MỘT CHÚT SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN

MỘT CHÚT SÁNG TẠO KHI GIẢI TOÁN NGUYỄN ĐỨC TẤN (GV TP Hồ Chí Minh) Chúng ta toán quen thuộc sau đây: Bài toán Chứng minh với số nguyên n n2 + n + không chia hết cho Chắc nhiều bạn biết cách giải sau Cách * Xét n = 3k (k Z) n2 + n + = 3k(k + 1) + * Xét n = 3k + (k Z) n2 + n + = 9k(k + 1) + * Xét n = 3k + (k Z) n2 + n + = 3(3k2 + 5k + 2) + Vậy n2 + n + không chia hết cho với n Z Cách Có n2 + n + = (n + 2)(n – 1) + (n + 2) – (n – 1) = nên n + 2; n – đồng thời không đồng thời chia hết cho * Nếu (n + 2) (n – 1) suy (n + 2)(n – 1) nên (n + 2)(n – 1) + không chia hết cho * Nếu (n + 2) (n – 1) khơng chia hết cho (n + 2)(n – 1) + không chia hết cho Vậy n2 + n + không chia hết cho với n Z Cách (Phản chứng) Giả sử n2 + n + Đặt n2 + n + = 9m (m Z) hay n2 + n + – 9m = (*) = 36m – = 3(13m – 1) 3(13m – 1) không chia hết cho khơng số phương nên (*) khơng có nghiệm ngun Vơ lí! Vậy n2 + n + không chia hết cho với n Z Cách Ta có: 4(n2 + n + 1) = (2n + 1)2 + * Nếu (2n + 1) (2n + 1)2 (2n + 1)2 + không chia hết cho * Nếu (2n + 1) không chia hết cho (2n + 1)2 khơng chia hết cho (2n + 1)2 + khơng chia hết cho Vì (2n + 1)2 + khơng chia hết cho Vậy 4(n2 + n + 1) không chia hết cho suy n2 + n + không chia hết cho với n Z Với đam mê toán học chắn bạn tìm thấy nhiều tốn họ hàng vơi tốn trên, chẳng hạn toán sau: Bài toán Chứng minh với n Z a) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 b) n2 + 3n + không chia hết cho 121 c) n2 + 5n + 16 không chia hết cho 169 Bài tốn Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: a) x2 + 3x + = 49y ; b) x2 + 25y2 – 2x + = ; Bài tốn Tìm x Z để 25x + 46 tích hai số nguyên liên tiếp (Bài T1/201 THTT 3.1994) Cả cách giải giúp giải tốn “mị mẫm” tìm thêm thật nhiều toán hay Nhưng với toán sau: Bài toán Chứng minh 9n3 + 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 với n Z Bài làm Với cách 1; 2; có lẽ ta phải bó tay, khai thác cách (chú ý 343 = 73) ta đến với lời giải thật dễ thương sau: 3(9n3 + 9n2 + 3n – 16) = (3n + 1)3 – 49 * Nếu (3n + 1) (3n + 1)3 73 mà 49 không chia hết cho 73 nên (3n + 1)3 – 49 không chia hết cho 73 ⇒ 9n3 + 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 * Nếu (3n + 1) không chia hết cho ⇒ (3n + 1)3 – 49 không chia hết cho ⇒ (3n + 1)3 – 49 không chia hết cho 73 ⇒ 9n3 + 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 Vậy 9n3 + 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho 343 với n Z Suy nghĩ sâu chút cách giải ta đến toán tổng quát: Chứng minh A(n) không chia hết cho pk với n nguyên, p nguyên tố k nguyên dương Phương hướng giải tìm cho đẳng thức: a A(n) = [B(n)]k + pm Trong B(n) đa thức biến n với a Z; m nguyên dương k > m, xét xem B(n) có chia hết cho p không Tác giả báo muốn nói với bạn nhiều điều bình thường, thật quen thuộc cịn nhiều điều hấp hẫn chờ đón bạn … sẵn sàng đưa bạn đến nơi mà bạn cần phải đến  ... hai số nguyên liên tiếp (Bài T1/201 THTT 3.1994) Cả cách giải giúp giải tốn “mị mẫm” tìm thêm thật nhiều toán hay Nhưng với toán sau: Bài toán Chứng minh 9n3 + 9n2 + 3n – 16 không chia hết cho... hết cho 343 với n Z Suy nghĩ sâu chút cách giải ta đến toán tổng quát: Chứng minh A(n) không chia hết cho pk với n nguyên, p nguyên tố k nguyên dương Phương hướng giải tìm cho đẳng thức: a A(n)...Với đam mê toán học chắn bạn tìm thấy nhiều tốn họ hàng vơi tốn trên, chẳng hạn toán sau: Bài toán Chứng minh với n Z a) n2 + 11n + 39 không chia hết