Đ ả y lă đ iều k h â c c ăn bản với tr ư ờ n g điện t ừ . P h ư ơ n g tr ìn h t r ư ờ n g d iện t ừ ( p h ư ơ n g t r ì n h M axwell) chi ch ứ a p h ư ơ n g tr ìn h b ả o t o ă n điện tíc h to ă n p h ầ n ( p h ư ơ n g t r ì n h liín tụ c ) c h ứ khô n g c h ứ a p h ư ơ n g t r ì n h chuyển độ n g c ủ a b ả n t h đ n câc đ iện tích. Vì vậy, có th ể cho s ự p h đ n b ố v ă chuyển động c ủ a câc đ iệ n tíc h m ộ t câch tù y ý m iín lă điện tích to ă n p h ầ n k h ô n g đổi. Khi đ ó nhờ
p h ư ơ n g t r ì n h M axw ell x â c định đượ c t r ư ờ n g điện t ừ g đy r a bửi s ự p h ả n bố đ iện tíc h đó.
Đổ x â c đ ịn h h o ă n to ă n s ự p h ả n b ố v ă c h u y ển d ộ n g c ủ a v ậ t c h ấ t tro n g t r ư ờ n g h ấ p d ẫ n , c ù n g với p h ư ơ n g tr ìn h E in s te in p h ả i có th í m p h ư ơ n g trìn h t r ạ n g t h â i c ủ a v ậ t c h ấ t, tứ c lă p h ư ơ n g tr ìn h liín h ệ g iừ a m ậ t độ v ă â p su ấ t.
P h ư ơ n g t r ì n h t r ư ờ n g h ấp d ầ n E in stein k h ô n g t u y ế n tín h . Vì vậy đối với c âc t r ư ờ n g h ấ p d ầ n k h ô n g th ỏ a m ăn n g u y ín lv c ộ n g tu y ố n , điều n ă y củng k h â c với t r ư ờ n g điện t ừ tro n g th u y ế t t ư ơ n g đối hẹp.
B ố n t ọ a đ ộ X* có t h ể biến dổi tù y ý, do đó với p h ĩ p biến đổi n ă y có th ề c h ọ n t ù y ý 4 t r o n g 10 t h ă n h p h ần của Qiy V ậy chì có 6 h ă m độc lập c h ư a biết t r o n g c â c đ ại lư ợ n g Qij. T iế p đến 4 t h ă n h p h ầ n c ủ a v ậ n tốc 4 chiều u* th a m g ia t r o n g t e n x ơ n ă n g x u n g lư ợ n g của v ậ t c h ấ t chỉ có b a t h ă n h p h ầ n độc lập, vì có hệ t h ứ c UịU1 = 1. T ó m lại, t a có 10 p h ư ơ n g t r ì n h E in s te in (10.41) de x â c đ ịn h 10 ẩn p hải tìm : 6 th ă n h p h ần Qij, 3 t h ă n h p h ầ n u' vă m ậ t độ vật c h ấ t.
T r o n g c h đ n k h ô n g Tịj = 0 v ă câc p h ư ơ n g tr ìn h t r ư ờ n g h ấ p d ẫ n d ư a đốn
Rij = 0. N h ớ r ằ n g điều năy không cỏ n g h ĩa k h ô n g t h ờ i g ia n c h đ n khô n g lă p h ầ n g . Vì điều kiện p h ằ n g đòi hỏi phải t h ỏ a m đ n t e n x ơ R ie m a n n - Christoffel b ằ n g k h ô n g
Vjmn = 0.
1 0 . 9 . 2 T r ư ờ n g h ấ p d ẫ n t ĩ n h đ ố i x ứ n g c ầ u
B đ y g iờ t a x â c đ ịn h n ghiệm của p h ư ơ n g tr ìn h E in s te in đối với t r ư ờ n g hấp d ẫ n g ả y ra b ờ i khối lư ơ n g h ấ p d a n lớn n h ư m ặ t tr ờ i c h ẳ n g h ạn , t r ư ờ n g năy có t í n h dối x ứ n g cầu.
T h e o E in s te in đối với tr ư ờ n g h ấ p d ẫ n t a có câc h ă m t h ế h ấ p d ẫ n Qij th ỏ a m ê n p h ư ơ n g t r ì n h t r o n g ch đn không
- x T ‘ = R) - lỏ)R = 0.
] ] 2 J
C u ộ n th e o hai chi số i , j d ẫ n đến /? — - 1/? = 0 su y r a R = 0; tiếp đến ha chi số c h o t a
10.9. P H Ư Ơ N G TR ÌN H EINSTEIN o r A T R I r(XN'; WAV UẢN 451
Do tín h dối x ứ n g c ù a Rij, h ệ (10.15) lă hí; ìmrìri phưorng t r ì n h vi p h đ n phi tu y ến đổ xâc đ ịn h m ư ờ i h ă m t hố h ấ p d ầ n ( Ị , J . Để n h ậ n đ ư ợ c n g h iệ m tr o n g tr ư ờ n g h ợ p n ă y t a s ử d ụ n g tín h c h ấ t củ a trirừ n g h ấ p d ầ n N e w to n v ă d ạ n g nghiệm tr o n g c a học cổ điển.
Lấy h ệ t ọ a độ t í n h to â n lă hệ, m ă ờ k h o ản g câch x a với khối lư ự n g h ấ p d ẫ n hệ t r ờ t h ă n h hệ t ọ a độ cầu th ô n g th ư ờ n g . Xgoăi r a vì t r ư ờ n g đối x ứ n g cầu vă độ do c ủ a k h ô n g gian đ ư ợ c xâc định bời t r ư ờ n g , n í n t e n x ơ m e tr ic Ọij
phải đối x ứ n g cầu. T h e o đó tọ a độ tạ i câc điềm câch x a t đ m h ú t có d ạ n g
X 1 = 7\ X2 = ớ, X3 = i p) aj° = t
tro n g đó r , ớ, V? - lă t ọ a độ cầu th ô n g th ư ờ n g .
Q uỳ đ ạ o c ủ a câc p h ầ n t ử ờ xa t đ m h ú t phải lă đ ư ờ n g t h ẳ n g , s a o cho t e n x ơ R ie m a n n - C h risto ffel R j kỊ = 0. T a viết biểu th ứ c c ủ a k h o â n g câch k h ô n g -
t h ờ i g i a n ờ d ạ n g g i ớ i h ạ n c ủ a n ó
ds2 = (d t Ý — (dr) 2 - r 2 sin2 ip(dO)2 - r2(d</?)2, (10.46)
ờ đđy t a lấy đ ơ n vị m ớ i để cho v ậ n tốc â n h sâng c b ằn g m ộ t đ ơ n vị. C ò n khi có t r ư ờ n g h ấ p d ẫ n đối x ứ n g c ầ u t a lấy