Hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán đại số cho học sinh lớp 10 trung học phổ thông

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chƣơng I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ CHUẨN KIẾN THỨC KỸ NĂNG 1.2 MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 THPT 1.3 THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN MÀ GIÁO VIÊN GẶP PHẢI KHI GIẢNG DẠY CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 1.4 KỸ NĂNG 1.5 SỰ HÌNH THÀNH KỸ NĂNG 1.5.1 Điều kiện hình thành kỹ 1.5.2 Các yếu tố ảnh hƣởng đến hình thành kỹ 10 1.5.3 Một số giai đoạn hình thành kỹ 10 1.6 KỸ NĂNG GIẢI TOÁN 11 1.7 HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 12 1.7.1 Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 12 1.7.2 Một số kỹ cần thiết giải toán 12 1.7.2.1 Kỹ nhận dạng thể tri thức vào giải Toán 12 1.7.2.2 Kỹ biến đổi đồng 15 1.7.2.3 Kỹ đặt ẩn phụ 17 1.7.2.4 Kỹ đánh giá 20 1.7.2.5 Kỹ dựa vào hàm số đồ thị để giải biện luận phƣơng trình 22 1.7.2.6 Kỹ biện luận phân loại trƣờng hợp 27 1.7.2.7 Kỹ phán đốn suy luận có lý 30 1.7.2.8 Kỹ tƣ mềm dẻo, linh hoạt độc đáo 34 1.7.2.9 Kỹ huy động kiến thức 39 1.8 DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN 41 1.8.1 Khái niệm tập 41 1.8.2 Vị trí vai trị tập Tốn học 42 1.8.3 Những yêu cầu lời giải môt tập 43 1.8.4 Giải Toán theo bốn bƣớc Polya 45 1.9 PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 THPT 47 1.9.1 Không nắm vững chất tham số, không hiểu nghĩa cụm từ giải biện luận theo m tìm m Khi giải biện luận phƣơng trình (bất phƣơng trình) có tham số m, nhiều học sinh quy tìm m để phƣơng trình (bất phƣơng trình) có nghiệm 47 1.9.1.1 Sai lầm giải biện luận phƣơng trình dạng 47 1.9.1.2 Sai lầm giải phƣơng trình bậc hai 49 1.9.1.3 Sai lầm giải biện luận phƣơng trình dạng: 52 1.9.1.4 Sai lầm giải phƣơng trình vơ tỷ: 54 1.9.2 Sai lầm thực phép biến đổi tƣơng đƣơng 63 1.10 KẾT LUẬN CHƢƠNG I 67 Chƣơng II: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ CHO HỌC SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 68 2.1 PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 10 TRONG CHƢƠNG TRÌNH MƠN TỐN THPT 68 2.1.1 Chƣơng trình Tốn 10 (nâng cao) đƣợc quy định theo khung chƣơng trình Bộ Giáo dục Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoa Đại số 10 68 2.1.2 Chƣơng trình Tốn 10 (Cơ bản) đƣợc quy định theo khung chƣơng trình Bộ Giáo dục Đào tạo, quy định theo Sách giáo khoa Đại số 10 69 2.2 ĐIỂM QUA MỘT SỐ NỘI DUNG TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 HIỆN HÀNH 70 2.2.1 Phƣơng trình bậc 70 2.2.1.1 Định nghĩa 70 2.2.1.2 Giải biện luận phƣơng trình ax + b = (1) 70 2.2.1.3 Phƣơng trình quy phƣơng trình ax + b = 70 2.2.2 Phƣơng trình bậc ẩn 71 2.2.2.1 Định nghĩa: 71 2.2.2.2 Giải biện luận phƣơng trình ax + by = c (1) 71 2.2.3 Phƣơng trình bậc hai 72 2.2.3.1 Định nghĩa: 72 2.2.3.2 Giải biện luận phƣơng trình ax2 +bx + c = 72 2.2.3.3 Định lý Viét ứng dụng 73 2.2.4 Phƣơng trình quy bậc hai 76 2.2.4.1 Phƣơng trình trùng phƣơng 76 2.2.4.2 Phƣơng trình chứa giá trị tuyệt đối 77 2.2.4.3 Phƣơng trình chứa ẩn dƣới dấu thức bậc hai 78 2.3 NHỮNG YÊU CẦU VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 79 2.3.1 Đối với phƣơng trình bậc ẩn 80 2.3.2 Đối với phƣơng trình bậc hai ẩn 81 2.3.3 Đối với phƣơng trình bậc hai 81 2.3.4 Đối với phƣơng trình quy bậc hai 82 2.4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NHẰM BỒI DƢỠNG VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT 83 2.4.1 Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng, hệ 85 2.4.2 Ph-ơng pháp đặt ẩn phụ 94 2.4.3 Ph-ơng pháp đánh giá 110 2.4.4 Ph-ơng pháp điều kiện cần đủ 114 2.4.5 Ph-ơng pháp đoán nhận nghiệm chứng minh tính đầy đủ tập nghiệm đà có 120 2.4.6 Ph-ơng pháp hình học 124 2.4.7 Ph-ơng pháp đồ thị 128 Ch-¬ng III: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 133 3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 133 3.2 Néi dung vµ tỉ chøc thùc nghiƯm 133 3.2.1 Néi dung thùc nghiÖm 133 3.2.2 Tỉ chøc thùc nghiƯm 133 3.2.2.1 Chän líp thùc nghiƯm 133 3.2.2.2 TiÕn tr×nh thùc nghiƯm 133 3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 134 3.3.1 Về nội dung 134 3.3.2 Về phƣơng pháp dạy học 134 3.3.3 Về khả lĩnh hội kiến thức 134 3.3.4 Về kết kiểm tra thực nghiệm 134 3.4 KẾT LUẬN 137 KẾT LUẬN 138 TÀI LIỆU THAM KHẢO 140 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Dạy Toán dạy kiến thức, kỹ tƣ tính cách cho học sinh Việc hình thành rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh yêu cầu cần thiết hoạt động dạy Toán, giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức Tốn trƣờng phổ thơng, đồng thời rèn luyện cho học sinh thao tác tƣ duy, hoạt động trí tuệ Nếu khơng hình thành đƣợc kỹ cho học sinh học sinh bị thụ động, lúng túng trƣớc Toán 1.2 Chƣơng trình Đại số 10 có nhiều thay đổi, có phần, chƣơng học sinh dễ lầm tƣởng đƣợc học bậc Trung học sở Vì giáo viên phải hình thành đƣợc kỹ giải Toán để học sinh thấy đƣợc đổi mới, cách nhìn nhận, tƣ giải Tốn hồn tồn mức độ cao bậc Trung học sở 1.3 Thực tế cho thấy, nhiều trƣờng phổ thơng nay, cách dạy học Tốn GV cách học Toán học sinh nhiều GV đƣa dạng Toán HS lắp ghép vào để giải mà chƣa hiểu rõ chất, chƣa có đƣợc kỹ vận dụng để giải Tốn, đặc biệt Tốn địi hỏi sáng tạo 1.4 Hiện trạng, vấn đề làm để hình thành đƣợc kỹ giải Tốn cho học sinh vấn đề đƣợc tất giáo viên giảng dạy trăn trở Đó trách nhiệm thành công giáo viên Sách tham khảo cho giáo viên học sinh phong phú đa dạng đƣa phƣơng pháp, dạng Toán, nhƣng học sinh đọc áp dụng rập khn, máy móc mà khơng có đƣợc kỹ giải dạng Tốn địi hỏi mức độ tƣ Toán học cao Từ lý trên, chúng tơi chọn đề tài "Hình thành rèn luyện kỹ giải Toán Đại số cho học sinh lớp 10 Trung học phổ thơng" Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ số thay đổi, mở rộng điều chỉnh chƣơng trình Đại số 10, dựa kiến thức, kỹ giải Tốn mà học sinh đƣợc trang bị lớp dƣới, tiếp tục bồi dƣỡng hình thành kỹ giải Toán cho học sinh chƣơng trình Tốn đầu cấp THPT Từ xây dựng tổ chức biện pháp hình thành kỹ chủ đề chƣơng trình Đại số 10 Nhiệm vụ nghiên cứu 3.1 Tìm hiểu, phân tích, so sánh, đối chiếu nội dung sách Đại số 10 năm gần 3.2.Hệ thống hóa, làm rõ vấn đề sở lí luận thực tiễn, phƣơng pháp luận có liên quan đến kỹ giải Toán dạy học Toán 3.3 Xây dựng kỹ giải Toán cho học sinh 3.4 Xây dựng biện pháp để hình thành kỹ giải Toán cho học sinh 3.5 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm, xem xét tính khả thi đề tài Giả thuyết khoa học Có thể hình thành rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh dạy học Đại số 10 nhằm phát triển lực giải Toán cho học sinh Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận phƣơng pháp giảng dạy mơn Tốn, tài liệu Tâm lí học Giáo dục học để từ hình thành nên kỹ giải Toán cho học sinh - Nghiên cứu chƣơng trình SGK Đại số 10 chuẩn kiến thức kỹ 5.2 Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn sƣ phạm, lấy ý kiến giáo viên giảng dạy số trƣờng ý kiến chuyên gia để đƣa kỹ nhất, qua thực tế giảng dạy để hình thành hồn chỉnh phƣơng pháp hình thành loại kỹ giải Tốn Đóng góp luận văn 6.1 Luận văn đƣa kỹ giải Toán cho học sinh mà tài liệu khác chƣa có dịp đề cập đề cập sơ 6.2 Luận văn tài liệu tham khảo giảng dạy Toán trƣờng THPT Cấu trúc luận văn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ CHUẨN KIẾN THỨC KỸ NĂNG 1.2 MỤC ĐÍCH, YÊU CẦU DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 THPT 1.3 THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN MÀ GIÁO VIÊN GẶP PHẢI KHI GIẢNG DẠY CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 1.4 KỸ NĂNG 1.5 SỰ HÌNH THÀNH KỸ NĂNG 1.5.1 Điều kiện hình thành kỹ 1.5.2 Các yếu tố ảnh hƣởng đến hình thành kỹ 1.5.3 Một số giai đoạn hình thành kỹ 1.6 KỸ NĂNG GIẢI TỐN 1.7 HÌNH THÀNH KỸ NĂNG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH 1.7.1 Các yêu cầu rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh 1.7.2 Một số kỹ cần thiết giải Toán 1.8 DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN 1.8.1 Khái niệm tập 1.8.2 Vị trí vai trị tập Tốn học 1.8.3 Những yêu cầu lời giải tập 1.8.4 Giải Tốn theo bốn bƣớc Pơlya 1.9 PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 THPT 1.9.1 Khơng nắm vững chất tham số, không hiểu nghĩa cụm từ giải biện luận theo m tìm m Khi giải biện luận phƣơng trình (bất phƣơng trình) có tham số m, nhiều học sinh quy tìm m để phƣơng trình (bất phƣơng trình) có nghiệm 1.9.2 Sai lầm thực phép biến đổi tƣơng đƣơng 1.10 KẾT LUẬN CHƢƠNG I Chƣơng II: XÂY DỰNG VÀ TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG NHẰM HÌNH THÀNH CÁC KỸ NĂNG GIẢI TỐN CHO HỌC SINH 2.1 PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC ĐẠI SỐ 10 TRONG CHƢƠNG TRÌNH MƠN TOÁN THPT 2.2 ĐIỂM QUA MỘT SỐ NỘI DUNG TRONG CHƢƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 HIỆN HÀNH 2.3 NHỮNG YÊU CẦU VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH Ở LỚP 10 2.4 MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN NHẰM BỒI DƢỠNG VÀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT Chƣơng III: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM 3.2 Néi dung vµ tỉ chøc thùc nghiÖm 3.3 ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 3.4 KẾT LUẬN KẾT LUẬN Chƣơng I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 VÀ CHUẨN KIẾN THỨC KỸ NĂNG Chƣơng trình Đại số 10 phần chƣơng trình mơn Tốn đƣợc soạn thảo sở chƣơng trình Tốn THPT thí điểm: rút kinh nghiệm tiếp thu ý kiến đóng góp đơng đảo giáo viên, cán giáo dục nhiều nhà khoa học Chƣơng trình Đại số 10 đề cập đến chủ đề: + Chủ đề thứ gồm hai phần: Mệnh đề Tập hợp, phần Mệnh đề nhằm cung cấp cho học sinh hiểu biết sơ lƣợc mệnh đề qua giới thiệu ký hiệu lơgic, số cách suy luận diễn đạt thƣờng dùng Yêu cầu chủ yếu phần học sinh phải biết cách sử dụng lúc, chỗ, cách ký hiệu lôgic nhƣ phải hiểu ý đƣợc diễn đạt theo cách học tình cụ thể Trong tập hợp, đáng ý ký hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng ý nghĩa chúng Học sinh cần hiểu ký hiệu có kỹ tốt việc tìm hợp, giao khoảng, đoạn hay nửa khoảng cho để sử dụng việc giải bất phƣơng trình, hệ bất phƣơng trình + Chủ đề thứ hai Hàm số bậc bậc hai Ngoài hàm số bậc bậc hai, học sinh đƣợc học cách vẽ đồ thị hàm số cho nhiều biểu thức khoảng rời rạc, cụ thể hàm số bậc khoảng Từ suy cách vẽ đồ thị hàm số Trong chủ đề cần đạt đƣợc kỹ đọc đồ thị + Chủ đề thứ ba phƣơng trình hệ phƣơng trình, học sinh biết giải biểu diễn đƣợc tập nghiệm, có thêm giải hệ phƣơng trình bậc ba ẩn + Chủ đề thứ tƣ: Bất đẳng thức bất phƣơng trình, học sinh chứng minh đƣợc số bất đẳng thức đơn giản, giải biện luận bất phƣơng trình hệ bất phƣơng trình bậc nhất, bậc hai có chứa tham số + Chủ đề thứ năm: Thống kê đƣợc đƣa vào chƣơng trình cách có hệ thống hơn, tiếp thu hệ thống hoá, phát triển kiến thức thống kê mà học sinh học lớp dƣới + Chủ đề thứ sáu: Góc lƣợng giác cơng thức lƣợng giác bao gồm khái niệm ban đầu lƣợng giác, góc cung lƣợng giác, giá trị lƣợng giác góc (cung) lƣợng giác, số cơng thức lƣợng giác 1.2 MỤC ĐÍCH, U CẦU DẠY HỌC ĐẠI SỐ 10 THPT - Giáo viên bám sát chƣơng trình nội dung sách giáo khoa để truyền đạt cho học sinh kiến thức, kỹ giải Toán cần thiết sở vững cho em tiếp cận lĩnh hội chƣơng trình Tốn THPT - Đảm bảo tính liên mơn, việc dạy học Đại số 10 THPT cịn hỗ trợ mơn học khác gắn với thực tiễn 1.3 THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN MÀ GIÁO VIÊN GẶP PHẢI KHI GIẢNG DẠY CHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 Một số nhận xét thực trạng dạy học Đại số 10 THPT - Hạn chế: Giáo viên thƣờng chỉ: + Cung cấp quy tắc giải có sẵn làm mẫu vài tập sau học sinh vận dụng mà chƣa chủ động xác định kỹ rèn luyện cho học sinh Từ học sinh dễ mắc phải “bệnh hình thức‟‟ làm việc với số, cơng thức tính tốn “lầm tƣởng” kiến thức học Trung học sở, không làm rõ chất, hạn chế trí tƣởng tƣợng, tƣ lơgic khả nng sỏng to Ví dụ 4: Giải ph-ơng trình: x x    x  x (1) Giải: Điều kiện: x Đặt u ( x;1), v  ( x  1;  x   Ta cã u v  x x    x   u v  x   x    x  x  Khi (1) trở thành     u v  u v  cos(u , v )   u v hai véc tơ chiều x x 1  0 3 x x  0  x  0  x       x (3  x)  x  ( x  1)( x  x  1)  x  Vậy ph-ơng trình đà cho có hai nghiệm: x = vµ x = 1+ KÕt luËn: Trên ta đà trình bày cách giải ph-ơng trình ph-ơng pháp hình học Điểm mấu chốt việc giải ph-ơng trình ph-ơng pháp chỗ phải biết chọn toạ độ điểm hay toạ độ vectơ cách hợp lý để cho khoảng điểm hay tích vô h-ớng, tích độ dài vectơ t-ơng ứng thức có mặt ph-ơng trình Từ thiết lập đ-ợc bất đẳng thức ba cạnh tam giác hay đẳng thức tích vô h-ớng tích độ dài véc tơ, đến việc tìm nghiệm trở nên đơn giản Giải ph-ơng trình ph-ơng pháp hình học củng cố cho học sinh số kiến thức hình học rèn luyện kỹ năng: Giải hệ ph-ơng trình, chứng minh bất đẳng thức, tính khoảng cách hai điểm, tính tích vô h-ớng, bồi d-ỡng cho học sinh lực t- trừu t-ợng, lực t- linh hoạt, sáng tạo độc đáo 127 2.4.7 Ph-ơng pháp đồ thị Ph-ơng pháp đồ thị th-ờng dùng để giải toán có chứa tham số nh-: Giải biện luận ph-ơng trình, biện luận số nghiệm ph-ơng trình, tìm điều kiện để ph-ơng trình vô nghiÖm, cã nghiÖm, cã nghiÖm nhÊt, cã hai nghiÖm, ba nghiệm Gia sử cho ph-ơng trình: f(x,m)=g(x,m) (1) Khi giải tập ph-ơng pháp ta xét t-ơng giao hai đồ thị (C1) (C2) hàm số t-ơng ứng: y = f(x, m) y = g(x, m) Số nghiệm ph-ơng trình (1) số giao điểm hai đồ thị (C1) (C2) Ph-ơng trình (1) có nghiệm (C1) (C2) có điểm chung Ph-ơng trình (1) có nghiệm nhất, có hai nghiệm có ba nghiệm (C1) (C2) cắt điểm, hai điểm, ba điểm Các ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình x2- x - = (1) Gi¶i: Ta cã (1)  x2 = x + XÐt hai hµm sè y = x2 vµ y = x +2 Ta vÏ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ, chúng cắt hai điểm M(-1, 1) N(2, 4) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm (1) Vậy ph-ơng trình (1) cã hai nghiÖm x = -1; x = Ví dụ 2: Tìm m để ph-ơng trình x2- 2x + m -1 = a Cã hai nghiƯm d-¬ng ph©n biƯt b Cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt c Có hai nghiệm trái dấu Giải: Ta có (1) x2 -2x = 1-m 128 (1) Vẽ đồ thị hµm sè y = x2- 2x a) (1) cã hai nghiệm d-ơng phân biệt đ-ờng thẳng y =1-m cắt parabol y = x2 - 2x hai điểm phân biệt có hoành độ d-ơng -1 < 1-m <  1< m < b) Ta nhËn thÊy đ-ờng thẳng y = - m cắt parabol y = x2- 2x nhiều điểm có hoành độ âm Vậy giá trị m ®Ĩ (1) cã hai nghiƯm ©m ph©n biƯt c) (1) có hai nghiệm trái dấu đ-ờng thẳng y = - m cắt parabol y = x2 2x hai điểm có hoành độ trái dấu 1-m>0 m- 