Tập hợp, các phép toán trên tập hợp và ứng dụng của các phép toán trên tập hợp để giải bài toán

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Đại số lĩnh vực quan trọng toán học Bộ phận toán học nghiên cứu tập hợp mà không quan tâm đến chất cụ thể phần tử chúng Từ cuối thể kỉ XIX, nhà toán học Đức (G.Cantor) xây dựng đặt móng cho lí thuyết tập hợp, mà gọi lí thuyết ngây thơ tập hợp, phần kiến thức khơng thể thiếu người học tốn, người dạy tốn người làm tốn Lí thuyết tập hợp phát triển nhanh sau đời, ngày đạt kết sâu sắc Các kiến thức lí thuyết tập hợp quan trọng Trong chương trình phổ thơng kiến thức cung cấp từ lớp đến lớp 12, từ đơn giản , sơ khai đến phức tạp chuẩn xác dần Trong chương trình đại học, chúng tiếp tục bổ sung phần sở Đại số Giải tích Một số ngành học có ngành Giáo dục Tiểu học thiết kế lí thuyết tập hợp thành môn học riêng, môn học hữu ích, khơng cơng cụ để học mơn học khác mà thân môn học giúp sinh viên nhiều rèn luyện tư tốn học nói riêng tư lơgic nói chung Với mong muốn tìm hiểu sâu mảng kiến thức để phục vụ cho công tác giảng dạy đồng thời giúp em học sinh có thêm nhiều kiến thức tập hợp, đạo hướng dẫn Ban chủ nhiệm khoa TH.S Nguyễn Thị Bình nên em chọn đề tài: “Tập hợp, phép toán tập hợp ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán” Mục đích, yêu cầu đề tài Đề tài nhằm hệ thống lại lí thuyết tập hợp, phép tốn tập hợp, kiến thức liên quan ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán Đỗ Thị Hồng Lớp K35 CN Toán Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết tập hợp, phép toán tập hợp, kiến thức liên quan ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế mặt thời gian lực thân nên đề tài dừng lại lí thuyết tập hợp, phép tốn tập hợp, kiến thức liên quan ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề: Chương I: Lí thuyết tập hợp Chương II: Ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán Phương pháp nghiên cứu ● Nghiên cứu, phân tích tài liệu ● Hệ thống, khái quát vấn đề ● Sưu tầm, giải toán ● Tổng kết kinh nghiệm Chương 1: Lí thuyết tập hợp 1.1 Tập hợp Phần tử tập hợp Khái niệm tập hợp thường gặp toán học đời sống Chẳng hạn + Tập hợp đồ vật (sách, bút) bàn + Tập hợp học sinh lớp 10B3 + Tập hợp số tự nhiên nhỏ + Tập hợp chữ a, b, c 1.2 Cách viết, kí hiệu 1.2.1 Cách viết Người ta thường đặt tên tập hợp chữ in hoa Gọi A tập hợp số tự nhiên nhỏ B tập hợp chữ a, b, c Ta viết A={0; 1; 2; 3; 4; 5} A={5; 4; 2; 3; 1}… B={a, b, c} B={b, c, a}… Chú ý 1: Các phần tử tập hợp viết dấu ngoặc nhọn { } cách dấu “;” (nếu có phần tử số) dấu “,” 1.2.2 Các cách để tập hợp Định nghĩa tập hợp 1) Liệt kê phần tử 2) Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp 3) Mơ tả phần tử Liệt kê phần tử Mô tả phần tử Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử A tập hợp số A={x | x số nguyên tố A={2; 3; 5; 7} nguyên tố nhỏ 10 nhỏ 10} B tập hợp chữ B={x | x chữ B={m, a, t, c, h} từ “match” C tập hợp số tự C={1; 2; 3; 4; 5….} nhiên từ “match”} C={x | x □ } 1.2.3 Kí hiệu Nếu x phần tử thuộc tập A kí hiệu xA đọc x thuộc A x phần tử A Nếu x không phần tử thuộc A kí hiệu xA đọc x không thuộc A x không phần tử A  Là phần tử  Không phần tử Ví dụ 1: A={2; 4; 6; 8} phần tử A kí hiệu 2A khơng phần tử A kí hiệu 9A Ví dụ 2: B={x | x nghiệm phương trình  x 1 x  3  }  x 1 x  3   x10  x1 x   x3 B={1; 3}  1B, 3B, 5B, aB Bài tập tương tự: Bài: Điền vào ô trống với   a, {2; 5; 7} b,  c, ant d,{1} {1; 3; 5} {a, n, t} 1.2.4 Lưu ý a, Một tập hợp phải xác định rõ ràng để tránh hiểu lầm đối tượng phần tử hay không phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp số nguyên dương tập hợp xác định rõ ràng (cho số điện thọai dễ dàng nói số nguyên dương) b,Thứ tự phần tử viết không tạo khác biệt phần tử liệt kê lần Ví dụ: A={các chữ từ “NHA TRANG”} A={N, H, A, T, R, G} A={G, R, N, H, A, T}…… 1.3 Số phần tử tập hợp Tập hợp 1.3.1 Tập rỗng Một tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Kí hiệu   { } Tập rỗng tập khơng có phần tử Ví dụ: P={tập hợp tất gà có chân} P= Q={tập hợp tất tháng năm có 33 ngày} Q= R={x | x □ R= x2  1} 1.3.2 Số phần tử tập hợp a, Định nghĩa Một tập hợp có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử khơng có phần tử Ví dụ: D={0} E={bút,chì} F={x □ | x10} K={x | x □ x+5=2} b, Kí hiệu Số phần tử tập hợp A kí hiệu n(A) Ví dụ : Ở ví dụ n(D)=1 n(E)=2 n(F)=11 n(K)= Ví dụ 2: Với A= {x | x bình phương số tự nhiên x50} B={x: x số nguyên dương nhỏ 10} C={x: x=2k+1, 3k7, k số nguyên} a, Liệt kê phần tử A, B C b, Tìm n(A), n(B) n(C) Bài giải  2 2 2 a, A= ; ;3 ; ;5 ;6 ;7  ={1; 4; 9; 16; 25; 36; 49} B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} C={2(4)+1; 2(5)+1; 2(6)+1} ={9; 11; 13} b, n(A)=7 n(B)=9 n(C)=3 Bài tập tương tự: Bài tập: i Liệt kê phần tử A ii.Tìm n(A) a, A={các chữ từ “chiến b, A={các ngày tuần bắt đầu lược”} c, A={x | x □ } e, A={x | x số nguyên tố nhỏ 20 } chữ “B”} d, A={x | x số nguyên dương nhỏ 10} f, A={x | x thừa số 18} g, A={x | x bội số h, A={x | x=2k+1, k số nguyên  x  30 } dương nhỏ 5} i, A={x | x nghiệm phương trình j, A={x | x số tự nhiên  x  2 x  5  } 3x 1  } k, A={x | x nghiệm phương h, A={x | x  a2  b2 , a b số trình x   } tự nhiên, 1a4 1b5} 1.3.3 Số tập tập hợp hữu hạn Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Nếu A tập hợp có n phần tử A có tất tập con? Ta xét trường hợp: n=0; 1; 2; 3; a,Với n=0 ta có A= Hiển nhiên  có tập con, nó, tập hợp  Vậy tập hợp khơng có phần tử có tập b,Với n=1 Giả sử A tập hợp có phần tử: A={a}(a phần tử A) Khi đó, tập hợp  {a} tất tập A Vậy A có tất tập Nếu kí hiệu P(A) tập hợp tất tập tập hợp A ta có: P()={} P({a})={, {a}} c, Với n=2 Giả sử tập hợp A có phần tử a b: A={a, b} Khi A có tập sau: , {a}, {b} {a, b} Đó tất tập A: P({a,b})={, {a}, {b}, {a, b}} Vậy A có tất tập d, Với n=3 Để dễ hình dung, ta xét tốn sau: Giả sử có ba người a, b c tập hợp A mời khai mạc triển lãm( ba người mời độc lập với nhau) Hỏi có kết hợp khác có mặt người ngày khai mạc triển lãm? Ta xét khả năng( a đến không, b đến không, c đến không) biểu diễn chúng chẻ đôi, tức mà phân cành có từ cặp “đến, không” A đến dự b đến dự c đến dự Trên hình ta thấy có tất khả năng, khả tương ứng với tập A={a, b, c}, kể tập  Tập hợp tất tập A là: P({a, b, c})={{a, b, c}; {a, b};{a, c},{b, c}; {a}; {b}; {c}; } Vậy tập A={a, b, c} có tất tập e, Với n=4 Giả sử tập hợp B gồm bốn phần tử a, b, c, d: B={a, b, c, d} Có thể nghĩ đến người thứ tư d mời đến dự khai mạc triển lãm Khi đó, từ trường hợp trường hợp vừa nêu d, có hai khả năng, tùy thuộc vào việc d đến hay không đến dự khai mạc Do tập hợp tất tập tập hợp B là: P(B)=P({a, b, c, d})={{a, b, c, d}; {a, b}; {a}; {b, c}; {a}; {b}; {c}; ; {a, b, c, d}; {a, b, d}; {a, c, d}; {b, c, d}; {a, d}; {b, d}; {c, d}; {d}} Vậy tập hợp B={a, b, c, d} có tất 16 tập Đó tập tập hợp A={a, b, c} tập hợp mới, nhận cách thêm d vào tập hợp A Như Tập hợp  có 1= tập Tập hợp có phần tử có  tập Tập hợp có phần tử có tất  Tập hợp có phần tử có tất tập  tập Tập hợp có phần tử có tất 16  tập …………… n Tập hợp có n phần tử có tất tập Vậy phương pháp quy nạp, chứng minh tập hợp có n n phần tử có tất tập hợp 1.3.4 Hai tập hợp Hai tập hợp chúng có chứa phần tử tương tự Nếu hai tập hợp A B ta viết A=B Ở phần tử tập A phần tử tập B Nếu tập A không tập B ta viết AB Ví dụ 1: A={1; 2; 3; 4} B={4; 3; 2; 1} A=B Ví dụ 2: G={c, a, t, cat} H={c, a, t} GH tập G có phần tử từ “cat”, từ “cat” phần tử H chữ riêng lẻ thuộc H Bài tập tương tự: Bài 1: Đánh dấu () vào ô vuông mà tập hợp Đánh dấu() vào ô vuông mà tập hợp không a, A={chữ từ “algebra”} b,A={chữ từ “celebrate" } B={các chữ từ “beagle”} B={chữ từ “bracelet”} c, A={thừa số 20} d, A={x |x nghiệm phương B={1; 2; 4; 5; 20} trình x   } B={x | x số nguyên 2x+ 1=7} e, A={1; 2; 3; 4; 5} f, A={a, d, e, b, c} B={x | x số tự nhiên nhỏ 6} B={x | x nghiệm phương trình 5x – 1=3} Bài 2: Cho tập hợp sau, tập hợp A={a, b, c, d} B={ab, c, d} C= D={} E={0} F={ } Bài giải Gọi A tập hợp số tự nhiên chia hết cho E có hai chữ số B tập hợp số tự nhiên chia hết cho A B có hai chữ số E tập hợp số tự nhiên có hai chữ số Các số tự nhiên có hai chữ số 10, 11, 12,…, 99 gồm 90 số(số phần tử E) Trong đó: Có 30 số chia hết cho n(A)=30 Có 18 số chia hết cho  n(B)=18 Có số chia hêt cho đồng thời n(AB)=6 Các số chia hết cho hai số gồm: n(AB)=n(A) + n(B) – n(AB)=30 + 18 – 6=42 Các số không chia hết cho số hai số gồm 90-42=48 số Tổng số tự nhiên có hai chữ số không chia hết cho số hai số S  S1  (S2  S3  S4 ) , đó: S1 tổng số có hai chữ số( tổng số thuộc E) S2 tổng số chia hết cho có hai chữ số( tổng số thuộc A) S3 tổng số chia hết cho có hai chữ số( tổng số thuộc B) S4 tổng số chia hết cho đồng thời có hai chữ số(tổng số thuộc AB) (10  99).90 Ta có: S ,3 S1  (10  95).18  945 (12  99).30  4905, S  S (15  90).6 S=4905 – (1665 + 945 – 315)=2610 2  1665  315 Do đó: Ví dụ 6: Cho hai tập hợp A B Biết số phần tử chung A B nửa số phần tử B hợp hai tập hợp A B gồm phần tử Hãy tìm số phần tử tập hợp Bàì giải Gọi số phần tử tập hợp A a n(A)=a Số phần tử tập hợp B b n(B)=b Theo đề : Số phần tử chung A B nửa số phần tử B n(AB)= b Hợp hai tập hợp A B gồm phần tử n(AB)=a + b – b =a + b =7 Ta có hệ:  b a 7    ab  Suy b=0 a=7 Hoặc b=2 a=5 Hoặc b=4 a=5 Hoặc b=6 a=4 (vì a, b số nguyên không âm) Bài tập tương tự: Bài 1: Trong lớp học có 20 em xin bồi dưỡng thêm mơn tốn, có em xin bồi dưỡng mơn văn, 15 em xin bồi dưỡng môn tiếng anh có em xin bồi dưỡng mơn tiếng anh, em xin bồi dưỡng thêm môn văn, toán, tiếng anh, em xin bồi dưỡng văn toán, em xin bồi dưỡng thêm tiếng anh tốn a, Có học sinh bồi dưỡng thêm văn tiếng anh? b, Lớp có học sinh biết học sinh lớp xin đăng kí học thêm mơn? Bài 2: Có 60 khách du lịch vừa thăm quan hai thành phố Hà Nội Hồ Chí Minh Biết số họ thăm thủ đô Hà Nội du khách thăm hai thành phố Hỏi có người thành phố Hồ Chí Minh? Bài 3: Trong số 100 học sinh có 75 học sinh thích tốn, 60 học sinh thích văn a, Nếu có học sinh khơng thích văn lẫn tốn có học sinh thích hai mơn văn tốn? b, Có nhiều học sinh thích hai mơn văn tốn? c, Có học sinh thích hai môn văn tốn? Bài 4: Trong kì thi tuyển sinh đại học có 55% thí sinh dự thi khối A, 30% thí sinh dự thi khối B, 10% thí sinh dự thi khối C, lại thi khối D Hỏi có thí sinh thi mơn tốn, văn, hóa, lí sinh vật tính theo tỉ lệ phần trăm Biết khối A thi mơn tốn, lí, hóa Khối B thi mơn tốn, hóa, sinh Khối C thi môn văn, sử, địa khối D thi mơn tốn, văn ngoại ngữ? Bài 5: Trong kì thi đấu thể dục thể thao trường học gồm môn: chạy, nhảy cao ném tạ, thấy có: 20 học sinh tham gia thi chạy học sinh tham gia nhảy cao 15 học sinh tham gia ném tạ, có em tham gia dự thi môn học sinh tham gia thi chạy nhảy cao học sinh tham gia thi đấu mơn Hỏi: a, Có học sinh tham gia thi nhảy cao ném tạ? b,Có học sinh tham gia thi đấu? Bài 6: Trong lớp học ngoại ngữ, tập hợp A học viên nữ có phần tử, tập hợp B học viên từ 20 tuổi trở lên có phần tử Có học viên nữ từ 20 tuổi trở lên Tìm số phần tử tập hợp AB Bài 7: Trên bãi để xe, có 42 xe gồm taxi xe buýt Có 14 xe màu vàng 37 xe bt khơng có màu vàng Hỏi bãi để xe có xe buýt vàng? Xác định giao tập hợp Ví dụ: Xác định giao tập hợp sau a,(-3; 1)(-2; 3) c,[1; 3][ ; 5] b,(1; 6)(3; 6) d,(  ;1)(  ; 2) e,(6; +  )[5;  ) f, 2; 2   3; 5 Bài giải a, (-3; 1)(-2; 3)=(-2; 1) b,(1; 6)(3; 6)=(3; 6) 5 c,[1; 3][ ; 5] =[ ; 3] 2 d,(  ; 1)(  ; 2)= (  ; 1) e,(6; +  )[5;  )=[5;  ) f, 2; 2  3; 5 = Bài tập tương tự: Xác định giao tập hợp sau a,  3;1   2;3 ; 1;6   3;6  ; 2; 2  3;5 5  b, 1;3  ;5 ; 1;7   4;6     c, 1; 4   m;5 ;1;3   m;  ; 1;5   m  1;18 Xác định hợp tập hợp Ví dụ: Xác định hợp tập hợp sau a) 2;7   2; 4 b)2; 4   3;4 c)1; 8    3; 8  3  d ) ;  1; 2     Bài giải a) 2;7   2;4   2;7 b)2; 4   3; 4  2; 4 c)1;       3;       3 d ) ;  1; 2   ; 2     3;   Bài tập tương tự: Xác định hợp tập hợp a, ; 4   ; 5 c, b,  4;    ; 5 7; 2   2; 10 c, ; 9  1; 2 Vận dụng vào giải hệ bất phương trình Ví dụ: Giải hệ bất phương trình sau: Dùng ngơn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải tốn 2x40 x a)  2   3x15   15x14 b) x2  3   x x1   0 2 23x10  c) 72x0     5x 10 Bài giải x2x40 a)  2    3x15 Tập nghiệm hệ giao tập nghiệm bất phương trình x : 2x   0,  2, 3x  15 2x    2x  x2  Suy tập nghiệm 2x-40 1 {x□ | x  x2 2 x26 x4  Suy tập nghiệm   3x  15 x2    {x □ 2} | x  4} x5 Suy tập nghiệm -3x  -15 3  {x □ | x 5} Vậy tập nghiệm hệ   1    3  {x □ |  x  4}  1  5x  14   2x  b)  3  x x1 0   2 Tập nghiệm hệ giao tập nghiệm bất phương trình: 1-5x  -14,  2x 1 3, x x1  0 1-5x  -14 -5x  -15 x  Suy tập nghiệm 1-5x-14 1  {x □  | x  3} 2x  3 2x-19 2x10 x5 Suy tập nghiệm 2x 1  x 3   {x □ | x  5} x1    3x  2x   x2 x x1    {x □ Suy tập nghiêm  3 |x2} Vậy tập nghiệm hệ   1    3   2  3x  10  c,   2x   5x  10   Tập nghiệm hệ giao tập nghiệm phương trình:  3x  10,  2x  0,5x  10  Tập nghiệm  3x  10 1  {x □ | x  4} Tập nghiệm  2x    {x □ | x  } Tập nghiệm 5x 10  3  {x □ | x  2} Vậy tập nghiệm hệ   1  2  3  {x □ |2x } Bài tập tương tự: Tìm m để hệ sau có nghiệm  2x   a) x  m   3x0   3  6x  b) 3x  m   12  3x   5  x  c) 2x    m  x   Vận dụng vào tìm tập xác định hàm số Ví dụ: Tìm khoảng xác định hàm số sau x  2x  a, y   lg  2x   x 1 b, y  x   12  2x c, y  3x   10  3x Dùng ngôn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải toán Bài giải a, y  x  2x   lg  2x   x 1 x  2x  Khoảng xác định hàm số y  khoảng xác định hai hàm số x 1 y1  x2  2x  x 1 ● Khoảng xác định hàm số x  2x  1   x □ y1  x 1  lg  2x   y2  lg 2x  6 | x  1 ● Khoảng xác định hàm số y2  lg  2x  6 2  {x □ | x  3} giao Vậy khoảng xác định hàm số y  |x 3}       {x  □ b, y  x 1  lg  2x   x4  12  2x xác định hai hàm số y1  x  ● 2 Khoảng xác định hàm số y  ● x  2x  x   12  2x giao khoảng y2  12  2x Khoảng xác định hàm số y1  x  1  {x □ Khoảng xác định hàm số y2  12  2x   {x □ Vậy khoảng xác định hàm số y    1    {x □ | x  4} | x  6} x   12  2x |  x  6} c, y  3x   10  3x Khoảng xác định hàm số y  3x   10  3x giao khoảng xác định hai hàm số y1  3x  y2  ● Khoảng xác định hàm số ● y1  3x  1  {x □ Khoảng xác định hàm số y2  10  3x   {x □ 10  3x | x  3} 10 |x } Vậy khoảng xác định hàm số y  3x   10  3x   1  2  {x □ |  x  10 3} Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau a) y  b) y  x   12  2x 3x   10  3x Dùng ngơn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải tốn Bài 2: Tìm tập xác định hàm số sau a) y  2x x1 3x x1 2 4x 2x  x2 c) y   x    2x 3x  b) y  d)y x 1   x1 3x Dùng ngôn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải tốn Vận dụng vào tìm điều kiện( tập xác định) phương trình, bất phương trình Ví dụ: Tìm tập xác định phương trình, bất phương trình sau a) 5x  15  2x 3 b) x    x  1 c) x3x2   x  d ) x  3x   x  Dùng ngơn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải tốn Bài giải a) 5x  15  2x 3 Tập xác định phương trình định 5x  15 5x  15  2x 3 giao tập xác 2x Tập xác định 5x  15 5x-150 x3 Suy tập xác định Tập xác định 5x  15 1  {x □ x  x    x  2 Suy tập xác định 2x   {x □ Vậy tập xác định phương trình   1  2  {x □ | x  3} 5x  15  | x  4} 2x3 |  x  4} b, x    x  Tập xác định phương trình định x    x  giao tập xác x   x ● Tập xác định x  1  {x □ | x  1} ● Tập xác định  x   {x  □ | x  5} Vậy tập xác định phương trình   1    {x □ | 1  x  5} Làm tương tự cho câu c, d, x1 5x  Bài tập tương tự: Tìm tập xác định phương trình, bất phương trình sau a) x  5x   b) x  7x 12  c) x 1  x2 d)3 x 4 0 x3 x2  6x   x2 3 x 1 x2  8x 15 3 Dùng ngôn ngữ lí thuyết tập hợp để giải thích lời giải tốn KẾT LUẬN Qua q trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, em bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố thêm cho kiến thức “Tập hợp, phép toán tập hợp ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán”, đồng thời thấy phong phú, lý thú tốn học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát định nghĩa “Tập hợp, phép toán tập hợp ứng dụng phép toán tập hợp để giải tốn” Bên cạnh tập áp dụng Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm đến môn Đại số Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu thầy bạn sinh viên TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam, “Sách giáo khoa lớp 6” Nhà Xuất Bản Giáo Dục, “Sách giáo khoa lớp 10” Vũ Hữu Bình, “Sách nâng cao phát triển toán 6”, Nxb Giáo dục Việt Nam Đậu Thế Cấp, “Lí thuyết tập hợp logic”, Nxb Hà Nội Vương Thơng, “ Giáo trình tập hợp logic toán”, Hà Nội Vũ Dương Thụy chủ biên Nguyễn Ngọc Đạm, “Toán nâng cao chuyên đề 6”, Nxb Hà Nội Tiếng anh Mathematics tutor( the complete study and answer guide to any mathematics textbook) ... phép toán tập hợp ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán? ??, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát định nghĩa ? ?Tập hợp, phép toán tập hợp ứng dụng. .. tập hợp, kiến thức liên quan ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu vấn đề: Chương I: Lí thuyết tập hợp Chương II: Ứng dụng phép toán tập hợp để giải toán. .. Vậy tập hợp B={a, b, c, d} có tất 16 tập Đó tập tập hợp A={a, b, c} tập hợp mới, nhận cách thêm d vào tập hợp A Như Tập hợp  có 1= tập Tập hợp có phần tử có  tập Tập hợp có phần tử có tất  Tập