PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH (lý thuyết + bài tập ứng dụng) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f ( x) y = g( x) có tập xác định D f D g Đặt D = D f �Dg Mệnh đề chứa biến " f ( x) = g( x) " gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x0 �D gọi nghiệm phương trình f ( x) = g( x) " f ( x0) = g( x0 ) " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f ( x) = g( x) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x) y = g( x) Phương trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x) = g1 ( x) f2 ( x) = g2 ( x) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1 ( x) = g1 ( x) � f2 ( x) = g2 ( x)  Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Phương trình hệ quả: f2 ( x) = g2 ( x) gọi phương trình hệ phương trình f1 ( x) = g1 ( x) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f1 ( x) = g1 ( x) Kí hiệu f1 ( x) = g1 ( x) � f2 ( x) = g2 ( x) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f ( x) = g( x) có tập xác định D ; y = h( x) hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1) f ( x) + h( x) = g( x) + h( x) 2) f ( x) h( x) = g( x) h( x) h( x) �0 với x �D Định lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f ( x) = g( x) � f ( x) = g2 ( x) Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý  Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định  Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương  Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f ( x) , g( x) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức f ( x) xác định f ( x) �0   xác định f ( x) �0 f ( x)  f ( x) xác định f ( x) > Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x + =1 x - A x�0 B x ��2 C x �- D x �2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) 1+ 3- x = x- A < x < B �x �3 C x�3 D 2� B x� C x� D x� � x< B � � � �x �1 � x< C � � � �x �1 � x< D � � � �x �1 c) 1+ 2x- = 3x- A x< d) 4- 2x = x +1 x - 3x + �x < A � � � x �- � Lời giải: a) Điều kiện xác định phương trình x2 -�۹۹� x2 x � 3- x �0 � x �3 � ��� b) Điều kiện xác định phương trình � � � � x- �0 � x �2 � � � � x� � 2x- 3�0 � � � �۳� c) Điều kiện xác định phương trình � � 3x- �0 � � � x� � � � d) Điều kiện xác định phương trình x �2 � � 4- 2x �0 � �� �3 � � x - 3x + �0 � ( x- 1) ( x2 + x- 2) �0 � � � x x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải �x �2 � � x � � x< � � � �� � x �1 � � � � � � � ( x- 1) ( x- 2) �0 � � � �x �1 � x � Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + 4x- = 3- 4x + �3� A S = � �� � � � �4� b) �5� D S = � �� � � � �3� B S = { 3} C S= � �5� D S = � �� � � � �3� B S = { 3} C S= � �5� D S = � �� � � � �3� C S= � �5� D S = � �� � � � �3� x + x- = - 3- x �3� A S = � �� � � � �4� d) C S= � - x2 + 6x- + x3 = 27 �3� A S = � �� � � � �4� c) B S = { 3} ( x- 3) ( 5�3� A S = � �� � � � �4� 3x) + 2x = 3x- + B S = { 3} Lời giải: � � �x � � 4x - 3�0 � � x= � � a) Điều kiện xác định phương trình � � � 3- 4x �0 � � � x� � � � Thử vào phương trình thấy x= thỏa mãn �3� Vậy tập nghiệp phương trình S = � �� � � � �4� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) Điều kiện xác định phương trình - x2 + 6x- 9�0 � - ( x- 3) �0 � x = Thay x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình S = { 3} � x �0 �x �0 � � � � x- �0 � � x �2 c) Điều kiện xác định phương trình � � � � � � � � ��x �3 x � Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S= � � x- 3) ( 5- 3x) �0 ( � d) Điều kiện xác định phương trình � (*) � x � � � Dễ thấy x= thỏa mãn điều kiện (*) � � x� � 5- 3x �0 � � � �� � x= Nếu x �3 (*) � � � 3x- 5�0 � � � x� � � � Vậy điều kiện xác định phương trình x = x = Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = { 3} Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) =3x x - x- http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải A x�2 B x�� �x �3 � � x �1 C � � � � � x � 1� D x � B x�� �x �3 � � x �1 C � � � � � x � 1� D x � B x�� � x �3 � � x �1 C � � � � � x � D B x�� �x �3 � � x �1 C � � � � � x � 1� D x � b) 1+ x- = x- A x�2 c) 1+ 2x- = 2- 4x A x�2 d) 2x- = 1� x� x +1 x - 3x + 2 A x�2 Lời giải: Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x2 �۹ x �x- 1�0 ۳ x b) ĐKXĐ: � � � x- �0 � � 2x- �0 � x �� c) ĐKXĐ: � � � 2- 4x �0 � �x �3 � � x � � � � � d) ĐKXĐ: � �x �1 � � x - 3x + �0 � � � �x x 1� http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình a) 4x + 4x- = 4x - + 3 A x� b) � x=1 D � � x= � B x�� C x= � x=1 D � � x= � C x= � x=1 D � � x= � C x= � x=1 D � � x= � 2x + x- = 2- x + A x� d) C x= - x2 + x- 1+ x = A x� c) B x�� B x�� x3 - 4x2 + 5x- + x = 2- x A x� B x�� Lời giải: 3 Bài 3.1: a) ĐKXĐ: x� Dễ thấy x= nghiệm phương trình 4 � 1� b) ĐKXĐ: - x + x- 1�0 � - � x- � - �0 � x �� � � � � � 2� Vậy tập nghiệp phương trình S= � � x �0 � � x- �0 � x = c) ĐKXĐ: � � � � �2 x �0 � Thử lại phương trình thấy x= thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = { 2} http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải � x=1 x3 - 4x2 + 5x- 2�0 � x- 1) ( x- 2) �0 � ( � � �� �� d) ĐKXĐ: � � � � x= 2- x �0 x �2 � � � � Thay vào phương trình ta có tập nghiệm phương trình S = { 1}  DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng  Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho  Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho  Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm số nghiệm phương trình sau: a) 1+ = x- x - x - A.1 nghiệm C nghiệm b) x2 x- = x- - B vô nghiệm D nghiệm x- A.1 nghiệm C nghiệm c) B vô nghiệm D nghiệm x + 3(x4 - 3x2 + 2) = A.1 nghiệm B vô nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải C nghiệm d) D nghiệm x - 1(x2 - x- 2) = A.1 nghiệm B vô nghiệm C nghiệm D nghiệm Lời giải: � x �3 �x �3 �� a) ĐKXĐ : � �2 � � x - x - �0 � x �- � � Với điều kiện phương trình tương đương với 1+ = � ( x- 3) ( x + 2) + x+ = x- ( x- 3) ( x + 2) � x2 = � x = �3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x =- b) ĐKXĐ: x > Với điều kiện phương trình tương đương với x2 = 1- ( x- 2) � x2 + x- 3= � x = - 1� 13 Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vô nghiệm c) ĐKXĐ: x�- � x+ = Phương trình tương đương với � � x4 - 3x2 + = � �x =- �x =- � � � x =- � � x = �1 �� � � x = �x2 - x2 - = � � (� ) ( ) � � �2 x - 2= � x= � � � Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải x =- 3, x = �1 x= � � x �0 � x �0 � � �۳� d) ĐKXĐ: � � � x - 1�0 � �x �1 x Với điều kiện phương trình tương đương với �x = � � x = � � � x =- �2 � x x = � � � x= � Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x = Ví dụ 2: Tìm số nghiệm phương trình sau: a) 2x- = 4x2 - 15 A.1 nghiệm C nghiệm B vô nghiệm D nghiệm b) x2 - 3x + = 8- 3x A.1 nghiệm C nghiệm B vô nghiệm D nghiệm c) 2x + = x- A.1 nghiệm C nghiệm B vô nghiệm D nghiệm d) 2x + = x- A.1 nghiệm C nghiệm B vô nghiệm D nghiệm Lời giải: �2x - 3�0 a) ĐKXĐ: � (*) � � 4x - 15�0 � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ví dụ 5: Cho phương trình x2 - mx + m- 1= với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m A x1x2 = 2x1 + x2 - B x1x2 = x1 + x2 - C x1x2 = x1 + 2x2 - 1D x1x2 = x1 + x2 - c) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A = 2x1x2 + x + x22 + 2(x1x2 + 1) A max A = 1, A =- B max A = , A =- C max A = 1, A =- D max A = 1, A =- Lời giải: a) Ta có D = m2 - 4( m- 1) = ( m- 2)  �0 nên phương trình có nghiệm với giá trị m b) Theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = m x1x2 = m- Suy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào mlà x1x2 = x1 + x2 - c) Ta có x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2x1x2 = m2 - 2m+ Suy A = 2x1x2 + 2m+ = 2 x + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2m+ Vì A "�"�-==-=1 m2 + 2m+1- m2 - m2 + ( m- 1) m2 + 0, m A 1, m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Dấu xảy m= 1 2m+ 1 Và A "-�"�==+=+ m2 + 2 2( 2m+ 1) + m2 + ( m+ 2) 2( m + 2) 2( m + 2) 2 0, m A , m Dấu xảy m=- Vậy max A = m= 1, A =- m=- 2 Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A = 2m+ ta m2 + làm sau - km2 + 2m- 2k2 + Xét A - k = Khi để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ m2 + 2 tử số biếu thức f ( m) =- km + 2m- 2k + phải biểu diễn �k = � dạng bình phương hay D m = � 1+ k( 1- 2k) = � - 2k + k+1= � � Vì � k =� � ta xét Bài tập luyện tập Bài 3.13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f (x) = 2x2 - 5x + A f (x) = ( 2x- 3) ( 2x- 1) B f (x) = ( 2x- 3) ( x- 2) C f (x) = ( 2x- 4) ( x- 1) D f (x) = ( 2x- 3) ( x- 1) b) g(x) = 2x4 - 14x2 - 36 A g(x) = 2( x +1) ( x- 3) ( x + 3) B g(x) = ( x + 2) ( x- 2) ( x + 3) C g(x) = 2( x + 2) ( x- 3) ( x + 3) D g(x) = 2( x + 2) ( x- 3) ( x + 2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải c) P(x; y) = 3x2 - 5xy - 2y2 A P(x; y) = ( x- 2y) ( x + y) B P(x; y) = ( x- 2y) ( 3x + 2y) C P(x; y) = ( x- 2y) ( 3x + y) D P(x; y) = ( 2x- 2y) ( 3x + y) d) Q(x; y) = x2 - 2y2 - xy - 3y - A Q(x; y) = ( x- y - 1) ( x + y +1) B Q(x; y) = ( 2x- 2y - 1) ( x + y + 1) C Q(x; y) = ( x- 2y- 1) ( x + y +1) D Q(x; y) = ( x- 2y - 2) ( x + y + 2) Lời giải: � � x= Bài 3.13: a) Phương trình 2x - 5x + = � � � x=1 � � Suy f (x) = ( 2x- 3) ( x- 1) 2 b) g(x) = 2( x + 2) ( x - 9) = 2( x + 2) ( x- 3) ( x + 3) c) P(x; y) = ( x- 2y) ( 3x + y) d) Q(x; y) = ( x- 2y- 1) ( x + y +1) 2 Bài 3.14: Phân tích đa thức f ( x) = 2x +( m+ 1) x + 2mx + m + m(biến x với tham số m) thành tích thức bậc hai bậc A f ( x) = (x + m)(2x + m+ 2) B f ( x) = (x + 2m)(2x + 2m+1) C f ( x) = (x + m)(2x + 3m+ 1) D f ( x) = (x + m)(2x + m+ 1) Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Bài 3.14: f ( x) = (x + m)(2x + m+ 1) Bài 3.15: Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình: - x2 + 3x + 1= Tính giá trị biểu thức: 3 A = x12 + x22 ; B = x1 ( x1 - 1) + x2 ( x2 - 1) ; C = 1 x12 x22 A A = 11 B B= 83 C C = 13 D.Cả A, B, C Lời giải: Bìa 3.15: Ta có  = 32 + = 13> nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = 3, x1x2 =- Khi đó: A = 11, B= 83 , C = 13 2 Bài 3.16: Tìm m để phương trình 3x + 4( m- 1) x + m - 4m+ 1= có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: A m= 1, m= 1 + = ( x + x2) x1 x2 B m= 1, m= C m= 1, m= D Lời giải: Bài 3.16: Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác nên: � D ' = m2 + 4m+ 1> � � m + 4m+ 1> � � �� (*) �c m2 - 4m+ � � m2 - 4m+1�0 = �0 � � � �a Khi theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = 4( 1- m) m2 - 4m+1 ; x1x2 = m= 1, m= http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Ta có: 1 + = ( x + x2) � ( x1 + x2 ) ( x1x2 - 2) = (Do x1x2 �0 ) x1 x2 � � m= x + x2 = � �1 �� � m= 1, m=- 1, m= � � x x = m m = � �1 Thay vào (*) ta thấy m=- không thỏa mãn Vậy m= 1, m= giá trị cần tìm 2 Bài 3.17: Cho phương trình x - 2( m- 1) x + m - 3= với mlà tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 cho a) x1 + x2 = 2x1x2 � m=- A � �m= � � m=- B � �m= � � m=- C � �m= � � m=- D � �m= � 2 b) A = 2( x1 + x2 ) - x1x2 đạt giá trị lớn A m= c) B = B m= C m= D m= C m= D m= x1x2 đạt giá trị nhỏ x12 + x22 - x1x2 A m= B m= Lời giải: Bài 3.17: Ta có phương trình có hai nghiệm x1; x2 � D ' �0 � -�� ( m 1) (m 3) m (*) � x1 + x2 = 2m- Theo Viet ta có: � � � �x1.x2 = m - � m=- a) x1 + x2 = 2x1x2 � 2m- = 2( m - 3) � � �m= (thỏa mãn (*)) � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải b) A = 2( x1 + x2 ) - 5x1x2 = 2( 2m- 2) - 5( m2 - 3) 2 � 2� =- 5m + 4m+ 11=- 5� m- � � � �+ 3�3 � � 5� Đẳng thức xảy � m= c) B = x1x2 ( x1 + x2) - 3x1x2 Suy B=- = m2 - ( 2m- 2) - 3( m2 - 3) = m2 - m2 - 8m+ 13 m=  DẠNG TOÁN 4: Một số tốn liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai Phương pháp giải ví dụ minh họa  Bài tốn 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = a/ x2 + b/ x + c/ = có nghiệm chung Chúng ta làm sau: � ax02 + bx0 + c = � Bước 1: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 �/ � a x0 + b/ x0 + c/ = � Giải hệ tìm x0 ,suy giá trị tham số Bước 2: Thế giá trị tham số tìm vào hai phương trình để kiểm tra kết luận Ví dụ 1:Tìm tất giá trị ađể hai phương trình x2 + ax + 1= x2 + x + a= có nghiệm chung A a= B a=- C a=- D a=- Lời giải: Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung x0 � x02 + ax0 + 1= � � ( a- 1) x0 + 1- a= �2 � x0 + x0 + a = � http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải Nếu a= thay vào hai phương trình ta thấy chúng vơ nghiệm Nếu a�1 x0 = 1� a=- Điều kiện đủ: Với a=- hai phương trình trở thành x2 - 2x + 1= x2 + x - = Giải hai pt ta thấy chúng có nghiệm chung x = Vậy a=- giá trị cần tìm Ví dụ 2:Tìm tất giá trị mđể phương trình (x2 - 2mx + m- 1)(x2 - 3x + 2m) = có bốn nghiệm phân biệt A m< m�1 B m< m�- C m< m�1 D m