Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 8

Theo nguyên lý chồng chất điện trường, vectơ cường độ điện trường cùa một hệ điện tích bằng Đirờng sức là đường tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với vectơ cường độ điện trường.. tron

Điện họca ■

CH Ư Ơ N G VIII

Trong chương này trình bày ứng dụng phép tính tenxơ vào lý thuyết điện học, giới hạn ờ nhừng hệ thức cơ bản nhất Công cụ chủ yếu ờ đây là giải tích vectơ, nên các hệ thức được viết dưới dạng vecta Để sử dụng cho hệ tọa

độ cong bất kỳ, bên cạnh các hệ thức đó ta viết cách biểu diễn tenxơ (hạng

Các đại lượng điện từ xem như được biểu thị trong hệ đơn vị hợp pháp (SI) Đó là hộ đo lường hợp pháp (V nước ta - hệ M K SA hạp lý hóa gồm 4 đơn vị cơ bàn là kg, mét, giảy và đơn vị đo cường độ diện là ampe

cơ bản của điện trường là mọi điện tích dặt trong điện trường đều bị điện trường tác dụng lực Kực tác dụng tuân theo định luật Coulomb quen thuộc

trong đó e là điện tích gây ra diện trường, eo là điện tích chịu trường tác dụng, r là khoảng cách giữa hai diện tích, còn £o là hằng sổ điện môi của chán

1 H ệ q u y c h iế u q u á n t í n h là h ệ, tro n g đ ó c h u y ề n đ ộ n g t ự d o c ủ a h ạ t ( k h ô n g c h ịu t á c d ụ n g

3 7 2 C hư ơng VIII i )I ỆN HỌC

không. Nếu điện tích nằm trong môi trường vật chất thì lực Coulomb nhỏ đi

£ lần Hằng số £ gọi là hằng số điện môi cùa môi trường

vị trí của điểm đặt điện tích eo, gọi là vectơ cường độ điện truờng.

Theo nguyên lý chồng chất điện trường, vectơ cường độ điện trường cùa một hệ điện tích bằng

Đirờng sức là đường tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với vectơ cường

độ điện trường T a có phương trình đường sức (hình 8.1)

Đ in h lý Thông lượng điện trường (dòng vcctơ cường độ điện tl'uàng) qua

m ặt kín bất kỳ bằng tổng các điện tích nằm trong mặt dó chia cho £ q £

trong đó V , ký hiệu đạo hàm hiệp biến theo biến X1.

B ảy giờ ta xét định lý về lưu số của vectơ cường độ điện trường, nó phản ánh tính chất xuyên tâm tủâ điện trường Xét diện trường của một diện tích e:

T ừ biểu thức cùa V a , ta thấy E • ds là một vi phân toàn phần, suy ra

E = -g ra d V hay là E i = = - V < K

ơ x l

Lấy rot hai vế hộ thức trôn, ta được

rot E = - r o t grad V = 0 hay là

l— eiik V i E j = -ị=e*jfcV » V jV = 0 (8.4)trong đó

1 với hoán vị chẵn của i j k , eljk = ^ — 1 với hoán vị lè của i j k i

0 với hai chỉ số trùng nhau

Phương trình (8.2) và (8.4) là phương trình Maxwell trong tỉnh điện.

8.1. TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN 375

8 1 3 V e c t ơ c ả m ứ n g d iê n

Ngoài vector E người ta còn đưa vào vectơ cảm ứng điện D có các thành phần

Dị. Vectơ Iiày liên hộ tuyến tính qua vơcto cường độ điện trường E

ở đây cị là hàm của tọa độ và gọi là te n x ơ đ iên m ôi

Đưa đại lượng D không phụ thuộc vào tính chất mỏi trường là để khắc phục hiện tượng phổ các đường sức điện trường bị gián đoạn, vì ta biết rằng cường độ điện trường tl lệ nghịch với hằng sổ diện mỏi của môi trường, khi

đi qua mặt phán cách giữa hai môi trường, E và do đó E biến thiên đột ngột.Vectơ này có tính chất là thông lượng của nó (cảm ứng điện) qua mặt kin bất kỳ bằng tổng điện tích tụ do bên trong m ặt đó

tại các điểm khỏng có điện tích, thì Pe = 0

Ta đưa vào khái niệm d iên m ỏi th u ần n h ất, tức là nếu tại hai điểm khác nhau có cường độ điộn trường như nhau, thì tại các điểm này vectơ cảm ứng điện cũng phải bằng nhau Nói cách khác vectơ cường độ điện trường

là trường vectơ song song khóng dổi, thì trường vectơ cảm ứng điện củng

có tính chất như vậy Theo tính chất dịch chuyển song song (xem mục 4.7 chương IV) ta có

V ì = S7l ( e lj E k ) = (Vị£*)Efc + e ^ V iE ic = 0, suy ra điều kiện để điện

D = Eoe E hay là D t = E J Nốu môi trường bất đẳng hướng không thuần nhất, thì

mỏi thuần nhất là

V i£J = 0

376 C h ư ơ n g VIII Đ I Ệ N HOC

Nếu môi trường là chất điện môi bị phân cực, để đặc trưng cho mức độ phân cực của điện môi ngmVi ta ciùng vectơ phân cục điện p xác định bời đang thức

D = p + £-0E hay là Dị = Pi + eoEị.

Thay các giá trị của D, và Ei, ta được

Pi = eoeịE i - e0Ei = e 0( 4 - ỏ Ì)E j. (8.7)

Tenxơ x j = (eị - ỗ ị) gọi là tenxơ độ cảm úng điện m ôi hay hệ số phân cuc của m ột đ ơ n vị thề tích điện môi. Hiện tượng phân cực điện môi là hiện tượng trên điện môi xuất hiện nhửng điện tích khi đặt nó trong điện tnrờng Vecta phân cực p, bằng tổng vectơ mômen điện của các phần tử trong một đơn vị thể tích điện môi, các mômen điện này tỉ lệ với vectơ cường độ điện trường nên ta được công thức trên (kề cả trưừng hạp điện môi cổ phản tử tự phản cực, cũng nhir điện môi có phản tử không phân cực, tất nhiên hệ số tỷ

lệ khác nhau)

8.2 D ò n g điên k h ô n g đổi

Trong môi trường vật chát, các hạt điện tự do luôn luôn chuyển động nhiệt hỏn loạn Dưới tác dụng của điện trường chúng sẽ chuyền động có hướng: các hạt diện dưang chuyển động theo chiều vectơ cường độ diện trirnrng E,

các hạt điện âm chuyển động theo chiều ngược lại Dòng các hạt tích diện chuyền động có huớnq nhxt vậy gọi là dòng điện. Bản chất dòng diện trong các môi trường khác nhau thì củng khác nhau Chiều dòng điện theo quy ước là chiều chuyển động của các hạt điện dương; quỷ đạo của hạt điện gọi là dircrng d òng

8.2 DÒNG ĐIỆN KHÒNG Đổi 3 7 7

Vcctơ mật độ dòng điện j tại điểm M là một vectơ đặt tại M có phương chiều là phương chiều chuyển động của hạt điện dương qua đó và có độ lớn bằng cường độ cỉòng diện trên một đơn vị diện tích nằm vuông góc với phương ấy

378 C h ư ơ n g VIII ĐI ỆN HỌC

và theo định nghĩa vectơ mật độ dòng điện j , ta nhận được

j = pe\ hay f = pev T. (8.9)Trường hợp hệ chứa các hạt tích điện tự do với mật đọ no, điện tích mồi hạt

là e t h ì Pc = n o e , n h ư v ậ y

j = n 0 e v Các hạt tích điện tự do chuyển động định hướng dưới tác dụng của điện trường, thực nghiệm chỉ ra rằng vận tốc trung bình của các hạt này ti lệ vói

vectơ cường độ điện trường V = x E , X tùy thuộc bản chất và trạng thái vật

lý của dây dẫn Thay vào biểu thức của j , ta được định luật ơhm

j = XpeE = 7 E hay j r = 7 gr 3 E s = ' ) E r (8.10)

7 đặc trưng cho khả năng dẫn điện của vật dẫn gọi là điện dần suất hay hệ

s ổ dẫn điện. Trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng nó là tenxơ hạng hai 7™, ta gọi nó là tenxơ điện dẩn suất: khi đó có thể viết

Ị Ị r ^ — Ị Ị Ị

Trong trường hợp dòng không đổi, phân bố điện tích trong vật dẫn ờ trạngthái dừng (nghĩa là không thay đổi theo thời gian), thì = 0, phương trình(8.12) có dạng

div j = 0.Thay (8 11) vào dây, ta được

d iv j = d iv7E = 7d iv E = 0

Hộ thức này chứng tỏ điện trường trong dây dẫn có dòng không đổi chạy qua cũng tuân theo phương trình Laplace (d iv E = - d iv grad V = —A V = 0) như điện trường tĩnh điện trong chân không Điều đó dẻ hiểu, vì trong trường hạp dòng không (tổi, phản bổ điện tích ở trạng thái dừng (tức là trạng thái không thay đổi theo thời gian), nên điện trường cùa dòng khỏng đổi giống như điện trường tĩnh điện Như vậy, điện trường của dòng không đổi cũng là một trường thế

E — — grad V.

8*3 T ừ t r ư ờ n g

Ngoài tác dụng điện còn có tác dụng từ, cho nên người ta củng muốn làm tương tự như dổi với điộn tích Nhưng trong thiên nhiên không có từ tích,

380 Chương VIII. Đ I Ệ N H Ọ C

mọi tác dụng từ đều đưa về tác dụng của các (ỉòng điện (tức là điện tích chuyển động) Hạt điện chuyển động sinh ra một loạt trường khác gọi là từ trường

Thực nghiệm đà chứng tỏ dòng điện cùng có từ tính nhir nam châm Định luật Ampcre cho ta tương tác giửa hai dòng điện, tương tự như định luật Coulomb của tính điện, đây là định luật cơ bản của tương tác từ

Đ in h lư ât A m p è r e T ủ lực do phần tủ dònq điện Id s tác dụng lẽn phần từ dòng điện Iodso đặt trong chân không là

tĩVTig đó ịẤQ là hằnq số tủ (hay độ tủ thẩm) của chán không, cỏn nếu đặt trong môi trường dẳng hướng nào đó thì

trong đó ụ, là độ từ thẩm ti dối của môi trườnq.

T ừ lực được truyền từ dòng điện này đến dòng điện kia hằng vận tốctruyền của ánh sáng trong chân không Dòng điện nào củng đều gây ra xung quanh nó một từ trường, thông qua từ trường mà từ lực truyền đi được, từ trường cũng là một dạng của vật chắt

Sau đây ta định nghĩa nhửng đại lượng đặc trưng cho từ trường

8 3 1 V e c t ơ c ả m ứ n g t ừ v à v e c t ơ c ư ờ n g đ ộ t ừ tr ư ờ n g

TVong công thức trên, ta xét vectơ

nó chỉ phụ thuộc vào phần tử dòng điện Id s sinh ra từ trường và vị trí của điểm đang xét, mà không phụ thuộc vào phần từ dòng điện chịu tác dụng

IodsQ của từ trường Hẹ thức trên là định luật Biot - Savart - Laplace xác định veciơ cÁm ứnq tủ do phần tử dòng ăiện Id s sinh ra tại điềm đanq xét.

Theo nguyên lý chồng chất từ trường, thì vect.ơ cảm ứng từ B do một dòng điện bất kỳ gây ra bằng tổng các vectơ cảm ứng từ r/B do các phần tử nhỏ cùa dòng điộn gây ra tại diểrn ấy

_ MMo Iodso X (Id s X r)

(8.13)

Nghiên cứu từ phổ ta nhận t hấy các đường cảm ứng từ là những dường cong kín Một trường có đường sức khép kín gọi là trư ờ n g x o á y , từ trường

có tính chất xoáy Nó khác với trường tĩnh điện, tại đó đường sức đều xuất phát từ hạt điện dương và đi ra vô cực, hoặc tận cùng trên các hạt điện âm; trường tĩnh điện khỏng phẳi là trường xoáy Do đó ta khẳng định trong thiên nhiên không có hạt “ từ tích” như đà nêu ờ trên

Đ ịn h lý G a u s s - O s tro g r a d s k y Từ thông toàn phần qua mặt kín thì bằng không

Tính chất xoáy cùa từ trường còn thể hiện trong định luật sau dây

Đ in h lu ả t v ề d ò n g d iên to à n p h ần L ưu số của vectơ cường độ tủ trường theo m ột đường conq kín bất kỳ bằng tổng các cường độ dòng điện xuyên qua diện tích giới hạn bài đĩĩờng cong đó

8 3 T Ừ T R Ư Ờ N G 383

8 3 2 T á c d u n g c ủ a t ừ t r ư ừ n g lê n d ò n g đ iê n v à lê n h a t đ iộ n

c h u y ể n đ ộ n g

Theo định luật Ampère một phần tử dòng điện Iodso đặt tại một điểm M

trong từ trường có cảm ứng từ (ĨB. thì chịu một từ lực là

F l = e(v X B ) hay là F k = - ^ z ( e ijkViDj), (8.17)

VỔlực này gọi là lư c L o ren tz

Môi trường dưới tác dụng của từ trường có thể xuất hiện từ hóa Khi bị từ hóa, môi trường trỏr nên có từ tính, nghĩa là khi nằm trong từ trường ngoài, bản thân chúng sinh ra một từ trường phụ, còn gọi là từ trường riêng của môi trường từ hóa

Vect.ơ từ hóa M liên hệ với vectơ cảm ứng từ bằng hệ thức

B = /XoH 4- M h a y là Bị = ịiQHi 4- M ị

Theo quan điểm vĩ mô, vcctơ M đặc trưng sự sắp đặt có thứ tự trong môi trường các mômen lường cực từ

Bat kỳ dòng điện nào cũng gây ra xung quanh nó một từ trường Ngược lại

từ trường có thể sinh ra dòng điệng không? Faraday đà chứng tò bằng thực nghiệm: từ trường biến đổi có thể sinh ra dòng điện Dòng diện đó gọi là dòng điện cảm ứng, hiện tượng này gọi là hiện tượng cảm ứng điện tủ.

384 C h ư ơ n g VIII ĐI ỆN HỌC

Lance đả tìm ra định luật tổng quát về chiều của dòng điện cảm ứng, nó phải có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại nguvên nhân sinh ra nó

Sự xuất hiện dòng điện cảm ứng chứng tỏ trong mạch có một thế điện động Thế điện động ấy gọi là thế điện động cảm ứng.

Định luật cơ bản về hiện tượng càm ứng điện từ phát biểu nhir sau

Đ in h lu â t F a ra d a y T h ế điện động cÀm ứng luôn luôn bằng vè trị sổ, nhung trái dấu với tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích của mạch điện

8.4.1 Luận điểm thứ nhất của Maxwell

Nguyên nhân gây ra dòng cảm ứng là sự biến dổi từ thông qua mạch điện, tức là biến đổi từ trường tại nơi dặt mạch Vì vậy điện trường gây nên dòng cảm ứng chi có thể do từ trường biến dổi theo thời gian sinh ra Điện trường này không thể là trường tĩnh diện Trong trường tĩnh diện đường sức của

nó Ỉ1Ờ, thế điện động (công của điộn trường trong dịch chuyển hạt điện thoo đường cong kín) bằng không

£ Etình ■ ds = 0*

L

Điện trường sinh ra ờ đây phải có đường sức là đường cong kín, khi dó thế điện động khác không Ta gọi đó là điện truờng xoáy.

Luận điểm thứ nhất của Maxwell, phát biểu như sau:

T ủ trường bất kỳ biến đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy.

8 4 T R Ư Ờ N G Đ I Ệ N T Ù 385

C _

d t ’hay là

Theo định luật cơ hán về hiện tư ợ n g cám ứng diện từ (8.18), ta có

Ớ Brot E = — ,

dt

huy là

1

Ta gọi phương trình này là phương trình Maxwell - Faraday

Điện trường bất kỳ biến ăni theo thời gian củnq sinh ra m ột từ trường.

Luận điểm này được biểu diền định lưạng bới phương trình Maxwell - Ampère hay còn gọi là phương trình về dòng điện toàn phần suy rộng

Như đả biết, dòng điộn dần sinh ra từ trường, theo luận điểm Maxwell thì điện trường biến đổi theo thời gian củng sinh ra từ trường Vậy xét về plnrang diện sinh ra từ trường thì điện trường biến đổi theo thời gian có tác dụng giống như một dòng điện Dòng diện này Maxwell gọi là dòng điện dịch

Đổ xác định mật độ cùa dòng diện này, ta xuất phát từ định luật bào toànđiên tích (8.12); thay đao hàm theo công thức (8.6) vào (8.12) dẫn đến

ơ t

( + d t ) =

a) Vectơ cường độ điện trường E i\

b) Vectơ cảm ứng điện Dịy vectơ phân cực điện liên hệ với hai vectơ trên

Pị = Dị — eoEi (nếu là chất điện môi);

ÿ 4 T R Ư Ờ N G Đ I Ệ N T Ừ 387

d) Vectơ cường độ từ trường H i; vectơ từ hóa liên hệ với hai vectơ Bị,

lỉị như sau

Mị = Bi - Ho Hi (nếu xuất hiện từ hóa);

e) Vcctơ mật độ dòng điện toàn phần, gồm hai vectơ mật độ dòng:

- vectơ mật độ dòng dẫn liên hệ với Ei theo định luật Ohm (8.10)

f = l r s E s

Y $ là tenxơ điện dẫn suất,

- v e c tơ mật độ d ò n g điện dịch liên hệ v ớ i D ị theo c ô n g thức ( 8 2 0 )

d t ’

d D k

Ngoài ra

D = eo^E hay D ị - £o e { E j ,

B = momH hay B t = ụ.Qịiị H j,

D = e 0E + P hay Pi = e0(e{ - S ị ) E j t (8.23)

B = /¿0H + M hay Mi = fio(ụị - S ị)H j,

trong đó £ị là ten xa điện môi, còn ụ.\ là tenxơ độ từ thẩm Định luật bảo toàn điện tích là hệ quả của các phirơng trình Maxwell, quà vậy lấy div phương trình thứ ba của (8.22) rồi sừ dụng phương trình thứ tư, suy ra điều cần tìm Các phương trình M axwell của trường điện từ trong chân không có dạng