Phân dạng phương trình và hệ phương trình đại số_2

Header Page of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HUYỀN PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Footer Page of 128 Header Page of 128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HUYỀN PHÂN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2015 Footer Page of 128 Header Page of 128 i LỜI NĨI ĐẦU Phương trình hệ phương trình đại số nội dung then chốt chương trình đại số bậc phổ thơng trung học Các tốn phương trình, hệ phương trình đại số có mặt đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic vùng, miền, quốc gia quốc tế Hơn chúng cầu nối để em học sinh phổ thông tiếp cận với hình thái phương trình, hệ phương trình sau bậc đại học hệ phương trình tuyến tính chẳng hạn Đây sở khoa học lý thúc tác giả chọn đề tài cho luận văn " Phân dạng phương trình hệ phương trình đại số" Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận danh mục tham khảo Chương 1: Phân dạng phương trình đại số: Chương phân dạng cách hệ thống lớp phương trình đại số, nêu cách giải mơ tả ví dụ, tập Như tập chọn đề thi tuyển sinh đại học, đề thi olympic nước quốc tế Chương 2: Phân dạng hệ phương trình đại số: Chương lớp hệ phương trình đại số nêu cách giải mơ tả tập, ví dụ, lựa chọn đề thi tuyển sinh olympic quốc tế Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Minh Khoa Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán trường Đại học Khoa học (Đại học Thái Nguyên), thầy giáo, cô giáo trang bị kiến thức tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Cuối xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Lý Thường Kiệt, thành phố Móng Cái, Quảng Ninh động viên, giúp đỡ tác giả nhiều q trình hồn thành luận văn Tác giả Hoàng Thị Huyền Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục Lời nói đầu i Mục lục ii Phân dạng phương trình đại số 1.1 Phương trình bậc hai 1.2 Phương trình trùng phương 15 1.3 Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c 17 1.4 Phương trình hồi qui dạng: ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k a = 18 1.5 Phương trình dạng: (ax + b)2 (a1 x + b1 )2 + [(a + a1 )x + (b + b1 )]2 + c = 20 1.6 Phương trình dạng: x4 = ax2 + bx + c 20 1.7 Phương trình dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m 21 1.8 Phương trình bậc ba tổng quát 22 1.9 Phương trình bậc bốn tổng quát 23 1.10 Phương trình bậc năm dạng: 5x5 + 5px3 + p2 x + 5q = 26 1.11 Phân định số lượng nghiệm phương trình bậc cao theo đặc tính dấu 27 1.12 Khảo sát nghiệm phương trình bậc cao cách đổi vai trò tham số 28 1.13 Một số đề thi học sinh giỏi nước quốc tế phương trình Phân dạng hệ phương trình đại số 29 33 2.1 Hệ phương trình đối xứng loại 33 2.2 Hệ phương trình đối xứng loại hai 38 Footer Page of 128 ii Header Page of 128 iii 2.3 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 41 2.4 Hệ ba phương trình bậc hai ẩn 43 2.5 Hệ với vế trái đẳng cấp bậc hai 44 2.6 Hệ với vế trái đẳng cấp cấp cao 46 2.7 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn 48 2.8 Hệ nhiều phương trình bậc giải phương pháp tổ hợp 51 2.9 Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải phương pháp dùng định lý Viet mở rộng cho phương trình bậc ba 52 2.10 Hệ ba phương trình bậc cao ba ẩn giải phương pháp khử, tổ hợp 53 2.11 Hệ xoay vòng dùng đạo hàm 56 2.12 Hệ phương trình đa thức giải phương pháp đặt ẩn phụ 58 2.13 Hệ phương trình đa thức giải phương pháp tham số hóa 60 2.14 Hệ phương trình đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 61 2.15 Hệ phân thức 64 2.16 Hệ dùng phép lượng giác 66 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương Phân dạng phương trình đại số Trong chương tác giả trình bày phân dạng lớp phương trình đại số trường số thực 1.1 Phương trình bậc hai Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc hai phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, a = (1.1) Định lý 1.2 (Tính chất tồn nghiệm) Đặt f (x) = ax2 + bx + c; ∆ = b2 − 4ac i) Nếu ∆ < phương trình (1.1) vô nghiệm af (x) > 0, ∀x ii) Nếu ∆ = phương trình (1.1) có nghiệm (nghiệm kép) x= −b 2a af (x) ≥ 0, ∀x iii) Nếu ∆ > phương trình (1.1) có hai nghiệm phân biệt x1,2 √ −b ± ∆ = 2a Lúc af (x) < 0, ∀x ∈ (x1 , x2 ) af (x) > 0, x < x1 , x > x2 Định lý 1.3 (Định lý đảo) Nếu ∃ số α : af (α) < f (x) = có hai nghiệm x1 < α < x2 Hệ 1.4 Với hai số α < β cho trước : f (α) = 0, f (β) = Khi đó: Footer Page of 128 Header Page of 128   af (β) < i) Nếu f (x) = có hai nghiệm : α < x1 < β < x2  af (α) >   af (α) < ii) Nếu f (x) = có hai nghiệm : x1 < α < x2 < β  af (β) >   ∆>0    af (β) > f (x) = có hai nghiệm : α < β < x1 < x2 iii) Nếu     β < S = −b 2a   ∆>0    af (α) > f (x) = có hai nghiệm : x1 < x2 < α < β iv) Nếu     S 0     af (α) > f (x) = có hai nghiệm : α < x1 < x2 < β v) Nếu  af (β) >     S  α < < β vi) Nếu f (α)f (β) < tồn nghiệm x1 x2 thuộc khoảng (α, β) Định lý 1.5 (Định lý Viet)   x1 + x2 = −b a Nếu x1 ,x2 nghiệm (1.1)  x x = c a Định lý 1.6 (Định lý Viet đảo)   x +x =S Nếu x1 , x2 hai số thỏa mãn  x1 x2 = P x1 , x2 nghiệm phương trình: x2 − Sx + P = Các dạng tập áp dụng Dạng 1: Chứng minh tồn nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) • Chứng minh phương trình có nghiêm ⇔ Chứng minh ∆ ≥ • Chứng minh phương trình vơ nghiệm ⇔ Chứng minh ∆ < • Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt Footer Page of 128 Header Page of 128 ⇔ Chứng minh ∆ > • Chứng minh phương trình có nghiệm ⇔ Chứng minh ∆ = c < • Chứng minh phương trình có hai nghiệm trái dấu⇔ Chứng minh a chứng minh af (0) < • Chứng minh phương trình có hai nghiệm dương     ∆≥0 ∆≥0       c > chứng minh af (0) > ⇔ chứng minh a        < −b  −b > 2a a • Chứng minh phương  trình có hai nghiệm âm  ∆≥0    c > chứng minh ⇔ Chứng minh a     −b < a   ∆≥0    af (0) >     −b < 2a Ví dụ 1.1 Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 5a + 4b + 6c = (i) Chứng minh phương trình f (x) = ax2 + bx + c = có nghiệm Giải ⊕ Nếu a = từ (i) ta suy c = − b 2 Do phương trình f (x) = có dạng : bx − b = có x = nghiệm 3 ⊕ Xét a = 0, đó: (i) ⇔ (4a + 2b + c) + (a + 2b + 4c) + c = ⇔ f (2) + 4f ( ) + f (0) = Suy tồn số hạng âm 0, theo định lí đảo phương trình f (x) = có nghiệm Ví dụ 1.2 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh phương trình: (a2 + b2 − c2 )x2 − 4abx + a2 + b2 − c2 = có nghiệm Giải ⊕ Trường hợp 1: a2 + b2 − c2 = ⇔ ∆ABC vuông C phương trình có nghiệm x = Footer Page of 128 Header Page of 128 ⊕ Trường hợp 2: a2 + b2 − c2 = 0, đó: ∆ = (2ab)2 − (a2 + b2 − c2 )2 = [(a + b)2 − c2 ][c2 − (a − b)2 ] = (a + b + c)(a + b − c)(c + a − b)(c + b − a) Vì a, b, c cạnh tam giác ⇒ ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1.3 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác phương trình: a2 x2 + (a2 + b2 − c2 )x + b2 = vô nghiệm Giải Xét ∆ = (a2 + b2 − c2 )2 − 4a2 b2 = [(a − b)2 − c2 ][(a + b)2 − c2 ] = (a − b − c)(a − b + c)(a + b + c)(a + b − c) < Do phương trình cho vô nghiệm Dạng 2: Chứng minh tồn nghiệm phương trình f (x) = ax2 + bx + c = khoảng (d, e) ⇔ Chứng minh tồn α thuộc khoảng (d, e) cho: af (α) ≤ Ví dụ 1.4 Chứng minh với số a, b, c phương trình (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) = ln có nghiệm Giải Cách Viết lại phương trình dạng: 3x2 − 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = Ta có: ∆ = (a + b + c)2 − 3(ab + bc + ca) 1 = (a2 − 2ab + b2 ) + (b2 − 2bc + c2 ) + (c2 − 2ca + a2 ) 2 1 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 2 Footer Page of 128 Header Page 10 of 128 Vậy phương trình ln có nghiệm Cách Đặt f (x) = (x − a)(x − b) + (x − b)(x − c) + (x − c)(x − a) Ta có f (x) tam thức bậc 2, có hệ số x2 Vì vai trò a, b, c bình đẳng, khơng giảm tính tổng quát coi a < b < c Khi 3f (b) = 3(b − c)(b − a) ≤ Theo định lý đảo dấu tam thức bậc hai chứng tỏ f (x) = có hai nghiệm : x1 ≤ b ≤ x2 , ∀a, b, c Dạng Chứng minh phương trình f (x) = ax2 + bx+ c = (a = 0) ln có ha = −1 ∨ y = nghiệm hệ cho       z=1 z = −1 Ví dụ 2.26.(Khối A-Ngoại Thương 1996)     x=y +y +y−2 Giải hệ y = z3 + z2 + z −    z = x3 + x2 + x − Giải Xét hàm: f (t) = t3 + t2 + t − 2, t ∈ R Suy Ta có : f (t) = 3t2 + 2t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ hàm f (t) đồng biến R Ta viết lại hệ phương trình dạng:     x = f (y) (1) y = f (z) (2)    z = f (x) (3) Đến ta chứng minh hệ có nghiệm khi: x = y = z tổng qt Khi thay vào phương trình (1) ta có: y = f (y) ⇔ y = y + y + y − ⇔ y3 + y2 − =    x = ⇔y=1⇒ y=1    z = nghiệm hệ phương trình cho 2.12 Hệ phương trình đa thức giải phương pháp đặt ẩn phụ ⊕ Nếu phương trình hệ chứa biểu thức đồng dạng, ta giải hệ phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ biểu thức đồng dạng đặt ẩn phụ để lượng giác hóa Footer Page 63 of 128 ... thái phương trình, hệ phương trình sau bậc đại học hệ phương trình tuyến tính chẳng hạn Đây sở khoa học lý thúc tác giả chọn đề tài cho luận văn " Phân dạng phương trình hệ phương trình đại số"... Phân dạng phương trình đại số Trong chương tác giả trình bày phân dạng lớp phương trình đại số trường số thực 1.1 Phương trình bậc hai Định nghĩa 1.1 Phương trình bậc hai phương trình có dạng: ax2... LỜI NĨI ĐẦU Phương trình hệ phương trình đại số nội dung then chốt chương trình đại số bậc phổ thơng trung học Các tốn phương trình, hệ phương trình đại số có mặt đề thi tuyển sinh đại học, đề