Rèn luyện kỹ năng giải toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT

Thứ nhất: Dù đã nắm được lý thuyết, có kĩ thuật cao, có thành thạotrong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thựchành giải không tốt thì không thể có lời giải chính

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn được sự hướng dẫn, chỉbảo tận tình của Giảng viên - Tiến sĩ Vũ Quốc Khánh, sự ủng hộ, độngviên và góp ý kiến của các giảng viên trong khoa Toán-Lý-Tin và các bạnsinh viên lớp K52- ĐHSP Toán, các thầy cô cùng các em học sinh trườngTHPT Cò Nòi - Sơn La Đồng thời, để hoàn thành khóa luận em cũng đãnhận được sự giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, thời gian,tài liệu tham khảo của phòng đào tạo, phòng Quản lý khoa học, phòngQuan hệ quốc tế, thư viện và một số phòng, ban, khoa trực thuộc trườngĐại học Tây Bắc Em chân thành bày tỏ lòng biết ơn sự ủng hộ giúp đỡquý báu của các thầy cô, các bạn sinh viên và các đơn vị nói trên.

Sơn La, tháng 05 năm 2015Người thực hiện

Sinh viên: Vũ Thị Dương

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khoá luận 4

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu 5

2.1 Mục đích nghiên cứu 5

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

3 Phương pháp nghiên cứu 5

4 Cấu trúc của khóa luận 6

PHẦN 2: NỘI DUNG 7

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán 7

1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán 7

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải 9

1.1.3 Khái niệm kĩ năng giải toán 10

1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán 12

1.1.5 Các kĩ năng giải bài toán 12

1.2 Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ giải toán 16

1.3 Chức năng của bài toán đối với việc rèn luyện kĩ năng giải toán 16

1.4 Lượng giác trong đại số 10 THPT 17

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC LỚP 10 THPT 19

2.1 Định hướng rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác lớp 10 THPT 19

2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT 24

2.2.1 Biện pháp 1 24

2.2.2 Biện pháp 2 33

2.2.3 Biện pháp 3 49

CHƯƠNG III: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM 56

3.1 Mục đích thử nghiệm 56

3.2 Phương pháp thử nghiệm 56

3.3 Nội dung thử nghiệm 56

3.4 Tổ chức thử nghiệm 56

3.5 Kết quả thử nghiệm 56

3.6 Kết luận rút ra từ thử nghiệm 57

3.7 Kết quả rút ra từ thử nghiệm 57

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn khoá luận

Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông Chúng

ta chỉ có thể học tốt được toán khi nắm vững kiến thức và thực hành thànhthạo các dạng bài tập có liên quan

Nói đến giải toán thì đường lối giải và việc thực hiện bước giải đó nhưthế nào là một vấn đề quan trọng đối với người giải toán Cần thấy rõ từchỗ tìm được phương hướng giải toán tới việc hoàn chỉnh bài toán là cảmột quá trình bao gồm nhiều khâu Từ việc nắm vững kiến thức cơ bản

về nội dung lý thuyết đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thaotác có tính chất kĩ thuật Điều này đòi hỏi tính nghiêm túc, tính kiên nhẫn

và phương pháp làm việc khoa học của người giải toán

Thứ nhất: Dù đã nắm được lý thuyết, có kĩ thuật cao, có thành thạotrong việc thực hiện các thao tác và các phép tính nhưng kết quả thựchành giải không tốt thì không thể có lời giải chính xác cho bài toán.Thứ hai: Khi đã định hướng được lời giải thì việc trình bày, sắp xếp các

dữ kiện của lời giải như thế nào đóng vai trò hết sức quan trọng vì rất dẫnđến sai lầm trong các phép tính, suy luận, sử dụng công thức, quy tắc, kíhiệu, ngôn ngữ, hoặc các thao tác thực hành sai trình tự lôgic

Thứ ba: Khi rèn luyện được kĩ năng thực hành lời giải cho các bài tậpmột cách thành thạo ta có thể phát huy kỹ năng làm việc độc lập sángtạo, một khả năng không thể thiếu được của người giải toán

Trong bộ môn toán học nói chung và bộ môn đại số lớp 10 nói riêng,học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài tập về lượng giác,thường khó khăn trong việc biến đổi các công thức lượng giác Đặc biệttrong chương trình lớp 10 có những công thức lượng giác mới, số lượngcông thức nhiều, việc biến đổi công thức hay nhầm lẫn

Khi giải một bài toán thì người giải cần định hướng được lời giải, xâydựng được chương trình giải và thực hiện lời giải của bài toán đó Việcthực hành lời giải của bài toán nói lên kĩ năng cơ bản cần phải làm, trình

bày những lập luận lôgic, thao tác cần thực hiện, cách sử dụng ngôn ngữ,

kí hiệu, đây là một khâu rất quan trọng trong khi giải toán

Chính vì những lí do trên mà tôi chọn khoá luận nghiên cứu "Rèn luyện

kĩ năng giải bài toán lượng giác cho học sinh lớp 10 THPT"

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải bài toán lượnggiác cho học sinh lớp 10 THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn liên quan đến khoá luận

+ Đề xuất một số biện pháp góp phần rèn luyện kĩ năng giải bài toánlượng giác cho học sinh lớp 10 THPT

+ Bước đầu thử nghiệm sư phạm về tính khả thi và hiệu quả của biệnpháp

3 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận: Quan điểm, kết luận khoa học và kĩ năng củagiải toán của học sinh

+ Nghiên cứu thực tiễn, đề xuất biện pháp rèn luyện cho từng dạngtoán cụ thể nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài tập về lượng giác cho họcsinh lớp 10

+ Thử nghiệm sư phạm: Dạy cho học sinh lớp 10 và bước đầu kiểm trađánh giá tính khả thi, hiệu quả của biện pháp đưa ra

4 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khoá luậnbao gồm 3 chương :

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: Một số biện pháp cơ bản nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bàitoán lượng giác cho học sinh lớp 10

Chương 3: Thử nghiệm sư phạm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

PHẦN 2 : NỘI DUNGCHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ LUẬN1.1 Những lý luận chung về giải toán và kĩ năng giải toán.

Toán học là một bộ môn quan trọng trong nhà trường phổ thông Giảitoán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgic giữa cái đãcho và cái phải tìm Người học toán khi đứng trước một bài toán luônmuốn mình giải được hoặc đáp ứng được các yêu cầu của bài toán đặt ra

Để giải một bài toán thì người giải phải trải qua rất nhiều khâu Từ việcnắm vững các kiến thức cơ bản của nội dung lý thuyết đến việc luyện tậpthành thạo các quy trình xây dựng bước giải Và thực hành có hiệu quảcác thao tác có tính chất kĩ thuật trong việc giải bài tập Điều này đòi hỏitính nghiêm túc, tính kiên nhẫn và một phương pháp làm việc khoa họccủa người giải toán

Khi dạy giải bài tập cho học sinh cần rèn luyện cho học sinh xác địnhhướng giải bài tập đó Việc xác định hướng giải giúp cho lời giải đạt hiệuquả Nhờ định hướng giải khác nhau học sinh có thể giải bài toán bằngnhiều cách khác nhau

Trong thực hành giải các thao tác phải thực hiện tốt Việc thực hiện lờigiải phải khoa học, lập luận chặt chẽ Để làm tốt được điều này cần nghiêncứu kĩ bài toán đã cho mà chủ yếu căn cứ vào yêu cầu mà bài toán đó đòihỏi để xác định đúng thể loại các bài toán đó, định hướng được lời giải.Ngoài việc nắm các đường lối chung thì người giải toán cần phát hiệnnhững cái riêng, cái độc đáo của bài toán cụ thể để lựa chọn được phương

án thích hợp nhất và tối ưu nhất

1.1.1 Phương pháp dạy học giải toán

Các bước giải một bài toán

* Bước 1: Tìm hiểu đề toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu đề bài Vì thế cần giúphọc sinh tìm hiểu đề và cần chú ý gợi động cơ, khêu gợi trí tò mò, hứngthú cho các em

+ Để hiểu rõ đề bài toán trước hết cần phải nắm vững các yếu tố màbài toán đã cho, phải hiểu được mối liên hệ giữa các yếu tố đó.

+ Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán Phải biết được bài toáncho cái gì, và yêu cầu của bài toán là gì?

+ Nếu cần thiết phải vẽ hình cho bài toán Hình vẽ sẽ giúp chúng tahiểu được đề bài toán một cách cụ thể và rõ ràng hơn Hình vẽ còn có tácdụng gợi ý cho việc tìm ra cách giải và giúp phát triển trí tưởng tượngkhông gian

* Bước 2: Tìm tòi lời giải, đề ra một chương trình giải

+ Hãy nghĩ đến những bài toán liên quan

Những bài toán liên quan có thể là những bài toán tương tự với bài toán

đã cho, hoặc là trường hợp đặc biệt của những bài toán đã cho, thậm chí

là bài toán na ná bài toán đã cho, Nghĩ đến các bài toán liên quan là đểtìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải của các bào toán đó.+ Hãy tìm cách giải bài toán thông qua các ẩn phụ

Nhiều bài toán khi đưa ra không thể giải được một cách trực tiếp màphải thông qua các ẩn phụ để tìm ra những mối liên hệ mới Nhờ đó màgiải được bài toán cần giải

+ Tìm tòi lời giải qua xét một số trường hợp (đặc biệt, hay tương tự, )

* Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

Trình bày lời giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thànhmột chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiệncác bước đó

Để đưa ra một chương trình giải hợp lý cho bài toán không phải là dễ.Muốn đạt được kết quả đó đòi hỏi phải có nhiều điều kiện: những kiếnthức có sẵn, những thói quen suy nghĩ, sự tập trung và cả sự may mắnnữa Thực hiện chương trình thì dễ dàng hơn nhiều, ở đây đòi hỏi chủ yếu

là sự kiên nhẫn Chương trình chỉ vạch ra những nét tổng quát Chúng taphải đảm bảo cho những chi tiết phù hợp với những nét tổng quát đó Do

đó, phải kiên nhẫn khảo sát lần lượt từng chi tiết một cho tới khi rõ ràng,

không còn những chỗ mơ hồ, có thể che dấu một sự sai lầm Nếu đã đề rachương trình đưa đến lời giải, ta không ngần ngại gì mà dùng một suy luậntạm thời, có tính chất mò mẫm thông qua các yếu tố đã cho của bài toán

mà có thể đưa đến một ý đúng thì đó là điều chính đáng Nhưng khi thựchiện chương trình lời giải thì phải thay đổi quan điểm đó và chỉ thừa nhậnnhững lí do quyết định và chặt chẽ Khi thực hiên lời giải phải nghiệm lạimọi chi tiết, không phải mọi chi tiết của lời giải đưa ra đều đúng Khi lậpchương trình giải có thể tự do mò mẫm bao nhiêu thì khi thực hiện lời giải

ta phải trải nghiệm lại cẩn thận bấy nhiêu

Ta phải trình bày lời giải có thứ tự, phải chú trọng tới các chi tiết củalời giải, không được quên một chi tiết nào, phải hiểu sự liên hệ của mỗi chitiết với toàn bộ và sự liên hệ giữa các giai đoạn quan trọng với nhau

* Bước 4: Nhìn lại bài toán và lời giải

Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện:

+ Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ lời giải bài toán

+ Suy nghĩ xem có lời giải khác hay không? Lời giải đã lựa chọn có phảihay nhất không?

+ Từ những kết quả thu được tìm cách đề xuất những bài toán khácnhờ tương tự, tổng quát hoá,

1.1.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy hết tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần phải nắmvững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng vàtốt Nói như vậy là bao hàm đầy đủ các ý cần thiết nhưng cô đọng Đểthuận lợi cho việc thực hiên các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạyhọc và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu chi tiết

i) Kết quả đúng kể cả bước trung gian

Kết quả cuối cùng phải là một phương án đúng, một biểu thức, mộthằng số, một hình vẽ, thoả mãn các yêu cầu đề ra Kết quả của các bướctrung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm

về tính toán, hình vẽ, biến đổi biểu thức

2i) Lập luận chặt chẽ

Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:

+ Lập luận nhất quán

+ Luận cứ phải đúng

+ Luận chứng phải hợp lôgic

3i) Lời giải phải đầy đủ

Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ xót trường hợp nào, mộtchi tiết cần thiết nào

4i) Ngôn ngữ chính xác

Đây là yêu cầu giáo dục tiếng mẹ đẻ cho tất cả các bộ môn Việc dạymôn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này

5i) Trình bày rõ ràng đảm bảo mĩ thuật

Yêu cầu này đặt ra với các lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp cácyếu tố ( chữ, số , hình vẽ, kí hiệu ) trong lời giải

6i) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong cáccách giải đã tìm được

7i) Nghiên cứu giải các bài tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.Bốn yêu cầu từ i) đến 4i ) là các yêu cầu cơ bản Yêu cầu 5i) là yêu cầu vềmặt trình bày Yêu cầu 6i) và 7i) là yêu cầu đề cao

1.1.3 Khái niệm kĩ năng giải toán

Trong lĩnh vực tâm lý học có nhiều công trình nghiên cứu đề cập đến

kĩ năng nhưng vẫn chưa có định nghĩa nào được sử dụng duy nhất Có thểtóm lược một số khái niệm kĩ năng được sử dụng như sau:

+ Theo P.A.Rudich cho rằng :" Kĩ năng là động tác mà cơ sở của nó là

sự vận dụng thực tế các kiến thức đã tiếp thu để đạt được kết quả trongmột hình thức hoạt động cụ thể." Ở đây các tác giả đã quan niệm kĩ năng

là hoạt động vật chất, hàm chỉ vận động vật chất cụ thể Với quan niệmnhư vậy thuận lợi cho việc hình thành những kĩ năng vận động, nhữngthao tác kĩ thuật

+ Quan điểm thứ hai coi kĩ năng là khả năng thực hiện một công việc

hay việc thực hiện một hành động nào đó một cách có chất lượng và hiệuquả theo yêu cầu, theo mục đích xác định trong những điều kiện nhất định( thời gian, phương tiện, môi trường hoạt động, nguồn lực, ) Hoặc kĩnăng là khả năng của con người thực hiện một công việc một cách có hiệuquả và chất lượng trong một khoảng thời gian thích hợp, trong những điềukiện nhất định dựa vào tri thức và thói quen hình thành được.

Như vậy, quan niệm kĩ năng là quan niệm rộng hơn, không chỉ coi kĩnăng đơn thuần là hành động vật chất hay là động tác cụ thể mà bao gồm

cả hành động trí óc Vấn đề kĩ năng vẫn còn là vấn đề có nhiều ý kiến,song về cơ bản các ý kiến cũng không có gì mâu thuẫn nhau Các tác giảtuỳ theo cách nhìn chủ quan của mình mà nhấn mạnh khía cạnh này haykhía cạnh khác Tuy nhiên, từ những ý kiến trên chúng ta có thể hiểu kĩnăng một cách tổng quát như sau: Kĩ năng là khả năng thực hiện có kếtquả một hành động hay một hoạt động nào đó bằng cách lựa chọn và vậndụng những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp vớinhững điều kiện thực tiễn cho phép Kĩ năng thể hiện các thao tác tư duy,năng lực hành động và mặt kĩ thuật của hành động

Để trở thành một người có kĩ năng hành động nào đó phải:

+ Có tri thức về hành động bao gồm mục đích của hành động, các điềukiện phương tiện để đạt được mục đích, các cách thức thực hiện hành động.+ Tiến hành hành động cùng với yêu cầu của nó

+ Đạt được kết quả với mục đích đề ra

+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.Tuy nhiên, muốn có kĩ năng thì phải tính đến một quá trình hình thành

kĩ năng, và để đạt được kết quả hành động cũng cần phải có sự rèn luyện,tập dượt nhất định để đạt được mục đích đề ra

1.1.4 Đặc điểm của kĩ năng giải toán

Trong vận dụng, ta thường chú ý đến đặc điểm của kĩ năng:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết, đó là kiến thức,bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến

kết quả - hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ cácthuộc tính, bản chất của đối tượng được thử nghiệm trong thực tiễn tồntại trong ý thức với tư cách của hành động

- Kĩ năng của con người không phải là yếu tố bất biến trong suốt cuộcđời mà phụ thuộc vào người học thông qua chính hoạt động của họ trongmối quan hệ của họ với cộng đồng Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy,học sinh gặp rất nhiều những khó khăn trong việc vận dụng những kháiniệm và kiến thức đã lĩnh hội được để giải quyết những nhiệm vụ cụ thể.Cái khó nằm ở chỗ, học sinh không biết phát hiện những dấu hiệu bảnchất của đối tượng, từ đó phát hiện những mối liên hệ bản chất giữ tri thức

đã có với đối tượng đó Trong trường hợp này, tri thức không biến thànhcông cụ của hoạt động nhận thức và như vậy khối kiến thức mà họ có làkhô cứng không gắn với thực tiễn, không biến thành cơ sở của kĩ năng.Tri thức về các sự vật là rất đa dạng và phong phú, nó phản ánh nhữngthuộc tính khác nhau và những thuộc tính bản chất của các sự vật Nhưvậy để tri thức trở thành cơ sở lựa chọn đúng đắn cho các hành động thìcần biết lựa chọn tri thức một cách đúng đắn hợp lý Nói cách khác cầnlựa chọn tri thức phản ánh thuộc tính bản chất phù hợp với mục tiêu củahành động

1.1.5 Các kĩ năng giải toán

Trong toán học, " Kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện chứngminh cũng như phân tích, có thể phê phán các lời giải và chứng minh chưanhận được." Kĩ năng giải toán được hiểu là kĩ năng vận dụng tri thức toánhọc để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng minh)

+ Theo Polya: Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải vàchứng minh đã nhận được

Như vậy, kĩ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (bao gồmkiến thức, kĩ năng, phương pháp) Sau khi nắm vững lí thuyết trong qua

Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong quá trình dạy học Toán học

là học sinh phải nắm vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo vận dụng trongthực hành giải toán Tuỳ theo từng nội dung, kiến thức truyền thụ cho họcsinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Trong chươngtrình toán phổ thông, cụ thể là khi rèn luyện kĩ năng thực hành giải bàitập về lượng giác ta có thể chỉ ra một số kĩ năng sau:

+ Kĩ năng liên kết, phân tích các dữ liệu mà bài toán đã cho với cáiphải tìm

+ Kĩ năng tính toán: Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luậnđộc lập, sáng tạo, ta không thể xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán

vì nó có vai trò quan trọng đối với học sinh trong việc thực hiện lời giảimột bài toán, rất dẫn đến sai lầm trong kết quả của bài toán và cuộc sốngsau này Kĩ năng này đòi hỏi sự tỉ mỉ, cẩn thận tính đúng, tính nhanh vàtính hợp lí trong từng bước tính toán của một lời giải

+ Kĩ năng vận dụng các quy tắc biến đổi công thức Về mặt kĩ năngnày thì yêu cầu học sinh vận dụng linh hoạt máy móc

+ Kĩ năng vận dụng cái đã có vào giải các bài toán cụ thể về lượng giác.Học sinh phải rèn luyện kĩ năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giảibài toán Nên hướng dẫn học sinh thực hiện giải bài toán theo quy trình 4bước: Tìm hiểu nội dung bài toán, xây dựng chương trình giải, thực hiệnchượng trình giải , kiểm tra nghiên cứu lời giải

+ Kĩ năng chứng minh toán học, cụ thể khi giải các bài tập về lượnggiác là việc chứng minh một đẳng thức dựa vào các công thức đã học TheoHoàng Chúng, để có kĩ năng chứng minh toán học thì học sinh cần đạt

được: Hình thành động cơ chứng minh, rèn luyện những hoạt động thànhphần trong chứng minh, truyền thụ tri thức phương pháp về chứng minh,các phép suy luận.

+ Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổixuôi chiều và ngược chiều, là một điều kiện quan trọng để học sinh nắmvững và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần quantrọng của tư duy toán học Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năngbiến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hìnhthành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liêntưởng thuận

+ Kĩ năng đọc và vẽ hình đo đạc: Đây là kĩ năng cần thiết và phải rènluyện cho học sinh một cách cẩn thận Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, họcsinh phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quyước, phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, có thẩm mĩ

+ Kĩ năng toán học hoá các tình huống thực tiễn: Kĩ năng toán học hoácác tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực

tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận dụng những kiếnthức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập, giúp học sinhnắm được thực chất nội dung, vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán họcmột cách hình thức

+ Kĩ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thứliên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần

tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng Tư duy hàmđóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông.Những hoạt động tư duy hàm là: Hoạt động phát triển và thiết lập sựtương ứng, hoạt động nghiên cứu tương ứng

+ Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầmkhi giải toán:" Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót củamình " (Polya) Trong học tập gải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sailầm đó của lời giải là một thành công của người giải toán

Trên thực tế, có nhiều học sinh kể cả học sinh khá, giỏi vẫn mắc sai lầmkhi giải toán Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả năng và thóiquen phát hiện những sai lầm nếu có sau mỗi bài tập, mỗi bài kiểm tra,phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó Qua đó học sinh cũng đã đượcrèn luyện thêm về kĩ năng trình bày lời giải chẳng hạn như: Câu chữ, các

kí hiệu, hình vẽ chính xác , hình thức sạch đẹp Việc hình thành kĩ năng

tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao chất lượng dạy

và học

Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học nói chung cho học sinh,giáo viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:

+ Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hình thành giải bài tập toán học

và mức độ ở mỗi lớp, mỗi cấp học tương ứng

+ Xác định hình thức giải bài tập toán học tương ứng chủ yếu cho họcsinh rèn luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp

+ Xác định sơ đồ định hướng khái quát các Angorit giải mỗi bài tập cơbản điển hình và bài tập cơ sở để hướng dẫn học sinh giải bài tập

+ Hướng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời gải bài tập giúp học sinhnắm được sơ đồ hướng dẫn giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập

cụ thể

Sử dụng hình thức bài tập sau mỗi bài, mỗi chương giúp học sinh luyệntập theo mẫu, không theo mẫu , thường xuyên và theo hình thức khác nhau

1.2 Một số cách luyện tập để rèn luyện kĩ năng giải toán.Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập mẫu, việc luyệntập này có tiến hành ngay ở một bài học, cũng có thể rải rác ở một số bàicũng như bài tập ở nhà.

* Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những yêu cầu củabài tập được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp Hệ thống bài tập phảiđược sắp xếp từ dễ tới khó giúp học sinh phát triển các kĩ năng từ thấpđến cao khác nhau

* Luyện tập thường xuyên: Mỗi khái niệm được hình thành phải đượchọc sinh thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiện để học sinh rènluyện kĩ năng trong triết học, trong hoạt động học ở nhà

* Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập khác nhau: ngoài việc

sử dụng đa dạng các bài tập toán học cần phối hợp nhiều loại bài tập để

có nhiều hình thức rèn luyện kĩ năng thực hành giải như

Ở thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập toán chứa đựng tường minh hay

ẩn tàng những chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáodục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đềuhướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

Tuy nhiên trên thực tế các chức năng này không bộc lộ một cách riêng

lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của

một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy được thể hiện ở một cáchtường minh, công khai.

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vàoviệc khai thác và thực hiên một cách đầy đủ các chức năng có thể có củamột bài toán mà người viết sách giáo khao đã có dụng ý chuẩn bị Ngườigiáo viên chỉ có thể khám phá thực hiện những dụng ý đó bằng năng lực

sư phạm của mình

1.4 Lượng giác trong chương trình đại số lớp 10 THPT

Trong chương trình môn toán lớp 10 THPT, học sinh được làm quenvới các công thức lượng giác cơ bản, tuy nhiên ở lớp 9 các em đã được làmquen với một số công thức lượng giác như sin, cos, tan, cot Nhưng lên lớp

10 thì số lượng công thức nhiều hơn và việc biến đổi phức tạp hơn so với

ở lớp 9

Qua điều tra khảo sát và trao đổi với các thầy cô giáo dạy toán lớp

10 và các em học sinh tôi nhận thấy rằng: Số lượng bài tập và nội dungkiến thức tương đối nhiều, đây cũng là lượng kiến thức mới tương đối khó.Ngoài thời gian học tập trên lớp các em không có thời gian nghiên cứusâu, mở rộng, khai thác ứng dụng của nhiều công thức Điều này hạn chếkhông nhỏ đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh , việc phát huytính tích cực, độc lập suy nghĩ của học sinh trong quá trình học tập

Hệ thống bài tập sau mỗi phần nhằm khắc sâu ứng dụng khái niệm,công thức còn ít Khi vận dụng những kiến thức đó vào việc giải toán cònnhiều lúng túng, chưa rèn luyện đầy đủ, thành thạo về kĩ năng thực hiệnlời giải bài toán lượng giác, chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khámphá tri thức cho học sinh nên có thể dẫn tới tình trạng hời hợt, không hiểusâu vấn đề

Trong thực trạng khi giải các bài tập về lương giác, học sinh còn mắcnhiều sai lầm khi tính toán, biến đổi các công thức như biến đổi các côngthức tổng thành tích, tích thành tổng Để khắc phục phần nào tình trạng

đó chúng tôi thấy rằng: Các giáo viên cần phải vận dụng tối đa giờ lên lớp,

dạy thêm nội dung này trong các giờ tự chọn, chuẩn bị một cách hệ thốngbài tập mới bổ sung cho sách giáo khoa, phải huy động mọi biện pháp đểtạo ra môi trường hoạt động tích cực giúp học sinh nắm vững kiến thứcmột cách cơ bản, vững chắc.

Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứ nội dung này, chúng tôi nhậnthấy có một số thuận lợi và khó khăn sau:

- Những thuận lợi:

+ Cách trình bày diễn đạt kiến thức của sách giáo khoa mới là tươngđối dễ hiểu, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

+ Số lượng bài toán là vừa phải không gây tình trạng quá tải với đa số

mà vẫn đảm bảo việc rèn luyện kĩ năng thực hành giải bài tập

- Những khó khăn:

+ Đối với học sinh trung học phổ thông thì lượng giác là một kiến thứcmới và khó, học sinh thường gặp khó khăn trong việc nhớ các công thứclượng giác, vì thế không tránh khỏi những bỡ ngỡ khi học nội dung này

Số tiết dành cho chương trình còn hạn chế, nó bất cập với lượng kiếnthức mới và khó mà học sinh phải lĩnh hội nên dễ gây ra tâm lý ngại khó.Đặc biệt là khi giải bài tập ở nội dung này, học sinh thường biến đổi saicông thức, khi tính toán hay nhầm lẫn

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP CƠ BẢN

NHẰM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢIBÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT

Từ những nghiên cứu ở chương I, nội dung chương II nghiên cứu các biệnpháp áp dụng cho từng dạng bài toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải bài tậplượng giác cho học sinh lớp 10

2.1 Định hướng rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác lớp 10THPT

Một số kiến thức cơ bản về lượng giác

Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

* Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), địnhhướng, trên đó có một điểm A được chọn làm gốc

* Cho đường tròn lượng giác trong hệ trục toạ độ vuông góc gắn với nó.Với mỗi góc lượng giác (Ou,Ov) có số đo α, lấy điểm M(xM; yM) trên đườngtròn lượng giác sao cho sđ (OA,OM) = α ta có :

sin(Ou, Ov) = sin α = yMcos(Ou, Ov) = cos α = xMtan(Ou, Ov) = tan α = sin α

cos α, với α 6=

π

2 + kπ, k ∈ Zcot(Ou, Ov) = cot α = cos α

sin α, với α 6= kπ, k ∈ Z

*Các tính chất : Với k ∈ Z

sin(α + k2π) = sin α ; cos(α + k2π) = cos α;

tan(α + kπ) = tan α ; cot(α + kπ) = cot α

1) Quan hệ giữa độ và rađian

10 = π

180 rad và 1 rad =

 180π

0

Bảng chuyển đổi thông dụng

Độ 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800rađian π

6

π4

π3

π2

2π3

3π4

π3

π2

2

√22

√3

√32

√22

II) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1) Công thức lượng giác cơ bản (hay hằng đẳng thức lượng giác)

tan α = sin α

cos αcot α = cos α

sin αsin2α + cos2α = 1

2 + kπ, k ∈ Z

2) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt2.1 Hai góc đối nhau

sin(−α) = − sin α, tan(−α) = − tan αcos(−α) = cos α, cot(−α) = −cotα2.2 Hai góc bù nhau

sin(π − α) = sin α, tan(π − α) = − tan αcos(π − α) = − cos α, cot(π − α) = − cot α2.3 Hai góc phụ nhau

sinπ

2 − α = cos α, tanπ

2 − α = cot αcos

π

2 − α = sin α, cot

π

2 − α = tan α2.4 Hai góc hơn nhau π

sin(π + α) = − sin α, tan(π + α) = tan αcos(π + α) = − cos α, cot(π + α) = cot α

2.5 Hai cung hơn nhau π

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b;

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a;

sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a;

tan(a + b) = tan a + tan b

1 − tan a tan b;tan(a − b) = tan a − tan b

1 + tan a tan b;cot(a + b) = cot a cot b − 1

cot a + cot bcot(a − b) = −(cot a cot b + 1)

cot a − cot b ;4) Công thức nhân cung

sin 2a = 2 sin a cos a :cos 2a = cos2a − sin2a = 1 − 2 sin2a = 2 cos2a − 1;tan 2a = 2 tan a

1 − tan2a;sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a;

cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a;

tan 3a = 3 tan a − tan

3a

1 − 3 tan2a ;5) công thức hạ bậc

6) Công thức tính theo tanx

7) Công thức biến đổi tổng thành tích

sin a + sin b = 2 sina + b

2 cos

a − b

2 ;cos a − cos b = −2 sin a + b

2 sin

a − b

2 ;tan a + tan b = sin(a + b)

cos a cos b;tan a − tan b = sin(a − b)

cos a cos b;8) Công thức biến đổi tích thành tổng

2.2 Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán lượng giác chohọc sinh lớp 10 THPT.

2.2.1 Biện pháp 1: Tăng cường rèn luyện kĩ năng tính giá trị củamột biểu thức lượng giác

a) Cơ sở lý luận

Nắm vững định nghĩa chính là nắm bản chất kiến thức Hệ thống kiếnthức được xây dựng xuất phát từ định nghĩa Kiến thức chủ yếu của lượnggiác là hệ thống các công thức lượng giác Để hiểu, nắm vững và khắc sâuđược hệ thống các công thức lượng giác thì việc vận dụng các công thức

đó để giải bài toán cụ thể là một khâu cơ bản bậc nhất

Các kiến thức lượng giác là hoàn toàn mới đối với học sinh nên học sinhhay gặp khó khăn khi giải bài tập đặc biệt là khi áp dụng lý thuyết vàothực hành Khi hướng dẫn học sinh thực hành giải bài tập lượng giác cầnrèn cho học sinh kĩ năng gộp nghiệm bởi các cung lượng giác có cùng chu

kì sẽ có cùng một giá trị lượng giác, kĩ năng ghi nhớ bảng giá trị lượnggiác của các cung đặc biệt, kĩ năng vận dụng các công thức lượng giác cơbản, kĩ năng tính toán một cách chính xác

Dự kiến các sai lầm đối với dạng bài tập này:

- Học sinh thường mắc phải sai lầm trong việc xác định chu kì của cáccung lượng giác, không nhớ được bảng giá trị lượng giác của các cung đặcbiệt dẫn đến sai lầm trong việc tính toán

- Kiến thức không chắc, việc biến đổi công thức chưa thành thạo nênthường sai lầm khi tính giá trị lượng giác của các cung không đặc biệt

- Sai lầm trong việc xác định dấu của các giái trị lượng giác

b) Mục đích, ý nghĩa của biện pháp

Biện pháp đưa ra nhằm tăng cường khả năng nhận thức, xử lý tìnhhuống, khắc sâu kiến thức từ việc luyện tập thành thạo các bài tập mangtính chất củng cố lý thuyết

Như vậy kĩ năng thực hành có thể rèn luyện cho học sinh khi áp dụngbiện pháp này là:

+ Xác định được dấu của các giá trị lượng giác của cung lượng giác α.Việc xác định giá trị lượng giác của các cung có cùng chu kì.

+ Kĩ năng phân tích: Kĩ năng phân tích các cung lượng giác không đặcbiệt về các cung lượng giác đặc biệt có cùng chu kì để tính toán

+ Kĩ năng chuyển hoá quan hệ tương đương

+)Trước tiên cần hướng dẫn cho học sinh phân tích số đo các cung thànhmột số nguyên lần 3600 hoặc một số nguyên lần π tuỳ vào từng trườnghợp Sau đó sử dụng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

và bảng giá trị lượng giác của cung đặc biệt để tính

+) sin 10200 = sin(3000 + 2.3600) = sin 3000 = sin(−600 + 3600)

= sin(−600) = − sin 600 = −

√32+) cos 4950 = cos(1350 + 3600) = cos 1350 = cos(450 + 900)

= − sin 450 = −

√22+) tan 23π



= − tanπ

3 = −

√3

Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

2 − 1

2 ·

√2

2 =

√

6 −√

24+) Cách 2 A = sin 150 = sin(600 − 450) = sin 600cos 450 − cos 600sin 450

2 − 1

2 ·

√2

2 =

√

6 −√

24b)

sin 11π

12 +

15π12

+ sin 11π



= 1

√3

+) Trước tiên ta thấy: cos 3π

7 = cos



π − 4π7



= − cos2π

7

7 sau đó áp dụng công thức nhân đôi để tính.

=> sin α = 1

2b) Để tính cos α trong trường hợp này chúng ta có thể tính theo 2 cách:+) Cách 1: Sử dụng định nghĩa và công thức lượng giác cơ bản để tính:

Ta có π < α < 3π

2 => cos α < 0tan α = 2√

thay vào sin2α + cos2α = 1 ta được

8 cos2α + cos2α = 1 <=> cos2α = 1

9 => cos α = −

13+) Cách 2: Chỉ sử dụng công thức lượng giác cơ bản để tính

=> cos α =

√53

=> tan α =

−23

√53

=> cot α =

−14

√154

+) Một cung lượng giác α có 4 giá trị lượng giác là sin α, cos α, tan α, cot α.Bài toán đã cho giá trị cos α, vậy phải tính 3 giá trị còn lại là sin α, tan α, cot α.+) Trước tiên cần xác định dấu các giá trị lượng giác của cung α

+) Để tính các giá trị lượng giác còn lại của cung α có thể tính bằng 2cách:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa và công thức lượng giác cơ bản để tính

⇒ sin α =

√15313

⇒ tan α = sin α

cos α =

√15313413

=

√1534

⇒ cot α = 1

tan α =

4

√153Cách 2: Chỉ sử dụng công thức lượng giác cơ bản để tính

Do 0 < α < π

2 ⇒ sin α > 0, tan α > 0, cot α > 0

Ta có 1 + tan2α = 1

cos2α

⇒ cot α = 1

tan α =

4

√153

sin2α + cos2α = 1 ⇒ sin2α = 1 − cos2α = 1 − 16

169 =

153169

⇒ sin α =

√15313

Ví dụ 5: cho biết sin α = −1

+) Trước tiên cần xác định dấu của giá trị cos α

+) Sau đó dựa vào định nghĩa, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đểtính các giá trị cần tìm

⇒ cos α = −2

√23sin 2α = 2 sin α cos α = 2



−13

 −2

√23

!

= 4

√29

tan α = sin α

cos α =

−13

−2

√23

2√2

tan 2α = 2 tan α

1 − tan2α =

2 · 1

2√2

1 − 18

= 2

√27