Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 5

CHƯƠNG V Không gian apphin Mên thông Ln và không gian Riemann vn Nhiều hiện tượng cơ học và nhất là vật lý phải được khảo sát trong gian có tính chất tổng quát hơn không gian Euclide. Người ta đi đến gian liên thông apphin và không gian Riemann. Trong chương này trình bày một cách ngắn gọn những khái niệm không gian này7 không đi sàu vào lý thuyết, tiếp đó nêu các phép tính trong đó. 5.1 không không về hai tenxơ Đ a t ạ p cơ bản. K h ôn g gian a p p h in tiếp t u y ế n Đề đi đến khái niệm không gian liên thỏng apphin và khóng gian Riemann ta phải đưa vào khái niệm đa tạp cơ bản. 5.1.1 Đ a t a p cơ b ả n Giả sử ta có một đa tạp n chiều nào đấy, các phần tử M của nó có thể ánh xạ lên miền liên thông íì xác định của các biến Af «+(x1f*2,..-.,xw)€íỉ. (5.1) Anh xạ này được cho chính xác đến một phép biến đổi bất kỳ của các biến X1, X2, . . . , xn về biến mới x 1, . . . 1i n M 2, ... , £ n) € Q' 193 194 Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RI EM AN N với điều kiện duy nhất là phép biến đổi này thuận nghịch, liên tục, vi phân được với số lần cần thiết, tức là x i = ĩ i( x \ x \ . . . , x n) và ngược, lại x' = g '(x'l , x 2 , . . . , x ' n) (5.2) là nhửng hàm khả vi liên tục, đơn trị một - một. Đa tạp như vậy gọi là da tap cơ bản. Ta sẽ gọi các phần tử M của da tạp là điểm , ánh xạ đà cho (5.1) là hê toa đô trong đa tạp và các giá trị , x 2, . . . , £n tương ứng với M trong (5.1) là tọa độ của nó trong hệ tọa độ tương ứng. Cho đa tạp như thế so với không gian apphin (hơn thế nửa khỏng gian Euclide), ta thấy có nhiều điểm chưa xác định, hình học cùa đa tạp mới chỉ suy được từ cách cho trong nó tập hợp hệ tọa độ (5.1) liên hệ với nhau bằng phép biến đổi đơn trị một một liên tục vi phân được. Tuy nhiên khái niệm vè t.enxơ tại một điềm cho truớc của đa tạp có thể nhắc lại hoàn toàn như đả làm trong hệ tọa độ cong của không gian apphin. T hí du 5.1. Tại điểm M cho tenxa hạng ba a*ịk, nếu như tại mỏi hệ tọa độ X 1, x 2, ... , x n ta cho hệ thống các số alj k( M ) y khi chuyển sang hệ tọa độ khác x l ì x 2ì . . . yX n qhúng thay đổi theo quy luật trong đó các đạo hàm riêng đều lấy tại điểm M. • Ta nói cho trường tenxơ, nếu như tại mỗi điểm M của đa tạp cho một tenxơ cùng cấu trúc, chằng hạn Điểm khác so với không gian apphin là trong không gian apphin ta có thể xem alj k (M) là thành phần của tenxơ tính đối với rêpe apphin địa phương tại điểm M, còn ờ đây không quan niệm thế được, vì trong đa tạp không có vectơ, nên cùng không có rêpe apphin. Mọi phép tính đại số của tenxơ với các tính chất của chúng như đã trình bày trong chương III hoàn toàn đưa được vào đây đối với các tenxơ cho tại cùng một điềm của đa tạp; do đó không cần phải nhắc lại. Ngược lại khong tồn tại phép tính vi phân tuyệt đối trường tenxơ trong đa tạp. 5.1. ĐA TAP CO BÁN KHÔNG GIAN APPHIN YU')1T! YẾN 5.1.2 195 K h ô n g gian a p p h in tiếp tuyến Ta cổ gắng hình học hóa khái niệm đa tạp, dựa trên điều đả biết có thể xác định tenxơ với các tính chất thông thường tại mỗi điểm của đa tạp. Trong không gian apphin tonxcr phản hiến hạng nhất al xác định một vectơ a theo một nghĩa nào đẩy Muốn vậy tại mỏi điểm Xí của đa tạp ta xây dựng một không gian apphin A u có một điểm chung M với đa tạp, trong đó mỏi tenxơ á 1 tại điểm M biểu dien bằng vectơ a trong A n , sao cho nhân tenxơ al với một số và cộng hai tenxơ a*, 6* sẽ cùng là các phép tính như vậy đối với các vectơ tương ứng, tức là nếu b = aa thì b = aa, nếu é = 0 T4- b' thì c = a -f b. VcVi ánh xạ này ta nhận được mọi vectơ a của không gian A n. Không gian A n như vậy gọi là không gian apphin tiếp tuyến còn các vectơ a của nó là vectơ tiếp tuyến tại điểm M cho trước của đa tạp (gọi đơn giàn là vectơ tại điểm AI). Xét một đường trong đa tạp * W (Í), vi phân dxi = d x l(t) của tọa độ sẽ tạo thành tại mồi điểm M một tenxơ. Quả vậy X* = x ' i x ^ x 2, . , x n), nên d x ' i t ) = g -(M )d x > (í). (5.3) Trong không gian apphin tiếp tuyến, tenxơ dx' tương ứng với một vectơ dx vó cùng nhỏ, có ý nghĩa là vi phàn của vectơ bán kính X . Như vậy là không gian apphin tuyến tính dã “hòa vào” đa tạp trong lân cận vô cùng nhỏ của điồm M. dx* Bây giờ xét đao hàm tai điểm A/, nó củng tao thành tenxơ, quả vây at Do đó tenxa dx ' Qx* d x ì dt dxì dt sẽ tưang ứng với môt vectơ ^ trong không gian tiếp tuyến. dt dt Ta gọi vectơ này là vectơ tiếp tuyến với đường tại điểm M . Vậy, tiếp tuyến 196 Chương V. KHÒNG GIAN APPHIN MÈN THÔNG VÀ KG R1EMANN với đường cong cho trong đa tạp sẽ không nằm trong đa tạp mà nằm trong không gian tiếp tuyến tại điểm tương ứng. Cuối cùng, rêpe apphin địa phương củng nằm trong không gian tiếp tuyến. Cụ thể là, xét tại điểm A/ nào đấy các tenxơ aị .j có thành phần trong hệ tọa độ X 1 đà cho như sau các tenxơ này tương ứng với các vectơ g ỉ , . . . , g n trong không gian apphin tiếp tuyến A n, ta gọi rêpe ( A/ , gi , . . . ,gn) trong A n là rêpe địa phương tại M trong hệ tọa độ X1 đả cho. Khi đó mọi tenxơ cil tại điểm M sẽ tương ứng với vectơ a trong A n có các thành phần đối với rêpe địa phương trùng với a \ tức là a = G ] g i + • • • + a n g „ = a ‘g , . Ta thấy rằng vectơ gA; là vectơ tiếp tuyến với đường tọa độ xk} tham sổ của đường này t = x k; do đó vectơ tiếp tuyến dxi _ d x i _ dt dxk ị k Qua phép biến đổi tọa độ g, thay đổi theo quy luật g' = ( 5 .4 ) giống như rêpe địa phương trong hệ tọa độcong của không gian apphin. Điều này thấyđược vì các thành phần a* củavectơ a đối với rêpe địaphưrrng trùng v(Vi thành phần tenxơ a* tha}^ đổi theo quy luật »’* - ™ do đó các vectơ g, của rêpe thay đổi theo quy luật ngược lại, tức là quy luật đà nêu trên. Khi đả đưa vào rêpe địa phương, thì thành phần của một tenxơ, chẳng hạn alj k , cho tại điểm M của đa tạp có thể xem như thành phần của tenxơ lấy đối với rêpe địa phương tại điểm M của không gian apphin tiếp tuyến. 5.1. f)A TẠP 5.1.3 CO BẢN KHÔ N G G IA N A PPH IN TIÚ ru YẾN 197 M ă t t r o n g đa tạ p Mặt m chiều trong đa tạp Tì chiều là tập hợp những điểm cho bơi phương trình tham số Xx = x i (uì , u 2, ... , u m ) (i = 1,2,... ,n) (5.6) trong đó u l yu 2y. . . , um là các biến độc lập (tham số); các hàm x i liên tục vi phản được và thỏa màn điều kiện hạng của ma trận ( dxl ôu1 dx2 dxn \ du1 ôu1 Ớx1 dx2 dxn \d u m dum dvm ' bằng ra, tức là các hàng của ma trận này độc lập tuyến tính. Số chiều m của mặt có thể lấy giá trị 1, 2, . . . vn - ỉ' với m = 1 ta được một đường. Một mặt m chiều luôn luôn có thể xem là đa tạp cơ bản m chiều. Quà vậy khỏng thay đổi mặt, có thể biến đổi các tham số 11 Q nhờ phép biến đổi vi phân được đơn trị nhất nhất: ú a = f a ( u \ u 2, . . . , um); ua = ga( ú l , ú \ . . . , ú m ) phương trình mặt có thể viết dưới dạng X = X (u yu , . . . , 11 ) các hàm này cùng thỏa mãn điều kiện (5.7). Các tham số ua là tọa độ mặt cho chính xác đến phép biến đổi như vậy, nên ta có thể xem mặt m chiều là đa tạp m chiều nhir định nghĩa trước đây. Do đó trên mặt ta cũng có thể xét các tenxơ tại từng điểm M hoặc trường tenxơ. Chẳng hạn, các thành phần tenxơ sẽ thay đổi theo quy luật = f£(Aí>|£ với p + 1. Vì í/p, Z/* trực giao, nèn = 0. lấy vi phản tuyệt đối hệ thức này cho ta 9 i j { D v § v ị + 9ijv \D uị = 0; (5.26) 218 C h ư ơ n g V. KHÓNG GIAN APPHIN LIÈN T H Ô N G VÀ KG RJEMANiV chia cho ds và dùng (5.26) dẫn đến Dv. Qiĩ-p-vị ds = 0, với Ç > p + 1 . 0, với p > q + l. Hoán vị p cho q) ta được (5.27) Dv' Từ (5.26) và (5.27) ta thấy vectơ ——- trưc giao với moi u\ trừ ds ' v «4 - 1. 4 ' 4 + 1- Nhưng vectơ —— trực giao với uị, điều này suy từ vi phân hê thức CLo 9 i ý pv ị = ± 1 cho ta 9i i { Đ v ị ) v ị + gijVlp ( D v ị ) = 2gXJv'pD v ị = 0. Cuối cùng, ta có thể khai triển Duxp chỉ qua v xp_ J và i/p+1 Đ vi . £ s — Xp>v-Il'ĩ>-1 Ta chứng minh số các hệ số ta được 9ij Xpq . *Vsp+i^p+i* giảni đi một nửa. Nhân vỏ hướng (5.28) với D vịj Vp- 1 — ^p.p-iÊp-i» trong dó £ p _ i = 1 nếu là vectơ đơn vị, còn đcrn vị ảo. Tương tự, nhân (5.28) với i/*+ 1 5tj Mặt khác vì i/p+1 , (5.28) 6p-1 = —1 nếu ^p+1 — *p,p+i£p+i- trực giao, nên 5 «j*'í*'í+i = 0 (p= 0 , l , 2 , . . . , n - 2 ) i/p_j là vectơ 5 .6 . VI Đ Ư Ờ N G TR O N G KHÔNG GIAN R1BMANN. Đ Ư Ờ N G TRẮC đ ị a 219 phàn lên 9 “ d r ^ + S ií^ đ r =ữ dùng hai hệ thức vừa nhận được ờ trên vào đây cho ta *p,p+l£p+l *+■^p+l,p£p = 0 . Tư đây ta thấy nếu đặt •* p ,p + 1 “ */>+1 thì X p + \ tp = iiX p+ị, Công thức (5.28) có dạng Đvl = ± * p ^ - l + Xp+ivị+l- (5 -29) Trường hợp không gian Riemann thực sự, thì ờ số hạng thứ nhất chỉ có dấu trừ. Viết tường minh (5.29) ds = Xii/ị, Dư\1 = ÌXil/ỏ ^ i + X2//.» 2, (ỉs D < -2 ds Dun - l ds = ± x „ _ 2 < _ 3 + X n -Il/* .!, , .i ~ ± x " - ' ì/" - * Đảy là công thức Frenet suy rộng, hệ số * 1 , X2 , . . . , x n- i gọi là độ cong của đường tại điểm A/ đang xét. Trường hợp đường trong không gian Euclide E n, thì không gian E n cũng là không gian tiếp tuyến của chính nó, mọi vectơ v xv đều nằm trong E n, nên ta ký hiệu là vectơ I/p, vi phản tuyệt dối sẽ chính là vi phân của vectơ, nên 220 C h ư ơ n g V. KHÔNG GIAN APPHIN LI ẺN TH ÔNG VÀ KG RI EM ANN còng thức Frenet có dạng (ừ/0 , = X\V\, as du I = ± * 1*'0 + as ....................... (5.30) (ÌVn- 2 — i^ n -2 ^ íi“3 ds cl» n - 1 ds l^n—1 ì = i xn_ 1l/n_2• T h í du 5.14. Trường hợp không gian Euclide ba chiều, ta có dỉ/0 — as = Xị I/1, dv I - y -1 = 05 dì/ 2 ± X \Ì/Q + X 2I/2 , — 1 «6- Trong không gian thông thường Eucliđe thực sự ba chiều, ta chi lấy dấu trử. V[),V\,V2 hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến của đường; X \ là độ cong, còn X2 là độ xoắn. Các hệ thức trên viết dưới dạng thành phần Ỉ/Ẳ bời r đường trắc địa, tức là theo chu vi của đa giác cầu, ta được a — a — y^[i4fc - (k - 2 )7r), *=1 Ak là góc của đa giác. Rõ ràng nếu tam giác ờ trên mặt phằng thì A 4- B + c = 7Tnén a' —Q = 0. Dịch chuyển song song theo đường kín gòm các đoạn thẳng vectơ không bị quay. Độ tăng a' - Q = e cho ta đặc trưng độ cong trên mặt cầu. Như đả biết một định lý của hình học mặt cầu ơ e~R2' trong đó ơ là diện tích của đa giác cầu, còn R là bán kính cầu. Đại lưạng gọi là độ cong. Sau này để xác định độ tăng, ta thường dựng chu tuyến bốn đoạn A B C D và cho vectơ a dịch chuyển song song từ A đến D theo hai dường khác nhau A C D và A B D . Tại D các vectơ dịch chuyển đến a'/ và a' 2' lập thành góc tăng e, và ơ Hỉnh 5.3 230 C h ư ơ n g V. KHỎNG GIAN APPHIN LIẾN THÔNG VÀ KG H1RMANN Người ta mỏr rộng một cách tương tự khái niệm này để xác định độ cong của không gian n chiều 5.7.2 T e n x ơ độ cong trong không gian a p p h in liên th ô n g L n Ta có thể hình dung độ cong của không gian này là sự lệch hình học của nó so với hình học của không gian apphin. Chúng ta sẽ đánh giá sự lệch dó trong lân cận vô cùng nhỏ của một điểm M và đặc trưng sự lệch đó bằng một tenxơ tại điểm dó gọi là tenxơ độ cong hay là tenxơ Riemann - Chrừtoffel. Trong L n xét trường tenxơ hạng nhất phản biến nó tương ứng với vectơ phản biến trong không gian apphin tiếp tuyến tại từng điểm M đang xét. Bảy giờ ta mờ rộng khái niộm dịch chuyển song song vectơ theo chu tuyến như vừa nêu trên, ờ đây ta làm trong lân cân vô cùng nhỏ cùa điểm M . ở trên di theo hai dường khác Iihau theo thử tự trước sau, thì ở đây ta lấy vi phân tuyệt dối theo hai hướng khác nhau rồi cũng theo thứ tự trước sau và xét hiệu số (như đâ biết vi phân tuyệt đổi tính được cần đến khái niệm dịch chuyển song song), tất nhiên việc làm này có trừu tượng hơn vì là không gian n chiều. Trước hết lấy vi phản tuyệt đối Da 1 của tenxơ a* khi dịch chuyển vỏ cùng nhỏ từ M theo một hướng nào đấy kết quả vần được một tenxơ phán biến hạng nhất tại My nên t.a lại lấy vi phân tuyệt đối D* khi chuyển dịch vô cùng nhò từ M theo một hướng khác} ta được tenxơ D*Dá 1 . Ngược lại, tính DD*ax khác trước bằng thứ tự lấy vi phân; sau đó xét hiệu của chúng. Ta có Do' = dn' + ữjka?dxkt D' Da' - d'{Da') + r jk(Daj )dmx k, (dấu * tương ứng với hướng khác); vậy D*Da' = d*(da' 4 r )kaj dxk) + r ) k{da} + r j(paedxp) d 'x k = á*da' + {dtrijk)aj dxk + r l]kd'a:dxk + r)kajd*dxk + r ]kdaJd ' x k + Vjkr J(pa(d xpd*xk . Khi tính ngược lại DD*a\ thì sổ hạng thứ nhất và thử tư không đổi vì (i và d* có thề hoán vị cho nhau, ngoài ra số hạng thứ ba và thứ năm sẽ thay đoi vị trí; nên khi lấy hiệu D*Dal và DD*ai các số ke trẽn sẽ triệt tiêu, kết quả 5.7. » 0 CONG TR O N G KHONG GIAN TENXO f ) 0 CONG 231 nhan diroc (thay chi so cam trorig so hang thu hai cho j va () D 'D a ' - D D 'a 1 = ( d T l( k)atdTk + r jfcr Jtpatdxpd ' x k - (dT'(k)aed, xk - r 'pr \kat d*xpd x k. Dat /)r* d*r'(k = — ^ c f j p; dYl , dr;* = -r r ^ d x p vao he thirc tren ta di den: D-Da- - D D ’ a- - - ( S +ly * - ^ Dira vao ky hieu «V + n/«- - - r‘tr;p, (5.36) ta co D*Dal - D D 'a' = - R % kaldxpd*xk. (5.37) Cac he so /Z^pA. lap thanh tenxa hang bon mot lan phan bien, ba Ian hiep bien. Dieu nay co the suy true tiep: ve trai la tenxa phin bien hang nhat (chi so z), ben ve ph&i cac tenxa dxr, d*xk deu la tenxa phan bienhang nhat, theo dan hieu ngirac lai ciia tenxa ta dirac dieu khang dinh tren. Tenxa R l'(pk lap nen tu he so lien thong P \ theo cong thuc (5.36) goi Id tenxa do cong hay tenxa Riernann - Christoff el cua khong gian apphin lien thong L n• Ta co the thay de dang no ph&n doi xirng theo hai chi so pk. Cong thiic (5.37) con goi la hoan vi luan phien vi phan tuyet. doi bac hai cua tenxa a* vai chuyen dich vo cung nho dxl, d*xl. Tirang tir.ta c6 the tim hoan vi luan phien vi phan tuyet doibac hai ciia tenxa a* D* Da, - DD*ai = R(ipkaedxpd ' x k va doi vai tenxa bat ky, chang han tenxa ars t: D ' D a rst - D D ' a rst = ( - R rtpkafst + R (spkarH + R (tpkars()dxpd ' x k 232 C h ư ơ n g V. KHỎNG GIAN APPHIN LIÊN TH ÒNG VÀ KG RIEMANN Tenxơ độ cong tại mồi điểm của không gian cho phép xác định độ lệch so với giá trị ban đầu của một vectơ bất kỳ tại điểm nào đấy sau khi dịch chuyển song song theo một chu tuyến kín vô cùng nhỏ. Do đó, để khỏng gian apphin liên thông Ln là không gian apphin thường thì điều kiện cần và đủ là độ xoắn và độ cong K ip k — 5.7.3 0. T e n x ơ độ cong tro n g Ưn Trường hợp không gian apphin liên thông không xoắn L® (SỊj = 0 ), thì điều kiện cần và đủ để nó là không gian apphin thường là tenxơ độ cong R lịvk = 0 . Trong không gian liên thống không xoắn L®, tenxơ độ cong có một so tính chất sau. 1. Đồng nhất thức Ricci. Cóng thức (5.36) có thể viết K ìp k = ^ p ik “ A \ ipy trong đó A * =r 4- r i rị p dxP ỈP tkTrong L 0 hệ số liên thông r % Ịk đối xứng theo í, fc; nên Aptk - A % pkt. Bây giờ ta hoán vị vòng quanh ba chỉ số dưới của R^ịpk ta nhận được ba tenxơ, đem cộng lại và chú ý đến các hệ thức nhận được ờ trên sẽ dẫn đến kết quà ỉ? .ipk + & ữp + V p ic t = 0 (5-38) dó là đồng nhất thức Ricci Quả vậy, thay các giá trị của tenxơ R qua A vào (5.38), ta có A p tk “ A \ tp + A \ kp - A lp kf + A \ pị - A \ pk dùng tính chất dối xứng của A theo hai chỉ số sau ta suy ra hệ thức này bằng không. 5.7. 233 ĐÒ CONG TR O N G KHÒN[...]... thuộc vào số chiều của mặt T hí dụ 5. 13 Tính dạo hàm hiệp biến V 7 ÒQ trên mặt cầu bán kính R Tenxơ metric có dạng Gil = 1, ơ 22 = (/Î sin lí1)2, G 12 = Ơ 21 = 0> các hệ số liên thông được tính tương tự như trong thí dụ 5. 5 Khi đó 216 C h ư ơ n g V KHÔNG GIAN AJTH IN LIKN T H Ô N G VÀ KG KIKMANN 5. 6 Đ ư ờ n g tr o n g không gian R i e m a n n Đ ư ờ n g tr ắ c đia tr o n g k h ô n g gian L n và Vn 5. 6.1... ta chứng minh được rằng không gian chứa E n phải có số chiều m(m + 1) 71 ~~ 2 Thí dụ 5. 8 Trong không gian J?3 ta có thế xét các mặt một chiều, hai chiều, trong không gian E(ỳ có thể xét các mật một chiều, hai chiều và ba chiều • 5. 5 Giải tíc h te n x ơ tro n g không gian liên th ô n g Ln v à k h ô n g gian R ie m a n n Vn ờ đây đưa vào khái niệm vi phân tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến cùa tenxơ Trong. .. 9im9mj = Sj\ 1 Gij nên Det |ợ'J| = — và gl] = — trong đó GlJ là phần phụ đại số của 9 Ọij 9 Nhờ hai tenxơ này ta thực hiện phép nâng và hạ chỉ số tương tự như trong mục 4.3 chương IV T hí dụ 5. 2 Nâng chỉ số j trong ten x ơ a'jk « i- = 9 j p ¿ p k , hoặc hạ chỉ số i trong alj k ai'jk = 9iqa% • Phép nâng hạ cũng thực hiện đối với tenxơ tại từng điểm của không gian 5. 3.3 M ặ t 771 ch iề u tro n g không gian... phương as t r ì n h ( 5 3 1 ) đ ư a v ề d ạ n g 224 C h ư ơ n g V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RIEMANN Bây giờ ta chứng minh tính chất cơ bản của đường trắc địa bằng định lý sau dảy: Định lý Đề một đường trong không gian Ricmann có độ dài cục trị, đièu kiện cần và đủ là dường đó là đuờng trắc địa (nói riêng, trong không gian Eucliđe E n, dường đó là đường thẳng) C hứ ng m inh Ta tính biến phân độ... nên đưa hệ số liên thông vào không gian Riemann theo tính chất a), là muốn giữ tính chất đó Tính chất b) cho ta thấy các tính chất apphin và mêtric của các vectcr phải không dổi, nói riêng độ dài của chúng và góc giữa chúng phải không đổi khi dịch chuyển song song theo đường, nó gần với tính chất của không gian Euclide Bây giờ xác định hệ số liên thông thỏa màn hai tính chất a) và b) Ta có a b= do đòi... cong) và mặt hai chiều V2 • Mặt m chiều là không gian Riemann m chiều, nên trong đó ta cũng có thể xây dựng khái niệm tenxa T h í du 5. 4 Hệ thống a^7 lập thành tenxơ, nếu chúng thay dổi theo quy luật Các phép tính đối với tenxơ củng thực hiện tại từng điểm trên mặt m chiều, kể cà phép nâng và hạ chi số nhờ tenxơ mêtric Gap 5. 3.4 H ê số liê n th ô n g tro n g không gian R ie m a n n ở các phần trên... việc đưa vào tenxơ metric g%j(M)y ta có thêm phép nâng và hạ chỉ số tương tự như trong không gian Euclide, sự khác biệt giừa chỉ số trên và chi số dưới không thật đáng kể nửa, vì chỉ số nọ có thể chuyển thành chì số kia Từ tenxơ metric hiệp) biến ta xây đựng tenxơ metric phản biến ọiJ( M ) } các thành phần của nó lập thành ma trân nghịch đào với ma trận (W ); 9im9mj = Sj\ 1 Gij nên Det |ợ'J| = — và gl]... Oa* i jữfc - ỡxí' _ _ V /o jfc = - g r + 5. 5.2 - r > ‘mfc - i r , a ‘ m V i p h â n t u y ệ t dối và đạo h à m h iê p b iế n tro n g Vn Mọi công thức vừa nêu trên tất nhiên cũng đúng đối với hệ số liên thông cùa không gian Riemann (công thức (5. 22)) Nhưng do có tenxơ inêtric gij các phép tính này có một số tính chất mới B ổ đề R icci Đạo hàm hiệp biến của tenxơ mêtric đồng nhất bằng không Quả vậy:... công thức (5. 20) thì vế phải bằng không, đó là điều cần chứng minh Vậy vi phân tuyệt đối của tenxơ mêtric cũng bằng không Dỹiị = 0 Tương tự như vậy đối với tenxơ đơn vị ỏỳ V í = ẩ + ^ = r i, - r tj = 0 = 5. 5 GIẢI TÍCH TEN X ơ TRONO KHÔNG GIAN LIÊN THÒNG 213 (riêng đối với tenxơ này tất nhiên cũng đúng trong không gian liên thông apphin L n)\ còn từ đạo hàm hiệp biến hệ thức gĩmgmj = ta chứng minh được.. .5. 3 203 KHỐNG GIAN RI KM ANN TEN x ơ METRIC 5 3 2 T e n x ơ tr o n g k h ôn g gian R iem a n n Giả sử tại điểm M nào đấy cùa không gian Riemann cho tenxơ, chẳng hạn aijk Như dà biết trong đa tạp, có thể xem nó là tenxơ đổi với rêpe địa phương tại điểm M cùa không gia.il apphin tiếp tuyến A n Các phép tính đại số đối với các tenxơ đều thực hiện được tương ứng tại từng điểm của ... Mọi phép tính đại số tenxơ với tính chất chúng trình bày chương III hoàn toàn đưa vào tenxơ cho điềm đa tạp; không cần phải nhắc lại Ngược lại khong tồn phép tính vi phân tuyệt đối trường tenxơ. .. niệm tenxa T h í du 5. 4 Hệ thống a^7 lập thành tenxơ, chúng thay dổi theo quy luật Các phép tính tenxơ củng thực điểm mặt m chiều, kể cà phép nâng hạ chi số nhờ tenxơ mêtric Gap 5. 3.4 H ê số liê... hai chi sổ i với k tenxơ độ cong R^ipk Rip — R l'èpi- (5. 45) Biết R.ìpk ““ Rmtpk, nen Rtp = gịTnRmtpi- (5. 46) Thay biểu thức Rrntpi theo (5. 42) vào (5. 46) ta xác định biểu thức tenxơ Ricci - Einst.ein