Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 6

P h ầ n II ứ n g d u n g phép tín h te n x ơ tr o n g C ơ học và V â t lý 2 -1 ] CHƯƠNG VI C a học các môi trường liên tuc Cơ học môi trường liên tục là một lảnh vực rộng lớn của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật rắn biến dạng, chất lòng và chất khí. Cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của chất điểm, hộ các chất điểm rời rạc và vật rắn tuyệt đối. Phát triển nhừng phương pháp và kết quả trong cư lý thuyết , cơ học môi trường liên tục nghiên cứu chuyển động của các môi trường vật chất lấp đầy liên tục một mièn Iiào đáy hoặc toàn không gian, khoảng cách giữa các điềm của chúng thay đổi trong quá trình chuyển động. Ngoài những môi trirỏrng vật chất thông thường nêu trên, trong cơ học mỏi trường liên tục còn xét các môi trường đặc biệt là các trường: trường điện từ, trường bức xạ, trọng trường v.v... Không gian chứa môi trường ờ dày ta hiểu là tập hợp nhừng điểm xác định hời những số mà ta gọi là tọa độ của nó. Giẻ thiết rằng không gian liên tục, trong dỏ xác định khoảng cách giừa các điểm của Ĩ1Ó (không gian mêtric). Ớ đây có thể lấy là không gian Euclide ba chiều thông thường, các điểm của nó được hoàn toàn xác định nhờ hộ tọa độ Descartes vuông góc, còn thời gian xem là như nhau đối với mọi người quan sát (thời gian tuyệt đổi). Để cho dề hiểu những khái niộrn ban đầu của ca học các môi trưnrng liên tục, trong chương này chù yếu sử (lụng tenxơ trong hộ tọa độ Descartes viết các phương trình và hệ thức cơ bản; nhửng chỏ cần thiết sẽ nuV rộng cho hộ tọa độ cong bất kỳ của không gian Euclide và chì giới hạn trong việc thiết lập mô hình và cách đặt bài toán trong từng môi trường riêng. Trirớc hết cũng cần chính xác hóa khái niệm đ i ể m , vì nó có th ể là điểm không gian, củng có thề là điểm của môi trường liên tục. Để tránh Iihầni lẫn danh từ “điểm” dùng đổ chỉ vị trí trong không gian cổ định, còn p h ầ n t ử hoặc h a t để chỉ vật chất chứa trong phán tố thể tích vô cùng nhỏ cùa môi tnrờng liên tục (chất điểm) đặt tại điểm đang xét. 243 244 Chương Vì. c o HỌC C Á C M ÒI T R Ư Ờ N G L IÊ N r ụ c A - ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG L ự c HỌ C CÁC MÔI T R Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C Phần này trình bày các vấn đề chung cùa cơ học mòi trường liên tục: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, khái niộm về chuyển động và các định luật cơ bản 6.1 6.1.1 N g h iên c ứ u chuyển đông th e o L a g ra n g e và E u ler T o a độ L ag ran g e và tọ a độ E u le r Tại thời điểm t nào đấy, thể tích V của môi trường liên tục giới hạn bíVi mặt 5 chiếm miền D nào đáy của không gian. Nếu trong một hệ tọa độ xác định, ta chi ra sự tương ứng giửa các phần tử của thể tích môi trường liên tục với các điểm của không gian do chúng chiếm chỗ tại thời điểm ty thì ta nói rằng tại thời điểm đó đả biết hình thái (hoặc cấu hỉnh) cùa môi trường liên tục. B iến dang là sự thay dổi hình dạng cùa môi trường từ hình thái ban dầu nào đấy (chưa biến dạng) đến hình thái tiếp theo (biến dạng). Nghiên cứu biến dạng ta không cần lưu ý các hình thái trung gian; nhưng nghiên cứu sụ chày (trạng thái chuyển động lièn tục của môi trường) phải chú ý đến quá trình thay đổi hình thái. Để cho thuận tiện ta đặt hình thái ban đầu và hình thái đang xét vào hai hệ trục tọa độ khác nhau. Tại hình thái ban dầu phần từ môi trường chiếm điểm Po có bán kính vectơ trong hê toa đô Desc.art.es o x 1 X 2 X 3 : X = Xx k ị + x 2k2 + x 3k3 = X i k u các đại lượng ( X \ ÌX 2 , X 3 ) gọi là toa dô vât chắt, chúng xác định tọa độ của từng chất điểm riẽng của môi trường. Tại hình thái biến dạng dang xét, môi trường chiếm miền nào dấy của không gian, phần tử ớ điểm Po lúc dầu sẽ chiếm vị trí p có bán kính vectơ X trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Ox ỵ x 2 X3 X = * i e j + X2&2 + £3 6 3 = X i e M các đ;ù lượng (X1 ,X2 ,X3 ) gọi là tọa độ không gian, chúng xác định vị trí tức 6 .1 . NGHIÉN n : V CHUYEN tJÓNG THEO LAGKANGL VA Kl I I U thai ciia phan tiV. Verter PqP - u = uiel goi la vector chuyén djch, ta có: —► u = Oo + x - X Hinh 6 .1 De cho dan gián ta gia thiet he toa do vát chal va he toa do khóng gian có the dat trung góc Icn nhau, do dó các thánh phan cua u = x - X tren cúng he toa do tính toan có dang U i-X i-X i. (6 . 1 ) Néu mói trmVng chuyén dong, thi các phan tir cua nó sé chuyén dong theo các dirang khác nhau trong khóng gian. Quy luát chuyen dong cua phan tú bnr ky { X \ , X 2 %Xi) ^ dang x\ = x\ { X\ yX 2 )X$yt)} X2 = X2 ( X \ , X 2 , X z ,í), •^3 = X z { X \,X 2 }X^yt), hay la Ti = X i ( X u X 2, X 3, t ) 9 (6.2) 246 Chương VI. c ơ HỌC CÁC MÒI T H ƯỜ N G LIÊN T Ụ C xác định vị trí tại thời điểm t của phần tử tương ứng với điềm X ị y X v i X 3 tại thời điểm ban đầu. Hệ thức trên xác định sự tương ứng giữa các điểm của hình thái ban đầu và vị trí của chúng (Vhình thái tiếp sau. Cách mô tà chuyển động như vậy gọi là mô tả theo Lagrange, các biến X \ , X' 2 ,X:ị đặc trưng từng phần từ riêng cùa môi trường và thời gian t gọi là hiến Lagrange. Nếu X ị , X 2 , X 3 cố định, t thay đổi, thì (6.2 ) cho quy luật chuyển động của một phần tử xác định. Nếu X \ , X 2 yX^ thay đổi, còn t, cố định, thì (6.2) cho sự phân bố các phần tử môi trường tại thời điểm đó; còn nếu X \ , Àr2, X 3 , t thay đổi thì (6.2) xác định quy luật chuyền động của mói trường. Giả thiết rằng các hàm trong hệ thức (6 .2 ) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục, tại mỗi thời điểm cố định t = const các hàm X i = Xị (x 1 , X 2 , X 3 , t) là hàm tương ứng nhất nhất; khi đó Jacôbiên Xi dx\ ÕXị ỞXị dXj ÔX2 dXị ÕX 3 ÕXi phải khác không. Nếu J dx1 ÕX 2 ÔX2 0X2 ỡx 3 dX2 dx\ ỠX~3 ỠX2 ÔX3 ÔX3 dX3 0, công thức (6 .2 ) có thể giải ngược lại Xị — X ị ^ X ị , X'2, £ 3 »0 (6.3) như các hàm liên tục đơn trị. Tóm lại, mô tà chuyển động theo Lagrange dựa trên lịch sừ chuyển động của từng phần tử môi trường liên tục. Bây giờ ta không quan tâm đến lịch sử chuyển động của từng phần tử riêng biệt, mà muốn biết, cái gì dà xảy ra tại một điểm không gian cho trước gắn liền với hệ tọa độ cố định tại các thời điểm khác nhau: tại điểm không gian đó các phần từ khác nhau của môi trường chảv qua- thì đó là cách mô tà chuyển động theo quan điềm Euler. Các tọa độ không gian £ 1 , 22,23 và thời gian t gọi là biến Euier. Sự khác nhau giữa hai quan điểm này thể hiện (V chỏ theo quan điểm Lagrange, chúng ta quan tâm đến quy luật thay đổi cùa cắc đại lượng đặc trưng đối với phần tử cho trìĩớc của môi trường, còn theo quan điểm Euler ta quan tâm đến quy luật thay đổi các đại lượng này tại một nơi cho trước, về mặt toán học thề hiộn ờ các biến khác nhau (tọa độ vật chất hoặc tọa độ không gian); các biến này có thể chuyển cho nhau. Công thức (6.3) chuyển từ biến Lagrange về biến Euler; nếu cố định Zi,X 2 ,X3 hệ thức (6.3) chỉ ra nhìrng phần tử ( X \ ĨX 2 1 X$) của môi trường đi qua điểm không gian cho trước tại các thời điểm khác nhau. 6.1. NGHIÊN CỨU CHUYỂN ĐỘ NG TH EO LAGRANGE VÀ EULER 6.1.2 2*17 V â n tốc, gia tố c Chuyển động và sự chày dùng đề mô tả sự t hay dổi tức thời hoặc liên tục cùa hình thái môi trường liên tục. Có thể biểu thị chuyển động mói trường liên tục theo Lagrange (tọa độ vật chất) Xi = x i( X u X 2 ì X z ì t) hay là X = hay là X = x (X ,t), hoặc theo Euler (tọa độ không gian). X i = X ị ( x i , x 2 ,x$,t), X (x ,í)- Tốc độthay đổi thời gian của đại lượng đặc trưng nào đấy của các phần tử riềng biệt của mỏi trường chuyển động gọi là đạo hàm vật chất theo thời gian của dại lirạng đó (còn gọi là đạo hàm toàn phần), nó xem như tốc độ thay đổi của đại lượng đang xét đirợc xác định bời người quan sát cùng chuyển động vói phần tử môi trirờng. Đạo hàm vật chất theo thời gian của vị trí phần tử X, gọi là vận tốc tức thời cùa nó dt i" hay là v = “¡7 dt = x (6-4) Mờ rộng cho đại lirạng bất kỳ đặc trưng cho tính chất của môi trường, chẳng hạn đại lượng ai; đại lượng này có thể là vô hướng, vectơ hoặc tenxơ. Nếu theo Lagrange thì đạo hàm vật chất theo thời gian có dạng daịj.„ dt = t) di 1 vì tọa độ X không đổi (tương ứng với cùng một phần tử). Nếu theo Euler thì đạo hàm vật chất cho ta 0 Q»j...(x,O 0Q ij...(x ,t) dt ỠXk dan dữij = ô f + õ ^ Vk' d a XJ. . __ dt dxk _ dt 248 Chương VI. c o HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC (sổ hạng thứ nhất đặc trưng tốc độ thay đổi của dại lượng tại điểm không gian cố định, gọi là tốc độ địa phương; số hạng thứ hai gọi là tổc độ kéo theo (convective) do chuyển dộng của các phần từ trong trường thay đổi của đại lượng đả cho). Trường vận tốc (6.4) có thể xác định qua vectơ chuyển dịch nhờ hệ thức (6.1). Ta có: dXị _ d(Uị + dt dt Vị dut dt Xi) hay là du dt v Theo Lagrange Ui = Ut(X,£), thì rfui(X, t _ Vị ôuĩ(X, t) dt dt hay là V = còn theo Euler Ui ổu (X,í) dt = Uị(x,t)y ta được < M x f t) d u i ( x yt ) ỠUi(xt) ( 6 '5 ) hay là [ ' ’ dt dt ' trong đó V= ỡ ơxk ek, công thức vận tốc cho dưới dạng không hiển, vì ờ vế phải cũng có giá trị này. Đạo hàm vật chất theo thời gian của vận tốc cho ta gia tốc. Theo Lagrange ta có dvi{X,t) ỠVi(X,t) Wi ~ dt ~ dt ' 0.1. 249 NGHIÊN CỨU CHUYỂ N ĐÔ NG T H EO LAGRANGE VÀ EULER hay là w = í/v(X , t) _ flv(X ,t) dt ~ dt (6-6) còn theo Euler t*2 = - e- t ), u>3 = 0 . at Vi — Thay các biểu thức cùa X i qua Xi vào các hệ thức trên ta nhận được các thành phần của vận tốc và gia tốc theo Euler = Xi + X2 - x 3 (e* - e~£), V2 = x 3 (ee 4- e~e), Ü3 = 0; tơi = Xi + X2 - x 3 (e* - e _í), IÜ2 = Z3 (e* - e_ í), IƯ3 = 0. Chương VI. c o HỌC CÁC MÓI T R Ư Ờ N G LIÊN 250 Tực Ta CÓ thể dỗ dàng kiểm tra lại các biểu thức của gia tốc theo biến Euler bằng cách tính theo công thức dv\ dv\ m = -3 7 4ơt ƠX\ dv\ 7 7 -^ 1 + ơx 2 A dvỵ ¿/£3 V2+ a v 3 y• • •• Trong hệ tọa độ cong (theo biến Euler) từ biểu thức của vận tốc và gia tốc du du k v = ~ẽt + d ^ V ' ớv Ỡv 1. w = —— dt + d ^ v ’ trong đó ỡu , ị ỡv các thành phần của vận tốc và gia tốc có dạng i ớu* j» L du{ f du' \ k ” = « + = » + ( S + ” r- y • j ỡv* i, fc Ỡv* /Ôv* j \ fc ” = W + (V‘” >” = m + ( S + " r ”.‘) ” • T hí du 6 . 2 . Viết các thành phần vật lý cùa vectcr gia tốc qua các thành phần vật lý của vectơ vận tốc trong hệ tọa độ trụ. Trong hệ tọa độ trụ (x1,# 2,# 3) (r}ỡ,z) 9n = A\ = 1, 022 = Áị = (x 1)2, *3 ' 2 [' ỜX-Ì / + ' d X ; ) + V¿).Y, J 1’ 1 du 1 712 = 723 = 731 = 2 1 2 1 2 ÕU\ ÕU\ ÔU2 ÕU2 Ớu2 + + + i d X 2 ỚXi dXx d X 2 dXx d X 2 ÕU\ ỡuị du-i du 2 ỠU3 du-2 + + + + ax2 d X 2dXj dX2dX3 iã* 3 ÕU\ dui rỡU3 ỡtti ÕU2 ô u 2 + + + + ia x i d X 3 dXỵ ÔX3 ÔX3 ô * ! + Tiếp đến, các hệ thức thứ hai của (6.11) và (6.12) dần đến 2 J -2 /c ds - ¿j sỉ2 _= / í (duj Vd x t trong dó ỠXị d X fc kdXk\ ^ J dui dij - 9uicduk \ dxi Ở X j ) * X}' gọi tương ứng là građiên không gian cùa biến dạng và và ỠXj chuyền dịch. Tenxơ hạng hai đối xứng _ ỠXk d X k \ 2 V ,J diị d ij ) 1 (duj dui dv.k d u k \ '2Vớx! ỚI, d xýd xị) 1/ gọi là tenxơ biến dạng hửu hạn Almansi (theo biến Euler). /« 1 ,\ * 0 .2 . TENXƠ BIỄN DANG TEN x o TÓC ĐỘ BIỂN DANG 257 T hí du 6.4. Cho quy luật chuyền động của môi trường x 1 = X ief + X 2 (ef - l ) x 2 = *2 + x 3(c' - e - ‘) £3 = ^3 Hảy viết các thành phần của tenxơ biến dạng hửu hạn Green và Almansi. Các thành phần của tenxơ biến dạng hửu hạn Green tính theo công thức (6.13) 7 1 1 = ị ( e 2t - 1). 712 = ị ( e 2t - e‘), 722 = ị { e { - l ) 2, 723 = ị ( e ' - e~‘), 733 = ^ (c ‘ - e_t)2, 713 = 0. Để tính các thành phần của tenxơ biến dạng Almansi từ quy luật chuyển động ta biểu điền ngược lại X i = X2 - x 3 (el - e- t ), X \ = X \ e ~ l - X ỉ ( l - e _ t ) + 1 3 ( 1 - e _ í ) ( e f - e ~ l ). Theo cỏng thức (6.14) nhận được 711 = ¿ (1 - e ~ 2t), 712 = “ 2 *” * ^ ~ e ~*) 722 = " ( 1 - e _t )2, 7 2 3 = - ^ ( e t - e - t ) [ l + ( l - e - t ) 2], 733 = - ị ( e l - e- í )2[l + (1 - c“ *)2], 713 = “ (e* - e_t)(l - e~t)e~t . • Ta có thể viết tenxơ biến dạng hửu hạn trong hê toa dô cong bất kỳ xuất phát từ hệ thức (6.12). Khi đó dx dxf du _ ^ dX( ™ _ (dUrn _ rr lỡA 7 0 ^ \ m r) ’ Chương VI. c o HỌC C Ả C MÔI T R Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C 258 ờ đây g( là hệ vectơ cơ sờ của hình thái ban đầu, ký hiệu Christoffel tính theo tenxơ mêtric gij = g, gj của hình thái ban đầu. Thế vào hệ thức đầu của (6 .1 2 ) ta được kết quả (sắp đặt lại chỉ số): ds2 - d sị = (V*u/ + V i u k + V/umVfcum)dX*dX'. Vậy 7 kt = ^(VfcUí + VfUk + v kumv (u m). (6.15) Tương tự như vậy: ĩij - 2 + v j u» - VitimVjUm), trong đó Ui là thành phần cùa vectơ chuyển dịch u trong hệ ca sỏr G x = ờ hình thái biến dạng, còn Vi là đạo hàm hiệp biến củng tính trong hệ cơ Sừ đó theo tenxơ mẽtric Gịj = Gị • G j. 6.2.2 T e n x ơ b iến d a n g n h ồ Nếu građiên cùa chuyển dịch là nhò, thì tenxơ biến dạng hữu hạn (6.13) và (6.14) sẽ đưa về ten x ơ biến dạng nhỏ, trong đó bỏ qua số hạng tích của các građiên và _ £i* 1 / dui ỞUj \ 2 \Ở X j* dxị) Vì građiên chuyển dịch và bản thản chuyển dịch là nhò, nên sự khác biệt giữa tọa độ vật chất và tọa độ không gian của phần tử môi trường không đáng kể; do đó ta xem hai tenxơ biến dạng nhỏ nêu trên trùng nhau £ i j = Ei j ' Ta quen gọi 6ịj là hê th ứ c C auchy (biến dạng tuyến tính). 6.2 . 259 TE N x o BIỂN DẠNG. TEN x ơ T ố c Đ Ò BIẾN DẠNG Viết một cách tường minh tenxa hiến dạng nhỏ trong hệ tọa độ Descart.es du\ 3 * dx\ ỠU2 ¿22 — dx 2 ÖU3 £33 ¿11 — 6 12 623 £:n ÔX3 1 (d u \ ỠU2 \ 2 V ÖX2 4 dx\ / 1 / du 2 dìi 2 \ 2 VÔX3 0X2' 1 /ỠU3 du\\ 2 Vỡxi ÔX3 / T hí du 6.5. Cho trường chuyển vị £1 = X \ + AX*Ì, X2 = X 2 + AX$y 23 = X 3 4- A X \ với A = const. Tính tenxơ biến dạng nhò theo biếnLagrange và biến Euler, so sánh hai tenxơ này khi A rất nhỏ. Các thành phần chuyển vị theo biến Lagrange U\ = A X 2 ,U '2 = AX3, U ‘Ạ = -4X i, theo công thức (6.16) tính các thành phần tenxơ biến dạng nhỏ A — — í 0 „ 2 A 2 A \2 (£«) 0 ,4 2 2 i4 9 0 / Biểu diễn Iigược lại X, qua £t, các thành phần chuyển vị theo biến Euler có dạng «1 = A x 3 + A^X-Ỉ - A 2X\ Ax .2 + /43£i - A 2 X3 > "2 1 + A3 Ĩ T W , U3 + A zx 3 - /12X2 r+à 5 theo công thức (6.16) tính các thành phần tcnxơ biến dạng nhỏ theo biến Euler A* A - A2 í*” ) - r è A3 A - A2 A - A2 2 A3 A - A '2 \ 2 A - A2 2 A - A‘ \ Với rất nhò (A < 1 ) chuyển vị là nhò, ta có hai tenxơ £ịj và ẽịj trùng nhau.* 260 Chương Vỉ co HỌC CÁC MÒI TRƯỜNG LIÊN T ư c Trong hệ toa đô cong bất kỳ tenxơ biến dạng nhò có dạng €ịj = —(V j Uị 4* V (6-17) ịUj). Ta thường dùng tọa độ cong trực giao (cầu, trụ, cực,...), trong các tọa độ này terixơ (6.17) có dạng: „ _ n ~ , _ 22 , _ 33 ~ ơ u\ du\ uu~2 *2 dƠA\ A\ U3 ỠA\ ƠA \ uị T x 'd î + A iA idî* + A xA zdx*' 1 du\ u\ ÕẢ2 U3 d A 2 T 2d ỉ + A 1 A 2 d x l + A - i A 3 ~dxĩ ' 1 du"z uỊ Ỡ.43 dA:ị M Ô X 3 + à ^ d x * + a 2a 3 d x 2 ’ 11 Aì 9 ( ?iî VI en - õ . A i d x l \ A 2 ' Ai d x 2 V 1 / J ’ C» - 1 [^3 à Ị u ị \ Ả 2 d 23 2 l A 2 0 x * \ A j A 3 d x 3 \ A 2) J’ A l à / tt* N A 3 d / « 3 \ | .,4.3 ô :r3 \ , 4 i / f A\ d x l \j43/ J ’ .1 ' 1 1 ^* *1 1 * \ 1*1 trong đó dấu (*) để chì các thành phần vật lý, còn AÀl là hệ số Lamé của tọa độ cong trực giao: Ai = y/gĩi T hí dụ 6 . 6 . Đối vói hệ tọa độ trụ (r,0,z) các thành phần vật lý của vectơ chuyển dịch ký hiệu là ur, Uớ,tÌ2 ì tức là u\ — ur , u *2 = UQ, U3 = uz , còn các thành phần vật lý cùa tenxơ biến dạng e \ì — £rr, e\r> — £0Ờ, £33 = 6**1 £12 = e r ỡ, ¿23 = e 0z > £31 = £ z r - Các hệ số Lamé có giá trị A 1 = 1, A Riịmn = - R ijn m , Rijmn = Rmnij, nên chỉ có sáu phương trình độc lập, mà ta quen gọi là phương trình tirơng thích Saint-Venant d2£\ì ỡ 2£22 = 2 12 + d x \d i2 díị ÔI 2 cfiëî 3 d2Ĩ22 ở 2ẽ33 + = 2 dX2ỞX3 dxị dxị ỡ 2ẽ 33 ỡ2ẽn d 2ẽ 3 ì + = 2 Ỡ1 3 ỚX1 dx\ dxị d 2ẽ n ỠX2ỠX3 d 2Ĩ 2 2 ỚX3Ớ X 1 0 2£33 ị ỡ ii V d ỠẼ23 ' d ẽ3 1 Ỡ ẽi2\ dx\ + ÕX2 ỠX3 / _ ớ _ / Ổ £ 2 3 _ Ỡẽ-il 0X2 ' dx\ 0 ' /ỠẼ23 0 ẽ l2 \ Õ I2 ỠX3 / Ỡ?31 Ớ ẽ l2 \ ( 'hii'tnq VI. ( 261 (Ĩ n o r [...]... kt = ^(VfcUớ + VfUk + v kumv (u m) (6. 15) Tng t nh vy: ij - 2 + v j uằ - VitimVjUm), trong ú Ui l thnh phn cựa vect chuyn dch u trong h ca sr G x = hỡnh thỏi bin dng, cũn Vi l o hm hip bin cng tớnh trong h c S ú theo tenx mtric Gj = G G j 6. 2.2 T e n x b in d a n g n h Nu graiờn cựa chuyn dch l nhũ, thỡ tenx bin dng hu hn (6. 13) v (6. 14) s a v ten x bin dng nh, trong ú b qua s hng tớch ca cỏc graiờn... trng tỏch ra gi nguyờn khụng i trong sut quỏ trỡnh chuyn ng Do ú o hm vt cht cựa biu thc khi lng bng khụng, ỏp dng cụng thc (6 8 ) vo (6. 26) ta c Th tớch V chn tựy ý, t õy suy ra biu thc di du tớch phn bng khụng (6. 27) hay l at Phng trỡnh ny gi l phng trỡnh liờn tuc th eo Euler, ta cú th vit nú di dng khỏc dp d (6. 28) hay l ^ + div(pv) = 0 Phng trỡnh liờn tc (6. 27) hoc (6. 28) vit di dng vect cú tớnh... :r3 \ , 4 i / f A\ d x l \j43/ J 1 ' 1 1 ^* *1 1 * \ 1*1 trong ú du (*) chỡ cỏc thnh phn vt lý, cũn Al l h s Lamộ ca ta cong trc giao: Ai = y/gi T hớ d 6 6 i vúi h ta tr (r,0,z) cỏc thnh phn vt lý ca vect chuyn dch ký hiu l ur, U,tè2 ỡ tc l u\ ur , u *2 = UQ, U3 = uz , cũn cỏc thnh phn vt lý cựa tenx bin dng e \ỡ Êrr, e\r> Ê0, Ê33 = 6* *1 Ê12 = e r , 23 = e 0z > Ê31 = Ê z r - Cỏc h s Lamộ cú... dng nh nờu trờn trựng nhau Ê i j = Ei j ' Ta quen gi 6j l hờ th c C auchy (bin dng tuyn tớnh) 6. 2 259 TE N x o BIN DNG TEN x T c ề BIN DNG Vit mt cỏch tng minh tenxa hin dng nh trong h ta Descart.es du\ 3 * dx\ U2 22 dx 2 ệU3 Ê33 11 6 12 62 3 Ê:n ễX3 1 (d u \ U2 \ 2 V ệX2 4 dx\ / 1 / du 2 dỡi 2 \ 2 VễX3 0X2' 1 /U3 du\\ 2 Vxi ễX3 / T hớ du 6. 5 Cho trng chuyn v Ê1 = X \ + AX*è, X2 = X 2 + AX$y... phng trỡnh liờn tc (6. 27) ta c dt (x I ớ lV j ^ - lVj \ ( ^ a > ^ h Vj l ^ phang trỡnh trờn dn n V hay l < M V Vỡ th tớch V tựy ý, nờn biu thc di du tớch phn bng khụng suy ra: I > 6 4 277 CC N H LUT c o B.N CA CHMTLT hay l d3' , IS dv) d ; + i = i u ' cỏc phng trỡnh ny gi l p h n g trỡnh chuyn dụng Nu gia tc bng khụng, t (6. 32) suy ra phcmg trỡnh cõn bng (6. 24) dựng rng rói trong c hc vt rn 4*... cỏc i lng va nờu vo cỏc h thc xỏc nh bin dng dn n 6. 2 TEN x o BIN DNG TEN x T c f) HI ẫN DANG 261 Thớ du 6. 7 i vỏi h ta cc 7\ 0 ), cỏc thnh phn tenx bin dng cú dng dr Thớ d 6. 8 i vi ta cu (r.d, ... ' th tớch (ô (64 6) Da vo nh lut Hooke (6. 45), t õyta thy mt nng lngbin dng l hm bc hai ca cỏc thnh phn bin dng w == - C i j mne i j e m n (6. 47) Do tớnh bt bin ca h thc (6. 45), (6. 47) i vi cỏch... thnh phn vt lý nh lut Hooke cú dng rr = XO -f* / i ^ r r , &00 *+2 / ớÊ , Gr0 Qy = G w ~~ ^ "è" ú = err -f Ê00 + = fe $ p } V> = 6. 6 C ỏ ch t bi to ỏ n c a lý t h u y t n hi 6. 6.1 B i to... = 0, (6. 50) 6. 6 CCH T B I TO N CA L í T H U Y T N HềI 291 b) nh lut Hooke ij = X06tJ + fjÊij, (6 51) c) h thc gia bin dng v chuyn dch ỡ / d u i d u j *o = ớ2(Vẩd irj + Sdx ) -