Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 10

CHƯƠNG X Lý thuyết trường Sự tương tác giừa các hạt với nhau có thể mó tả bằng khái niệm trư ờ n g lưc. Thay cho cách phát biểu hạt này tác dụng lên hạt kia, ta có thế nói hạt tạo ra quanh nó một trường; bất kỳ hạt nào khác nằm trong trường này củng chịu tác dụng bời một lực nào đẫy. Trong cơ học cổ điển, trường chi là một cách mô tả hiện tượng vật lý về sự tương tác giữa các hạt. Nhờ vận tổc truyền tương tác là giói nội, nên trong lý thuyết tương đối đà có thay đổi cơ bản. Việc thay đổi vị trí của một hạt nào dó ảnh hường đến các hạt khác chỉ sau một khoảng thời gian nào dó. Điều này có nghĩa là, bàn thân trường củng trờ thành một thực thể vật lý. Ta không thể nói về tương tác trực tiếp giữa các hạt ờ cách xa nhau; tại mỗi thời điểm tương tác chi xảy ra giữa các hạt ờ các điểm gần nhau, vì vậy ta nói tương tác của mỏi hạt với trường và tương tác tiếp theo của trường với hạt khác. Chúng ta sẽ xét hai loại trường: trường điện từ (như đà nêu trong mục 8.4 chương VIII) và trường hấp dẫn (hay trọng trirờng). T ất nhiên cả hai trường hạp củng chỉ giới hạn ớ các phương trình cơ bàn có sử dụng đến phép tính tenxơ. 10.1 H a t tích điên tro n g tr ư ờ n g điên từ . t r ư ờ n g điện t ừ Tenxơ Để nghiên cứu tương tác của các hạt với trường điện từ, trong cơ học tương đối người ta đưa vào khái niệm h ạt cơ bản . Các hạt phải xem như điểm, không có kích thirớc giới nội, trạng thái cơ học của nó hoàn toàn đặc trưng bởi ba tọa độ và ba thành phần vận tốc chuyển động của nó (vì lý thuyết tương đối chỉ ra không có khả năng tồn tại vật rắn tuyệt đối). Hạt tích điện ờ trong trường không nhừng chịu tác dụng của trường, mà 421 422 C hư ơ ng X. L Ý T H U Y Ế T THƯ Ờ NG bản thân nó còn ảnh hưíVng đến trường. Nhưng nếu điện tích e không lớn, thì có thể bỏ qua tác clụng của nó với trường. Trong trường hợp này xét chuyển động trong trường cho trước, có thể xem bản thân trường không phụ thuộc vị trí và vận tốc của hạt tích điện. B ây giờ dể viết phương trình chuyển động của hạt tích điện trong trường điện từ cho trước, ta xác định lực của trường điện từ tác dụng lên hạt tích điện. G iả sử xét trường điện từ trong hệ quy chiếu quán tính K nào đấy với vectơ cường độ điện trường E và vectơ cường độ từ trường H . Hạt tích điện e chuyển động với vận tốc V trong trường dó nó chịu một lực tác theo quy luật Lorentz F = e E + e(v X B ), trong dó B = ạoịiH là vectơ từ cảm. Nếu trường trong chân khóng thì B = /¿oH, fiQ là độ từ thầm tỷ đối của chân không (xem còng thức (8.25) mục 8,4 chương V III). Theo lý thuyết tương đối, quy luật này đủng trong hệ quán tính bất kỳ. Thay F vào phương trình tương đối của chuyển động (9.27) ta được - p = e E + e (v X B ). at (10*1) Giả sử hạt tích điện có khối lượng m (thay dổi theo (9.28)), phương trình chuyển động trên có dạng -j-(m v) = e E 4- e(v X B ). dt (10.2) Nếu vận tốc V nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng u< c,xung lượng p sẽ gần đúng bằng biểu thức cổ điển rav (m không đổi),phương trình chuyển động đưa về dạng dv m — = eE 4- e(v X B). Dùng công thức (8.26), (8.27) mục 8.4 chương V III biểu thị E và B qua thế vectơ A và thế vô hướng V B = rot A : đưa phương trình (10.2) về dạng ỚA E = — ------građ V dt (10.3) 10 .ỉ. 4 23 H A T T ÍC H Đ IỆ N T R O N G T R r Ở N G Đ IỆ N TỨ Như đả biốt, phương trình (10 .1), (10.2) khóng bất biến dối với phép biến đổi Lorontz (tức là phép biến đổi chuyển từ hệ quán tính nàysang hệ quán tính khác), do đó ta cầnthiết lập phương trình trong không thời gian 4 chiều . Sừ dụng phương trìnli nằng lượng (9.29) vào đây, ta được y - ( m c 2) = F • V = ỊeE f e (v X B )] • V = e E • V , (vì (v X B) • V = 0), hay là d(rnc2) = cE • dr = e ( E \d y l + E'idy 2 4- E ^ d i/) . (10-4) Phương trình (10.2) viết dưới dạng thành phần trong hệ tọa độ Descartes ^ ( m n ! ) = e(E i + v2B 3 - V3B 2), ■j-(mv2) = e{E 2 + vz B i - v l B 3), at _ ( 7 7 W3) — e(E $ 4- V1B 2' - v 2B \ ), at hay là d ( m v l c) “ e(E ịcdt + cB$dy 2 - c B 2 (ỉy3)> d (m v 2 c) = e(E ‘2 C[...]... ta nhn c cỏc phng trỡnh (10 2 1), (10. 24), (10. 25) trong h ta cong cú dng sau VfcF- + V i F j k + VjFfci = 0, (10. 25) = ~ ~ j\ C0 r v - v#( - V *, - g (10. 26) - Đ (10. 27) Trong khụng giari Minkowsky cỏc o hm hip bin trựng vi o hm riờng, vỡ trong h ta trc chun ú tt c cỏc ký hiu Christoớel u bng khụng Chỳ ý rng, do tớnh cht phn i xng ca F ij trong h ta bt k, cỏc s hng ca (10. 25) cú cha ký hiu Christoffel... phn bin, nú ỳng trong h ny thỡ cng ỳng trong h khỏc Túm li ta chng minh c lý thuyt tng i m bo tnh bt bin ca cỏc phng trỡnh Maxwell (10 2 1) v (10. 24), tc l tớnh bt bin ca cỏc quy lut in dng lc hc T cỏc phng trỡnh ny, ta thy li nh lut bo ton in tớch (10 16 ) l h qu ca phng trỡnh Maxwell (10. 24) Qu vy t (10. 24) v t tớnh cht phn i xng ca F 'J suy ra 1 4 = 0 dxk Cng nh vy, t phng trỡnh (10 21) suy ra... [ e + (v X B ) , Êo trong ú /?e l m t d din tớch, cũn V l võn tc chuyn ng ca nú Bõy gi tớnh cỏc biu thc (10. 29) (10 31) V J I J ear w V V = - ~ 0 I I I E + (v X B )}pedV (10. 32) V Vỡ prd V l in tớch cha trong phõn t th tớch d V , nn E ped V l lc din trng tỏc dng ln in tớch ú, nờn v phi (10 3 1) biu th cụng sut do trng in t sn ra trờn cỏc ht mang in trong th tớch V Trong h thc (10 3 1) du tr biu th... dn trong min nh, sao cho trong min ny cú th xem trng l ng nht V y trong lỏn cn nh ca im ta cú th tr li tỡnh th cú trong lý thuyt tng i hp Vỡ l ú, ta xem ta Galilei a phng x x l )x 2 yx 3 nh cỏc i lng vt lý c t , y l yy 2 >yz trong h quỏn tớnh no y (iu khỏc trc l ch s dng trong min gii ni ca khụng thi gian), ta gi dú l h quỏn tớnh a phng Khi ú ta cú th gn vo y cỏc tớnh cht ó bit ca h quỏn tớnh trong. .. ỳng trong c hc tng i Do dú vn cú s tng ng gia cỏc trng hp ln vi cỏc h quy chiu khụng quỏn tớnh trong thuyt tng di Lý thuyt cỏc trng hp dn da trờn lý thuyt tng i gi l Lý thuyt Utng i rng 10. 6 441 HèNH HC RI EM ANN C A KH ễ N G THI GIAN hay L ý thuyt trunq hp dn tng i tnh Einstein xõy dng nú hon ton bng suy lun, sau ny c xỏc nhn hng quan sỏt thiờn vn í ngha ca hai loi lý thuyt tng i (hp v rng) trong. .. lut nv trong ta Galilei cú 10. 9 447 P H N G T H èN H E IN S T E IN C I A 1 R N G H r D N d n g (9.11) =0 ( i j = 0,1,2,3), (10. 39) cũn tro n g h t a b t k, t a cú v / r j = 0 (10. 40) Trong thuyt tng i rng ta t ngay iu kin di dng bt bin (10. 40) lờn tenx T J T t nhiờn, tro n g t a Gaiilei a p h n g t a li t r v d n g (10. 39), tc l iu kin t lờn TlJ chớnh l nh lut bo ton nng xung lng Trong. .. (10 d2r h2 ... trỡnh (10. 7) cho d ta c 2du'1 _= e t?, j U iJ moc d ( 10 10) hoc vit di dng khỏc bng cỏch nõng h ch s ( 10 11) 10. 2 T h chiu Vect m t dũng chiu 10 T h c h i u Chỳng ta vit cỏc h thng (10. 3)... ta nhn c cỏc phng trỡnh (10 1), (10. 24), (10. 25) h ta cong cú dng sau VfcF- + V i F j k + VjFfci = 0, (10. 25) = ~ ~ j C0 r v - v#( - V *, - g (10. 26) - Đ (10. 27) Trong khụng giari Minkowsky... = + m u h? (10. 60) P h a n g t r ỡn h (10. GO) cựn g vi p h n g trỡn h (10. 55) - ds L r2 (10. 61) xỏc nh qu o c a vt C ú th so sỏ n h h hai p h n g trỡn h ny (10. 60), (10. 61) vi h p