Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 6

C a học các môi trường liên tucCH ƯƠ N G VI Cơ học môi trường liên tục là một lảnh vực rộng lớn của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật rắn biến dạng, chất lòng và chất khí.. Phát tr

P h ầ n II

ứ n g d u n g phép tín h te n x ơ

t r o n g C ơ học và V â t lý

2 - 1 ]

C a học các môi trường liên tuc

CH ƯƠ N G VI

Cơ học môi trường liên tục là một lảnh vực rộng lớn của cơ học, nghiên cứu

chuyển động của vật rắn biến dạng, chất lòng và chất khí.

Cơ học lý thuyết nghiên cứu chuyển động của chất điểm, hộ các chất điểm rời rạc và vật rắn tuyệt đối Phát triển nhừng phương pháp và kết quả trong

cư lý thuyết , cơ học môi trường liên tục nghiên cứu chuyển động của các môi trường vật chất lấp đầy liên tục một mièn Iiào đáy hoặc toàn không gian,

khoảng cách giữa các điềm của chúng thay đổi trong quá trình chuyển động Ngoài những môi trirỏrng vật chất thông thường nêu trên, trong cơ học mỏi trường liên tục còn xét các môi trường đặc biệt là các trường: trường điện

từ, trường bức xạ, trọng trường v.v

Không gian chứa môi trường ờ dày ta hiểu là tập hợp nhừng điểm xác định hời những số mà ta gọi là tọa độ của nó Giẻ thiết rằng không gian liên tục, trong dỏ xác định khoảng cách giừa các điểm của Ĩ1Ó (không gian mêtric)

Ớ đây có thể lấy là không gian Euclide ba chiều thông thường, các điểm của

nó được hoàn toàn xác định nhờ hộ tọa độ Descartes vuông góc, còn thời gian xem là như nhau đối với mọi người quan sát (thời gian tuyệt đổi).

Để cho dề hiểu những khái niộrn ban đầu của ca học các môi trưnrng liên tục, trong chương này chù yếu sử (lụng tenxơ trong hộ tọa độ Descartes viết

các phương trình và hệ thức cơ bản; nhửng chỏ cần thiết sẽ nuV rộng cho hộ

tọa độ cong bất kỳ của không gian Euclide và chì giới hạn trong việc thiết lập

mô hình và cách đặt bài toán trong từng môi trường riêng.

Trirớc hết cũng cần chính xác hóa khái niệm đ i ể m , vì nó có th ể là điểm không gian, củng có thề là điểm của môi trường liên tục Để tránh Iihầni lẫn danh từ “điểm” dùng đổ chỉ vị trí trong không gian cổ định, còn p h ầ n t ử

hoặc h a t để chỉ vật chất chứa trong phán tố thể tích vô cùng nhỏ cùa môi tnrờng liên tục (chất điểm) đặt tại điểm đang xét.

243

6.1 N g h iê n c ứ u chuyển đông th e o L a g ra n g e và E u le r6.1.1 T o a độ L a g ra n g e và tọ a độ E u le r

Tại thời điểm t nào đấy, thể tích V của môi trường liên tục giới hạn bíVi mặt

5 chiếm miền D nào đáy của không gian Nếu trong một hệ tọa độ xác định,

ta chi ra sự tương ứng giửa các phần tử của thể tích môi trường liên tục với

các điểm của không gian do chúng chiếm chỗ tại thời điểm ty thì ta nói rằng tại thời điểm đó đả biết hình thái (hoặc cấu hỉnh) cùa môi trường liên tục.

B iến dang là sự thay dổi hình dạng cùa môi trường từ hình thái ban dầu nào đấy (chưa biến dạng) đến hình thái tiếp theo (biến dạng) Nghiên cứu

biến dạng ta không cần lưu ý các hình thái trung gian; nhưng nghiên cứu sụ

chày (trạng thái chuyển động lièn tục của môi trường) phải chú ý đến quá

trình thay đổi hình thái.

Để cho thuận tiện ta đặt hình thái ban đầu và hình thái đang xét vào hai

hệ trục tọa độ khác nhau Tại hình thái ban dầu phần từ môi trường chiếm

điểm Po có bán kính vectơ trong hê toa đô Desc.art.es o x 1X2X3:

X = X x k ị + x 2k2 + x 3k3 = X i k u

các đại lượng ( X \ ÌX 2 , X 3 ) gọi là toa dô v â t chắt, chúng xác định tọa độ

của từng chất điểm riẽng của môi trường Tại hình thái biến dạng dang xét,

môi trường chiếm miền nào dấy của không gian, phần tử ớ điểm Po lúc dầu

O x ỵ x 2X3

X = * i e j + X2&2 + £3 6 3 = X i e M

các đ;ù lượng (X1,X2,X3) gọi là tọa độ không gian, chúng xác định vị trí tức

6 1 NGHIÉN n : V CHUYEN t J Ó N G THEO LAGKANGL VA Kl I I U

thai ciia phan tiV Verter

De cho dan gián ta gia thiet he toa do vát chal va he toa do khóng gian

có the dat trung góc Icn nhau, do dó các thánh phan cua u = x - X tren cúng

he toa do tính toan có dang

246 C hư ơng VI c ơ HỌC CÁ C MÒI T H Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C

X i xác định vị trí tại thời điểm t của phần tử tương ứng với điềm X ị y X v i X 3

tại thời điểm ban đầu Hệ thức trên xác định sự tương ứng giữa các điểm của hình thái ban đầu và vị trí của chúng (V hình thái tiếp sau Cách mô tà chuyển

động như vậy gọi là mô tả theo Lagrange, các biến X \ , X' 2 ,X:ị đặc trưng từng

phần từ riêng cùa môi trường và thời gian t gọi là hiến Lagrange Nếu

X ị , X 2 , X 3 cố định, t thay đổi, thì (6.2) cho quy luật chuyển động của một

phần tử xác định Nếu X \ , X 2 yX^ thay đổi, còn t, cố định, thì (6.2) cho sự

phân bố các phần tử môi trường tại thời điểm đó; còn nếu X \ , Àr2, X3, t thay

đổi thì (6.2) xác định quy luật chuyền động của mói trường Giả thiết rằng các hàm trong hệ thức (6.2) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục, tại mỗi

thời điểm cố định t = const các hàm X i = Xị ( x 1, X2, X3, t) là hàm tương ứng

như các hàm liên tục đơn trị.

Tóm lại, mô tà chuyển động theo Lagrange dựa trên lịch sừ chuyển động của từng phần tử môi trường liên tục Bây giờ ta không quan tâm đến lịch sử chuyển động của từng phần tử riêng biệt, mà muốn biết, cái gì dà xảy ra tại một điểm không gian cho trước gắn liền với hệ tọa độ cố định tại các thời điểm khác nhau: tại điểm không gian đó các phần từ khác nhau của môi trường

chảv qua- thì đó là cách mô tà chuyển động theo quan điềm Euler Các tọa

độ không gian £1,22,23 và thời gian t gọi là biến Euier.

Sự khác nhau giữa hai quan điểm này thể hiện (V chỏ theo quan điểm Lagrange, chúng ta quan tâm đến quy luật thay đổi cùa cắc đại lượng đặc

trưng đối với phần tử cho trìĩớc của môi trường, còn theo quan điểm Euler

ta quan tâm đến quy luật thay đổi các đại lượng này tại một nơi cho trước,

về mặt toán học thề hiộn ờ các biến khác nhau (tọa độ vật chất hoặc tọa độ

không gian); các biến này có thể chuyển cho nhau Công thức (6.3) chuyển từ biến Lagrange về biến Euler; nếu cố định Zi,X2,X3 hệ thức (6.3) chỉ ra nhìrng

phần tử ( X \ Ĩ X 2 1 X$) của môi trường đi qua điểm không gian cho trước tại

các thời điểm khác nhau.

6.1. NGHIÊN C ỨU CHUYỂN Đ Ộ N G T H E O LAGRANGE VÀ EULER 2*176.1.2 V â n tố c, gia tố c

Chuyển động và sự chày dùng đề mô tả sự t hay dổi tức thời hoặc liên tục cùa hình thái môi trường liên tục Có thể biểu thị chuyển động mói trường liên tục theo Lagrange (tọa độ vật chất)

X i = x i( X u X 2 ì X z ì t) hay là X = x (X ,t), hoặc theo Euler (tọa độ không gian).

X i = X ị ( x i , x 2 ,x$,t) , hay là X = X (x

,í)-Tốc độ thay đổi thời gian của đại lượng đặc trưng nào đấy của các phần tử

riềng biệt của mỏi trường chuyển động gọi là đạo hàm vật chất theo thời gian của dại lirạng đó (còn gọi là đạo hàm toàn phần), nó xem như tốc độ thay đổi

của đại lượng đang xét đirợc xác định bời người quan sát cùng chuyển động vói phần tử môi trirờng Đạo hàm vật chất theo thời gian của vị trí phần tử

X, gọi là vận tốc tức thời cùa nó

i " hay là v = “ ¡7 = x (6-4)

Mờ rộng cho đại lirạng bất kỳ đặc trưng cho tính chất của môi trường,

Nếu theo Lagrange

thì đạo hàm vật chất theo thời gian có dạng

248 Chư ơng VI. c o HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

(sổ hạng thứ nhất đặc trưng tốc độ thay đổi của dại lượng tại điểm không gian cố định, gọi là tốc độ địa phương; số hạng thứ hai gọi là tổc độ kéo theo (convective) do chuyển dộng của các phần từ trong trường thay đổi của đại lượng đả cho).

Trường vận tốc (6.4) có thể xác định qua vectơ chuyển dịch nhờ hệ thức (6.1) Ta có:

0.1. NGHIÊN C ỨU CH U YỂ N Đ Ô N G T H E O LAGRANGE VÀ EULER 249

v x = (X i + x 2 )et, v 2 = x 3(e‘ + c - ‘), Ü3 = 0;

#77/ '

Wi = ^ 7 '■ Wi = (^ 1 + ^ 2)ef, u>2 = - e- t ), u>3 = 0.

at

Thay các biểu thức cùa X i qua Xi vào các hệ thức trên ta nhận được các

thành phần của vận tốc và gia tốc theo Euler

= Xi + X 2 - x3(e* - e~£), V 2 = x3(ee 4- e~e), Ü3 = 0;

tơi = Xi + X 2 - x3(e* - e _ í), IÜ2 = Z3(e* - e_ í), IƯ3 = 0.

2 5 0 C hư ơng VI c o H Ọ C CÁC MÓI T R Ư Ờ N G LIÊN Tực

Ta CÓ thể dỗ dàng kiểm tra lại các biểu thức của gia tốc theo biến Euler bằng cách tính theo công thức

6.1. NGHIÊN CỨ U CHUYỂN Đ Ộ N G T H E O L A G R A N G E VÀ EULER 251

ậ i = o

ỡt

Trong chuyển động dừng, quỹ đạo và đường dòng trùng nhau.

T h í du 6.3 Cho trường vận tốc của môi trường

V \ = 4 X 2 , V 2 = - X i , V 3 = 0

Hãy xác định quy luật chuyển động của các phần tử môi trường biết rằng tại

t = 0, Xi = Xị Xác định quỹ đạo của các phần từ và đường dòng.

2 5 2 Chương VI. c o HỌC CẨC MỔ! TRƯỜNG LIÊN T ự c

từ hai phương trình đầu d ẳn đến

^ = 4 ^ = - 4 i , hay là £ £ > + 4x, = 0 Nghiệm của hệ phương trình có dạng

£*3-Cho thỏa mản điều kiện đầu t = 0, £1 = X i, £2 - A2, £3 — Xs dẫn đến

C\ = X \ , Ơ2 = 2^2> C3 = X z và quy luật chuyển động của mỏi trường

XỊ = X \ cos2 1 + 2X2sin 21,

£2 = — — sin 21 + X2 cos 2t,

M

£3 — Khử í ta được quỷ đạo chuyển động

^3-x \ + 4x 2 = -^1 + 4X | = const

£3 = ^ 3

là nhửng đường ellip nằm trên mặt phẳng X3 = const

Bây giờ xác định đường dòng t ừ các phương trình

t i J NGHIÊN C Ứ U CHUYỂN t ì Õ N G T H K O L AGR AN OE VÀ EU LER 253

2 5 4 Chương VI c ơ HỌC CẤC MÒI T R Ư Ờ N G LIÊN Tực

-= IỊJ [^ t+-ẳ;{VraiíXx't))}dV

V

Dùng công thức Gauss - Ostrogradsky (chương II) ta được

¿ ị J J Ị aij (x,t)dV = Ị Ị Ị ỡa^ ~ ^ dV + J J vpaij (x,t)dSp (6.8)

6 2 TEN XO BIẾN DẠNG TEN x o TÓC ĐỘ BIẾN DẠNG 2 5 5

và trong hình thái biến dạng bình phương khoảng cách P Q bằng

thay vào hai hệ thức trên dẫn đến

và

0 \ Ỡ X j Ở X j Ở X j d x ị Ỡ X ì Ở X j )

N ếu hộ trụ c tọ a độ O 11X 2 X 3 v à o x 1 X 2 X 3 là D escartes vuông góc đặt trù n g

được lên nhau, thì hệ thức thứ nhất của (6.1 1) và (6.12) cho ta

2 J 2 _ / d x t

~ \dx~k d X Ị ( duị duị d u t ỡtife\

2 5 6 Chương VI c ơ H Ọ C CÁC MỎI T R Ư Ờ N G U Ë N T Ụ C

chuyền dịch Tenxơ hạng hai đối xứng

1 / dxi ỠXj \ \ ( ỞUi du, dut Ế d u k \

0 2 TENXƠ BIỄN DANG TEN x o T Ó C ĐỘ BIỂN DANG 2 5 7

T hí du 6.4 Cho quy luật chuyền động của môi trường

x1 = X ie f + X2(ef - l )

x 2 = *2 + x 3(c' - e - ‘)

£3 = ^3 Hảy viết các thành phần của tenxơ biến dạng hửu hạn Green và Almansi Các thành phần của tenxơ biến dạng hửu hạn Green tính theo công thức (6.13)

7 1 1 = ị ( e 2t - 1) 712 = ị ( e 2t - e‘),

722 = ị { e { - l ) 2, 723 = ị ( e ' - e~‘),

733 = ^ (c ‘ - e _ t)2, 713 = 0

Để tính các thành phần của tenxơ biến dạng Almansi từ quy luật chuyển động

ta biểu điền ngược lại

713 = “ (e* - e_t)(l - e~t)e~t •

Ta có thể viết tenxơ biến dạng hửu hạn trong hê to a dô cong bất kỳ xuất phát từ hệ thức (6.12) Khi đó

2 5 8 C hư ơng VI c o HỌ C C Ả C MÔI T R Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C

ờ đây g( là hệ vectơ cơ sờ của hình thái ban đầu, ký hiệu Christoffel

tính theo tenxơ mêtric gij = g, gj của hình thái ban đầu Thế vào hệ thức đầu của (6.1 2) ta được kết quả (sắp đặt lại chỉ số):

d s2 - d sị = (V*u/ + V i u k + V/umV fcum)dX*dX'

Vậy

Tương tự như vậy:

ĩ i j - 2 + v j u» - VitimVjUm),

trong đó Ui là thành phần cùa vectơ chuyển dịch u trong hệ ca sỏr G x =

ờ hình thái biến dạng, còn Vi là đạo hàm hiệp biến củng tính trong hệ cơ Sừ

đó theo tenxơ mẽtric

Gịj = G ị • G j

6.2.2 T e n x ơ b iế n d a n g n h ồ

Nếu građiên cùa chuyển dịch là nhò, thì tenxơ biến dạng hữu hạn (6.13) và (6.14) sẽ đưa về te n x ơ b iến dạng nhỏ, trong đó bỏ qua số hạng tích của các građiên

23 = X 3 4- A X \ với A = const Tính tenxơ biến dạng nhò theo biến Lagrange

và biến Euler, so sánh hai tenxơ này khi A rất nhỏ.

Các thành phần chuyển vị theo biến Lagrange

2 6 0 Chương Vỉ c o HỌC CÁ C MÒI T R Ư Ờ N G LIÊN T ư c

Trong hệ toa đô cong bất kỳ tenxơ biến dạng nhò có dạng

trong đó dấu (*) để chì các thành phần vật lý, còn A l là hệ số Lamé của tọa

độ cong trực giao: Ai = y/gĩi

T h í dụ 6.6 Đối vói hệ tọa độ trụ (r,0 ,z) các thành phần vật lý của vectơ chuyển dịch ký hiệu là ur, Uớ,tÌ2ì tức là u\ — ur , u *2 = UQ, U3 = uz , còn các thành phần vật lý cùa tenxơ biến dạng e \ ì — £rr, e\r> — £ 0 Ờ, £33 = 6**1

£12 = e r ỡ , ¿23 = e 0 z> £31 = £ z r - Các hệ số Lamé có giá trị A1 = 1, A <1 = r

.43 = 1 Thay các đại lượng vừa nêu vào các hệ thức xác định biến dạng dần đến

6.2. T E N x o BIẾN DẠNG TEN x ơ T ố c f)ộ HI ÉN DAN G 261

T hí du 6.7 Đối vái hệ tọa độ cực Í7\ 0), các thành phàn tenxơ biến dạng có dạng

dr

T hí dụ 6.8 Đối với tọa độ cầu (r.d,<p) ký hiệu các thành phần của tenxơ

A '2 — rsunp, Az = r Từ các hệ thức chung ta nhận được biểu thức của

tenxơ biến dạng trong tọa độ cầu

Tenxơ biến dạng tuyến tính €ịj và ?ij là tenxcr đối xứng hạng hai, nên

có thể xác định hướng chính và giá trị chính (biến dạng chính) theo phương pháp đả trình bày trong mục 2.4 chương 2 Gọi e i , e2, e3 là giá trị chính cùa

£jj, chúng thỏa màn phương trình

Detịe ij - ỏ i j e ( a ) \ = 0

hay là

tenxơ biến dạng theo Lagrange, £'1 chính là hệ số dãn nớ thế tích Tương tự như vậy, ta tiến hành đối với tenxơ biến dạng Ẽij theo Euler.

Sau này ta đặc biệt lưu ý đến bất biến thứ hai của tenxơ lệch eij

^2 “ 2^e” e-7-7 ei j eij) —

vì

eu = £{ = 0

và gọi

r = 2y/s^ = (2etjetj ) 1//2 là c ư ờ n g độ biến cỉạng trư ợ t,

V 3 '3

các đại lượng này có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết dèo.

Nhờ tenxơ biến dạng nhỏ ta có thể biểu diẻn vectơ chuyển dịch tương đoi

6 2 T E N X O HIẾN DANG TENXO TÓC ĐỘ BIỂN DẠNG 2 6 3

Nếu tenxơ biến dạng €ịj đông nhất không, thì tại lân cận P q chuyển dịch tương đối là sự quay vò cùng nhỏ như cố thể

d u ị ~ b j ị j d \ j — CịịịỊÍú ị d \ k y

hay là du = ÙJ X í/x Vectơ u; gọi là v ectơ quay tu y ến tín h theo Lagrange

Tương tự như vậy đối với tenxơ quay và vectơ quay tuyến tính Euler.

6.2.3 Đ iều k iên t ư a n g th ích biến d ạ n g

Nếu c.ác thành phần biến dạng ẽịj cho dưới dạng hiển là các hàm của tọa độ, thì 6 phương trình độc lộp (6.16)

_ * í ^ Ui ^ uj

xem như là sáu phương t rình đạo hàm ricng để xác định ba thành phần chuyển dịch Ui. Nếu cho €ịj tùy ý thường không xác định dơn trị ut; vì vậy để có các thành phần chuyển địch liên tục, đơn trị các thành phần biến dạng phải

chịu ràng buộc nào đấy Đó là điều kiện tương thích biến dạng biểu diền dưới

dạng sau đây:

jmn d x j d x n d x ị d x m ÕXịdXm ÕXịdXn

Hệ này gôm 81 phương trình, nhưng do tính chất Riịmn = - Rjimn>

Riịmn = - R i j n m , Rijmn = Rmnij, nên chỉ có sáu phương trình độc lập, mà ta

quen gọi là phương trình tirơng thích Saint-Venant

t r i r ờ n g ờ h ì n h t h á i b a n c1n.il v à h ì n h t h á i ỉ í i r n l ỉ n n g đ o u l/ì t a p Inri) (1ir»ni rita

k h ô n g gian Euclide b a c h i ề u , n e n t c n x t r [{ị(>ni;inn - C h n M i ì l ỉ r ỉ l>ầĩi*ỉ k h o i i a •>

r ả h a i h ì n h t h á i V i r t l>ièu t h ứ c ( ủ a T r n x ư n ã y t a SUV r a «lieu t ail t ì m 1

I * ri ^ I i L' tư ĩrnxư xoáy dim; bang dạo hìim v;t T ( hất ÍỈH*<» thài gian rủa tenxơ quay Mivốn tính Kuler ỈI(/ thức trẽn có thr VH-Ì

ton xơ đẽij gọi lí» trnxư gia số hiến dang sừ (lụng rộng rãi trong lý thuyct

Ký hiệu Ưí và V; -h í/t>, là vận tốc của các piiìni từ mỏi trường tại điểm p

vả Q thì vận tốc cùa phần tir Q đổi v ứ i <1ir*n r bấng

rhuvốn (long tai lán cận p sẽ là .S'?r ỉ Ị u a y như vật rắn t-uyêt đối Nếu tenxơ

xoáy hhì\& khống tại moi điểm, thì trường vận tốc gọi là trư ờ n g không xoáy

VVct<r xác định bời Ỉ1Ộ thức

goi là vectcy x o á y vân tốc Nếu tại lan cận á'mn Iy chi có sự quay như cố

Đối vcri ?(‘11XƠ tốc độ biến dạng ẻi), thì các phần tử đường chéo là tốc độ

(1 III hrưng đổi của các đoạn vật chát dọc theo trục tọa độ, còn các phần tử

khác (V\c tnrng tốc độ tnrợt Mrr là tốc (lô thav đồi góc giừa các đoan vật chất

2 6 6 Chương VI. c o HOC CÁC MÒI TRƯỜNG LIÊN TỤC

6.3 T e n x ơ ứ n g s u ấ t

6.3.1 T ỉ khối L ực khối Lực m ặ t• « 4

Ta dưa vào khái niệm ti khối (mật độ khối lượng) tại lán cận điểm của mỏi

trường liên tục là tỉ số giữa khối lượng và thể tích Ký hiệu khối lượng của

tính), ta thường ký hiệu là K t (tương ứng một dơn vị khối lượng) hoặc Fi

(tương ứng một đơn vị thể tích); giữa chúng có liên hệ

pKị = Fị hay là pK = F

Các lực tác dụng lên phần tử mặt (mặt biên hoặc mặt ben trong nào đấy) gọi

là lự c măt; chẳng hạn lực tiếp xúc giữa các vật Ta thường ký hiệu bằng chữ T.

6.3.2 T e n x a ứ n g s u ấ t

Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại điểm p trong hình thái biến dạng,

chúng ta dùng phương pháp tiết diện Tướng tượng tách mỏi trường bời

mặt 5 đi qua điểm p Xét phần tử mặt A s chứa điểm p có pháp tuyến V

già thiết rằng lực của phần môi trường bên này mặt tác dụng lên phần bên

kia có thể đưa về lực tương đưcmg AT tại điểm p và ngầu lực AM Nguyên

gọi là v e c tơ ứ ng suất tác dụng tại điểm p trên tiết diện qua điểm này có

pháp tuyến V Vectơ ứng suất không nhửng phụ thuộc vào điểm, mà còn phụ thuộc vào hirớng của tiết diện qua điểm đó Nói chung nó không hướng theo

pháp tuyến vì vậy nó có thành Jỉhằn pháp tuyến và thành phần tiếp tuyến

Theo định luật phản tác dụng, ta có

T_„ = - T ị , tức là nếu lực tác dụng trên phàn tử mặt (IS của phần môi trường bên này mặt (IS lên phần bên kia bằng T ụdS thì lực của phần bên kia tác dụng sẽ là

p xác định trạng th á i ứng suất tại điềm đó Như ta sè thấy dể hoàn toàn

ĨĨ 1 Ô t ả t r ạ n g th á i ứ n g s u ấ t tại m ộ t điểm chì cần cho v e c tơ ứ n g s u ấ t t r ê n b a

tiết diện trực giao tại điểm đó, khi đó vectơ ứng suất tại tiết diện bất kỳ qua điểm đang xét biểu thị qua ba vectơ ứng suất này.

Hình 6.2

< - h ư ơ n g V / V < J H Ọ C C A e M O ! I H Ư Ờ N G LI KN 1 r e

Qua vậy ta rách tir<ViiR nr<mn một yếu tố tin'* rích moi tri rừng ờ lán ran điom I' clinVi dạng tử <iiộn ri\P¿P:i ró canh song song \(/i cae đưcmg toa

độ là PP\s rp> 2 ' P i \ i, còn mặt P\P' 2 p?> có hirởng V Gọi ứS là diện tích nia

/*1 Pop ’.\• thì diện tích của các mặt bòn sẽ là (iSt = f i s cos(i/, e t ) — dSi/ị: lực tác dụng lẻn mặt HS là T u(iS còn lực tác dụng 1ỎI1 các mặt bèn cùa tử (liên

là —T ,dSi Viết phương trinh cân bằng của các lire (ko cả lire khối) tác dụng

lèn tứ diện nãy

T vdS - Tị dSi - T 2d$2 - T 3dS3 + /'KrfV' = 0,

hay là

Cho khoảng cách tír p đốn Ỉ \ P ) I \ dần tới không sao cho hướng V không đổi

hệ thức trên cho ta (lion khầng định tren

Chín thành pliàn của các verra ứng suất T, lập thành tcnxtt hạn*Ị hai t»oi

là ten x ư ứng suất Các thành phần <71*,<7*221^33 RỌĨ là ứng suất pháp ron

các thành phần ơ ị 2 % <T\Si( 72 l>ơ 2 'ò<ơ 3 ì%ơx 2 gọi là *rnfi suất tirp.

Có thể viốt các thành phần này dưới dạng ma t rạn sau

Ơ21 Ơ22 <T2ì

<?31 0*32 'r33 Đặt (6.20) vào (6.19) ta đirợc

suy ra các thành phần cùa

IriỉXíT irng suất tell 'lum Ị* <1n

ili.ix vào tọa đô diổin p

x*u ill 11 li t ir biôu thửr rua ơịj bằng cách

- 2 \

_ 0 0 2 ì

vcctư |)háp tuyến đrni vi 1MU1 tiết diện đi qua r

Theo cóng thức (0.12) xác định vocta ữiiỊỊ suất

Tổng quát han, ta xót tenxor ứng suất trong hê tọa đô cong vori cár vectơ

ccy sờ G, Khi đó các mặt hôn của tứ diên sò có pháp tuyến inránjr thro verter G* (chẳng hạn tiết diện P P 2 P3 dura Gj G.Ỉ nõn pháp tuvcn của nó SP hirórng

270 Chương VI c ơ HỌC CẢC MÓI T R Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C

với vectơ T ' = ơ J i G j , mà theo công thức (6.21) nó có dạng (thay V bằng v ' )

Mặt khác ta có thể phân tích vectơ T i theo các vectơ cơ sờ đơn vị

T ' = ơ mji Gj ■

• y / à ĩ i '

thức vừa nhận được suy ra

Tổng các lực khối và lực mặt biểu thị bời hệ thức tích phân:

JJT"dS+IJJ

-r f p K d V = 0.

V

Do thể tích V lấy tùy ý, suy ra eijkơjk = 0 Công thức này cho ta các đẳng

thức ơ\2 = Ơ21, Ơ23 = ^32 và Ơ13 = Ơ31 hay là

Ơ IJ — ơ ị i

-272 Chương VI c ơ HỌC CÁC MÒI T R Ư Ờ N G LIÈN Tực

Vậy tenxơ ứng suất là tenxor (lối xứng hạng hai Do tính đối xứng, nèn

ta có thể dùng phương pháp đả trình bày trong muc 2.4 chương 2 để xác định hướng chính và giá trị chính (ứng suất chính) của tenxa ứng suất Gọi

Ơ1,Ơ2,Ơ3 là ứng suất chính, chúng là nghiệm của phương trình

là các bất biến của tenxơ ứng suất.

Đưa vào dại lượng ơ = 7 J\ = - ơ ỵ là ứng suất pháp trung binh, ta phân tích tenxơ ứng suất thành tenxơ lệch Sịj và tenxơ cầu ơỗịj

ơij = Sìj -f* ơ 6 ịj )

trong đó Sịj = ơij - ơỏij.

Đặc biệt chú ý đến bất biến thứ hai của tenxơ lệch

vì Su = 0 và đưa vào đại lượng

rr,r

gọi là cư ờ n g dộ ứng suất tiếp và đại lượng ơu = V 371 là cư ờ n g dỏ ứng

su ất, các đại lượng này có ý nghĩa quan trọng sau này.

6.4 C ác đ inh lu ậ t cơ bản c ủ a cơ hoc m ôi tr ư ờ n g

liên tụ c

6.4.1 B ảo t o à n khối lượng P h ư ơ n g t r ì n h liên tụ c

Mọi môi trường vật chất đều có tính chất cơ bản là khối lượng Khối lượng tổng cộng của phần nào đấy của môi trường liên tục chiếm thể tích không

O A CẤC Đ I N H LU ẬT C ơ BẢN CỦA CHMTLT 2 7 3

gian V tại thời điểm t biểu thị íiirới dạng

771 — p ( x %t)dVt (6.26)

trong đó p ( x ,t ) là hầm liên tục của tọa độ gọi là tỉ khối.

Đ inh luât Định luật bảo toàn khói luợnq khẳng định rằng, khối lương của

phần môi trường tách ra giủ nguyên không đồi trong suốt quá trình chuyển động.

Do đó đạo hàm vật chất cùa biểu thức khối lượng bằng không, áp dụng công thức (6.8) vào (6.26) ta được

Thổ tích V chọn tùy ý, từ đây suy ra biểu thức dưới dấu tích phản bằng

(6.28) hay là

^ + div(pv) = 0.

2 7 4 Chương VI c ơ HỌ C CÁC MỎI T R Ư Ờ N G LIÊN Tực

Trong hệ tọa độ cong bất kỳ phương trình (6.27) có dạng

{ , + ^ ^ [ ẳ (r2sin'íw‘) + ẳ (r2si"»’',2)+è (r2sto,™3)] = 0

Biểu diễn qua các thành phần vật lý ta có

6.4. CÁ C ĐỊ N H L U Ậ T c o BẨN CỦA CHMTLT 275

hàm s(x,<) gọi là th ế v e c tơ của vận tốc V

Phương trình liên tục củng có thể biết dưới dạng biến Lagrange Do điều kiện bào toàn khối lượng, ta phải có

/ / / />o(X,0)dV 0 = Ị Ị Ị p{x,t)dV,

ờ đây cả hai tích phân lấy theo cùng những phần tử mỏi trường; nói cách

khác V là thể tích chứa các phần tử môi trường mà ờ thời điểm t = 0 chúng chiếm thể tích Vo- Dùng (6.2) và hệ thức dV = J d\ 0 ta biến đổi hệ thức trên

Phương trình (6.29) gọi là phư ơng trình liên tụ c th e o Lagrange.

6.4.2 Đ in h lý b iế n th iê n đ ộ n g lư ơ n g P h ư ơ n g t r ì n h ch u y ển

đ ộ n g P h ư ơ n g t r ì n h c â n b ằ n g

Giả sừ tại thời điểm í, xét thể tích V mỏi trường liên tục chuyển dộng, giới

hạn bới mặt 5 Trong toàn thể tích xác định trường vận tốc V và chịu tác

dụng của lực khối f)K , còn trên biên mặt s tại mổi phần từ vô cùng nhỏ chịu

tác dụng của vectơ ứng suất TV Động lượng tổng cộng của khối lượng mỏi

trường chứa trong V bằng

Q (t) = J J J p v d V hay là Qi(t) = J J Ị pVịdV.

Đ inh lý v ề đ ô n g lư ơ n g Biến thiên động lượng theo thời gian của miền

nào đấy của môi trường bằng tổng lục tác dụng lên mièn dó

2 7 6 C h ư ơ n g VI c o HỌC CẢC MÓI T R Ư Ờ N G LIÊN Tực

Viết một cách tường minh phương trình chuyển động trong hê tọa độ Descartes

Trong hê tọ a dô cong bất kỳ, dể nhận được phương trình chuyển động,

ta chl cần lưu ý khi biến đổi tích phân mặt thành tích phản khối

2 7 8 C h u ơ n g VI c ơ HỌC CẢC MỎI T R Ư Ờ N G LIÊN T Ụ C

Hệ tọa độ cong thường dùng là hệ tọa độ cực, tọa độ trụ và tọa độ cầu Dùng công thức (6.33) cho các thành phần vật lý ta viết phương trình chuyển động (6.33) trong các hệ tọa độ trên như sau:

-— 7- + — 7 -3 3 - + + (2ơrr - Ơ00 - - ơrv,ctg(^) 4- pKr = pwr ,

a ? + ĩ ử ĩ m + r e ? + r r0 + 2° ™ ctsv> + p K ° =

+ — r— + 1Ể Ĩ2Í + - [(ơw - ff»)ctgv> + 3<rrvJ + pA V = *mi„ •

6.4.3 Đ ịn h lý b iế n t h iê n m ô m e n đ ộ n g lư ơ n g

Theo định nghĩa, mômen động lượng của phần môi trường chuyển động chứa

M CÁC ĐỊ NH LU ẬT r o BẢN CỦA CH MT LT 2 7 9

Dinh lý Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng rủa phần mói trường

rhứa trong thế tích V tùy ý đối với điểm bất kỳ bằng mômcn chính (củng đối vơi điềm dó) của lực khối và lực mặt tác dụng lên phần môi trường đó

F*hưang trình này không cho ta một phương trình vi phân mới Quả vậy,

thay TyịỊ = ơ k i V ị , dùng còng thức Gauss - Ostrogradsky biến dổi tích phản mặt thành tích phân khối và dùng kết quà (6.27), (6.32), phương trình trên

6.4.4 B ảo t o à n n ă n g lư ơ n g Đ ịn h lu â t t h ứ n h ấ t c ủ a n h iệ t đông

lưc hoc P h ư ơ n g t r ì n h n ă n g lư ơ n g

Nếu chi xét các dại lượng ca học, thì định luật bảo toàn nàng lượng cơ học

của thể tích môi trường liên tục có thể suy được từ phương trình chuyển động (6.32) Quả vạy, nhân hai vế (6.32) với V j rồi tích phân theo thể tích V ta

2 8 0 Chương VI. c ơ H Ọ C C Á C M Ò I T R Ư Ờ N G L IÊ N T Ụ C

dùng còng thức Gauss - Ostrogradsky biến đổi tích phản thứ nhất ở vế phải

Thay thế các kết quả nhận được vào phương trình trên cho ta

ỏ w

Tích phản bên vế trái biểu thị tốc độ thay đổi năng lượng trong cơ học

(đại lượng này lấy dấu trừ gọi là công của lực mặt trong trên một đơn vị thời gian), còn vế phải là cỏng suất của lực mặt ngoài và lực khối (còng trên một

(6*35)

ờ đây dấu ổ chỉ ra rằng gia số tương ứng không phải là vi phán đúng của hàm

nào đấy Vế trái cho ta tốc độ thay đổi của năng lượng ca học toàn phần của môi trường.

Nếu ngoài năng lưạng cơ học, còn tính đến các dạng khác của năng lượng, thì định luật bảo toàn nàng lượng phát biểu như sau:

Đ inh luât bảo to à n năng lư an g Tốc độ biến thiên theo thời gian của

động năng và năng lượng trong bằng tổng công suất cơ học của lục ngoài và các dònq năng lượng khác trên một đơn vị thời gian.

Dòng năng lượng có thể là nhiệt năng, năng lượng hóa học, năng lượng

điện từ v.v Sau đây ta chỉ tính đến năng lượng cơ học và năng lượng nhiệt,

phương trình năng lượng khi đó là định luật thứ nhất của nhiệt động học.

Đối với môi trường có tính chắt cơ - nhiệt, tốc độ thay đổi của năng lượng

trong Ư có dạng

ri Ị CÁC Đ ỊN H L U Ậ T c o B Ả N C Ù A C H M T L T 281

trong dó u gọi là năng lượng troiiị) riêng Già sử vectơ Cj dặc trưng dồng

nhiệt qua một đơn vị diện tích trong một đcrn VỊ thời gian do truyền nhiệt và

b là bức xạ nhiệt khỏng đổi trên một đorn vị khối lượng trong một đơn vị thời

gian Khi đó dòng nhiệt vào môi trường bằng

Dùng công thức Gauss - Ostrogradsky dề biến đổi tích phản mặt về tích phân

khối và do thể tích V tùy ý, ta đi đến phương trinh năng lĩtựng tại tùng điểm