SKKN một số các phương pháp rèn cho học sinh kĩ năng giải toán chia hết cho học sinh lớp 6

NỘI DUNG BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN I – MỞ ĐẦU Lí chọn sáng kiến Tốn học mơn học giữ vai trị vơ quan trọng chương trình học học sinh phổ thơng Tốn học mơn học khó địi hỏi học sinh phải cố gắng nỗ lực để nắm bắt kiến thức, địi hỏi em tính xác, khả tư duy, tính sáng tạo, khoa học, hệ thống Vì việc nghiên cứu tìm hiểu nội dung chương trình, phương pháp dạy học giáo viên nhằm giúp em học tốt u thích mơn việc làm cần thiết Đối với chương trình tốn viết sách giáo khoa lượng kiến thức không nhiều tập áp dụng kiến thức phong phú đa dạng, có dạng tốn chia hết Đây dạng tốn bắt gặp xun suốt chương trình tốn phổ thơng Tuy nhiên, em học sinh cịn yếu dạng tốn chí khơng biết giải biết giải lập luận chưa chặt chẽ Vì mà giáo viên cần rèn cho em kỹ giải dạng toán Nếu lớp em khơng làm quen với lập luận chặt chẽ lên lớp em cảm thấy kiến thức áp đặt, từ em khơng có hứng thú mơn học Chính lẽ nên nhiệm vụ giáo viên dạy tốn tìm hiểu, nghiên cứu mặt mạnh hạn chế, khắc phục mặt yếu, có giúp tất em học sinh nắm nội dung kiến thức bản, áp dụng kiến thức để làm tập vận dụng vào sống * Ưu điểm: Học sinh tham gia buổi học tăng thời lượng theo kế hoạch nhà trường đa số học sinh có ý thức học tập Đối với giáo viên: Hệ thống số phương pháp giải toán chia hết dành cho em học sinh lớp Đối với học sinh: Nắm dấu hiệu chia hết cho số 2; 3; 5; Học sinh biết áp dụng định nghĩa, tính chất, dấu hiệu chia hết để làm số dạng toán đơn giản * Nhược điểm: Phần lớn em học sinh bị hổng kiến thức từ lớp nên việc tính tốn, quan sát nhận xét, thực hành giải tốn cịn hạn chế Một số học sinh cịn hiếu động, chưa có động học tập đắn, nhận thức chậm Học sinh áp dụng lý thuyết túy học việc giải tập điều khó khăn, lúng túng, khơng biết làm cách thực phép toán Một số em thỏa mãn học tập, em cho học sách giáo khoa đủ Cho nên em tiếp thu kiến thức cách thụ động, khơng tự mày mị, khám phá kiến thức Vì em hấp tấp giải tập dạng Trong chương trình Sách giáo khoa yêu cầu học sinh nhớ điều kiện đủ dấu hiệu chia hết cho (hoặc 3, 5, 9) mà không dạy điều kiện cần Học sinh chưa biết thêm dấu hiệu chia hết cho số khác dấu hiệu chia hết cho 4; 6; 8; 10; 11 Đa số học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Học sinh lúng túng phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp dạng tốn chia hết, q trình phân tích chưa chặt chẽ, dẫn đến chưa có khả tư sáng tạo, tư tổng hợp Trong trình giảng dạy thân thấy phần lớn em học sinh chưa làm hết tập dạng toán chia hết sách giáo khoa, việc chuẩn bị tập nhà chưa chu đáo Chính mà có nhiều tập giáo viên chữa, hướng dẫn em chưa nắm cách làm, giáo viên cho toán tương tự em chưa làm Do nhận thức em hạn chế nên sáng kiến phương pháp giải tốn chia hết tơi đưa toán đơn giản nhằm giúp cho em biết cách làm phù hợp với khả em 2 Mục tiêu sáng kiến Đối với giáo viên: Hệ thống phương pháp giải toán chia hết hệ thống tập để vận dụng phương pháp Đối với học sinh: Nắm dấu hiệu chia hết cho số 2; 3; 5; biết thêm dấu hiệu chia hết cho số khác dấu hiệu chia hết cho 4; 6; 8; 10; 11 Học sinh có kỹ giải dạng toán chia hết thành thạo áp dụng linh hoạt phương pháp học như: Dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng, hiệu, tích…để giải dạng tốn liên quan tới dạng tốn “chia hết” Thơng qua phương pháp học học sinh xác định hướng giải toán “chia hết” Phạm vi sáng kiến - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp THCS - Không gian: Một số phương pháp rèn cho học sinh kĩ giải toán chia hết cho học sinh lớp - Thời gian áp dụng sáng kiến: Năm học 2018 – 2019 II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận Trong giai đoạn nước ta cần nhiều nhân tài để phục vụ cho công xây dựng đất nước Học giỏi mơn tốn chìa khố để học sinh học tốt mơn khoa học khác, từ trở thành học sinh giỏi tồn diện trở thành nhân tài chất lượng cho đất nước Trong giai đoạn phát triển giáo dục phương pháp dạy học đóng vai trị quan trọng, phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tiếp cận, nắm bắt nhanh chóng kiến thức, học sinh nắm bắt phương pháp học học sinh hiểu chất vấn đề, rút ngắn thời gian học tập có thời gian để nghiên cứu tài liệu nâng cao việc tự học ta cần khuyến khích nhiều Trong năm gần phương pháp dạy học mơn tốn có số cải tiến nhằm phát huy tính tích cực học sinh cách tăng cường hệ thống câu hỏi tập có u cầu phát triển tư q trình giảng dạy Hệ thống tập thể dạng tốn chia hết có vai trị quan trọng giúp cho học sinh phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải xác logic Đó kỹ cần thiết học sinh ngồi ghế nhà trường Có phù hợp với đổi phương pháp dạy học phát huy hết tính tích cực, tư sáng tạo học sinh trường học Cơ sở thực tiễn Đa số học sinh chưa có kỹ giải tốn “chia hết” em chưa biết tốn cần áp dụng phương pháp để giải cho kết nhất, nhanh đơn giản Vì để nâng cao kỹ giải tốn “chia hết” em phải nắm dạng toán, phương pháp gỉải, kiến thức cụ thể hoá bài, chương Có thể nói dạng tốn “chia hết” ln dạng tốn khó học sinh khơng học sinh cảm thấy sợ học dạng toán Bản thân giáo viên dạy tốn tơi mong em cố gắng tìm tịi để giải khơng chút ngần ngại gặp dạng toán Nhằm giúp em phát triển tư suy luận óc phán đốn, kỹ trình bày linh hoạt Hệ thống tập tơi đưa từ dễ đến khó, bên cạnh cịn có tập nâng cao dành cho học sinh giỏi lồng vào tiết luyện tập Lượng tập tương đối nhiều nên em tự học, tự chiếm lĩnh tri thức thông qua hệ thống tập áp dụng này, điều giúp em hứng thú học tập nhiều Hiện tại, học sinh lớp 6A, 6B dạy năm cịn bở ngỡ dạng tốn chia hết, em cảm thấy lạ ngại làm dạng tốn nghĩ khó Vì thế, thiết yếu phải rèn kỹ giải toán chia hết lớp để làm hành trang kiến thức vững cho em gặp lại dạng toán lớp III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN Nội dung kết nghiên cứu sáng kiến: 1.1 Nội dung 1.1.1 Nội dung Tóm tắt kiến thức số phương pháp giải toán chia hết 1.1.1.1 Tóm tắt kiến thức * Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b b  ta ln tìm hai số ngun q r cho: a = bq + r Với  r   b Trong đó: a số bị chia, b số chia, q thương, r số dư Khi a chia cho b xảy  b số dư r  {0; 1; 2; …;  b} Đặc biệt: r = a = bq, ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a Ký hiệu: ab * Một số tính chất chia hết a Với  a  a  a b Nếu a  b b  c a  c c Với  a   a d Nếu a, b > a  b; b  a a = b e Nếu a  b c  ac  b f Nếu a  b  (a)  (b) g Với  a  a  (1) h Nếu a  b c  b  a  c  b i Nếu a + b  c a  c  b  c k Nếu a  b n >  an  bn l Nếu ac  b (a, b) =1  c  b m Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b n Nếu a  b c  d  ac  bd * Dấu hiệu chia hết Chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu Số có chữ số tận chữ số chẵn Số có tổng chữ số chia hết cho Số chia hết cho (hoặc 25) hai chữ số tận lập thành 5 (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 25) Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận lập thành 10 số chia hết cho 8(hoặc 125) Số có tổng chữ số chia hết cho Số có chữ số tận Số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng 11 vị trí lẻ tổng chữ số đứng vị trí chẵn (kể từ trái sang phải) chia hết cho 11 1.1.1.2 Một số phương pháp giải toán chia hết * Phương pháp dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh a chia hết cho b (b khác 0) ta biểu diễn a dạng tích thừa số, có thừa số b (hoặc chia hết cho b) VD: a = b.k a = m.k (m chia hết cho b) * Phương pháp dùng định lý chia có dư: Để chứng minh a chia hết cho b ta xét trường hợp số dư chia a cho b: Ta viết a = b.k + r Rồi xét trường hợp xảy số dư r * Phương pháp dùng tính chia hết tổng, hiệu tích Để chứng minh m chia hết cho n ta làm sau: Ta viết m = a + b mà a Mn b Mn Ta viết m = a - b mà a Mn b Mn * Phương pháp chứng minh quy nạp: Muốn khẳng định An với n = 1, 2, 3… ta chứng minh sau: - Khẳng định A1 - Giả sử Ak với k �1 ta suy Ak+1 - Kết luận An với n =1, 2, 3… * Phương pháp chứng minh phản chứng: Muốn chứng minh khẳng định P ta chứng minh qua bước: - Giả sử P sai - Dựa vào kiến thức biết từ giả sử sai suy điều vơ lí - Vậy điều giả sử sai, chứng tỏ P * Để chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n Nếu (m, n)  tìm cách chứng minh a chia hết cho m, a chia hết cho n a chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Nếu (m, n) �1 ta biểu diễn a = a1.a2 chứng minh a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Sau ôn tập cho học sinh thật kĩ định nghĩa, dấu hiệu các phương pháp để giải tốn chia hết Tơi đưa số dạng tập từ dễ đến khó áp dụng phương pháp để học sinh củng cố thêm kiên thức toán chia hết 1.1.2 Nội dung Một số dạng toán chia hết * Dạng 1: Dạng toán điền vào * để số thỏa mãn điều kiện cho trước Để giải dạng toán cách thành thạo phương pháp thích hợp dựa vào định nghĩa phép chia hết dấu hiệu chia hết số cụ thể sau: Bài 1: Điền chữ số vào dấu * để số 24* a) chia hết cho b) chia hết cho c) chia hết cho Đối với toán giáo viên phải cho học sinh nhớ lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho dấu hiệu chia hết cho a) 24*M2  * �{0; 2; 4; 6;8} b) 24 *M5 � * � 0;5 c) 24*M2 � * � 0 Bài 2: Điền chữ số vào dấu * để a) 2* chia hết cho b) 5*3 chia hết cho c) *82* chia hết cho 2; 3; 5; Giáo viên hướng dẫn học sinh làm tương tự 1: vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho 2; 3; để làm a) 2*7M3 �  *M3 � * � 0;3; 6;9 b) 5*3M9 �  *M9 � * � 1 c) Đặt *82*  a82b a82b M2 a82b M5 b = a820M a820M9 a    0M9 � a  10M9 � a  Vậy 8820 chia hết cho 2; 3; 5; Bài 3: Tìm chữ số a, b cho a) 45abM9 a – b = Giáo viên hướng dẫn học sinh lập luận để số chia hết cho nào? Sau hướng dẫn học sinh cách giải 45ab M �   a  bM � 9ab � a  b � 0;9;18 Mà điều kiện a – b = nên ta loại a + b = a + b = 18 Từ a –b = a + b = Ta tìm a = 6; b = b) 4a7  1b5 chia hết cho a – b = Giáo viên hướng dẫn học sinh lập luận giống ý a: 4a  1b5M9 � (4  10a    10b  5)M9 � 17  10(a  b) M �  a  bM � ab chia dư Mà a  b �a  b  nên a + b = 10 Do đó: a = 8, b = Bài 4: Tìm a, b cho b723a chia hết Đối với tập giáo viên hướng dẫn lập luận dựa vào dấu hiệu chia hết cho cho Trước tiên chia hết cho để tìm a: b723a M4 a = a = Sau dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm b: + Thay a = vào b723a ta b7232 Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho b7232M � b     2M3 � b  14M � b � 1; 4;7 Do đó: Khi a = b � 1; 4;7 + Thay a = vào b723a ta b7236 Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho b7236M � b     6M � b  18M3 � b � 3;6;9 Do đó: Khi a = b � 3;6;9 Bài 5: Thay chữ số x, y chữ số thích hợp số xy chia hết cho 2, cho 4, cho Đối với toán phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 4, Khi xét nên lựa chọn xét chia hết cho trước, sau xét chia hết cho 4; cho xy 2M2 � x, y � 0;1; 2;3; ;9 chữ số tận số chẵn Sau dựa vào dấu hiệu chia hết cho để tìm x, y: � �x � 0;1; ;9 xy 2M4 � � �y � 1;3;5;7;9 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho để loại số x, y không thỏa mãn đồng thời điều kiện trên: � �x � 1;3;5;6;7;9 xy 2M 8� � �y � 1;5;9 Hoặc � �x � 0; 2; 4;6;8 �� �y � 3;7 Bài 6: Tìm chữ số a để 2aaa3M11 Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 11 Ta cần tính tổng chữ số hàng lẻ + a Tổng chữ số hàng chẵn 2a Tiếp tục xét trường hợp để tính hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn cho không âm * Nếu 2a  a + � a  2a – (a + 5) = a -  – = mà (a - 5) 11 nên a - = � a = * Nếu 2a  a + � a  (a + 5) - 2a = - a mà (5 - a) 11 nên 5–a=0 �a=5 Vậy để 1aaa1M11 a = Bài 7: Tìm x để x1234 chia hết cho không chia hết cho Hướng dẫn dựa vào dấu hiệu chia hết cho cho x1234M3 � x  10M � x  1M Vì �x �9 nên x �{2;5;8} (1) Do x1234 không chia hết x =  2;5 Vậy ta số 21234 51234 chia hết cho không chia hết cho Đối với dạng toán cho học sinh (đặc biệt học sinh yếu trung bình) làm thật nhiều tập để học sinh nắm dấu hiệu nhận biết số biết tìm số thích hợp thỏa mãn điều kiện * Dạng 2: Chứng minh chia hết biểu thức số Đối với dạng toán để giải tập cần sử dụng đến dấu hiệu nhận biết chia hết số phương pháp dùng tính chia hết tổng, hiệu tích cụ thể sau: Bài 1: Cho A = 240 + 5235 + 1758 Không thực phép tính xét xem A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho không? Tại sao? Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho để xét xem số hạng A có chia hết cho số Nếu tất số hạng chia hết A chia hết cho số Nếu số hạng khơng chia hết A khơng chia hết cho số Ta có: 240M2 ; 5235 M2 1758M2 nên A  240  5235  1758 M2 240M ; 5235M3 ; 1758M3 nên A  240  5235  1758M3 10 240M ; 5235M5 ; 1758 M5 nên A  240  5235  1758 M5 240 M9; 5235 M9; 1758 M5 nên A  240  5235  1758 M9 Vậy A không chia hết cho 2, không chia hết cho 9; không chia hết cho 5, chia hết cho Bài 2: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho không? a) 2178 + 4653 b) 1026 - 3251 c) 2.11.9.7.19 + 36 Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho phương pháp dùng tính chia hết tổng, hiệu tích để lập luận: a) Ta có 2178M9 4653M9 nên 2178  4653M9 b) Ta có: 1026M9 3251 M9 nên 1026 - 3251 M9 c) Ta có: 2.11.9.7.19 M9 36M9 nên 2.11.9.7.19  36M9 Bài 3: Cho A = 2.3.17.19 + 1.6.4.8 B = 25623 + 45782 Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 3; B chia hết cho Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, cho phương pháp dùng tính chia hết tổng, tích Ta có: 2.3.17.19 M3 (vì 3M3 ) 1.6.4.8 M3 (vì M3) nên A = 2.3.17.19 + 1.6.4.8 M Vậy A chia hết cho Ta có giá trị tổng 25623 + 45782 có chữ số tận nên B chia hết cho Vậy B chia hết cho Bài 4: Cho M = 1.3.5.7.16.51 + 40 Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho b) M chia hết cho Hướng dẫn 11 a) Dựa vào tính chất chia hết tổng tích Ta có: 1.3.5.7.16.51 M8 (vì tích có chứa thừa số 16) 40M8 nên 1.3.5.7.16.51  40M8 Vậy M chia hết cho b) Tương tự 1.3.5.7.16.51M5 (vì 5M5 ) 40M5 nên 1.3.5.7.16.51  40M5 Vậy M chia hết cho Bài 5: Chứng minh rằng: 28 a) 10  chia hết cho 72 b) 88 + 220 chia hết cho 17 Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 8, cho phương pháp dùng tính chia hết tổng, tích a) Ta phân tích 72 = 8.9 Sau kiểm tra 10 28 + có chia hết đồng thời cho hay khơng kết luận 28 28 Ta có: 10  8M9 (vì tổng chữ số 9) 10  8M8 (vì có tận 28 008) Vậy: 10  chia hết cho 72 b) Số 17 số ngun tố khơng phân tích nên ta phân tích 88 + 220 Ta có: 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 = 220 (24 + 1) = 220 17 Vậy: 88 + 220 chia hết cho 17 * Dạng 3: Chứng minh tổng, tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số Để làm tập dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Dạng toán áp dụng cho em học sinh từ khá, giỏi trở lên Bài 1: Chứng tỏ tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giáo viên hướng dẫn học sinh: Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1 - Nếu a M2 a.(a + 1) M2 - Nếu a M2 a chia dư Khi ta đặt: a = 2k + a + = 2k + + = 2k + M2 Do đó: a.(a + 1) M2 12 Vậy hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho Bài 2: Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giáo viên hướng dẫn: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a+1, a+2 - Nếu a M3 a(a + 1)(a + 2) M3 - Nếu a = 3k+1 (nghĩa a chia dư 1) a + 2= 3k + + = 3k + M3 Do đó: a(a + 1)(a + 3) M3 - Nếu a = 3k + (nghĩa a chia dư 2) a + 1= 3k + + 1= 3k + M3 Do đó: a(a + 1)(a + 3) M3 Vậy ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho Cho nên tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài 3: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng chia hết cho Hướng dẫn: *) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + Tống ba số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + = 3a + M3 Tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho *) Tương tự gọi bốn số tự nhiên liên tiếp a, a + 1, a + 2, a + Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là: a + a + + a + + a + = 4a + M (vì M4) Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài 4: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn: Gọi hai số chẵn liên tiếp 2n, 2n + (n �N) Ta có: 2n.(2n + 2) = 2.n.2.(n + 1) = 4.n.(n + 1) Mà n.(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Vì 4.n.(n+1) M8 Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Bài Chứng minh với n N A = n ( n + ) ( 2n + ) 13 Hướng dẫn Nếu n = 3k ( kN ) A Nếu n = 3k + ( kN) 2n + = (6k + ) Nếu n = 3k + ( kN) n + = (3k + ) Ngồi tích n ( n + ) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên n ( n + ) Do đó: A Vì A2 A3, mà ƯCLN(2, 3) = nên A * Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức Đối với dạng toán ta áp dụng phương pháp dùng tính chia hết tổng, hiệu tích Bài 1: Tìn n � N để: a) n + Mn b) 5n + Mn c) 16- 3n Mn Hướng dẫn dựa vào tính chất chia hết tổng, hiệu 1;5 a) Ta có: n  5Mn n Mn nên 5Mn Vậy n �  1; 2;3;6 b) Ta có: 5n  6Mn 5nMn nên 6Mn Vậy n �   n 3n Mn nên 16Mn Hay n � 1; 2; 4;8;16 3n < 16 c) Ta có: 16  3nM hay n < Vậy n � 1; 2; 4 Bài 2: Tìm a, b để biểu thức 585.a + 2205.b chia hết cho 45 Hướng dẫn Ta có: 585M5 nên 585a M5 với a 2205M5 nên 2205b M5 với b Do đó: 585a  2205bM5 với giá trị a, b Ta có: 585M9 nên 585a M9 với a 14 2205M9 nên 2205b M9 với b Do đó: 585a  2205bM9 với giá trị a, b Mà (9, 5) = Vậy 585a  2205bM45 với giá trị a, b Bài 3: Tìm tất số m, n để có số 62m3n chia hết cho 36 Hướng dẫn: Để làm tập dựa vào dấu hiệu chia hết cho và phương pháp chứng minh a chia hết cho b ta biểu diễn b = m.n Ta thấy 36 = 4.9 mà ƯCLN(4, 9) = nên 62m3n M36 62m3n M9 62m3n M4 Ta có: 62m3n M4 3n M4 n  m   0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 (1) Mặt khác: 62m3n M9   m   m M9   m  n M9   m  n M9 Vì m, n  N  m; n  kết hơp với (1) Nếu n = m = Nếu n = m = Vậy số phải tìm là: 62532; 62136 * Dạng 5: Giải toán chia hết phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh dạng toán ta cần dùng phương pháp quy nạp toán học dạng toán dùng cho ôn luyện học sinh giỏi cấp tổng quát lại sau: Giả sử cần chứng minh A(n)  P với n  a (1) Bước 1: Ta chứng minh (1) với n = a tức chứng minh A(n)  P Bước 2: Giả sử (1) với n = k tức ta có A(k)  P với k  a Ta chứng minh (1) với n = k + tức phải chứng minh A(k+1)  P Bước 3: Kết luận A(n)  P với n  a Bài 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n -  225 với  n  N* Hướng dẫn: ta cần làm theo bước chứng minh trên: Với n =  A(n) =  225 n = Giả sử với n = k   A(k) = 16k - 15k -  225 Ta phải chứng minh: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) -  225 Thật vậy: A(k+1) = 16 k+1 - 15(k + 1) - 15 = 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15 = (16k - 15k – 1) + 15(16k - 1) = (16k - 15k – 1) + 15(16 - 1) M (M biểu thức số) = A(k) + 225.M mà A(k)  225 (giả thiết quy nạp) 225M 225 nên A(k+1)  225 Vậy A(n) = 16n - 15n -  225 với  n  N* n Bài 2: Chứng minh rằng: với  n  Z+ ta có B(n )   3n  1M9 Hướng dẫn: Tương tự tập Với n =  B = + - = 9 Giả sử với n = k ta có B(k) = 7k + 3k - 1 Ta phải chứng minh với n = k + B(k+1)  Thật vậy: B(k+1) = 7k+1 + 3(k+1) - 1= 7.7k + 3k + = 7.7k + 21k - 18k – + = = 7(7k + 3k - 1) – 18k + =7(7k + 3k - 1) - 9(2k - 1) Vì 7k + 3k - 1 (theo giả thiết quy nạp) 9(2k - 1)  nên B(k+1)  Vậy B(n)  9: với  n  Z+ Bài 3: Chứng minh C(n) = 10n + 72n – chia hết cho 81 Hướng dẫn: Với n =  C = 81  81 n = Giả sử với n = k  ta có C(k) = 10k + 72k -  81 Ta phải chứng minh C(k+1) = 10 k+1 + 72(k + 1) -  81 Thật vậy: C(k+1) = 10 k+1 +72(k + 1) - = 10.10k + 72k +71 = (10k + 72k - 1) + 9.10k + 72 = (10k + 72k - 1) + 9.(10k + 8) = C(k) + 9.(10k + 8) Ta thấy 10k +  (vì chữ số tận chia hết cho 8) nên 9.(10 k + 8)  81 mà C(k)  81 (giả thiết quy nạp) nên C(k+1)  81 16 Vậy C(n) = 10n + 72n –  81 Bài 4: Chứng minh D = 10n + 18n – chia hết cho 27 Hướng dẫn: Với n =  D = 27  27 Vậy n = Giả sử với n = k  ta có D(k) = 10k + 18k -  27 Ta phải chứng minh D(k+1) = 10 k+1 + 18(k + 1) -  27 Thật vậy: D(k+1) = 10 k+1 + 18(k + 1) - = 10.10k + 18k + 17 = (10k + 18k - 1) + 9.10k + 18 = (10k + 18k - 1) + 9.(10k + 2) = D(k) + 9.(10k + 2) Ta thấy 10k +  (vì tổng chữ số chia hết cho 3) nên 9.(10 k + 2)  27 mà D(k)  27 (giả thiết quy nạp) nên D(k+1)  27 Vậy D(n) = 10n + 18n –  27 * Dạng 6: Dạng toán dùng phương pháp phản chứng Để chứng minh dạng toán ta cần dùng phương pháp phản chứng dạng toán dùng cho ôn luyện học sinh giỏi cấp tổng quát lại sau: Để CM A(n)  p (hoặc A(n) Mp ) + Giả sử: A(n) Mp (hoặc A(n)  p ) + CM giả sử sai (vô lý) + Kết luận: A(n)  p (hoặc A(n) Mp ) Bài 1: Có tồn n  N cho n2 + n +  49 không? Hướng dẫn: Giả sử tồn n  N để n2 + n +  49  4n2 + 4n +  49  (2n + 1)2 +  49 (1)  (2n + 1)2  Vì số nguyên tố  2n +   (2n + 1)2  49 (2) Từ (1); (2)   49 vô lý 17 Vậy không tồn n  N cho n2 + n +  49 Bài 2: Chứng minh a Mm, b Mm, a + b + c Mm c Mm Giáo viên hướng dân học sinh sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử c Mm Ta có a Mm, bMm nên a + b + c Mm Điều trái với đề a + b + c Mm Vậy điều giả sử sai Suy c Mm * Dạng 7: Dạng toán xét tập hợp số dư phép chia Để chứng minh a Mb ta cần biểu diễn a = b.k + r xét tâp hợp số dư r tập hợp số dư r �b Bài 1: CMR: Với  n  N A(n) = n(2n + 7) (7n + 1) chia hết cho Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tốn phân tích nhân tử biểu diễn Ta thấy thừa số n 7n + số chẵn Với  n  N  A(n)  Ta chứng minh A(n)  Lấy n chia cho ta n = 3k + r (k  N) Với r  {0; 1; 2} Với r =  n = 3k  n   A(n)  Với r =  n = 3k +  2n + = 6k +   A(n)  Với r =  n = 3k +  7n + = 21k + 15   A(n)   A(n)  với  n mà (2, 3) = Vậy A(n)  với  n  N Bài 2: CMR: Nếu n  A(n) = 32n + 3n +  13 Với  n  N Giải Vì n   n = 3k + r (k  N); r  {1; 2; 3}  A(n) = 32(3k + r) + 33k+r + = 32r(36k - 1) + 3r (33k - 1) + 32r + 3r + Ta thấy 36k - = (33)2k - = (33 - 1)M = 26M  13 33k - = (33 - 1)N = 26N  13 18 Với r =  32n + 3n + = 32 + +1 = 13   32n + 3n +  13 Với r =  32n + 3n + = 34 + 32 + = 91  13  32n + 3n + Vậy với n  A(n) = 32n + 3n +  13 Với  n  N 1.2 Kết nghiên cứu sáng kiến Sau áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy, thân nhận thấy rằng: Khi em gặp toán liên quan đến dấu hiệu chia hết, em tìm hiểu phân dạng tốn Biết phân biệt nhận dạng toán liên quan đến phép chia hết từ vận dụng phương pháp giải hầu hết tập phần này, xóa cảm giác khó phức tạp ban đầu Qua đó, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo tạo niềm say mê, hứng thú học tập mơn tốn Thảo luận, đánh giá kết thu 2.1 Tính mới, tính sáng tạo - Đây sáng kiến lần triển khai áp dụng trường PTDTBT THCS xã Lâm Ca nơi tơi cơng tác - Tính tính sáng tạo sáng kiến hướng dẫn giáo viên lựa chọn nội dung kiến thức để giảng dạy, hệ thống dạng tập phù hợp với chuẩn kiến thức kĩ nội dung dạng toán chia hết chương trình Tốn tốn nâng cao lớp 6: + Thứ nhất: Tóm tắt kiến thức chia hết số phương pháp giải toán chia hết + Thứ hai: Từ kiến thức phương pháp ta phân dạng tốn để phù hợp ơn luyện cho em học sinh yếu trung bình đến em khá, giỏi mơn tốn Dạng 1: Dạng tốn điền vào * để số thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 2: Chứng minh chia hết biểu thức số Dạng 3: Chứng minh tổng, tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chia hết cho số, chia hết cho biểu thức 19 Dạng 5: Giải toán chia hết phương pháp quy nạp toán học Dạng 6: Dạng toán dùng phương pháp phản chứng Dạng 7: Dạng toán xét tập hợp số dư phép chia + Thứ ba: Lựa chọn phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học phù hợp với dạng toán, đối tượng học sinh Giúp học sinh nhận dạng toán, phương pháp giải dạng tốn để từ nắm cách giải, phát triển lực học toán cho học sinh 2.2 Khả áp dụng mang lại lợi ích thiết thực sáng kiến: a) Khả áp dụng áp dụng thử, nhân rộng: Trải qua việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm học kì I năm học 2018 - 2019 kinh nghiệm thân việc dạy học ôn luyện học sinh giỏi Tôi thấy học sinh biết cách giải dạng toán chia hết đạt số kết định Để áp dụng sáng kiến cách có hiệu cần có điều kiện cần thiết như: Sách giáo khoa mơn Tốn cấp THCS tài liệu tham khảo liên quan đến toán chia hết, máy chiếu, mạng internet để giáo viên học sinh truy cập tìm hiểu thêm tài liệu liên quan đến dạng toán chia hết đặt biệt tham khảo ý kiến phương pháp dạy học đồng nghiệp trường đơn vị bạn có điều kiện Đề tài áp dụng thực tổ chuyên môn, khối áp dụng năm học 2018 – 2019 đồng thời làm tài liệu tham khảo trường năm học nhân rộng trường THCS huyện b) Khả mang lại lợi ích thiết thực Sau áp dụng sáng kiến “Phương pháp giải toán chia hết cho học sinh lớp 6” thu hiệu cho thấy kết học tập nâng cao, lực cá nhân học sinh khơi dậy phát triển học tập Đối với giáo viên: Hệ thống phương pháp giải toán chia hết hệ thống tập để vận dụng phương pháp Đối với học sinh: Nắm dấu hiệu chia hết cho số 2; 3; 5; biết thêm dấu hiệu chia hết cho số khác dấu hiệu chia hết cho 4; 6; 8; 10; 11 20 Chất lượng giáo dục môn Tốn học kì I năm học 2018 – 2019 Tổng số học sinh 50 Giỏi SL (% Khá SL (%) 12 15 30 TB SL (%) 27 54 Yếu SL (%) Sau thử nghiệm thấy học sinh có kỹ giải dạng tốn chia hết tốt áp dụng linh hoạt phương pháp học như: Dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng, hiệu, tích…để giải dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết” Thông qua phương pháp học sinh xác định hướng giải tốn hình thành nên kỹ giải toán dạng toán “chia hết” học sinh tăng lên rõ rệt Từ phát huy tính tích cực, tự giác q trình học tập em IV – KẾT LUẬN Trên vài phương pháp giải toán chia hết rút từ kinh nghiệm thân giảng dạy lớp ôn luyện học sinh giỏi số đồng nghiệp, hy vọng thực bổ ích cho đơng đảo học sinh lớp thầy cô giáo dạy học toán Sáng kiến mang lại hiệu thiết thực so với giải pháp truyền thống Giúp giáo viên học sinh hệ thống lại kiến thức bản, nâng cao số phương pháp toán chia hết cách tỉ mỉ từ đơn giản đến phức tạp Trong trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế thân tơi nhận thấy có số em học sinh chủ động trình học tập đạt số kết định Tôi mong trao đổi góp ý đồng nghiệp để sáng kiến hoàn thiện XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 21 CAM ĐOAN CỦA TÁC GIẢ VỀ SÁNG KIÊN (Ký tên, đóng dấu) (Ký tên) Đỗ Thế Tùng DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán tập Sách giá viên toán tập Sách tập toán tập 500 toán chọn lọc lớp (Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Quang Hanh – Ngơ Long Hậu) Tốn nâng cao tập (Vũ Hữu Bình) Bài tập nâng cao mơt số chun đề toán (Bù Văn Tuyên) Nâng cao phát triển tốn tập (Vũ Hữu Bình) Tốn bồi dưỡng học sinh giỏi (Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Hiếu) 22 ... 25) Số có chữ số tận Là số đồng thời chia hết cho Số chia hết cho 8(hoặc 125) ba chữ số tận lập thành 10 số chia hết cho 8(hoặc 125) Số có tổng chữ số chia hết cho Số có chữ số tận Số chia hết cho. .. a1 chia hết cho m, a2 chia hết cho n ngược lại a1.a2 chia hết cho m.n hay a chia hết cho b Sau ôn tập cho học sinh thật kĩ định nghĩa, dấu hiệu các phương pháp để giải toán chia hết Tôi đưa số. .. có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho không? Tại sao? Hướng dẫn: Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho để xét xem số hạng A có chia hết cho số Nếu tất số hạng chia hết A chia hết cho