Rèn luyện kĩ năng giải toán chia hết cho học sinh khá, giỏi lớp 6 ở trường THCS thạch quảng

MỤC LỤC Trang Lời mở đầu 01 1.1 Lí chọn đề tài 01 1.2 Mục đích nghiên cứu 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu 01 1.4 Phương pháp nghiên cứu 01 Nội dung .02 2.1 Cơ sở lí luận vấn đề 02 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 02 2.3.Các giải pháp thực để giải vấn đề 03 2.3.1 Giải pháp 03 2.3.2 Giải pháp 03 2.3.3 Giải pháp 04 2.4 Hiệu .18 Kết luận kiến nghị 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có ứng dụng lĩnh vực sống.Từ xa xưa người ta biết đến tốn học thơng qua đo đạc tính tốn Trong nhà trường mơn tốn giữ vai trị quan trọng mơn tốn có tính trừu tượng, tính logic, tính xác có tính thực nghiệm cao.Vì làm để học giỏi tốn, câu hỏi đặt cho nhiều hệ học sinh Một nội dung mơn Tốn lớp tốn chia hết Toán chia hết dạng toán quan trọng, xun suốt q trình học Tốn từ lớp đến lớp cấp cao Bởi em học sinh cần phải trang bị cho kiến thức vững vàng “Dạng Toán chia hết” Kỹ giải Toán biết vận dụng kiến thức học học sinh vào giải tập vấn đề mà giáo viên nói chung ln phải quan tâm Thực tiễn dạy học cho thấy kỹ giải toán, phép biến đổi bản, phương pháp giải Toán chia hết học sinh yếu Nhận thức vấn đề trên, muốn truyền đạt cho em nhiều dạng Toán để cung cấp cho em kiến thức, phương pháp, kỹ để giải Toán Là giáo viên nhiều năm nhà trường phân công nhiệm vụ dạy đội tuyển bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp tơi ln suy nghĩ làm để vừa đáp ứng kiến thức theo chương trình chuẩn BGD đồng thời phát triển tư trình độ cao phù hợp với khả trí tuệ em học sinh Từ băn khoăn trăn trở tơi tìm tịi nghiên cứu tài liệu để viết nên đề tài “Rèn luyện kĩ giải toán chia hết nhằm nâng cao hiệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường THCS Thạch Quảng" Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để có phương án đắn giúp học sinh tiếp cận với toán chia hết cách chủ động, có hứng thú q trình học 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích viết đề tài nhằm giúp học sinh giỏi lớp rèn luyện kĩ giải toán chia hết đạt hiệu góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học Mặt khác giúp em học sinh giỏi nắm phương pháp giải dạng Toán “chia hết”, hình thành cho em kỹ suy luận, biến đổi, nhận dạng thể tốt lời giải toán 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng tốn chia hết chương trình lớp 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu chương trình Tốn lớp - Phương pháp nghiên cứu tư duy, khả nhận thức học sinh - Phương pháp thống kê sử lí số liệu 2 NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận: Trong chương trình THCS nói chung mơn tốn học nói riêng mục tiêu đặt không truyền đạt cho học sinh kiến thức theo yêu cầu mà phải hình thành em kiến thức tổng quát để từ em vận dụng trường hợp, em giải vấn đề đặt Vì lẽ mà giáo viên cần truyền đạt cho học sinh phương pháp, để từ phương pháp học em vận dụng vào vấn đề cụ thể Đề tài nghiên cứu thực thực tế tiết dạy tập thể dạng toán “chia hết” Và năm gần phương pháp dạy học mơn Tốn có số cải tiến nhằm phát huy tính tích cực học sinh cách tăng cường hệ thống câu hỏi tập có yêu cầu phát triển tư trình giảng dạy Vì hệ thống tập thể dạng tốn “chia hết” có vai trị quan trọng giải tốn Nó giúp học sinh phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải xác lơgic Học sinh muốn có kiến thức tốn sâu phải luyện tập thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức tốn học Đây vấn đề khó người học, địi hỏi người dạy cần truyền đạt cho em ham thích học toán phương pháp, kĩ giải toán ứng dụng dạng toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Dạng toán chia hết đề cập SGK từ đầu lớp 6.Thơng thường dạy dạng tốn giáo viên lại phải nhắc lại kiến thức học làm nhiều thời gian tiết dạy Bên cạnh kỹ biến đổi để làm xuất yếu tố chia hết biểu thức số hay biểu thức đại số em chưa linh hoạt, có tốn đơn giản mà em biến đổi dài dòng phức tạp, thực chất nêú em nắm phương pháp giải dạng tốn chia hết đơn giản.Trong q trình giảng dạy nhiều GV khơng hay để ý tới dạng tốn dạng tốn thường đặt toán cụ thể SGK nên khơng nghĩ trọng tâm Bên cạnh có giải chưa u cầu học sinh làm thêm sách tập phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ phát triển tư HS Mặt khác tài liệu tham khảo viết dạng tốn khơng có thư viện trường Từ suy nghĩ thực tế giảng dạy tơi mạnh dạn viết đề tài Từ thực trạng với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá từ có biện pháp giảng dạy có hiệu tơi tham khảo nhiều tài liệu tiến hành khảo sát em đội tuyển học sinh giỏi Bài tập 1: Tìm tất số x;y để có số 34 x5 y chia hết cho 36 n + 15 Bài tập 2: Tìm số tự nhiên n để n + số tự nhiên Bài tập 3: Cho n ∈ N chứng minh n - chia hết cho Kết thu sau em làm tập sau: ( Kết khảo sát đầu năm học 2016 – 2017) Điểm < Điểm → a  b ; b  a a = b Nếu a  b c ac  b 10 11 12 13 14 15 Nếu a  b (± a)  (± b) Với ∀ a a  (± 1) Nếu a  b c  b a ± c  b Nếu a  b c  b a ± c  b Nếu a + b  c a  c b  c Nếu a  b n > an  bn Nếu ac  b (a, b) = c  b Nếu a  b, c  b m, n am + cn  b Nếu a  b c  d ac  bd Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT Gọi N = a n a n−1 a1a0 Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125 + N  ⇔ a  ⇔ a ∈{0; 2; 4; 6; 8} + N  ⇔ a  ⇔ a ∈{0; 5} + N  (hoặc 25) ⇔ a1a0 4 (hoặc 25) + N  (hoặc 125) ⇔ a a1a0  (hoặc 125) Dấu hiệu chia hết cho + N  (hoặc 9) ⇔ a0+ a1+…+an  (hoặc 9) Một số dấu hiệu khác + N  11 ⇔ [(a0+a1+…) – (a1+a3+…)]  11 + N  101 ⇔ [( a1a0 + a5 a + ) – ( a3 a + a7 a6 + )]  101 + N  (hoặc 13) ⇔ [( a a1a0 + a8 a7 a6 + ) – [( a5 a a3 + a11 a10 a9 + )]  11 (hoặc 13) + N  37 ⇔ ( a a1a0 + a5 a a3 +…)  37 + N  19 ⇔ ( a0+2an-1+22an-2+…+ 2na0)  19 IV ĐỒNG DƯ THỨC a Định nghĩa: Cho m số nguyên dương Nếu hai số nguyên a b cho số dư chia cho m ta nói a đồng dư với b theo modun m Ký hiệu: a ≡ b (mod m) Vậy: a ≡ b (mod m) ⇔ a – b  m b Các tính chất Với ∀ a ⇒ a ≡ a (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m) Nếu a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) ⇒ a+c ≡ b+d (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m) Nếu a ≡ b (mod m) ⇒ a n ≡ b n (mod m) (n ∈ N * ) V.NGUYÊN TẮC ĐIRICHLÊ Nội dung quy tắc phát biểu dạng toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng(n > m) có lồng nhốt khơng hai thỏ 2.3.3.Giải pháp thứ ba: Phân dạng dạng toán chuyên đề tốn chia hết lớp Trong phần tơi chia theo dạng để dễ dàng cho người dạy người học tham khảo, lựa chọn số cho HS làm từ dễ đến khó Một vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt q trình giải tốn 1.Dạng 1: Tìm chữ số chưa biết số Bài tốn 1: Tìm chữ số a b cho 19ab chia hết cho Nhận xét: Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho Giải Vì 19ab chia hết b = b = 19ab chia hết suy b = Mặt khác, 19a0 chia hết 19a0 chia hết cho a0 chia hết cho suy a ∈ {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 9a0 chia hết a=2 a=6 Vậy a=2 b=0 a=6 b=0 nên số cầm tìm 1920 1960 Bài tốn 2: "Tìm chữ số a b cho 56a3b chia hết cho 9" [1] Nhận xét: Để tìm a b ta phải thấy hai dấu hiệu số chia hết cho Giải Vì số 56a3b 2 nên b = { 0;2;4;6;8} Số 56a3b 9 ⇔ + + a + + b = 14 + a + b 9 + Với b = ≤ a ≤ ta a = thoả mãn + Với b = ≤ a ≤ ta a = thoả mãn + Với b = ≤ a ≤ ta a = thoả mãn + Với b = ≤ a ≤ ta a = thoả mãn + Với b = ≤ a ≤ ta a = thoả mãn Vậy số (a;b) thoả mãn là: (a;b) = (0;4) ; (2;2) ; (4;0) ; (5;8) ; (7;6) Bài toán 3: "Tìm chữ số a b cho a2017b chia hết cho 90" [ 2] Nhận xét: Để tìm a b ta phải thấy số 90 = 9.10 mà (9;10) = nên số a2017b chia hết cho 90 số a2017b chia hết cho a2017b chia hết cho 10 Từ vận dụng hai dấu hiệu số chia hết cho 10 Giải Ta có 90 = 9.10 mà (9;10) = nên a2017b  90 a2017b 9 a2017b 10 a2017b 10 ⇔ b = với b = ta có số a 20170 9 ⇔ a + + + + + = a + 10 9 mà < a ≤ nên a = Vậy a = 8; b = Bài tốn 4: "Tìm chữ số x, y cho 2014 xy 42 " [ 3] Nhận xét: Để tìm x y ta phải phân tích số 2014 xy = 201400 + xy = 42 4795 + 10 + xy từ dựa vào dấu hiệu chia hết tổng ta tìm xy Giải Ta có 2014 xy = 201400 + xy = 42 4795 + 10 + xy  42 ⇔ 10 + xy  42 Do ≤ xy < 100 nên xy ∈ { 32;74} Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4) Bài tốn 5: "Tìm chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; dư 1" [ 4] Nhận xét: Nếu A chia hết cho y = theo đề A = x183y chia cho 2; dư nên ta tìm y = A = x183y chia cho dư ⇒ x1831 – M9 từ dựa vào dấu hiệu chia hết cho ta tìm x Giải Do A = x183y chia cho dư nên y = 1.Ta có A = x1831 Vì A = x1831 chia cho dư ⇒ x1831 – M9 ⇒ x1830 M9 ⇔ x + + + + M9 ⇔ x + M9, mà 0< x ≤ nên x = Vậy x = 6; y = Bài toán : Chữ số a để aaaaa96 chia hết cho Nhận xét: aaaaa96 chia hết cho mà ba chữ số tận a96 nên ta chọn dấu hiệu chia hết cho để tìm a sau thử lại với trường hợp chia hết cho Giải Vì aaaaa96 8 ⇔ a96 8 ⇔ 100a + 96 8 ⇒ 100a 8 Vậy a số chẵn ⇒ a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1) Vì aaaaa96 3 ⇔ (a + a + a + a + a + + ) 3 ⇔ 5a + 15 3 mà 15 3 ⇒ 5a 3 mà (5, 3) = Suy a  a ∈{ 3, ,9} (2) từ (1) (2 ) suy a = Kết luận: Vậy số phải tìm l 6666696 Bài toán : Tỡm cỏc ch s a ; b cho a – b = a5b1 chia hết cho Giải Ta có số a5b1  ⇔ + a + + b +  ⇔ a + b + 13  (1) Mặt khác a – b = mà ≤ b ≤ < a ≤ nên ta có a=4 a=5 a=6 a=7 a=8 a=9 (2) b=0 b=1 b=2 b=3 b=4 b=5 Từ (1) (2) ta giá trị (a;b) thoả mãn (a;b) = (6;2) ; (9;5) 2.Dạng 2: Chứng minh chia hết biểu thức số Bài toán : "Cho A = + 22 + 23+ … + 260 Chứng minh rằng: A chia hết cho 3; 15" [ 5] Nhận xét: Với dạng tốn ta thường nhóm số hạng thành nhóm để đặt thừa số chung áp dụng tính chất chia hết tích Giải Ta có: A = + 22 + 23+…+ 260 = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = (2 + 23 + 25+…+ 259) = (2 + 23 + 25+…+ 259)  Ta có A = + 22 + 23+…+ 260 = (1 + + 22) + 24 (1 + + 22) + … + 258 (1 + + 22) = + 24.7 + … + 258.7 = (2 + 24 + …+ 258) 7 Ta có A = (1 + + 22 + 23) + 25(1 + + 22 + 23) + … +257(1 + + 22 + 23) = 15 + 25.15 + …+ 257.15 = 15( + 25 + … + 257) 15 KL: Vậy A chia hết cho 3,7 15 Bài toán 9: "Cho A = + 32 + 33+ … + 390 Chứng minh A chia hết cho 11 13" [ 6] Nhận xét: Dãy số A có 90 số hạng ta nhóm thành nhóm nhóm số hạng đặt thừa số chung xuất thừa số chia hết cho 11.Nhóm nhóm số hạng đặt thừa số chung có thừa số chung chia hết cho 13 Giải * Chứng minh A  11 Ta có A = + 32 + 33+ … + 390 = (3 + 32 + 33+ 34+ 35) +(36 + 37 + 38+ 39+ 310) +……+ (386+387+388+389+ 390) = (1 + + 32+33+ 34) +36(1 + + 32+33+ 34) +…….+ 386(1+3+32+33+ 34) = 121 (3 + 36 +………+386 )  11 * Chứng minh A  13 Ta có A = + 32 + 33+ … + 390 = (3 + 32 + 33)+(34+ 35+ 36) +……+ (388+389+ 390) = 3(1 + + 32)+ 34(1 + + 32)+…….+ 388(1+3+32) = 13 (3 + 34 +………+388 ) 13 Kết luận : Vậy A chia hết cho 11 13 Bài toán 10: Chứng minh 4343 – 1717 chia hết cho Nhận xét: Với dạng tốn ta khơng thể tính cụ thể hay phân tích để có thừa số chia hết cho vấn đề đặt ta phải chọn đơn vị kiến thứ để làm dạng toán Áp dụng kiến thức chữ số tận hay đồng dư? Ta có 4343= 4340 433= (434)10.4343 Ta có 433 có tận chữ số nên 43 có tận chữ số hay 43 40 có tận chữ số 4343 có tận chữ số Vậy 43 40.433 có tận chữ số hay 43 có tận chữ số Ta có 1717 = 1716 17 = (174)4 17 Vì 174 có tận nên (17 ) có tận hay 176 có tận Do 1716.17 có tận Hai số 4343 1717 có chữ số tận giống nên 4343-1717 có chữ số tận 0, Suy 4343-1717 chia hết cho Giải Cách 1: Ta có 4343 = 4340 433 = (434)10.4343 = = 1717 = 1716 17 = (174)4 = = ⇒ 4343 – 1717 = – ⇒ 4343 – 1717  Cách 2: Ta có 43 43 43 43 40 43 43 .7 = ≡ 3(mod 10) ≡ 9(mod 10) ≡ ≡ 1(mod 10) ≡ 10 ≡ 1(mod 10) = 43.43 43 40 ≡ 3.9.1 ≡ 7(mod 10) 17 ≡ 7(mod 10) 17 ≡ 9(mod 10) 17 ≡ ≡ 1(mod 10) 17 16 ≡ ≡ 1(mod 10) 17 17 =17 17 16 ≡ 7.1 ≡ 7(mod 10) Vậy 43 43 – 17 17 ≡ – (mod 10) ≡ 0(mod 10) ⇒ 43 43 – 17 17  10 ⇒ 43 43 – 17 17  Vậy 43 43 – 17 17  Bài toán 11: Chứng minh 2139+3921 chia hết cho 45 Giải Ta có: 21 ≡ (mod 20) 39 ≡ –1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921 ≡ 139+ (–1)21 ≡ (mod 20) Như 2139 + 3921 20; 2139 + 3921 5 Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 9 mà (5;9) = nên 2139 + 3921  5.9 ⇒ 2139 + 3921  45 Kết luận: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45 Bài toán 12: "Cho A = (7 2012 cho 5" [ 7] 2015 94 − 392 ) Chứng minh A số tự nhiên chia hết Gii Vì 2012 ; 92 bội nên 20122015 9294 bội 2015 * 96 * ⇒ 2012 = 4.m ( m ∈ N ) ;92 = 4.n ( n ∈ N ) Khi ®ã 2012 − 392 = m − 34 n = ( ) − ( 34 ) = ( 1) − ( 1) = tøc lµ 2012 − 392 cã tËn cïng b»ng hay 2012 − 392 M10 DÔ thÊy 2012 − 392 > mµ 2012 − 392 M10 suy 2015 m 94 2015 94 2015 94 n 2015 2015 94 94 20122015 9294 (7 − ) = 5.k; k ∈ N Suy A số tự nhiên chia hết cho Bài toán 13:"Cho A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + Chứng minh A chia hết cho 24" [ 8] A= Giải Cách 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 Ta có : A = 10 ( 10 + 10 + 10 + 10 ) + = 8.125 ( 10 + 10 + 10 + 10 ) + ( ) A = 125 102009 + 102008 + 102007 + 102006 + 1 M (1) Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 Vậy A  Cách 111100 08 A = 102012 + 102011 + 102010 + 102009 + =      2008 sè0 Số A có chữ số tận 008 chia hết cho Lại có tổng chữ số A 12 chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 101995 + Bài toán 14: Chứng minh số số tự nhiên 101995 + Nhận xét: Để chứng minh số số tự nhiên ta cần phải chứng minh 10 1995 +  Gi¶i: 100 Ta có: 101995 + =    1995 sè0 100 08 + =    1994 sè0 100 08 Vì số    có tổng chữ số là: 1994 sè0 + + + + + = chia hết cho (10 1995 101995 + + )  9, số tự nhiên Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ 10 Bài tốn 15: Chứng minh rằng: a)Tích số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b)Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho c) Tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Giải a) Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn ⇒ Số chẵn chia hết cho Vậy tích hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n; n + 1; n + Tích ba số tự nhiên liên tiếp n(n+1)(n+2) Một số tự nhiên chia cho nhận số dư 0; 1; Nếu r = n 3 ⇒ n(n+1)(n+2) 3 Nếu r = n = 3k + (k ∈ N) ⇒ n + = 3k + + = (3k + 3) 3 ⇒ n.(n + 1).(n + 2) 3 Nếu r = n = 3k + (k ∈ N) ⇒ n + = 3k + + = (3k +3) 3 ⇒ n.(n +1).(n +2) 3 Vậy n.(n +1).(n +2) 3 với số tự nhiên n c) Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) 4 với số tự nhiên n Tổng quát: Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n Bài toán 16: Chứng minh n3– n chia hết cho với n nguyên Giải Ta chứng minh n3 – n chia hết cho chia hết cho Nếu n ≡ (mod 2) n3 – n ≡ 03 – ≡ (mod 2) Nếu n ≡ (mod 2) n3 – n ≡ 13 – ≡ (mod 2) Như với n nguyên, n3 – n ≡ (mod 2) nghĩa n3 – n chia hết cho Mặt khác + Nếu n ≡ (mod 3) n3 – n ≡ 03 – ≡ (mod 3) + Nếu n ≡ (mod 3) n3 – n ≡ 13 – ≡ (mod 3) + Nếu n ≡ (mod 3) n3 – n ≡ 23 – ≡ (mod 3) Với n nguyên n3 – n ≡ (mod 3) nghĩa n3 – n chia hết cho Kết luận: Vậy n3 – n 6 với n nguyên chia hết cho  Bài toán 17: Chứng minh 2n + 11 nchuso 11 Giải Số n số có tổng chữ số n có số dư phép chia cho .1 – n chia hết cho  Do 11 nchuso = 3n + ( 11 – n) chia hết cho   Ta có: 2n + 11 nchuso nchuso Bài tốn 18: Chứng minh A = 10n + 18n – chia hết cho 27 Giải    – 9n + 27n Ta có A = 10n + 18n – = 10n - 9n + 27n – = 99 nchuso – n) + 27n  = 9( 11 nchuso – n) chia hết cho suy 9( 11 – n) chia   Mà 27n chia hết cho 27 nên ( 11 nchuso nchuso hết cho 27 Vậy 10n + 18n – chia hết cho 27 Bài toán 19 : Cho ( abc − deg ) 7 CMR: abc deg  Giải Ta có: abc deg = abc000 + deg = 1000abc + deg = 1001abc − ( abc − deg ) 1001abc 7 Do ( abc − deg )  abc deg  Bài toán 20: "Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a;b ∈ N) chứng minh 10a + b chia hết cho 13" [ 9] Nhận xét: Đặt x = a + 4b y = 10a + b Ta biết x 13 ta cần chứng minh y =10a + b 13 + Hệ số a x 1,hệ số a y 10 nên - Xét biểu thức 10x – y nhằm khử a tức làm cho hệ số a - Xét biểu thức 3x + y nhằm tạo hệ số a = 13 + Hệ số b x hệ số b y nên - Xét biểu thức 4y – x nhằm khử b - Xét biểu thức x + 9y nhằm tạo hệ số b 13 12 Giải: Đặt x = a + 4b Cách 1: y = 10a + b Xét biểu thức 10x – y = 10(a + 4b) – (10a + b) = 10a + 40b – 10a – b = 39b 13 Như 10x – y 13 x 13 nên 10x 13 ⇒ y 13 Vậy a + 4b 13 10a + b 13 Cách 2: Xét biểu thức 4y – x = 4(10a +b) – (a +4b) = 40a + 4b – a – 4b = 39a 13 Như 4y – x 13 x 13 nên 4y 13 mà (4 ; 13) = ⇒ y 13 Vậy a + 4b 13 10a + b 13 Cách 3: Xét biểu thức 3x + y = 3(a + 4b) + 10a + b = 3a + 12b + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b)  13 Như 3x + y  13 x 13 nên 3x 13 ⇒ y 13 Vậy a + 4b 13 10a + b 13 Cách 4: Xét biểu thức x + 9y = a + 4b + 9(10a + b) = a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b = 13(7a + b) 13 Như x + 9y  13 x 13 nên 9y 13 mà (13;9) = ⇒ y 13 13 Vậy a + 4b 13 10a + b 13 Bài tốn 21: "Chứng tỏ 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b ∈ N) 10a + b chia hết cho 17 Điều ngược lại có khơng" [10] Nhận xét: Đặt x = 3a + 2b y = 10a + b ta chứng minh y  17 Có thể xét biểu thức sau: 2y – x ; 8x + y ; 9x – y ; 10x – 3y; Giải: Đặt x = 3a + 2b y = 10a + b Xét biểu thức 2y – x = 2(10a + b) – (3a + 2b) = 20a + 2b – 3a – 2b = 17a  17 Vậy x  17 2y  17 ⇒ y 17 ngược lại 2y 17 ⇒ y 17 x 17 Dạng 4: Tìm điều kiện để toán chia hết cho số cho biểu thức Bài tốn 22: Tìm số tự nhiên n cho  n +1 Giải: Ta có  n +1 nên n+1 ∈ Ư(7) Mà Ư(7) ={1; 7} * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) * n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) Vậy với n = ; n =  n +1 Bài tốn 23: Tìm số tự nhiên n cho n +4  n +1 Giải : Ta có : n+4 n +1+ 3 = =1+ n +1 n +1 n +1 để (n + 4)  (n+1)  n+1 hay n+1 ∈ Ư(3) Mà Ư(3) ={1; 3} *n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) *hoặc n+1 = ⇒ n = (thoả mãn) Vậy với n = ; n = (n + 4)  (n+1) n + 15 Bài tốn 24: Tìm số tự nhiên n để n + số tự nhiên n + 15 Nhận xét: để n + số tự nhiên (n + 15)  (n + 3) làm tương tự tốn ta tìm n Giải: n + 15 Ta có: n + số tự nhiên (n + 15)  (n + 3) n + 15 n + + 12 12 = =1+ để (n + 15)  (n + 3) 12  n + n+3 n+3 n+3 ⇔ (n + 3) ∈ U(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 14 ⇔ n ∈ {0; 1; 3; 9} Vậy với n ∈ {0; 1; 3; 9} n + 15 số tự nhiên n+3 Bài tốn 25: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Giải: Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ∈ U(4) ⇔ (n +2) ∈ {1 ; ; 4} ⇒ n ∈ { ; 2} Vậy với n ∈{0; 2} (5n + 14) chia hết cho (n +2) Bài tốn 26: Tìm số tự nhiên n để : 32n+3 + 24n +1  25 Giải Đặt A = 32n+3 + 24n +1 = 27.32n + 24n = 25 32n + 2(32n+24n) = 25 32n + 2(9n + 16n) +Nếu n lẻ (9n +16n) 25 A 25 +Nếu n chẵn 9n có tận 1, cịn16n có tận ⇒ 2( 9n +16n) có tận Vậy A không chia hết cho 25 Vậy với n lẻ (32n+3 + 24n +1)  25 Dạng 5: Các toán áp dụng nguyên lý Đirichlê - Các toán sử dụng nguyên lý Đirichlê thường toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần phải cách tường minh vật, việc - Khi giải toán áp dụng nguyên lý Đirichlê dự đoán phải áp dụng nguyên lý ta cần suy nghĩ biến đổi toán để làm xuất khái niệm “thỏ” “lồng”, khái niệm “nhốt thỏ vào lồng” trình bày ta cố gắng trình bày theo ngơn ngữ tốn học thơng thường - Khi giải xong toán áp dụng nguyên tắc Đirichlê cố gắng suy nghĩ để sáng tạo tốn tổng qt cụ thể có nắm tốn làm Bài toán 27: "Trong số tự nhiên Chứng minh chọn số mà hiệu chúng chia hết cho 6" [11] Nhận xét: Ta coi số thỏ thỏ nhốt lồng? Vấn đề đặt ta phải tìm lồng cho thỏ Ta biết chia số cho số dư số:0, 1, 2, 3, 4, Có số tự nhiên chia cho mà có số dư nên theo ngun lí Đirichlê có số chia cho có số dư Hiệu hai số chia hết cho Giải 15 Khi chia số cho số dư r lấy giá trị là:0, 1, 2, 3, 4, 5.Có số tự nhiên chia cho mà có số dư nên theo nguyên lí Đirichlê có số chia cho có số dư Hiệu số chia hết cho Bài toán 28: Cho n + số tự nhiên Chứng minh chọn số mà hiệu chúng chia hết cho n (n € N*) Giải Khi chia số cho n số dư r lấy n giá trị 0; 1; 2; 3; ; n – Có n + số tự nhiên chia cho n mà có n số dư nên theo ngun lí Đirichlê có số có số dư Hiệu hai số chia hết cho n Bài toán 29: "Cho dãy số 10; 102; 103; 104; ; 1020 Chứng minh tồn số chia cho 19 dư 1" [12] Nhận xét: Ta coi dãy số 10; 102; 103; 104; ; 1020 20 thỏ Phép chia cho 19 có 19 số dư 0; 1; 2; 3; ; 18 19 lồng 20 thỏ mà có 19 lồng nên có lồng có nhiều thỏ hay có hai số có số dư Gọi số 10n 10m(m > n; ≤ m, n ≤ 20) Ta có 10m – 10n chia hết cho 19 Nên 10m – 10n = 10n(10m-n – 1) chia hết cho 19 ( 10n,19) = nên (10m-n – 1) chia hết cho 19 hay 10m-n chia cho 19 dư (10m-n = 19k +1) Giải Phép chia cho 19 có 19 số dư 0; 1; 2; 3; ; 18 dãy số 10; 102; 103; 104; ; 1020 có tất 20 số Có 20 số khác mà có 19 số dư tồn số có số dư phép chia cho 19 Gọi số 10n 10m(m > n;1 ≤ m,n ≤ 20) Ta có 10m – 10n chia hết cho 19 Nên 10m – 10n = 10n(10m-n – 1)chia hết cho 19 ( 10n,19) = nên (10m-n – 1) chia hết cho 19 hay 10m-n chia cho 19 dư (10m-n = 19k +1) Rõ ràng 10m-n số dãy (1) ≤ n < m ≤ 20 Tổng quát: Qua ta thấy tồn số tự nhiên k > 10k – chia hết cho 19 Bài toán 30:" Cho số lẻ.Chứng minh tồn số có tổng hiệu chia hết cho 8" [13] Nhận xét: Một số lẻ chia cho số dư số: 1; 3; 5; Chia số dư thành nhóm Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Ta coi số lẻ nhóm số dư lồng Giải Một số lẻ chia cho số dư số: 1; 3; 5; Chia số dư thành nhóm Nhóm 1: dư dư Nhóm 2: dư dư Có số lẻ mà có nhóm dư nên tồn hai số có nhóm 16 - Nếu số dư hiệu chúng chia hết chho - Nếu hai số dư khác tổng chúng chia hết cho Bài toán 31: Chứng minh 52 số tự nhiên tuỳ ý chí có cặp gồm hai dố cho tổng hiệu chúng chia hết cho 100 Nhận xét: Để tìm số thỏ số lồng số lồng ta làm sau: Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100.ta có 50 cặp thêm vào cặp (0 ; 0) nên có 51 cặp ta coi 51 cặp 51 lồng Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư.(52 thỏ) Giải Trong tập hợp số dư phép chia cho 100 ta lấy cặp số cho tổng cặp 100 thành lập nhóm:(1;99);(2;98);(3;97); ;(49;51); (50;50) Ta 50 cặp thêm vào cặp (0;0) nên ta có 51 cặp Đem chia 52 số tự nhiên cho 100 có 52 số dư Có 52 số dư mà có 51 nhóm theo ngun tắc d có hai số dư rơi vào nhóm Rõ ràng cặp số tự nhiên ứng với cặp số dư hai số tự nhiên tổng hiệu chia hết cho 100 Bài toán 32: Chứng minh tồn số nguyên dương để 2n – chia hết cho 1991 Giải Xét 1992 số có dạng 2n – Phép chia cho 1991 có 1991 số dư là: 0;1;2;3; ;1990 Có 1992 số mà có 1991 số dư nên tồn số có số dư Giả sử số 2i – 2j – ta có 2i – chia hết cho 1991 2j – chia hết cho 1991 => 2i – 2j chia hết cho 1991 => 2j (2i – j – 1) chia hết cho 1991 Vì (2 j ; 1991) = nên (2i – j – 1) chia hết cho 1991 Vậy tồn số nguyên dương để 2n – chia hết cho 1991 BÀI TẬP VẬN DỤNG A - Đề Dạng 1:Tìm chữ số chưa biết số Bài 1:a)Tìm chữ số a biết 20a 20a 20a chia hết cho b)Tìm chữ số a biết aaaaa 24 chia hết cho Bài 2: Tìm chữ số x,y để: a) 21xy chia hết cho 3;4;5 b) 1x8 y chia hết cho c) 135 x4 y chia hết cho d) x – y = 4x7 + 1y5 chia hết cho Dạng 2:Chứng minh chia hết biểu thức số 17 Bài 3: Cho A= 41 + 42 + 43 + … + 423 + 424 Chứng minh A chia hết cho 20; 21; 420 Bài 4: Chứng tỏ rằng: a/ 3100+19990 M b) 942 60 – 351 37 M Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức chứa chữ Bài 5: Chứng minh A = 10n + 72n – chia hết cho 81 Bài 6: Chứng minh n – chia hết cho cho Bài 7: Chứng minh 6x + 11y chia hết cho 31 (x,y ∈ N) x + 7y chia hết cho 31 Dạng 4: Tìm điều kiện để toán chia hết cho số cho biểu thức Bài 8: Tìm số tự nhiên n cho a)2n + chia hết cho n + b) n + 3n – 13 chia hết cho n + Dạng 5: Các toán áp dụng nguyên lý Đirichlê Bài 9: : Chứng minh số có dạng 199919991999 1999000 chia hết cho 1991 Bài 10: Viết số tự nhiên thẳng hàng chứng minh có số số liền có tổng chia hết cho B - Lời giải, hướng dẫn đáp số : Bài 1:a) a = b) a = Bài 2: a) Các số là: 2120; 2160; 2140; 2180 b) Các số là: 16812; 14832; 12852; 10872; 18892 c) Các số là: 135540; 135045 d) x = 8; y = Bài 3: Cho A= 41 + 42 + 43 + … + 423 + 424 HD: Viết A dạng: A = (41 + 42) + (43 + 44) + … + (423 + 424) = (41 + 42) + 42(41 + 42) + + 422(41 + 42) = 20( + 42 + + 422) M 20 A = 41 + 42 + 43 + … + 423 + 424 = (41 + 42 + 43) +(44 + 45 + 46) + … + (422+ 423 + 424 ) = 84( + 43+ … + 421) M 21 mà ( 20;21) = nên A M 20.21 hay A M 420 Bài 4: a) 3100+19990 M 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận 19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho b) 942 60 – 351 37 M Ta có: 942 60 – 351 37 = 942 4.15 – 351 37 = – = M Bài 5: Chứng minh A = 10n + 72n – chia hết cho 81 18    – 9n + 81n Ta có A = 10n + 72n – = 10n – – 9n + 81n = 99 nchuso .1 – n) + 81n chia hết cho 81  = 9( 11 nchuso Bài 6: HD n – = 81 n – = – = Số có chữ số tận nên chia hết cho Bài 7: Vì 6x + 11y M 31 ⇒ 6x + 11y + 31y M 31 ⇒ 6x + 42y M 31 ⇒ 6(x + 7y) M 31 mà (6;31) = ⇒ (x + 7y) M 31 Bài 8: a) n = ; n = b) n = 10 Bài 9: Lấy 1992 số có dạng 199919991999 1999000 Phép chia cho 1991 có 1991 số dư 0;1;2;3;4; ;1990 Có 1992 số mà có 1991 số dư tồn hai số có số dư ta giả sử số Si = 19991999 1999000 (n số 1999) Sj = 19991999 1999000 (k số 1999) Vì số có số dư nên hiệu chúng chia hết cho 1991 Do Si – Sj chia hết cho 1991 => 19991999 1999000.(1000)k chia hết cho 1991 ⇒ 19991999 1999000.(10)3k chia hết cho 1991 ⇒ Vì ((10)3k ;1991) = nên 199919991999 1999000 chia hết cho 1991 Bài 10: Giả sử có số: a1;a2;a3;a4;a5 Gọi S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4 S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 Phép chia cho có số dư 0;1;2;3;4 Nếu Si chia hết cho (i = 1;2;3;4;5) toán giải Nếu Si không chia hết cho Si chia cho có số dư:01;2;3;4 Có tổng mà có số dư tồn tổng có số dư mặt khác hiệu chúng lại chia hết cho Mà hiệu chúng số số số liền nên có số số liền có tổng chia hết cho 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau thân áp dụng chuyên đề nhận thấy em nắm vững phương pháp giải, giải em khơng cịn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ Hơn theo phương pháp giúp cho em sáng tạo học giải toán Biết cách định hướng giải toán cách ngắn gọn Học sinh phát huy trí lực thân có lúc em phát triển toán Đặc biệt số em bồi dưỡng từ chỗ em ngại gặp dạng toán đến số em ham muốn tìm tịi tốn giải tốn khó vận dụng linh hoạt giải 19 Kết cụ thể em mà bồi dưỡng sau thời gian thu kết sau : ( Kết cuối năm học 2016 – 2017) Điểm < Điểm →