Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 8

CHƯƠNG VIII Điện học a ■ Trong chương này trình bày ứng dụng phép tính tenxơ vào lý thuyết điện học, giới hạn ờ nhừng hệ thức cơ bản nhất. Công cụ chủ yếu ờ đây là giải tích vectơ, nên các hệ thức được viết dưới dạng vecta. Để sử dụng cho hệ tọa độ cong bất kỳ, bên cạnh các hệ thức đó ta viết cách biểu diễn tenxơ (hạng nhất). Các đại lượng điện từ xem như được biểu thị trong hệ đơn vị hợp pháp (SI). Đó là hộ đo lường hợp pháp (V nước ta - hệ M K SA hạp lý hóa gồm 4 đơn vị cơ bàn là kg, mét, giảy và đơn vị đo cường độ diện là ampe. 8.1 8 .1.1 T rư ờ n g tĩn h điện V e c t ơ c ư ờ n g đ ô đ iên tr ư ờ n g Chúng ta xét đặc trưng tương tác giữa các hạt tĩnh điện đứng yên tương đối trong một hộ quy chiếu quán tính 1 . Theo thuyết tác dụng gần, không gian xung quanh mỗi điện tích xuất hiện một dạng đặc biệt của vật chát gọi lồ điện trường. Thông qua điện trường các lực tĩnh điện truyền từ điện tích này sang điện tích khác. Một tính chất cơ bản của điện trường là mọi điện tích dặt trong điện trường đều bị điện trường tác dụng lực. Kực tác dụng tuân theo định luật Coulomb quen thuộc eọ€ 4neor 2 £ r trong đó e là điện tích gây ra diện trường, eo là điện tích chịu trường tác dụng, r là khoảng cách giữa hai diện tích, còn £o là hằng sổ điện môi của chán 1 H ệ q u y c h iế u q u á n t í n h là h ệ, tro n g đ ó c h u y ề n đ ộ n g t ự d o c ủ a h ạ t (k h ô n g ch ịu t á c d ụ n g lự c ) x ả y r a đ a n g iả n n h ấ t d ư ớ i d ạ n g th ẳ n g đ ề u . 371 37 2 Chương VIII. i)IỆN HỌC không. Nếu điện tích nằm trong môi trường vật chất thì lực Coulomb nhỏ đi £ lần. Hằng số £ gọi là hằng số điện môi cùa môi trường F = 1 eoe r 4 tt£q£ r 2 r F er Vectơ E = — = — ——r không phụ thuộc diện tích eo ưià chỉ phụ thuộc vào eo 4neoerổ vị trí của điểm đặt điện tích eo, gọi là vectơ cường độ điện truờng. Theo nguyên lý chồng chất điện trường, vectơ cường độ điện trường cùa một hệ điện tích bằng N E= T ~ ~3r°' Nếu điện tích phân bố liên tục (vật tích điện) với mật độ điện tích cường độ điện trường bằng Pc E - l111 ị l ĩ ỉĩ ắ ^ , dv- thì vectơ (81> V Đirờng sức là đường tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với vectơ cường độ điện trường. T a có phương trình đường sức (hình 8.1) £ = ae dt hay là dĩ} J = \E* = XgijEjt dí J 3 8 . 1 .2 P h ư ơ n g t r ìn h M a x w e ll tr o n g t ĩn h đ iệ n Đ in h lý . Thông lượng điện trường (dòng vcctơ cường độ điện tl'uàng) qua m ặt kín bất kỳ bằng tổng các điện tích nằm trong mặt dó chia cho £q£ Ị Ị E • dS = I I E y d S = — J J Ị Pedv , 5 V 5 trong đó dS = ư d S , y i là thành phần của vectơ pháp tuyến mặt s . Dùng phép biến đổi tích phân ta được í í V í ^ - i t ^ ^ Ị V ị l ^ - ỉ t y - 0' 8.1. 373 T R Ư Ờ N G TỈNH ĐIỆN (trong trường hợp tổng quát có thề lấy hệ tọa (1ộ cong bất kỳ x %). Kết quả trên đúng với mọi mặt 5 , từ đày suy ra tai mỗi điểm của không gian div E = — £ q£ hay là g,jV>Ẽj = = — , S qS (8.2) trong đó V , ký hiệu đạo hàm hiệp biến theo biến X1. B ảy giờ ta xét định lý về lưu số của vectơ cường độ điện trường , nó phản ánh tính chất xuyên tâm tủâ điện trường. Xét diện trường của một diện tích e: L Đ in h lý . L uu s ố của vectơ cuờng độ điện trường tinh điện theo một đuờng kín bằng không. Từ đây suy ra điện tnrờng tĩnh là trư ờ n g th ế. Đ iên t h ế tại một điểm 374 C h ư ơ n g VIII. ĐIÊN HỌC A nào đấy xác định bời 30 Va = VA - Voc = / E ■da - I trường hợp điện trường của một điện tích e, điện thế oo e ỉí de e l VA = 47T£()£ J J 72 r 47T£:o£ r Điện thế tại một điểm trong diện trường cùa hệ diện tích phản bổ rời rạc có dạng N ^ 0=1 47Te0era còn trường hợp điện tích phân bố liên tục (8.3) Va = [ [ [ T ^ — dV. JJJ V 47ĩ eos r T ừ biểu thức cùa Va , ta thấy E • ds là một vi phân toàn phần, suy ra E = -g ra d V hay là Ei = ơxl = -V < K Lấy rot hai vế hộ thức trôn, ta được rot E = - r o t grad V = 0 hay là l— eiik V i E j = -ị=e*jfcV » V jV = 0 trong đó với hoán vị chẵn của ij k , 1 eljk = ^ —1 0 với hoán vị lè của i j k i với hai chỉ số trùng nhau. Phương trình (8.2) và (8.4) là phương trình Maxwell trong tỉnh điện. Thế biểu thức E i dV _ = - 7T7 = -ViV' vào phương trình (8.2), ta được dxx g ^ V iV jV = AV = - Pe Soe nghiệm của phương trình Poisson này chính là (8.3). (8.4) 8.1. 8 .1.3 375 TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN V e c t ơ c ả m ứ n g d iê n Ngoài vector E người ta còn đưa vào vectơ cảm ứng điện D có các thành phần Dị. Vectơ Iiày liên hộ tuyến tính qua vơcto cường độ điện trường E D = Eoe E hay là Dt = EJ. (8.5) Nốu môi trường bất đẳng hướng không thuần nhất, thì Di = e 0eJi E j , ở đây cị là hàm của tọa độ và gọi là te n x ơ đ iên m ôi. Đưa đại lượng D không phụ thuộc vào tính chất mỏi trường là để khắc phục hiện tượng phổ các đường sức điện trường bị gián đoạn, vì ta biết rằng cường độ điện trường tl lệ nghịch với hằng sổ diện mỏi của môi trường, khi đi qua mặt phán cách giữa hai môi trường, E và do đó E biến thiên đột ngột. Vectơ này có tính chất là thông lượng của nó (cảm ứng điện) qua mặt kin bất kỳ bằng tổng điện tích tụ do bên trong mặt đó Làm phép biến đổi tương tự như trên, ta được d iv D = g tjV lDj = V j D j = pt ( 8 .6 ) tại các điểm khỏng có điện tích, thì Pe = 0 . Ta đưa vào khái niệm d iên m ỏi th u ần n h ất, tức là nếu tại hai điểm khác nhau có cường độ điộn trường như nhau, thì tại các điểm này vectơ cảm ứng điện cũng phải bằng nhau. Nói cách khác vectơ cường độ điện trường là trường vectơ song song khóng dổi, thì trường vectơ cảm ứng điện củng có tính chất như vậy. Theo tính chất dịch chuyển song song (xem mục 4.7 chương IV) ta có v ,£ j = 0, thì củng phải bằng không. Vì = S7l ( e lj E k ) mỏi thuần nhất là = (Vị£*)Efc + e ^ V iE ic = 0, suy ra điều kiện để điện V i£J = 0. 376 8.1.4 C h ư ơ n g VIII. ĐI ỆN HOC V e c tơ p h â n cư c điên Nếu môi trường là chất điện môi bị phân cực, để đặc trưng cho mức độ phân cực của điện môi ngmVi ta ciùng vectơ phân cục điện p xác định bời đang thức D = p + £-0E hay là Dị = Pi + eoEị. Thay các giá trị của D, và Ei, ta được Pi = eoeịE i - e0Ei = e0( 4 - ỏ Ì)E j. (8.7) Tenxơ x j = (eị - ỗ ị ) gọi là tenxơ độ cảm úng điện môi hay hệ số phân cuc của một đơn vị thề tích điện môi. Hiện tượng phân cực điện môi là hiện tượng trên điện môi xuất hiện nhửng điện tích khi đặt nó trong điện tnrờng. Vecta phân cực p, bằng tổng vectơ mômen điện của các phần tử trong một đơn vị thể tích điện môi, các mômen điện này tỉ lệ với vectơ cường độ điện trường nên ta được công thức trên (kề cả trưừng hạp điện môi cổ phản tử tự phản cực, cũng nhir điện môi có phản tử không phân cực, tất nhiên hệ số tỷ lệ khác nhau). 8.2 D ò n g điên k h ô n g đổi Trong môi trường vật chát, các hạt điện tự do luôn luôn chuyển động nhiệt hỏn loạn. Dưới tác dụng của điện trường chúng sẽ chuyền động có hướng: các hạt diện dưang chuyển động theo chiều vectơ cường độ diện trirnrng E, các hạt điện âm chuyển động theo chiều ngược lại. Dòng các hạt tích diện chuyền động có huớnq nhxt vậy gọi là dòng điện. Bản chất dòng diện trong các môi trường khác nhau thì củng khác nhau. Chiều dòng điện theo quy ước là chiều chuyển động của các hạt. điện dương; quỷ đạo của hạt điện gọi là dircrng d òng. 8 .2 .1 C ư ờ n g đ ô d ò n g d iê n Để dặc trưng cho độ mạnh và phương chiều cùa dòng điện, người ta đưa ra hai đại lưạng vật lý là cường độ dòng điện và mật độ dòng điện. Cường độ dòng điện chạy qua diện tích s là đại lượng về trị số bằng điện lượng chuyển qua diện tích s trong một đan vị thời gian 8.2. DÒNG ĐIỆN KHÒNG Đổi 377 Vcctơ mật độ dòng điện j tại điểm M là một vectơ đặt tại M có phương chiều là phương chiều chuyển động của hạt điện dương qua đó và có độ lớn bằng cường độ cỉòng diện trên một đơn vị diện tích nằm vuông góc với phương ấy di dSn V V 1 dSri là diện tích nhỏ đặt tại M vuông góc với vận tốc định hướng trung bình V cùa các hạt tĩnh điện. Hình 8.2 Thay dSn = d S v • — V vào đây suy ra (II — y (ÍS do đó [ Ị s Ị s T ừ hệ thức dq = pev d tS n (8.8) 378 C h ư ơ n g VIII. ĐIỆN HỌC và theo định nghĩa vectơ mật độ dòng điện j , ta nhận được j = pe\ hay = pev T. f (8.9) Trường hợp hệ chứa các hạt tích điện tự do với mật đọ no, điện tích mồi hạt là e th ì Pc = n o e , n h ư v ậ y j = n 0e v . Các hạt tích điện tự do chuyển động định hướng dưới tác dụng của điện trường, thực nghiệm chỉ ra rằng vận tốc trung bình của các hạt này ti lệ vói vectơ cường độ điện trường V = x E , X tùy thuộc bản chất và trạng thái vật lý của dây dẫn. Thay vào biểu thức của j , ta được định luật ơhm j = XpeE = 7 E hay j r = 7 gr3 E s = ' ) E r . (8.10) 7 đặc trưng cho khả năng dẫn điện của vật dẫn gọi là điện dần suất hay hệ sổ dẫn điện. Trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng nó là tenxơ hạng hai 7 ™, ta gọi nó là tenxơ điện dẩn suất : khi đó có thể viết f = Y sE s. (8 .11) Nếu môi trường thuần chất, thì tương tự với cách làm đối với tenxơ diện mỏi, ta có v*7r5 = 0. Để phân biệt sau này, ta gọi dòng điện xuất hiện khi các hạt tích điện chuyển động định hướng trong vật dẫn đứng yên là dòng điện (lẫn. 8 .2 .2 Đ ịn • h lu ậ«t b ả o t o à n đ iệ»n t íc h Điện tích toàn phần của một hệ bất kỳ sẽ giữ nguyên không đổi, nếu như không đưa thêm vào nó điện tích khác. Nói cách khác, dòng toàn phần di khỏi m ặt kín bất kỳ bằng độ giảm điện tích trong mặt đó trên một đơn vị thời gian 5 hay là Ị Ị r ^ — ỊỊỊ s V 8.3. 379 TỪ TRƯỜNG trong đó 6-/ // M K V Dùng công thức Gauss - Ostrogradsky biến đổi tích phản mặt, ta đi đến / / / ( ^ ^ “/ / / ( t + V < V K = ° - V Vì mặt s tùy ý, từ đây suy ra định luật bảo toàn điện tích dưới dạng vi phân ^ + d iv j = 0 dt hay ậ - f V rj r = 0. ơt (8.12) Phương trình (8.12) gọi là phirom g trìn h liên tụ c. Nó là phương trình quan trọng biểu diễn toán học của định luật bảo toàn điện tích đối với vật dẫn có dòng điện không đổi. Trong trường hợp dòng không đổi, phân bố điện tích trong vật dẫn ờ trạng thái dừng (nghĩa là không thay đổi theo thời gian), thì = 0 , phương trình (8 . 12 ) có dạng div j = 0 . Thay (8 .11) vào dây, ta được d iv j = d iv 7 E = 7 d iv E = 0 . Hộ thức này chứng tỏ điện trường trong dây dẫn có dòng không đổi chạy qua cũng tuân theo phương trình Laplace (d iv E = - d iv grad V = —A V = 0) như điện trường tĩnh điện trong chân không. Điều đó dẻ hiểu, vì trong trường hạp dòng không (tổi, phản bổ điện tích ở trạng thái dừng (tức là trạng thái không thay đổi theo thời gian), nên điện trường cùa dòng khỏng đổi giống như điện trường tĩnh điện. Như vậy, điện trường của dòng không đổi cũng là một trường thế E — —grad V. 8*3 T ừ tr ư ờ n g Ngoài tác dụng điện còn có tác dụng từ, cho nên người ta củng muốn làm tương tự như dổi với điộn tích. Nhưng trong thiên nhiên không có từ tích, 380 Chương VIII. Đ I Ệ N H Ọ C mọi tác dụng từ đều đưa về tác dụng của các (ỉòng điện (tức là điện tích chuyển động). Hạt điện chuyển động sinh ra một loạt trường khác gọi là từ trường. Thực nghiệm đà chứng tỏ dòng điện cùng có từ tính nhir nam châm. Định luật Ampcre cho ta tương tác giửa hai dòng điện, tương tự như định luật Coulomb của tính điện, đây là định luật cơ bản của tương tác từ. Đ in h lư ât A m p è r e . Tủ lực do phần tủ dònq điện Id s tác dụng lẽn phần từ dòng điện Iodso đặt trong chân không là tĩVTig đó ịẤQ là hằnq số tủ (hay độ tủ thẩm) của chán không, cỏn nếu đặt trong môi trường dẳng hướng nào đó thì _ MMo Iodso 4ff X (Ids rỏ X r) trong đó ụ, là độ từ thẩm ti dối của môi trườnq. T ừ lực được truyền từ dòng điện này đến dòng điện kia hằng vận tốc truyền của ánh sáng trong chân không. Dòng điện nào củng đều gây ra xung quanh nó một từ trường, thông qua từ trường mà từ lực truyền đi được, từ trường cũng là một dạng của vật chắt. Sau đây ta định nghĩa nhửng đại lượng đặc trưng chotừ trường. 8 .3 .1 V e c t ơ c ả m ứ n g t ừ v à v e c t ơ c ư ờ n g đ ộ t ừ tr ư ờ n g TVong công thức trên, ta xét vectơ (8.13) nó chỉ phụ thuộc vào phần tử dòng điện Ids sinh ra từ trường và vị trí của điểm đang xét, mà không phụ thuộc vào phần từ dòng điện chịu tác dụng IodsQ của từ trường. Hẹ thức trên là định luật Biot - Savart - Laplace xác định veciơ cÁm ứnq tủ do phần tử dòng ăiện Id s sinh ra tại điềm đanq xét. Theo nguyên lý chồng chất từ trường, thì vect.ơ cảm ứng từ B do một dòng điện bất kỳ gây ra bằng tổng các vectơ cảm ứng từ r/B do các phần tử nhỏ cùa dòng điộn gây ra tại diểrn ấy 8.3. T ư TRƯỜNG 381 Do vectơ cảm ứng từ phụ thuộc vào độ từ thầm tỉ đối, nên nếu ta đi từ mòi tri rừng này sang môi trường khác, vectơ cảm ứng từ sẽ biến đổi đột ngột. Vì vậy ngoài vector cảm ứng từ, ta còn đưa vào vectơ cường độ từ trường H bằng hệ thức sau đây B = /¿0//H hay Bị = ỊiQịiỖịHj. (3.14) IVường hợp môi trường bất đẳng hướng Bị = ỊiQịi\Hj, trong đó ụị (tenxa hạng hai) gọi là tenxơ độ tử thẩm phụ thuộc vào tọa độ điểm. Vectơ cảm ứng từ thay đổi từ điểm này đến điểm khác, còn đường cảm ứng từ là đường trong không gian của từ trường, tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến với đường có cùng phương với vectơ cảm ứng từ. T ập hợp các đường cảm ứng từ lập thành từ phổ. Hình 8.3 Nghiên cứu từ phổ ta nhận t hấy các đường cảm ứng từ là những dường cong kín. Một trường có đường sức khép kín gọi là trư ờ n g x o á y , từ trường có tính chất xoáy. Nó khác với trường tĩnh điện, tại đó đường sức đều xuất phát từ hạt điện dương và đi ra vô cực, hoặc tận cùng trên các hạt điện âm; trường tĩnh điện khỏng phẳi là trường xoáy. Do đó ta khẳng định trong thiên nhiên không có hạt “ từ tích” như đà nêu ờ trên. Đ ịn h lý G a u s s - O s tro g r a d s k y . Từ thông toàn phần qua mặt kín thì bằng không II s BịV d S = 0 . B dS= s 382 C h ư ơ n g VIII. ĐIỆN HỌC Biến đổi tích phân m ặt, đản đến ///™ = / / / S«ViBj=0, V V' nó đúng với mọi thể tích V , nên suy ra d iv B = gijV i B j = 0. Hình (8.15) 8 .4 Tính chất xoáy cùa từ trường còn thể hiện trong định luật sau dây Đ in h lu ả t v ề d ò n g d iên to à n p h ần . Lưu số của vectơ cường độ tủ trường theo một đường conq kín bất kỳ bằng tổng các cường độ dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn bài đĩĩờng cong đó r ế H • ds = ^ L * /Q = Itp (N là số dòng diện). (8.16) 0=1 Điểm này khác với trường tĩnh điện, tại đó Etình là hàm có thế, nên lưu so ^ Etĩnh ’ dồ = 0 , ờ đây từ trường không phải trường thế mà là trường xoáy, nên lưu số khác không. 8 .3 . 383 T Ừ TRƯỜNG 8 .3 .2 T á c d u n g c ủ a t ừ t r ư ừ n g lê n d ò n g đ iê n v à lê n h a t đ iộ n chu yển động Theo định luật Ampère một phần tử dòng điện Iodso đặt tại một điểm M trong từ trường có cảm ứng từ (ĨB. thì chịu một từ lực là r/F = Iodso X = - W - Ta gọi phương trình này là phương trình Maxwell - Faraday. 8.4.2 Luân điểm thứ hai của Maxwell Điện trường bất kỳ biến ăni theo thời gian củnq sinh ra một từ trường. Luận điểm này được biểu diền định lưạng bới phương trình Maxwell Ampère hay còn gọi là phương trình về dòng điện toàn phần suy rộng. Như đả biết, dòng điộn dần sinh ra từ trường, theo luận điểm Maxwell thì điện trường biến đổi theo thời gian củng sinh ra từ trường. Vậy xét về plnrang diện sinh ra từ trường thì điện trường biến đổi theo thời gian có tác dụng giống như một dòng điện. Dòng diện này Maxwell gọi là dòng điện dịch . Đổ xác định mật độ cùa dòng diện này, ta xuất phát từ định luật bào toàn điên tích (8 . 12); thay đao hàm ơt í, theo công thức (8 .6 ) vào (8 . 12) dẫn đến ỠD\ ( + dt ) = 386 C h ư ơ n g VUI. ĐIỆN H Ọ C ỠD Từ đây chứng tò rằng vectơ j + C?D có thông lương bảo toàn. Đai lirơng -Tr­ ơi ' ỡt có thể xem như mật độ cùa dòng nào đấy khép kín dòng dẫn trong trường hợp dòng thay dổi. Ta gọi ÔD ( 8 . 20 ) là mật độ dòng điện dịch. Theo định luật về dòng điện toàn phần (8.16), ta cỏ L trong đó Itp là cường độ của dòng điện toàn phần chạy qua điện tích hạn bời đường cong L s s giới s Thay vào hệ thức trên, ta được L s (8 .21 ) Tóm lại, giả sử ta có môi trường đứng yên có thể gồm điện mỏi hoặc vật dẫn, trong đó có các hạt tích diện chuyển động. Do tương tác giữa các hạt mang điện sinh ra trường điện từ, trường này đặc trưng bới các vector sau đây: a) Vectơ cường độ điện trường E i\ b) Vectơ cảm ứng điện Dịy vectơ phân cực điện liên hệ với hai vectơ trên Pị = Dị — eoEi (nếu là chất điện môi); c) Vectơ cảm ứng từ Di ; ÿ.4. 387 TRƯ Ờ N G Đ IỆ N T Ừ d) Vectơ cường độ từ trường H i ; vectơ từ hóa liên hệ với hai vectơ Bị, lỉị như sau (nếu xuất hiện từ hóa); Mị = Bi - Ho Hi e) Vcctơ mật độ dòng điện toàn phần, gồm hai vectơ mật độ dòng: - vectơ mật độ dòng dẫn liên hệ với Ei theo định luật Ohm (8.10) f = l rsEs Y $ là tenxơ điện dẫn suất, - v ectơ mật độ d ò n g điện dịch liên hệ v ớ i D ị theo c ô n g thức ( 8 .2 0 ) .r _ dD r dt J d ịc h - Các vectơ trên liên hệ với nhau bằng hệ các phương trình Maxwell trong trường hợp môi trường có cả diện phân cực và từ hóa như sau: ỠB ởt hay d iv B = 0 hay E = - dBk dt ’ Vã ỠD ỉ = j + dt hay điv D = Pc hay g V V iB ị = 0 , = \/T dD k + di (8 .22) gijV ,D j = pe. Ngoài ra D D = eo^E hay D ị - £oe { E j , B = momH hay B t = ụ.Qịiị H j , = e 0E + P hay Pi = e0(e{ - S ị) E jt B = /¿0H + M hay Mi = fio(ụị - (8.23) S ị)H j, trong đó £ị là ten xa điện môi, còn ụ.\ là tenxơ độ từ thẩm. Định luật bảo toàn điện tích là hệ quả của các phirơng trình Maxwell, quà vậy lấy div phương trình thứ ba của (8.22) rồi sừ dụng phương trình thứ tư, suy ra điều cần tìm. Các phương trình M axwell của trường điện từ trong chân không có dạng Chương VIII. ĐIÊN HOC 388 trong đó pe( x 1yx2, x 3yt) là mật độ điện tích, v ( x 1 >x 2í x 3,r//;V r E , + 4 = e J’r£ ,V rW. V ã V ã = ~ z e r’ J (H J V r E , - E , V r H s) = H rot E - E rot H V9 392 C h ư ơ n g Vỉìl. Đ IỆ N H Ọ C L ấ y tíc h p h â n th e o th ể tíc h V n à o đ ấy , c h o t a p ev • E = 0, V V V biến đổi các tích phản trên dẫn đến J l U d S + ^ J J j ( ^ - //2. t £ £ g g 2 ) d v + j j j p ' V s V EdV = 0. (8.34) V Đại lượng V V là năng lượng trường điện từ trong thể tích V , trong đó V e m = * ^ là mật độ của năng lượng trường diện từ trẽn một đơn vị thể tích. Đại lượng / / / * V' E i/ V là công suất điộn trường tác dụng lên những hạt, hay là công suất tiêu tán Joule; CÒĨ1 đại lượng / / ” • í/s là dòng vectơ Ưmov - PoYntin qua mặt 5 giới s hạn thể tích V . Vậy ị t (£ + 'Pj0) = - J j ( E x H ) d S = - J l U - d S , s (8.35) s Sự thay đổi năng Ixcợng toàn phần của trường điện từ trong thề tích V là do dòng vectơ Umov - Poỉntin qua mặt bao thề tích đó. [...]... lực học có tính bất biến, tức là nó đúng trong hệ quán tính này, thì củng đúng trong hệ quán tính khác (sẽ đề cập ờ chương sau) Phản tích bản chất của trường điện tù và các tính chất của hệ phương trình Maxwell là điểm xuất phát của lý thuyết tương đối và là cơ sờ để xét lại các khái niệm cũ về hệ quán tính, về không gian và thời gian Nó đặt cơ sờ cho sự phát triển toàn bộ vật lý học hiện đại Trong các... thay div A từ điều kiện Lorentz (8. 29) vào đây, dẫn đến fj2 Tĩ A V - iLữụ.eữe ^ ~ = ơ tz Eq£ • (8. 31) Hai phương trình (8. 30), (8. 31) là hai phương trình truyền sóng thuộc loại hypecbôlic V ậy tương tác điện từ lan truyền trong môi trường vật chất với vận tổc c- 1 y /e o n o e ụ Bằng biểu thức tcnxơ, hai phương trình (8. 30), (8 31) có dạng -ụ.Qfijk trong vật dẫn, 0 trong điện môi ỡij V - -£ ± V i... h ư ớ n g Plnrơng trình thứ nhất của (8. 22) thỏa màn đồng nhất T a thấy, nếu cho A* = A + grad / , hay A'i = Ai + | 4 > v' = v + % ' (8- 28) trong đó / là hàm tùy ý, thì điện trường và từ trường vần không đổi Cho nên chọn hàm / sao cho cặp thứ hai của phương trình Maxwell dưa về dạng dơn giản han T hay (8. 28) , (8. 27) vào phương trình đầu của cặp thứ hai sau một vài biến đổi cho ta A A ỠV \ K A A - W... dòng điện cảm ứng , hiện tượng này gọi là hiện tượng cảm ứng điện tủ  384 C h ư ơ n g VIII ĐIỆN HỌC Lance đả tìm ra định luật tổng quát về chiều của dòng điện cảm ứng, nó phải có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại nguvên nhân sinh ra nó Sự xuất hiện dòng điện cảm ứng chứng tỏ trong mạch có một thế điện động Thế điện động ấy gọi là thế điện động cảm ứng Định luật cơ bản về hiện... Nếu ngoài điện tích de trong dV còn có dòng j = pcv , thì trên một đơn vị thể tích mỏi trường sẽ chịu tác dụng của lực Lorentz sau F = PcE -f [pev X B ] Công thức này xây (lựng trên cơ sỏr thực nghiệm, xem như một trong những định đề cơ sờ của điện động lực học, hoặc như một trong nhừng ca sở để xác định các đặc trưng điện từ của trường và đòng Trờ lại các phương trình Maxwell (8. 24), có thể xem đáy.. .8. 3 T ư TRƯỜNG 381 Do vectơ cảm ứng từ phụ thuộc vào độ từ thầm tỉ đối, nên nếu ta đi từ mòi tri rừng này sang môi trường khác, vectơ cảm ứng từ sẽ biến đổi đột ngột Vì vậy ngoài vector cảm ứng từ, ta còn đưa vào vectơ cường độ từ trường H bằng hệ thức sau đây B = /¿0//H hay Bị = ỊiQịiỖịHj (3.14) IVường hợp môi trường bất đẳng hướng Bị = ỊiQịi\Hj, trong đó ụị (tenxa hạng hai) gọi là tenxơ độ... nào đấy khép kín dòng dẫn trong trường hợp dòng thay dổi Ta gọi ÔD ( 8 20 ) là mật độ dòng điện dịch Theo định luật về dòng điện toàn phần (8. 16), ta cỏ L trong đó Itp là cường độ của dòng điện toàn phần chạy qua điện tích hạn bời đường cong L s s giới s Thay vào hệ thức trên, ta được L s (8 21 ) Tóm lại, giả sử ta có môi trường ứng yên có thể gồm điện mỏi hoặc vật dẫn, trong đó có các hạt tích diện... = /¿0H + M hay Mi = fio(ụị - (8. 23) S ị)H j, trong đó £ị là ten xa điện môi, còn ụ.\ là tenxơ độ từ thẩm Định luật bảo toàn điện tích là hệ quả của các phirơng trình Maxwell, quà vậy lấy div phương trình thứ ba của (8. 22) rồi sừ dụng phương trình thứ tư, suy ra điều cần tìm Các phương trình M axwell của trường điện từ trong chân không có dạng Chương VIII ĐIÊN HOC 388 trong đó pe( x 1yx2, x 3yt) là... khăng khít và xây dụng nên lý thuyết về trường điện từ, một trường gồm cá diện trường và từ trường 8. 4.1 Luận điểm thứ nhất của Maxwell Nguyên nhân gây ra dòng cảm ứng là sự biến dổi từ thông qua mạch điện, tức là biến đổi từ trường tại nơi dặt mạch Vì vậy điện trường gây nên dòng cảm ứng chi có thể do từ trường biến dổi theo thời gian sinh ra Điện trường này không thể là trường tĩnh diện Trong trường... các phương trinh (8. 24), xem Pe và j = p€\ là đã biết, thì ần phải tìm là E và H Trong 8 phương trình thành phần chỉ có sáu độc lập, vì div rot = 0 nên có sự phụ thuộc giữa các phương trình đó H ‘i 389 T R Ư Ờ N G Đ IỆ N T Ừ 8. 4.3 C á c t h ế điên t ừ TVước hết chọn các thế điện từ sao cho thòa màn cặp thứ nhất của phương t rình Maxwell Ta đặt B = rot A hay B k = Ặ e ijkV i A j , VỠ (8. 26) A gọi là ... hay (8. 28) , (8. 27) vào phương trình đầu cặp thứ hai sau vài biến đổi cho ta A A ỠV K A A - W o tto -Q g r = grad^div A + Polie oe— J - ịi[Loj Ta thấy phương trình đơn giản, ta lợi dụng tính. .. trình (8. 2) (8. 4) phương trình Maxwell tỉnh điện Thế biểu thức E i dV _ = - 7T7 = -ViV' vào phương trình (8. 2), ta dxx g ^ V iV jV = AV = - Pe Soe nghiệm phương trình Poisson (8. 3) (8. 4) 8. 1 1.3... r (8. 10) đặc trưng cho khả dẫn điện vật dẫn gọi điện dần suất hay hệ sổ dẫn điện Trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng tenxơ hạng hai ™, ta gọi tenxơ điện dẩn suất : viết f = Y sE s (8 11)