Boi duong thi hoc sinh gioi toan cap tinh

Boi duong thi Hoc sinh gioi Toan cap tinh.doc Tài liệu đã có những bài tập mang tính sáng tạo toán học và những vấn đề ứng dụng trong tư duy toán học. Các em học sinh có khả năng, ...Các dạng toán nâng cao lớp 7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 ... 7 Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán có ...

A- Đặt vấn đề.

Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trờng chuyên và thi và đại học những năm gần đây, chúng ta thấy đề thi có các yêu cầu dạng bài toán tìm cực trị của 1 biểu thức thờng gặp

Khi gặp bài toán này, học sinh kể cả học sinh giỏi, thờng lúng túng, và gặp khó khăn, vì vậy tôi sẽ trình bày một số phơng pháp, cách suy nghĩ và phân tích một số sai lầm khi giải bài toán cực trị chứa 2 biến số và 1 số lời bình

Những mong giúp học sinh, nhất là học sinh giỏi có thể làm chủ trong chọn cách giải phù hợp với khả năng của mỗi trình độ để việc giải toán đạt hiệu quả cao hơn

2 (a + b)2 > 4ab (Dấu “=” xảy ra ↔ a = b)

3 2 (a2+b2) > (a+b)2 ∀ a, b (dấu bằng xảy ra ↔ a = b)

4

a

1 +

b

1 >

b

a+

4

∀ a, b (dấu bằng xảy ra ↔ a = b) (BĐT cộng mẫu)

5 a1, a2, a… n là n số không âm ta có (Bất đẳng thức cô -si)

a1 + a2 + + a… n ≥ n n

n

a a

a1 2 (dấu bằng xảy ra ↔ a1 = a2 a… n)

6 Với 4 số a, b, c, d tuỳ ý ta có (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

(ab + cd)2 < (a2 + c2) (b2 + d2) (Dấu “=” xảy ra ↔ ad = bc)

(Khai triển vế phải biến đổi thấy ngay bằng vế trái)

II- Các dạng toán và phơng pháp giải.

3 7

Lời bình :

1 Hệ số của y2 bằng 9 là số chính phơng nêu khi đa vào ngoặc đơn thứ nhất ta tìm cách đa các số hạng chứa y vào hết ở 2 lần tích

2 Bây giờ ta thử làm cho hệ số của x2 chính phơng

Ta có 2A = 4x2 + 18y2 - 12xy -12x - 24y + 4048

= 4x2 + 942 - 12xy - 12x + 9 + 9y2 - 42y+ 49 + 3980

= (2x - 3y - 3) 2 + (3y - 7) 2 + 3980

=> A =

2

1 (2x - 3y -3)2 +

2

1 (3y - 7) 2 + 1995 > 1995Kết quả vẫn nh trên

Bài 2 Tìm GTLN của D = - 5x2 - 2xy - 2y2 +14x + 10y - 1

(Đề thi học sinh giỏi Toán 9 TP HCM 1997-1998)

Giải : Ta làm cho hệ số của x2 chính phơng

2

9 (x-1)2 + 16Bây giờ ta sẽ xét 1 số bài toán với lời lẽ có vẻ khác nhng thực chất cách suy nghĩ và biến đổi vẫn thế

Bài 3: Cho phơng trình với các ẩn x, y

x2 + 2y2 + 2yx -10x -12y + 22 = 0

Tìm nghiệm của phơng trình sao cho:

a) x + y đạt giá trị lớn nhất

b) x + y đạt giá trị nhỏ nhất

(Đề thi học sinh giỏi Toán 9 Quốc gia 1996-1997)

* Bằng suy nghĩ tơng tự nh bài 1 ta biến đổi :

Giải : x2 + 2y2+2xy -10x -12y + 22 = 0

↔ x2 + y2 + 2xy - 10x - 10y + 25 + y2 - 2y + 1 - 4= 0

(x + y - 5)2 + (y-1)2 - 4 = 0

(x + y - 5)2 = 4 - (y - 1) 2

Vì (y - 1)2 > 0 ∀y

Bµi 4: Cho x, y liªn hÖ víi nhau bëi hÖ thøc

7)2 + 10 - (

2

7)2 = - y2

⇔ (x + y +

2

7)2 - 4

9 = - y2V× y2 < 0 víi ∀y

Suy ra: (x + y +

2

7)2 < (2

3)2 ⇔-

2

3 < x + y +

2

7 <

2 3

§Õn ®©y viÖc gi¶i kh«ng cßn khã kh¨n g×

Bµi 6 T×m cÆp sè (x, y) y nhá nhÊt tho¶

x2 +5y2+2y -4xy - 3 = 0

(Đề thi học sinh giỏi Toán 10 chuyên ĐHQG HN)

Giải : x2 + 5y2 + 2y - 4xy -3 = 0

⇔x2 - 4xy + 4y2 + y2 + 2y + 1 - 4 = 0

⇔ (x - 2y)2 + (y + 1)2 = 4Vì (x -2y)2 > 0 ∀x, ySuy ra (y +1)2 < 4 ⇔ - 2 < y + 1 < 2

Giải : ∃ (x,y) thoả x2 - 4xy + 5y2 + 2y - 3 = 0 (1)

Bài toán này có nhiều cách giải:

ở đây tôi muốn sử dụng các bất đẳng thức cơ bản (1) (2) (3)

* Nhận xét : A có dạng a2 + b2 nên ta sử dụng (2)

Giải : 2A = 2 {(x +

x

1)2 + (y + 1y )2} > (x +

x

1 + y + 1y )2

= (1 + x xy+ y) 2 = (1 + xy1 )2 (vì x+y = 1)

Lại dùng (2) ta có : (x +y)2 > 4 xy =>1 > 4xy => <

4

1 ⇔

xy

1 > 4; (xy > 0)

Do đó: 2A > 25 A >

2

25 Vậy MinA =

2

25 ⇔ x = y =

2 1

Bài 8: Cho 2 số x, y thoả mãn 8x2 + y2 + 2

4

1

x = 4Xác định x, y để = xy đạt giá trị nhỏ nhất (Đề HSG Toán 9 - Huế )

Nhận xét : Bài toán này không có đk x; y và bậc x, y chẵn ta nghĩ đến các hẳng đẳng thức để làm xuất hiện các bất đẳng thức cơ bản (1) (2)

Giải 8x2 + y2 + 2

4

1

x = 4(4x2 + 2

4

1

x - 2) + (4x2 + y2 + 4xy) - 4xy - 2 = 0(2x -

Suy ra : 4xy > - 2 => xy > -

2 1

Vậy Min S = -

2

1 ⇔ 2x -

x

2

1 = 0 ⇔ (x;y) ∈{(

Vậy Min B =

2

1 ⇔ a = b =

2 1

Bài 10 : Tìm GTLN GTNN của B = x2 + y2

Biết x, y thoả x2 + y2 - xy = 4

(Đề thi HSG TP HCM)

Nhận xét : Giả thiết gợi lên hằng đẳng thức nên ta biến đổi nh sau :

Vậy Min B =

3

8 ⇔ x = -y

x = -

3

3 2

y = 3

3 2

x = 3

3 2

y = -

3

3 2

Giải : Ta có : 2 (x2 + y2 ) > (x+y)2 = 1

=> x2 + y2 >

2 1

Lại có : 2 (x4 + y4) > (x2 + y2 )2 >

4 1

vì là : (x+y)2 > 4xy => 1 > 4xy =>

xy

4 1 > 1 (xy > 0)

Suy ra : P ≥

4

1 + 1 =

4

5

Vậy : Min P =

4

5 ⇔ x = y =

2 1

Bài 12: Cho x, y > 0 thoả x2 + y2 = 4

Tìm GTNN của P = (x + 1y ) 2 + (y +

x

1)2Nhận xét : Từ GT gợi lên ý tởng khai triển P

xy

1 >

2

1 (xy > 0)

=> P > 4 (

2

1 + 1)2 = 9Vậy MinP = 4 ⇔ x = y = 2

Nhận xét: Giả thiết bài toán là (7) với m = 4 và n = -4 ta có

4xy (x+y) = 4 (x2 + y2) 2 - xy) = 4(x2 + y2) - 4xy

= 3 (x -y)2 + (x + y) 2 > (x + y) 2 > 0Suy ra : 0 <

xy

y

x+

< 4Lại có : A = 3 3

3 3

y x

xy y x y

) )(

(

y x

xy y x y

Do đó : A < 16

Vậy : MaxA = 16 ↔ x = y =

2 1

Bài 14: Cho x, y không âm thoả x = y = 1 Tim GTLN , GT NN

Của p = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25 xy

(Đề thi Đại học khối D-2009)

Nhận xét : Biểu thức P nhìn vào có vẻ phức tạp cha thấy để vận dụng gt nên ta khai triển P ; P là biểu thức đối xứng

Giải : P = 16x2y2 + 12 (x3 + y3) + 34 xy

= 16x2y2 + 12 (x+y)3 - 36 xy (x+y) + 34 xy

= 16x2y2 - 2xy + 12 = 16 (xy -

16

1 < xy -

16

1 <

16

3 (1)Nên 0 < 4xy < (x+y)2 = 1

16

1 <

16 3

=> 0 < /xy -

16

1 / < (2)

Dạng 3 : Sử dụng bất đẳng thức (4) (Bất đẳng thức cộng mẫu)

a) b> yo :

a

1 +

b

1 >

b

a+

4 (Việc c/m không có gì khó khăn, dấu “=” xảy ra ⇔ a=b=c)

a

1 +

b

1+

c

1 =

c b

a+ +

9 (5)

(Đề thi HSG Toán 9-Huyện Diễn châu,vòng 2 năm 2010 - 2011)

Nhận xét : Với giả thiết x + y = 1

Để dùng (4)ta làm xuất hiện 2xy ở mẫu

Giải : A = 2 2

1

y

x + 21xy + 21xy (1)Lại có : 2 2

2 1

(Đề thi chọn đội tuyển toán 9 vòng 3 năm 2005 - 2006)

xy xy xy y

1 4

5 2

1 1

xy

2

1 +

xy

5 +

xy

4 1

Tại sao lại tách nh vậy ?

Từ (1) (2) (3) (4) suy ra : P > 4 + 5 + 2 = 11

Vậy Min P = 11 (=) x = y =

2 1

Bµi 17: Cho a, b, c > 0 tho¶

a

1 +

b

1 +

c

1 = 4

T×m GTLN cña P =

c b

a+ +

2

1 +

c b

a+ 2 +

1 +

c b

1

+ +

(§Ò thi §H khãi A-=2005 Thi HSG L9 NghÖ An (2008-2009)

≤ + + +

= + + +

= +

a

1 1

4

1 4

4

1 1

2 1

=

a

1 1 4

1 4 4

1 1

=

a

1 1 4

1 4 4

1 1

(DÊu “=” x¶y ra ⇔a=b=c

+

a

1 1 2 4

1 1 1

⇒

c b a c

b a

1 1 2 16

1 2

a

1 2 1 16

1 2

1 1 1 16

1 2 1

ca bc

c b

bc ab

b a

ab

+ +

+ + +

+ +

5

NhËn xÐt Ta lµm g¶m bËc mÉu

Víi nhËn xÐt (a n −b n) (a m −b n)≥ 0 (¤ lim pic I Ran 1996)

b a ab

abc ab

b a

ab

+ +

= + +

≤ + + 5

T¬ng tù:

c b a

a bc

c b

bc

+ +

≤ + + 5

5 (2)

c b a

b ca

a c

ca

+ +

≤ + + 5

P− + − + −

25 1979 1974

(P lµ nöa chu vi)

15 1

1 10 1

1 1964

c P b P c

P a P P

a b c

15 10 1964

4 15 10 1964

- Có thể nói rằng đây là bất đẳng thức thờng gặp nhiều nhất dùng để tìm cực trị.

- Sau đây là các truờng hợp đặc biệt

a+ + )3 > abc

- Điểm “rơi” Ta sẽ xuất phát vấn đề này từ bài thứ 1

Bài 20: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của S =

b

a

+

a b

• Bây giờ ta xét một bài toán có vẽ nh trên nhng đã thay đổi miền xác định

Bài 21: Cho a > 3 Tìm GTNN của S = a +

* Ta sẽ phân tích và tìm tòi lời giải từ bài toán nhỏ này

Ta xét sự biến thiên của 3 đại ợng a ;

a

1 ; S để dự đoán

1

a

1 = 5 1

- Khi a tăng ta thấy S cũng tăng

Ta dự đoán a = 3 thì S nhỏ nhất Ta nói rằng S

3

10 tại điểm rơi a = 3

- Do BĐT co si có dấu bằng xảy ra tại các số tham gia bằng nhau nên tại thời

điểm rơi a = 3 ta không thể sử dụng trực tiếp cho a và

a

1 đợc (vì rằng 3 >

3

1)

- Lúc này ta phải suy nghĩ rằng sẽ áp dụng cho

α

3 α = 9 (9 ta gọi là hệ số điểm rơi)

a

1 = 3 1

Từ đó ta có lời giải :

Giải : S = a +

a

1 = (9

1 +

a

1) + 9

8a

> 2

a

1 9

2 +

9

3 8 = 3 10

Vậy : Min S =

3

10 <->

Bài 22 :

Cho a, b > 0 Tìm GTNN của S = ab +

ab

1a+ b < 1

* Sai lầm thờng gặp : S = ab +

ab

1 > s

* Phân tích và lời giải

Đặt t =

ab

1 -> S = t =

2 1

Ta có : t -

ab

1 > 2 2 3

1 = 4Bài toán đã cho trở thành

t

1 = 4 1

ab

16 15

15

=

417

ab = ) 2

2 (a+b

Bài 23: Cho a, b > 0 Tìm GTNN của S =

ab

+

* Sai lầm thờng gặp : S > 2

b a

ab ab

b a

+ + . = 2 -> Min S = 2

1

=> α = 4

b a

ab

+ = a

a

2 =2 1

Ta có lời giải :

+ = ab

b a

4

+

+

b a

ab

b a

4

) (

3 +

> 2

b a

ab ab

b a

= a +

2

3 = 2 5

VËy Min S =

2

5 <-> a= b

Bµi 24: Cho x, y > 0 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

4

+ ⇔ y = 4

Theo t«i ta híng häc sinh nh sau:

Ta t×m c¸ch t¸ch ¸p dông B§T c« sin cho Ax vµ 6

* Ta cũng có thể chọn x, y biến thiên thỏa (x + y = 6) để chẩn đoán điểm rồi nhng chú ý x≠ y

Dạng 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu nhi A cốp x ki (BĐT (6))

Dạng 6: Cực trị của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.

P2: - Tìm cách khử giá trị tuyệt đối nhờ nhận xét

- Tìm chữ số tận cùng để suy luận

Bµi 29: Cho x, y lµ c¸c sè nguyªn tháa 4x + 5y = 7

(2) Cã nghiÖm <=> - x2 - 2x > 0 <=> -2 < x < 0 (4)

Tõ (3) (4) ta cã x = -2 => y = -1

VËy hÖ cã nghiÖm ( -2; -1)

¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p trªn c¸c em b¹n h·y gi¶i c¸c bµi tËp sau:

D¹ng 3: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh.

y y y

Tóm lại hệ có 6 nghiệm là (0;0); (2;1); (0;1); (1;1); (1;-1); (2;-1)

Nhận xét và lời bình :

* Việc ứng dụng cực trị ra đề tìm nghiệm nguyên kiểu này dễ ra đề mà học sinh khó phán đoán cách giải Ta có thể chọn các số nguyên để ra đề theo mẫu sau : (mx + ny + k)2 = h - t y2

(m, n, k, h , t là các số nguyên tuỳ theo ngời ra đề lựa chọn)

* Các bài toán kiểu này dùng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2 cũng giải đợc

=

− +

4 1 1

3

y x

xy y x

Đây là hệ đối xứng loại 1 (Đề thi ĐH khối A - 2006)

Lời giải của hệ nh sau:

11

121 22 )

4 (

t

t t t

=

6

9

y x

xy ⇔x = y = 3

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (3;3)

- Theo ý tôi, với nhận xét sau nên dùng cực trị cũng giải đợc Từ phơng trình (1) của hệ suy ra x > 0; y > 0 (Vì nếu x < 0, y < 0 không thỏa mãn)

áp dụng BĐT Cô-si ta có:

(1) (2)

= +

=

⇔

6

1 1

y x

x x

y x

=

− +

c b y b x

a xy y x

Trong đó a > 0; c > 0; b = c −a

4 2

a b

a b

+ +

Bài 7: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

10x2 + 20y2 + 24xy + 8x - 24y + 51 ≤ 0

Bài 8: Tìm GTLN - GTNN của P = x + y + 2012

biết x, y là các số thực thỏa mãn 3x2 + y2 + 2xy + 4 = 7x + 3y

Bài 9: Chứng tỏ rằng hệ phơng trình sau chỉ có 1 nghiệm duy nhất

− +

−

= +

−

−

− +

0 20 6 17 5

2 3

0 41 6 38 2

5 10

2 2

2 2

y x xy y

x

y x xy y

x

b ab a

b ab a

+

−

+ + Trong đó a2 + b2 ≠ 0

Bài 11: Giải các phơng trình sau:

) 1 (

+ +

+ + + + +

+ +

y x

y x xy y x xy

y x

7) Cho x, y > 0; x + y ≤ 1

Tìm GTNN của P = xy+xy9

D- Bài học kinh nghiệm

- Mỗi vấn đề khoa học khi nghiên cứu chịu khó tìm tòi sẽ tìm thấy những

điều lý thú, bổ ích

- Đối với học sinh một số em rất đam mê toán học Nếu giáo viên chịu khó cùng trao đổi với học sinh hớng t duy giải quyết các em sẽ nhanh chóng lĩnh hội kiến thức và hứng thú tìm ra những cách giải thú vị

Trên đây là một số phơng pháp mà bản thân tổng hợp, nghiên cứu để làm tài liệu giảng dạy Rất mong đợc sự góp ý của đồng nghiệp

Diễn Châu, tháng 5 năm 2012

Ngời viết Nguyễn tôn nữ Lan Tiên

Phßng Gi¸o dôc DiÔn Ch©u Trêng THCS DiÔn Th¸i

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm

Mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ cña biÓu thøc chøa hai biÕn sè

vµ mét sè øng dông

M«n To¸nT¸c gi¶: NguyÔn t«n n÷ Lan Tiªn

Tæ khoa häc Tù nhiªn

N¨m thùc hiÖn 2012

Cña chång c«ng vî!