SKKN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS

Thực tiễn dạy vàhọc cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giảitoán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh cònrất yều.. Do

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI “TOÁN CHIA HẾT” TRONG

CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU

Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giảibài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm Thực tiễn dạy vàhọc cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giảitoán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh cònrất yều Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán

để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, Mộttrong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”

Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó củamình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HSnắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các

kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán

II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU

Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 vàmỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vảnhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9 Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viênlại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thờigian của tiết dạy Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chiahết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, cónhững bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp,thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rấtđơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này

vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên khôngnghĩ đó là trọng tâm của bài Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu họcsinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn

luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS Mặt khác tài liệu tham khảo viết vềdạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường Từ những suy nghĩ đó

và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này

III/ GIẢI PHÁP

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giảitoán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào

để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất Vì vậy để nâng cao

kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, cácphương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbgchương, từng khối lớp Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toánkhó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này

Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và khôngchút ngần ngại khi gặp dạng toán này Nhằm giúp các em phát triển tư duy suyluận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ

dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi

Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri

thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú họctập hơn rất nhiều

B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ

I/CƠ SỞ LÝ LUẬN

Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thểhiện dạng toán “chia hết” Và trong những năm gần đây phương pháp dạy họcmôn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinhbằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duytrong quá trình giảng dạy bài mới Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán

“chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán Nó giúp học sinh pháttriển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linhhoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic

II./GIẢ THUYẾT

Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đãtrang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụnggiải các bài tập dạng này

1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích

-Nếu a  m và b  m thì a+b  m , a -b  m, a.b m

-Nếu a  m thì an m (n là số tự nhiên)

2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11

6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3

8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số

3.Đồng dư

+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số

dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b≡ (mod )c

+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+

a a≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇔ ≡b a(mod )m

a b≡ (mod );m b c≡ (mod )m ⇒ ≡a c(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒ ± ≡ ±a c b d(mod )m

a b≡ (mod );m c d≡ (mod )m ⇒⇒ac bd≡ (mod )m

a b≡ (mod )m ⇔a n ≡b n(mod )m

4.Nguyên tắc Đirichlê

Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếunhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai conthỏ.

5.Phương pháp chứng minh quy nạp

Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3 ta chứngminh như sau:

-Khẳng định A1 đúng

-Giả sử Ak đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng

Kết luận: Khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3

6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau:

-Giả sử P sai

-Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý

-Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng

*CÁC DẠNG TOÁN

Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người

học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó Một bài có thểvận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quátrình giải toán

1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số

Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8

Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hếtcho 5 và 8

Vì 19ab chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và 19abchia hết cho 8 nên suy ra b=0Mặt khác , 19a0 chia hết cho 8 nên 19a0chia hết cho 4 khi 0chia hết cho 4 suy

ra a ∈{0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 8 khi 9a0chia hết cho 8 nên a=2 hoặca=6 Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960

Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8

vì aaaaa96 8 ↔ a96 8 ↔100a + 96 8 suy ra 100a8

vậy a là số chẵn→a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1)

Bài 2; Tìm x để x1994  3 nhưng không chia hết cho 9

HD: Vì x1994 chia hết cho 3 ↔ (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3

Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1≤ x ≤ 9 nên 24 ≤ 23 + x ≤ 32

Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hếtcho 9

Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3

HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2

nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được cócùng số dư với 2k khi chia cho 3 Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phảichia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếpnhau

2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số

Bài toán 1 : Chứng minh rằng 2139+3921 chia hết cho 45

*Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1)

Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hết cho 5

Vậy 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hết cho 5

Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hết cho 5

Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*)Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9

KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45

Bài toán 2 : Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60

Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.

Ta có: A =2 + 22 + 23+…+ 260

A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259)

A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hết cho 3

KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15.

Bài toán 3:Chứng minh rằng 4343-1717 chia hết cho 5

Ta có 4343= 4340 433= (434)10.4343

Ta có 433 có tập cùng là chữ số 1 nên 434 có tận cùng là chữ số 1 hay 4340 có tậncùng là chữ số 1

4343 có tận cùng là chữ số 7 Vậy 4340.433 có tận cùng là chữ số 7 hay 433 có tậncùng là chữ số 7

Chứng minh rằng C chia hết cho 5

Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với

A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003

B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100

Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ

Bài toán 1: Chứng minh rằng n3-n chia hết cho 6 với n nguyên

*Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 – n chia hết cho 2 vàchia hết cho 3 Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)

Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)2

Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k

∈ Z)

+ Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3

+ Nếu n = 3k + 1 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3 + Nếu n = 3k + 2 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) 3 KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên

*Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các

dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6)

KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên

*Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Nếu n ≡ 0 (mod 2) thì n3 – n ≡ 03 – 0 ≡ 0 (mod 2)

Nếu n ≡ 1 (mod 2) thì n3 – n ≡ 13 – 1 ≡ 0 (mod 2)

Như vậy với n nguyên, n3 – n ≡ 0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2

Mặt khác

+ Nếu n ≡ 0 (mod 3) thì n3 – n ≡ 03 – 0 ≡ 0 (mod 3)

+ Nếu n ≡ 1 (mod 3) thì n3 – n ≡ 13 – 1 ≡ 0 (mod 3)

+ Nếu n ≡ 2 (mod 3) thì n3 – n ≡ 23 – 2 ≡ 0 (mod 3)

Với n nguyên n3 – n ≡ 0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3

KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên

Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n + 

nchuso

1

11 - n chia hết cho 9

Ta có: 2n + 

nchuso

1

11 = 3n + (

nchuso

1

99 - 9n + 27n

= 9(

nchuso

1

11 - n) + 27n

Mà 27n chia hết cho 27 nên (

nchuso

1

11 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(

nchuso

1

11 - n)

Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27

*Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học)

+ Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27

Vậy mệnh đề đúng với n = 1

+ Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức là Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27

Vậy 10n + 18 n-1 chia hết cho 27

Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh:

Vậy 7n + 3n -1  9 mọi n nguyên dương

Cách 2: Ta có : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1

a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91.

b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì

Cách 2 : (Phương pháp quy nạp toán học).

Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một biểu thức

Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4  n +1

a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 ) x +(a2-3a -6) +(-a2 +a +6)

để f(x)  (x+1), ta phải có: -a2+a +6 = 0  (a+2) (3-a) = 0

=> a+2 = 0 hoặc (3-a) = 0 nên a = -2; a = 3

Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x)  (x+1)

+Cách 3: Gọi thương của phép chia f(x) cho (x+1) là q(x).

a) x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a

Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a=1, b=a.b) Đặt phép chia : Tính được a=1, b=8

III./QUÁ TRÌNH THỬ NGHIỆM SÁCH GIÁO KHOA

Sau khi nhận thấy cần nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” cho học sinh tôi

đã rèn luyện cho học sinh ngay từ đầu học kỳ I của lớp 6, đặc biệt bồi dưỡng HSgiỏi 9 Như vậy việc giải các bài toán “chia hết” của học sinh ngày càng tốt hơn,ngày càng nắm chắc hơn cách giải của các dạng toán

IV./HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI.

Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hếtkhá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạptoán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tích…để giải quyết triệt để cácdạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”

Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải mộtbài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhàcủa học sinh tăng lên rõ rệt Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết vàđiểm thi HKI vừa qua và kỹ năng giải toán chia hết đạt 85% so với trước khi thửnghiệm, đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán

Qua kết quả trên tôi thấy viêc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết là rất cầnthiết và phương pháp cho từng dạng toán đã đem lại hiệu quả cao trong việcnâng cao kỹ năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng

C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM

I./Kinh nghiệm cụ thể

Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá trình dạy và học môntoán Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ ngườidạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cảhọc sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết choriêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan

II./ Sử dụng sáng kiến.

Người dạy và học muốn có hiệu quả cao trong việc áp dụng sáng kiến đểnâng cao kỹ năng giải toán chia hết thì người dạy và học cần nhiệt tình nắm rõcác bước sau:

* Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau:

* Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau:

Nắm rõ các kiến thức đã học liên quan về toán chia hết

Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán

hoạt Kiểm tra, đánh giá kết quả thực

nghiệm

III./ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích….Bên cạnh

đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chưng minh quy nạp toán học,

phương pháp phản chứng, định nghĩa và các tính chất về đồng dư thức… và một số các phương pháp khác nữa Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có như vậy mới đạt được kết quả tốt Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú

ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng rất đa dạng và phong phú Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợpvới khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc

Trên đây là một số dạng toán thườbng gặp trong chương trình toán THCS Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên.Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp Mỗi dạngtoán tôi chọ một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm để từ đólàm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn

Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6,7,8,9 trong tiết học, trong tiết luyện tập, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh tiến bộ hơn rất nhiều Các em dần thích thú say mê với dạng toán này Số đông các em không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển biến rõ rệt Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nhân Cơ, ngày 22 tháng 2 năm 2009 Người thực hiện

Lê Thị Phương Mai

Gv trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm

Tài liệu tham khảo

1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD

2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD

3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản GD

4/ Toán số học nâng cao của tác giả Vũ Dương Thụy_Nàh xuâr1 bản GD