Boi duong thi hoc sinh gioi toan cap tinh

Boi duong thi Hoc sinh gioi Toan cap tinh.doc Tài liệu đã có những bài tập mang tính sáng tạo toán học và những vấn đề ứng dụng trong tư duy toán học. Các em học sinh có khả năng, ...Các dạng toán nâng cao lớp 7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 ... 7 Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán có ...

Một số phơng pháp tìm cực trị biểu thức chứa hai biến số số ứng dụng A- Đặt vấn đề Trong kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trờng chuyên thi đại học năm gần đây, thấy đề thi có yêu cầu dạng toán tìm cực trị biểu thức thờng gặp Khi gặp toán này, học sinh kể học sinh giỏi, thờng lúng túng, gặp khó khăn, trình bày số phơng pháp, cách suy nghĩ phân tích số sai lầm giải toán cực trị chứa biến số số lời bình Những mong giúp học sinh, học sinh giỏi làm chủ chọn cách giải phù hợp với khả trình độ để việc giải toán đạt hiệu cao B- Nội dung I- Lý thuyết cần nắm vững Định nghĩa ký hiệu Cho biểu thức f (x ; y) xác định tập hợp D - Nếu x, y D ta có : f (x ; y) > m (m số) (*) f (xo, yo) D cho (xo, yo) = m (**) Thì số m gọi GTNN f (x ; y) Ta ký hiệu : Min f (x ; y) = m x = xo y = yo - Nếu x, y D ta có : f (x ; y) < m (*) f (xo, yo) D cho f (xo, yo) = m (**) Thì số m gọi GTLN f (x ; y) x = xo y = yo Một số bất đẳng thức (a + b)2 > (a + b)2 > 4ab a, b (Dấu = xảy a = b) (a2+b2) > (a+b)2 a, b (dấu xảy a = b) 1 a, b (dấu xảy a = b) (BĐT cộng mẫu) + > a b a+b a1, a2, an n số không âm ta có (Bất đẳng thức cô -si) a1 + a2 + + an n n a1a a n (dấu xảy a1 = a2 an) Với số a, b, c, d tuỳ ý ta có (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) Ngời thực hiện: Hồ Sỹ Chính - Trờng THCS Diễn Thái Trang Một số phơng pháp tìm cực trị biểu thức chứa hai biến số số ứng dụng (ab + cd)2 < (a2 + c2) (b2 + d2) (Dấu = xảy ad = bc) m (a2 + b2) + nab = 2m + n 2m n (a + b)2 + (a-b)2 4 (Khai triển vế phải biến đổi thấy vế trái) II- Các dạng toán phơng pháp giải Dạng : f (x ; y) = a x2 + bxy + cy2 + dx + cy + h (abc 0) (1) Phơng pháp : Biến đổi f (x ; y) = m {g(x;y)}2 + k (h(x))2 + n = m {g(x;y)}2 + k (h(y))2 + t - Thông thờng nhân vế (1) với số để hệ số x2 y2 số phơng * Bài tập áp dụng Bài 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12y + 2024 (Đề thi học sinh giỏi Toán Diễn châu 2005 - 2006) Giải: A = x2 + 9y2 - 6xy + 4x -12y +4 +x2 - 10 +25 + 1995 = (x - 3y + 2)2 + (x -5)2 + 1995 Vì (x - 3y + 2)2 > (x - 5)2 > ( x, y) => A > 1995 x=5 Vậy : Min A = 1995 y= Lời bình : Hệ số y2 số phơng nêu đa vào ngoặc đơn thứ ta tìm cách đa số hạng chứa y vào hết lần tích Bây ta thử làm cho hệ số x2 phơng Ta có 2A = 4x2 + 18y2 - 12xy -12x - 24y + 4048 = 4x2 + 942 - 12xy - 12x + + 9y2 - 42y+ 49 + 3980 = (2x - 3y - 3) + (3y - 7) + 3980 Ngời thực hiện: Hồ Sỹ Chính - Trờng THCS Diễn Thái Trang Một số phơng pháp tìm cực trị biểu thức chứa hai biến số số ứng dụng => A = 1 (2x - 3y -3)2 + (3y - 7) + 1995 > 1995 2 Kết nh Bài Tìm GTLN D = - 5x2 - 2xy - 2y2 +14x + 10y - (Đề thi học sinh giỏi Toán TP HCM 1997-1998) Giải : Ta làm cho hệ số x2 phơng Ta có : -5D = 25x2 +10 xy + 10 y2 - 70x - 50y +5 = 25x2 + y2 + 49 + 10 xy - 70x - 14y + 9y2 - 36y +36 - 80 = (5x +y -7)2 + (3y - 6)2 - 80 > - 80 (vì ) Suy : D < 16 Vậy : Max D = 16 x-1 y=2 * Các bạn biến đổi D = - (x + 2y - 5)2 - (x-1)2 + 16 2 Bây ta xét số toán với lời lẽ khác nhng thực chất cách suy nghĩ biến đổi Bài 3: Cho phơng trình với ẩn x, y x2 + 2y2 + 2yx -10x -12y + 22 = Tìm nghiệm phơng trình cho: a) x + y đạt giá trị lớn b) x + y đạt giá trị nhỏ (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia 1996-1997) * Bằng suy nghĩ tơng tự nh ta biến đổi : Giải : x2 + 2y2+2xy -10x -12y + 22 = x2 + y2 + 2xy - 10x - 10y + 25 + y2 - 2y + - 4= (x + y - 5)2 + (y-1)2 - = (x + y - 5)2 = - (y - 1) Vì (y - 1)2 > y Ngời thực hiện: Hồ Sỹ Chính - Trờng THCS Diễn Thái Trang Một số phơng pháp tìm cực trị biểu thức chứa hai biến số số ứng dụng => - (y - 1)2 < => (x + y - 5)2 < -2[...]... Một số phơng pháp tìm cực trị của biểu thức chứa hai biến số và một số ứng dụng 1 1 1 Bài 17: Cho a, b, c > 0 thoả + + = 4 a b c 1 1 1 + + 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Tìm GTLN của P = (Đề thi ĐH khói A-=2005 Thi HSG L9 Nghệ An (2008-2009) Nhận xét: - Đề bài có vẻ muốn xuất hiện bất đẳng thức (5) (cộng 3 mẫu) nhng thục chất không phải - Đề yêu cầu tìm GTLN nên ta phải dùng bất đẳng thức (4) ngợc bằng... 6 x = 2 ở (2 dấu = Xẩy ra 2y2 = 8 y = x+y =2+ 2 6 * Nhận xét: Đây không phải là biểu thức đối xứng nên điểm rơi không đều Thông thờng học sinh sẽ rất khó nếu giáo viên không khéo hớng dẫn Theo tôi ta hớng học sinh nh sau: Ta tìm cách tách áp dụng BĐT cô sin cho Ax và 3 2 3 2 3 2 8 6 ; B y và y x 1 2 Ta sẽ tách 3x = x + x; 2 y = y + y 3 1 nghĩa suy ra bằng cách nào chứ không... rồi, không cần biết nó có bao nhiêu nghiệm Chỉ cần biết (có thể nhẩm) đợc 1 nghiệm thì lời giải đủ thành công, Vì có thể giải phơng trình kết điểm rồi có thể phức tạp không cần thi t phải giải * Ta cũng có thể chọn x, y biến thi n thỏa (x + y = 6) để chẩn đoán điểm rồi nhng chú ý x y Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu nhi A cốp x ki (BĐT (6)) Bài 27: Tìm GTNN và GTLN của: A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y3 3) a Tức đã vi phạm điều kiện (2) về định nghĩa * Ta sẽ phân tích và tìm tòi lời giải từ bài toán nhỏ này Ta xét sự biến thi n của 3 đại ợng a ; 1 ; S để dự đoán a a=3 a=4 a=5 1 1 = a 3 1 1 = a 4 1 1 = a 5 Ngời thực hiện: Hồ Sỹ Chính - Trờng THCS Diễn Thái Trang 14 Một số phơng pháp tìm cực trị của biểu thức chứa hai biến... Chính - Trờng THCS Diễn Thái Trang 20 Một số phơng pháp tìm cực trị của biểu thức chứa hai biến số và một số ứng dụng Bài 29: Cho x, y là các số nguyên thỏa 4x + 5y = 7 Tìm GTNN của P = 5|x| - 3|y| (Đề thi chọn đội tuyển L9 2005 2006) A Lớn nhất 6 lớn nhất x + 2 nhỏ nhất x=0 x+2 Lúc đó x = 0; y = 1 hoặc x =1; y = 0 Khi đó Max A = 1 C ứng dụng: Bây giờ ta xét 1 số bài toán giải bằng cách... tìm cực trị của biểu thức chứa hai biến số và một số ứng dụng 1 1 1 2 Ta có : t > a + 3 > (1)2 = 4 ab 2 2 Bài toán đã cho trở thành 1 t t Cho t > 4 Tìm GTNN của S = t + 1 Tơng tự bài 1 ta xét sự biến thi n của t, t ta có sơ đồ tìm hệ số điểm rơi t 4 = 1 1 = t 4 Giải : Ta có S = ab + >2 => , S và dự đoán điểm rơi t = 4 nên 1 4 = => = 16 4 1 1 15 = (ab + )+ ab 16ab 16ab 15 2 15 17 1 ab + 16( a +... Tìm Min của P = x 2 y 2 = = 4 xy xy * Bằng suy nghĩ tơng tự bài 1 Và chú ý rằng P là biểu thức đối xứng nên điểm rơi cân bằng (x=y= Tách các số hạng áp dụng hợp ý phần điểm rơi sẽ bàn kỹ ở sau 1 ) 2 (Đề thi chọn đội tuyển toán 9 vòng 3 năm 2005 - 2006) Giải : 1 1 5 1 Ta có : P = x 2 y 2 + 2 xy = 4 xy + 4 xy + 4 xy (1) 2 1 5 1 đợc tách bằng + + xy 2 xy xy 4 xy * Điểm mấu chốt của bài toán là Tại sao lại ... * Bài tập áp dụng Bài 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x2 + 9y2 - 6xy - 6x - 12y + 2024 (Đề thi học sinh giỏi Toán Diễn châu 2005 - 2006) Giải: A = x2 + 9y2 - 6xy + 4x -12y +4 +x2 - 10 +25 + 1995... -3)2 + (3y - 7) + 1995 > 1995 2 Kết nh Bài Tìm GTLN D = - 5x2 - 2xy - 2y2 +14x + 10y - (Đề thi học sinh giỏi Toán TP HCM 1997-1998) Giải : Ta làm cho hệ số x2 phơng Ta có : -5D = 25x2 +10 xy... -12y + 22 = Tìm nghiệm phơng trình cho: a) x + y đạt giá trị lớn b) x + y đạt giá trị nhỏ (Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia 1996-1997) * Bằng suy nghĩ tơng tự nh ta biến đổi : Giải : x2 + 2y2+2xy