phát triển lâu dài lực.” Nếu bạn có trí thông minh định, lực định phẩm chất đạo đức định, tốt hết nên chứng minh yếu tố ổn Khơng nên nhìn nhận hay cảm thấy thiếu thốn nhân tố này.” Dweck nói: “Tư cố định tác động tiêu cực đến mặt sống.” “Tôi thấy nhiều người bị tư cố định (fixed mindset) chi phối khả đặt mục tiêu trình học tập, nghiệp mối quan hệ Những trường hợp đòi hỏi thừa nhận trí thơng minh, phẩm chất hay cá tính họ Mọi trường hợp bị đánh giá: Tôi thành công hay thất bại? Trông thật thông minh hay ngu ngốc? Liệu tơi có chấp nhận hay bị từ chối? Tơi cảm thấy người thắng hay kẻ thua?” Tuy nhiên, bạn bắt đầu nhìn thứ cách khả biến, tình sáng tỏ “Tư phát triển tích cực dựa niềm tin phẩm chất thứ bạn trau dồi thơng qua nỗ lực Mặc dù người khác cách thể tài ban đầu khiếu, sở thích khí chất, họ thay đổi trưởng thành thơng qua ứng dụng trải nghiệm.” Chính mà việc bồi dưỡng nhân tài việc người thầy phải biết sử dụng phương pháp dạy học tích cực để giúp người học phát triển tư cách tốt Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không đơn truyền thụ kiến thức cho học sinh mà phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết, phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua luyện tập, thực hành thí nghiệm Đối với mơn tốn, việc giải tập xem hình thức vận dụng kiến thức học vào thực tế, vào trường hợp cụ thể Bài tập mơn tốn khơng giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hố kiến thức, rèn luyện kỹ mà hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự tìm kiến thức Tuy nhiên, để đạt hiệu quản trên, người giáo viên phải biết tổ chức cách khéo léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó qua việc sử dụng linh hoạt phương pháp dạy học tích cực Chính từ sở mà việc dạy học tốn không đơn dạy kiến thức khoa học cho học sinh mà phát triển lực tư cho em Hơn học sinh lớp lớp đầu cấp THCS năm học mà em nhiều bỡ ngỡ với nhiều thầy cơ, nhiều môn học, học nhiều kiến thức so với cấp tiểu học Năng lực tư em nhiều hạn chế Các em nặng thói quen vừa chơi, vừa học, học chơi Chưa thực ý thức mục đích việc học, ý ngĩa việc học tập 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy nhiều năm thấy khả tư học sinh lớp nhiều hạn chế, đặc biệt khả khái quát hóa, cụ thể hóa… Hơn cách học học sinh q thụ động, lười tìm tòi sáng tạo, chưa biết vận dụng khai thác toán học vào giải tập Gần biết tốn mà thầy cho làm, mà khơng có tính sang tạo suy luận, tư Thời điểm Số HS Số HS Khái quát Số HS khai thác Khá giỏi toán toán khảo SL % SL % sát Năm 2015-2016 10 30 10 2.3.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Trong tiết luyện tập, ôn tập tiết tăng cường lồng kiến thức vào tiết dạy nhằm phát triển tư học sinh tạo hứng thú, không nhàm chán học tập em giỏi Trong chương trình tốn lớp THCS có nhiều dạng tập chọn số dạng tốn sau: 2.3.1 Dạng tốn tính tổng theo quy luật * Phát triển khả khái qt hóa Ví dụ1: Cho dãy số: 1 1 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 10 12 14 16 18 Hãy viết thêm số tiếp dãy Hãy viết số hạng tổng quát dãy Giải: Mẫu số chẵn liên tiếp 1 ; ; 20 22 24 Số hạng tổng quát Với n ∈ N * 2n Nên số Như qua toán học sinh vừa nắm quy luật dãy, từ biết cách viết số hạng tổng quát Bước đầu có khả tư khái qt hóa Ví dụ 2: Hai phân số 1 ; có tính chất tích hiệu Tức 1 = 1 3− − = = 6 a Em tìm them cặp phân số có tính chất b Hãy viết cặp phân số tổng qt có tính chất Giải: a Các cặp phân số có tính chất hiệu tích 1 1 1 ; ; ; …… b Đó cặp số có tử mẫu hai số nguyên liên tiếp Cặp phân số tổng qt có tính chất tích hiệu 1 ; n n +1 Từ giáo viên đặt them câu hỏi: Hãy chứng minh khẳng định Giải Quy đồng mẫu, ta được: - = = 1 = n n + n(n + 1) Vậy: 1 1 = − n n +1 n n +1 * Phát triển tư qua khai thác toán Từ Bài tốn ví dụ giáo viên hướng dẫn học sinh phát triển thành tốn Bài tốn 1: Tính tổng A = + + + + + + * Định hướng tư duy: Trong tổng A: Mỗi tích phân số có tử mẫu chúng số tự nhiên liên tiếp có dạng: n n+1 Như tích có dạng : Từ áp dụng tốn ví dục ta A= - + - + - + - + - + - + = - = Các toán tương tự Tính tổng: B = + + + + + + C== + + + + + Tiếp theo giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác tiếp: Nếu hai phân số có mẫu cách 2; 3; 4; đơn vị tính chất có khơng? Trả lời: Lúc hiệu lần; lần; lần; lần tích chúng Như ta có tốn sau: Bài tốn 2: Tính tổng D= + + +…+ a E= + + +…+ b * Định hướng tư duy: Bài tốn tính tổng phân số có tử giống (bằng 1) mẫu phân số tổng tích số tự nhiên khác hai đơn vị Ở tổng D, mẫu phân số tích số tự nhiên chẵn liền Ở tổng E, mẫu phân số tích số tự nhiên lẻ liền Muốn có cách giải tốn tử cần phải có số mấy? HS: Phải có số GV: Vậy em tính 2.D từ tính D * Tìm lời giải: Áp dụng cách giải toán cách xét hiệu sau: - ; - ;…; -; -;… Ta có: - = ; - = ; …; - = - = ; - = ;…; - = * Cách giải: Từ nhận xét , để giải ta nhân D E với 2D = + + + … + 2E = + + + …+ Vậy: 2D = - + - + - + + = - = ⇒D = : = 2E = - + - + - +…+ - = ⇒E = : = Từ kết ta xét tiếp tập đây: Bài tốn 3: Tính nhanh tổng sau: a S1 = + + + … + b S2 = + + + … + c S3 = + + + … + * Định hướng tư duy: Bài toán tính nhanh tổng: Mỗi tổng dãy cộng phân số có tử mẫu phân số tích số tự nhiên cách khoảng định Ở câu a: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên đơn vị Ở câu b: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên đơn vị câu c: Mẫu phân số tổng lại tích số tự nhiên cách 10 đơn vị Ở cách giải toán 2, ta nhận thấy: Mẫu phân số tổng đơn vị, ta nhân tổng cho với ( khoảng cách thừa số mẫu) viết phân số thành hiệu phân số Ta xét tương tự phân số S1 , S2 , S3 Nhận xét thấy: = - ; = - ;… =1 - ; = - ;… Ta có: =1 - ; 10 1 − ;… = 11.21 11 21 * Cách giải: a 3S1 = + + + … + = - + - + - + …+ = -= = ⇒ S1 = : = ( tính S1 ) b 5S2 = + + + … + = - + - + - + …+ = - = ⇒ S2 = : = (có thể tính S2 ) c 10S3 = + + + … + = - + - + - + …+ - = - = ⇒ S3 = : 10 = ( tính S3 ) Từ tốn ban đầu, ta có tốn 2, tốn tính nhanh chóng tổng tương đối phức tạp khơng khó khăn Bây ta xét tiếp toán sau: Bài tốn 4: Tính tổng sau: a S4 = + + + … + b S5 = + + + … + * Định hướng tư duy: Bài toán cho có điểm giống với tốn giải là: Mẫu phân số tổng tích số tự nhiên liền có tử Tuy nhiên, mẫu phân số lúc lại thừa số mà lại hay thừa số + Ở tổng S4: Mỗi phân số tổng có mẫu tích số tự nhiên liền (theo thứ tự tăng dần) + Ở tổng S5: Mỗi phân số tổng có mẫu tích số tự nhiên liều (theo thứ tự tăng dần) Ở toán 3, mẫu phân số tổng tích thừa số, ta đưa chúng dạng hiệu phân số Hãy xét hiệu: - ; - ;… - ; - ;… Ta có: - = ; - = ; … - = ; - = ;… * Cách giải: a 2S4 = + + + … + = - + - + - + …+ = - = ⇒ S4 = b.3S5 = + + + …+ = - + - + - + …+ = - = ⇒ S5 = Tóm lại: Việc tính tổng có quy luật tổng xét Nếu thay đổi chút toán chẳng hạn: + ; … Vậy cách tính có khác khơng? Hãy xét tiếp tập Bài tốn 5: Tính tổng: S6 = + + + …+ S7 = + + + …+ * Định hướng tư duy: Bài toán tính tổng gần giống tổng S4 Dãy cộng phân số có tử mẫu phân số tích số tự nhiên lẻ liền nhau, chẵn liền Phải quy luật giống toán giải trên? ( S6 ) Ta xét hiệu trên: - ; - ; … Ta có: - = ; - = ; - = ; … * Cách giải: 4S6 = + + + …+ = - + - + - + …+ - = - = (2n + 1)(2n + 3) − => S6 = 12(2n + 1)(2n + 3) ( S7 giải tương tự ) Bài toán 6: Tính tổng: 4 4 + + + + + 1.7 7.13 13.19 19.25 43.49 8 8 + + + + S9 = 1.5 5.9 9.13 25.29 2 5 52 52 S10 = + + + + + 2.3.4 3.4.5 4.5.6 37.38.39 38.39.40 S8 = * Định hướng tư duy: Bài tốn có dãy cộng phân số có tử lớn mẫu phân số tương tự tập + Ở tổng S8: Mỗi phân số tổng có tử mẫu tích số tự nhiên đơn vị + Ở tổng S9: Mỗi phân số tổng có tử mẫu tích số tự nhiên đơn vị + Ở tổng S10: Mỗi phân số tổng có tử mẫu tích số tự nhiên liền (theo thứ tự tăng dần) Đưa toán dạng tốn có tử bằng cách áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng mẫu giữ ngun tốn giống toán giải 4 4 + + + + + 1.7 7.13 13.19 19.25 43.49 1 1 + + + + = 4( + ) 1.7 7.13 13.19 19.25 43.49 1 1 1 => 6S8 = 4(1- + + - +…+ ) 7 13 13 19 43 49 48 = 4(1 )= 49 49 48 32 => S8 = :6= ( S9, S10 giải tương tự) 49 49 S8 = Nhận xét: Như cách giải toán 5, khơng có khác so với cách giải tốn trước Từ cách giải nhận xét trên, em tự đặt tốn tương tự giải khơng khó khăn * Khai thác thêm: ( Người ta hỏi ta cách khác) chẳng hạn: Chứng minh: A = + + +…+ < B = + + +…+ < Trước hết ta nhận xét: Hai biểu thức trường hợp cụ thể toán Như từ cách giải toán ta tính nhanh chóng giá trị biểu thức A Đối với tổng B, tử phân số 36, mà 36 = 9.4, cách tính tổng B cho khơng khác cách tính tổng S6 Từ nhận xét trên, ta có: A = ( - + - + - + …+ - ) = (- ) = = Do < = suy A < B = 9( + + + …+ ) = 9( - + - + - + …+ - ) = 9( - ) = = Do < = Từ suy B < Qua nội dung toán trên, kết hợp với toán giải, em lại đặt tốn tương tự để giải Trở lại tập1: Bây ta lại xét toán theo nội dung khác, chẳng hạn: Bài tốn 7: Tính nhanh tổng sau: P= + + + +… + 215 * Định hướng tư duy: Khác với toán trên, toán tính nhanh tổng phân số có tử 1, mẫu phân số tổng có số mũ khác (Từ đến n) Vậy làm để tính nhanh áp dụng (1) khơng? Liệu số hạng tách thành hiệu hai phân số nào? Để ý, ta có: = – = – = = - = = = - = = = - = - ; …; 15 * Cách giải: P = + + + +…+ 1 = 214 - 215 215 1 = (1- ) + ( - ) + ( - ) + ( - ) + … + ( 214 - 215 ) = - + - + - + - + …+ 214 - 215 Vậy P = - 215 Như vậy, để giải toán ta tách phân số thành hiệu hai phân số thu dãy cộng, trừ phân số đối giống quy luật tốn nhanh chóng tính giá trị P Nếu để ý ta lại có cách giải khác sau: Ta có: + = + = = - = + + = + = = 1- = 1+ + + = + = = 1- = 1- … + + + +…+ + = Đây cách giải suy luận phổ biến áp dụng cho nhiều dạng tập GV định hướng để có tốn tổng quát: Em phát triểm thành toán tổng quát? Và kết toán tổng quát Tính nhanh tổng sau: P= + + + +… + 2n Kết quả: Tính nhanh tổng sau: P = 1- 2n Mặt khác, GV hướng dẫn để học sinh tìm cách giải khác độc đáo khác áp dụng từ cách giải dạng tập phổ biến – So sánh, chẳng hạn: Tổng A = +2 + 23 + … + 210 có chia hết cho khơng? Để giải tốn này, ngồi cách áp dụng tính chất kết hợp phép cộng tính chất phân phối phép nhân phép cộng, ta xét hiệu sau 2A – A (bằng A) Khi đó, dễ dàng tìm giá trị A Hãy thử áp dụng cách với P Ta có: 2P = + + + + …+ + = + + + + +…+ + => 2P-P = 1+ + + + …+ + - (++ + +… + +) P=1Nhận xét: Cách giải giúp ta tính tổng P khơng khó khăn, 2P – P = P Với cách giải ta lại có vơ số tập tương tự, chẳng hạn: Các toán tương tự Bài tốn 8: Tính tổng Q = + + + + … + R = + + + + …+ Áp dụng cách làm ta có: 3Q = + + + + … + =1+ + + + + …+ 3Q - Q = 1+ + + + +… + -( + + + +… + ) 2Q = Q = (1 - ): (Cách tính R tương tự ) 2.3.2 Dạng tốn tính tìm x biết Sauk hi dẫn dắt cho em nghiên cứu toán dạng tịnh toán giáo viên định hướng cho em chuyển sang tốn tìm x Với cách sử lí tốn ta dễ dàng giải tốn tìm x sau: Bài tốn 1: Tìm số tự nhiên x, biết: + + + +… + = (*) * Định hướng tư duy: Bài tốn u cầu tìm số tự nhiên x từ đẳng thức, vế trái đẳng thức dãy cộng phân số có tử mẫu số tự nhiên khác nhau, phân số cuối dãy có mẫu dạng tích hai số tự nhiên liên tiếp giống tổng C toán 1; vế phải đẳng thức phân số có tử nhỏ mẫu đơn vị Trước hết để ý mẫu số: = 2.3; 12 = 3.4 ; 20 = 4.5 ;…như mẫu phân số vế trái đẳng thức cho tích hai số tự nhiên liên tiếp Dãy cộng tổng C tốn Từ suy cách giải * Cách giải: + + + +…+ Ta có: = + + + …+ =1- + - + - +…+ - =1Vậy (*) 1 - = = - = => x +1= 2005 hay x = 2004 Hoặc biến tướng toán ta có tốn Bài tốn 2: Tìm số tự nhiên x, biết: + + + + … + = (**) * Định hướng tư : Bài có giống tốn khơng ? TL Khơng Vậy ta dùng TC phân số để đưa tốn khơng TL : Nhân tử mẫu với * Cách giải: Ta có: + + + + …+ = + + + +…+ = + + + +…+ = 2.( + + + + … + ) = 2.( - + - + - + - +… + - ) = 2.( - ) Vậy (**) 2( - ) = => - = : = => = - = => x+1 = 4010 hay x = 4010 – = 4009 2.3.4 Dạng tốn tính So sánh phân số Từ toán GV cho học sinh nhận xét kết để có toán sau : Bài toán 3.1 : So sánh a P = + + + + … + với 215 b Q = + + + + … + với c R = + + + + … + với Như cách giải việc ta thực giải toán rút kết luận P < ; Q < ; R< Giáo viên cần định hướng để học sinh phát triển khả khái quát hóa từ cụ thể đến tổng quát Như: Ví dụ 1: So sánh a a +1 a +2 b với a số tự nhiên khác a +2 a +3 Lời giải: a C1: Quy đồng đưa mẫu số C2: = 13 3 = 14 1 1 Mà > nên 1- 1Mà > a + a +3 a +3 a +2 a +1 a + Vậy: < a + a +3 Ví dụ 2: So sánh A B 1002009 +1 100 2010 +1 A= B= 1002008 1002009 * Định hướng tư : Để so sánh ta dùng tính chất phân phối phép cộng với phép chia ta 1002009 +1 1002009 1 A= = + =100+ 2008 2008 2008 100 100 100 100 2008 1002010 +1 1002010 1 B= = + =100+ 1002009 1002009 100 2009 100 2009 C2: Ta có: Lời giải Ta có 1002009 +1 1002009 1 A= = + =100+ 2008 2008 2008 100 100 100 100 2008 1002010 +1 1002010 1 B= = + =100+ 1002009 1002009 100 2009 100 2009 1 > Mà 2008 100 1002009 Vậy A>B Từ Ví dụ ta có tốn mức độ cao Bài toán 1: So sánh A B 1002009 +1 1002010 +1 A= B= 1002008 +1 100 2009 +1 m 2008 +1 m 2009 +1 b A = 2009 B = 2010 với m Ỵ N * m +1 m +1 * Định hướng tư duy: Với ta khơng thể sử dụng ln tính chất phối phép cộng với phép chia Mà ta cần biến đổiTử thành tổng bội mẫu số: 1002009 + = 1002009 + 100 − 99 = 100(1002008 + 1) − 99 1002010 + = 1002010 + 100 − 99 = 100(1002009 + 1) − 99 Lời giải: Ta có 1002009 +1 1002009 +100 - 99 100(1002008 +1) - 99 99 A = 2008 = = =100- 2008 2008 2008 100 +1 100 +1 100 +1 100 +1 1002010 +1 1002010 +100 - 99 100(1002009 +1) - 99 99 B = 2009 = = =100100 +1 1002009 +1 1002009 +1 1002009 +1 99 99 > Mà 1002008 +1 1002009 +1 99 99 < 100Nên 1001002008 +1 1002009 +1 Vậy A ta so sánh mA mB từ dễ dàng so sánh A B m ( m 2008 +1) m 2009 + m m- Ta có: mA = = 2009 = + 2009 2009 m +1 m +1 m +1 m ( m 2009 +1) m 2010 + m m- mB = = 2010 = + 2010 2010 m +1 m +1 m +1 m- m- > 2010 Þ mA > mB A > B 2009 m +1 m +1 Mở rộng: Bài toán tổng quát hoá thành dạng m n+1 +1 m n +1 A = n+1 B = n+2 với m, n Ỵ N * m +1 m +1 Các toán tương tự: Bài 1: So sánh A B 12 23 a / A = 11 + 12 14 14 20 19 + b / A = 20 19 - 12 23 + 1412 1411 1921 + B = 21 19 - B= 50 + 51 + 52 + + 59 c/ A= + 51 + 52 + + 58 n d / A= n +1 n2 - e/ A= n +1 30 + 31 + 32 + + 39 B= + 31 + 32 + + 38 n +2 B= với n Ỵ N n +3 n2 +3 với n Ỵ N B= n +4 Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + + + + < 31 35 37 47 53 61 1 1 1 < b) < + + + 6 100 1 1 1 + + < c) < - + 5 98 99 1 99 < < d) 15 100 10 1 1