Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 5

Cho đa tạp như thế so với không gian apphin hơn thế nửa khỏng gian Euclide, ta thấy có nhiều điểm chưa xác định, hình học cùa đa tạp mới chỉ suy được từ cách cho trong nó tập hợp hệ tọa

CHƯƠNG V

Không gian apphin Mên thông

Nhiều hiện tượng cơ học và nhất là vật lý phải được khảo sát trong không gian có tính chất tổng quát hơn không gian Euclide Người ta đi đến không gian liên thông apphin và không gian Riemann.

Trong chương này trình bày một cách ngắn gọn những khái niệm về hai không gian này7 không đi sàu vào lý thuyết, tiếp đó nêu các phép tính tenxơ trong đó.

5.1 Đ a t ạ p c ơ bản K h ô n g gian a p p h i n tiế p t u y ế n

Đề đi đến khái niệm không gian liên thỏng apphin và khóng gian Riemann ta phải đưa vào khái niệm đa tạp cơ bản.

5.1.1 Đ a t a p c ơ b ả n

Giả sử ta có một đa tạp n chiều nào đấy, các phần tử M của nó có thể ánh

xạ lên miền liên thông íì xác định của các biến

194 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RI EM AN N

với điều kiện duy nhất là phép biến đổi này thuận nghịch, liên tục, vi phân được với số lần cần thiết, tức là

x i = ĩ i( x \ x \ , x n)

và ngược, lại

x' = g '( x 'l , x 2 , , x ' n) (5.2)

là nhửng hàm khả vi liên tục, đơn trị một - một.

Đa tạp như vậy gọi là da ta p cơ bản Ta sẽ gọi các phần tử M của da

tạp là điểm , ánh xạ đà cho (5.1) là hê to a đô trong đa tạp và các giá trị

, x 2, , £n tương ứng với M trong (5.1) là tọ a độ của nó trong hệ tọa độ

tương ứng.

Cho đa tạp như thế so với không gian apphin (hơn thế nửa khỏng gian Euclide), ta thấy có nhiều điểm chưa xác định, hình học cùa đa tạp mới chỉ suy được từ cách cho trong nó tập hợp hệ tọa độ (5.1) liên hệ với nhau bằng phép biến đổi đơn trị một một liên tục vi phân được.

Tuy nhiên khái niệm vè t.enxơ tại một điềm cho truớc của đa tạp có thể

nhắc lại hoàn toàn như đả làm trong hệ tọa độ cong của không gian apphin.

T h í du 5.1 Tại điểm M cho tenxa hạng ba a*ịk , nếu như tại mỏi hệ tọa độ

X 1 , x 2, , x n ta cho hệ thống các số a lj k( M ) y khi chuyển sang hệ tọa độ khác

x l ì x 2ì yX n qhúng thay đổi theo quy luật

trong đó các đạo hàm riêng đều lấy tại điểm M •

Ta nói cho trường tenxơ, nếu như tại mỗi điểm M của đa tạp cho một

tenxơ cùng cấu trúc, chằng hạn

Điểm khác so với không gian apphin là trong không gian apphin ta có thể

xem alj k (M ) là thành phần của tenxơ tính đối với rêpe apphin địa phương tại điểm M, còn ờ đây không quan niệm thế được, vì trong đa tạp không có

vectơ, nên cùng không có rêpe apphin.

Mọi phép tính đại số của tenxơ với các tính chất của chúng như đã trình

bày trong chương III hoàn toàn đưa được vào đây đối với các tenxơ cho tại

cùng một điềm của đa tạp; do đó không cần phải nhắc lại Ngược lại khong

tồn tại phép tính vi phân tuyệt đối trường tenxơ trong đa tạp.

5.1 ĐA TAP CO BÁN KHÔNG GIAN APPHIN YU')1 T! YẾN 195

5.1.2 K h ô n g g ian a p p h in tiếp tu y ến

Ta cổ gắng hình học hóa khái niệm đa tạp, dựa trên điều đả biết có thể xác định tenxơ với các tính chất thông thường tại mỗi điểm của đa tạp.

Trong không gian apphin tonxcr phản hiến hạng nhất al xác định một vectơ

a theo một nghĩa nào đẩy Muốn vậy tại mỏi điểm Xí của đa tạp ta xây dựng một không gian apphin A u có một điểm chung M với đa tạp, trong đó mỏi tenxơ á 1 tại điểm M biểu dien bằng vectơ a trong A n , sao cho nhân tenxơ al

với một số và cộng hai tenxơ a*, 6* sẽ cùng là các phép tính như vậy đối với các vectơ tương ứng, tức là

Trong không gian apphin tiếp tuyến, tenxơ dx' tương ứng với một vectơ dx

vó cùng nhỏ, có ý nghĩa là vi phàn của vectơ bán kính X Như vậy là không gian apphin tuyến tính dã “hòa vào” đa tạp trong lân cận vô cùng nhỏ của

196 Chương V KHÒNG GIAN APPHIN MÈN THÔNG VÀ KG R1EMANN

với đường cong cho trong đa tạp sẽ không nằm trong đa tạp mà nằm trong không gian tiếp tuyến tại điểm tương ứng.

Cuối cùng, rêpe apphin địa phương củng nằm trong không gian tiếp tuyến

Cụ thể là, xét tại điểm A/ nào đấy các tenxơ aị j có thành phần trong hệ tọa

độ X 1 đà cho như sau

các tenxơ này tương ứng với các vectơ g ỉ , , g n trong không gian apphin

tiếp tuyến A n, ta gọi rêpe ( A/ , g i , ,gn) trong A n là rêpe địa phương tại M trong hệ tọa độ X1 đả cho Khi đó mọi tenxơ cil tại điểm M sẽ tương ứng với

vectơ a trong A n có các thành phần đối với rêpe địa phương trùng với a \ tức là

do đó các vectơ g, của rêpe thay đổi theo quy luật ngược lại, tức là quy luật

đà nêu trên.

Khi đả đưa vào rêpe địa phương, thì thành phần của một tenxơ, chẳng

hạn a lj k , cho tại điểm M của đa tạp có thể xem như thành phần của tenxơ lấy đối với rêpe địa phương tại điểm M của không gian apphin tiếp tuyến.

trong đó u l yu 2y. , um là các biến độc lập (tham số); các hàm x i liên tục vi

phản được và thỏa màn điều kiện hạng của ma trận

ô u 1 d u1 ôu1

bằng ra, tức là các hàng của ma trận này độc lập tuyến tính Số chiều m của

mặt có thể lấy giá trị 1, 2, v n - ỉ' với m = 1 ta được một đường.

Một mặt m chiều luôn luôn có thể xem là đa tạp cơ bản m chiều Quà

vậy khỏng thay đổi mặt, có thể biến đổi các tham số 11 Q nhờ phép biến đổi vi

phân được đơn trị nhất nhất:

đa tạp m chiều nhir định nghĩa trước đây.

Do đó trên mặt ta cũng có thể xét các tenxơ tại từng điểm M hoặc trường

tenxơ Chẳng hạn, các thành phần tenxơ sẽ thay đổi theo quy luật

=

f£(Aí>|£<w)Jì£<J>0«í-<J>0-Chú ý Chỉ số Hy-lạp chạy từ 1 đến m, còn chỉ sổ la tinh chạy từ 1 đến n.

Đường ờ trên mặt sẽ cho bởi phương trình

198 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LlbN THÔNG VÀ KG R1EMANN

đặt vào (5.6), ta được x i là hàm của t, đúng là xác định một đirờng trong đa

tạp dang xét Vcctơ tiếp tuyến có dạng

độc lập tuyến tính theo (5.7) và là vecta tiếp tuyến với các đường tọa độ

u 1, , um trên mặt Chúng là rêpe địa phương tại điểm M của mặt (đa tạp)

m chiều, tức là nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến A m tại điểm M Mặt phẳng

tiếp tuyến A m tại điểm M là không gian apphin tiếp tuyến tại M của đa tạp

ra chiều và là không gian con của không gian tiếp tuyến A n cùa đa tạp n

chiều.

5.2 K h ô n g gian a p p h i n liên t h ô n g L n K h ô n g gian

Hên t h ô n g k h ô n g x o ắ n ữ n

5.2.1 Đ ịn h n g h ĩa k h ô n g g ia n a p p h i n liên t h ô n g

Xuất phát điểm để xây dựng không gian liên thông L n là không gian apphin

A n trong hệ tọa độ cong, trong đó hệ sổ liên thông r*j hoàn toàn xác định hình học của không gian apphin Cách xây dựng như sau:

Tại mỏi điểm M của đa tạp đối với mỗi hệ tọa độ x' ta cho hệ thống số

■5.2 KHỞNG GIAN APPHIN UẼN THÕNG 1 9 9

r * , khi thay dổi hệ tọa độ hệ thống này thay dổi theo quy luật

và cho là những hàm tùy ý trong hệ tọa độ X1 nào đấy, chỉ cần thỏa mân

quy luật thay đổi (5.9).

ta có không gian apphin liên thông không xoắn L Việc cho tenxơ trong

không gian này tại điểm M nào đấy có thể xem như tenxơ trong không gian apphin tiếp tuyến A n đối với rêpe địa phương tại điểm đó Mọi phép tính dại

số tenxơ đều thực hiện được tại riêng từng điểm.

2 0 0 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÒNG VÀ KG RIEMANN

5 2 2 D ịc h c h u y ể n s o n g so n g

Như đã biết, dịch chuyển song song một vectơ a theo đường x'(t) nào đấy

trong không gian apphin sẽ cho bời công thức (4.27)

cho trường tenxơ hạng nhất phàn biến a*(f), nó sẽ tương ứng với trường

vectơ trong không gian apphin tiếp tuyến A n tại từng điểm đang xét Ta

nói rằng vectơ a‘(£) dịch chuyển song song dọc theo đường cong, nếu với mỏi chuyển dịch vô cùng nhỏ theo đường đó, các thành phần của vectơ a*(£) thay đổi theo quy luật

Chú ý rằng, ờ đây không nói đến gia số, mà nói đến vi phân.

Có thể chỉ ra được chuyển dịch song song vectơ xác định theo công thức (5.11) là bất biến dối với phép biến đổi hệ tọa độ X1.

Trên đây chỉ là cho định nghĩa, nhưng cần biết có thực hiện được và đơn

trị không Chia hai vế (5.11) cho dt

(5.12)

Vì r£ là hàm đă biết của tọa độ X1*, mà dọc theo đường cong thì biết x i là hàm của t ì nên trong hệ thức trên mọi đại lượng đều là hàm đả biết của ty ngoài ak (t) phải tìm Trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình này có nghiệm ak(t) duy nhất với mọi điều kiện ban đầu

ữk = ữ0 (fc = 1 , 2 , , n) với t = ¿0- (5.13)

Vậy: vectơ a§ cho tại điểm M q ( íq ) nào đấy của đường cong có thể chuyển

dịch song song một cách duy nhấtf dọc theo đường cong đó; đến điểm M (i) vectơ aố có dạng ak{t)\ trong dó ak(t) là nghiệm của hệ (5.12) với điều kiện ban dầu (5.13) Khác với không gian apphin, ờ đây dịch chuyền song song

phụ thuộc vào đuờng d ị nên có thể sau khi dịch chuyển song song theo đường

kín, vectơ ŨQ lúc trỏr lại điểm xuất phát M , sẽ cho vectơ khác vectơ al0.

5 3 KHÔNG GIAN RIEMANN TENXO MÊTRIC 201

Bảy giờ tại điểm ban dầu Mo(to) cho một tập hợp các vectơ của không

gian tiếp tuyến tại điểm A/o- Trong quá trình cùng dịch chuyển song song theo đường cong cho trước hệ thức tuyến tính giữa chúng sẽ không bị phá

vở, tức là

bị = aaị) với t = ÍQ, thì b*(£) = ơa ^t) với t = t\

Cq = alQ + 6q với t = to, thì c*(£) = a*(0 4- bl(t) với f = í.

5.3 K h ô n g gian R ie m a n n Vn T e n x ơ m ê tric , hê số

liên t h ô n g t r o n g không gian R i e m a n n

9ji-Tenxơ Ọij gọi là tenxơ mêtric của không gian Riemann, nó có thể chọn tùy

ý chỉ cần thòa màn các điều kiện trên Điều này khác với tenxơ mẽtric của

không gian Euclide, vì nhir đã biết tenxơ mêtric Euclide phải thỏa mân hệ phưcmg trình vi phản cấp hai (4.45) mục 4.8 chương IV Do đó với cùng một

đa tạp có thể đưa vào nhiều độ do Riemann.

Xét không gian apphin tiếp tuyến An với đa tạp đang xét tại mỏi điểm

M Vectơ a của không gian này là biểu diễn hình học của tenxơ a* tại điểm

M dang xét Nhờ trường tenxơ 9 ij{M)y chủng ta biến đổi không gian apphin

tiếp tuyến A n về không gian Euclide Eny bằng cách đưa vào tích vô hướng

của hai vectơ bất kỳ

Ta có thể nói không gian Riemann Vn là đa tạp, mà mỗi không gian apphin tiếp tuyến A n của nó đều chuyển thành không gian Euclide bằng cách đưa vào

tenxơ mêtric Ọij liên tục vi phân được Tích vó hướng a • b là bất biến và đối

xứng vì gtj dối xứng, nó cho ta độ đo Euclide không suy biến vì Det|3tj| ^ 0.

2 02 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RIEMANN

Ta gọi không gian Rieman là không gian Riemann thục sự hay giả Riemann

tùy thuộc vào các không gian tiếp tuyến của nỏ là Euclide thực sự hay già Euclide (chl xét không gian thực) Mọi điều đúng trong không gian Euclide

như đã xét ờ chương IV đều đúng đổi với các không gian tiếp tuyến E n tại

mỏi điểm M của không gian Riemann vn. Chẳng hạn độ dài vectơ bcằng

Không gian Riemann thực sự đặc trưng bời dạng toàn phương g i j a l a J xác định duơng.

Ta đưa vào một định nghĩa khác của không gian Rieman, thay việc cho trường tenxơ mêtric gij(xl } , x n) bằng cho dạng toàn phương mêtric (hay

là phần từ đường của khỏng gian Riemann).

Xét đường cong trong không gian Riemann

gia số vô cùng nhỏ theo đường này tương ứng với vecta vô cùng nhỏ d x l (t)

trong không gian tiếp tuyến Khi đó ta có thể đo được độ dài vectơ

Tirơng tự với không gian Euclide, ta có độ dài vectơ d x là vi phân cung

ds dọc theo đường

Bình phương vi phân cung biểu thị bằng dạng toàn phương của vi phân tọa

độ X*, ta gọi là d a n g to à n p h ư ơ n g c ơ sờ, nó là một.bất biến Vậy:

Không gian Riemann vn là đa tạp, trong đó cho trước dạng toàn phương

vi phản bất biến

với Ọij liên tục vi phản được và Det \gij\ Ỷ 0.

Không gian Riemann thực sự đặc trưng bời dạng toàn phương cơ sờ xác

định dương và ds luôn luôn thực, còn trong không gian giả Riemann ds có

thể thực, thuần túy ảo hoặc bằng không.

Tất nhiên hai định nghĩa không gian Riemann là tương đương nhau, từ định nghĩa nọ có thể suy về đinh nghĩa kia.

|a| = Vai 2 = y j g ^ a xa^

ds2 = |d x |2 = glj d x idxJ. (5.15)

5.3 KHỐNG GIAN RI KM ANN TEN x ơ METRIC 203

5 3 2 T e n x ơ tr o n g k h ô n g gian R iem a n n

Giả sử tại điểm M nào đấy cùa không gian Riemann cho tenxơ, chẳng hạn

aijk Như dà biết trong đa tạp, có thể xem nó là tenxơ đổi với rêpe địa phương

tại điểm M cùa không gia.il apphin tiếp tuyến A n Các phép tính đại số đối

với các tenxơ đều thực hiện được tương ứng tại từng điểm của không gian

Ngoài ra việc đưa vào tenxơ metric g%j(M)y ta có thêm phép nâng và hạ chỉ

số tương tự như trong không gian Euclide, sự khác biệt giừa chỉ số trên và chi số dưới không thật đáng kể nửa, vì chỉ số nọ có thể chuyển thành chì số kia.

Từ tenxơ metric hiệp) biến ta xây đựng tenxơ metric phản biến

ọiJ( M ) } các thành phần của nó lập thành ma trân nghịch đào với ma trận

Phép nâng hạ cũng thực hiện đối với tenxơ tại từng điểm của không gian

5.3.3 M ặ t 771 c h iề u tro n g k h ô n g gian R i e m a n n Vn

Giả sử cho mặt m chiều

X* = x i {ul , u 2, , um) (i = 1 , 2 , , n),

ta tính vi phân cung khi dịch chuyển vô cùng nhỏ theo đường cong bất kỳ trên mặt m chiều này Ta có

2 0 4 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÕNG VÀ KG RIEMANN

Vậy trên mặt m chiều dạng toàn phương vi phán của biến u 1, u2, , um biền

thị bình phvơng vi phán cung và do đó nó bất biến (phần tủ đuờng của mặt

m chiều).

Điều kiện Gap = Gßa suy từ công thức (5.16) và diều kiện Qij = gji, nếu

thêm điều kiện

thì theo định nghĩa thứ hai ta có thể nói mặt rn chiều là không gian Riemann

771 chiều với tenxơ mêtric Gaß Nếu điều kiện (5.18) thỏa rnản, mặt m chiều

là không đằng hướng, nó chính là không gian Riemann ro chiều vm. Trường hạp không gian Riemann thực sự mọi mặt đều không đẳng hướng, vì điều kiện (5.18) suy từ dạng toàn phương ds2 = Gaßduadu0 xác định dương Bảy giờ xét mặt phẳng tiếp tuyến A m của mặt m chiều, mặt phẳng này nằm trong không gian tiếp tuyến An lúc này là không gian Euclide, các vectơ

0* của mặt phẳng có dạng tương tự như (5.8)

trong đó an là các vectơ có thể của mặt m chiều tại điểm M Tích vô hướng

cùa hai vectơ a , b bắt kỳ của Am cho ta

5 3 KHÔNG GIAN RIEMANN TENXƠ MẺTHIC 2 0 5

nếu điều kiện (5.18) thỏa màn, khi dó mặt phẳng A m không đẳng hướng và

có độ đo Euclide Mặt phằng A m là khóng gian tiếp tuyến tại mỗi điểm của

không gian Rieman vm (mặt m chiều) Công thức (5.19) cùa Vm lập lại cỏng

thức (5.14) của Vn.

T h í du 5.3 Trong khỏng gian Riemann ba chiều V3 (trường hợp riêng là khỏng gian Euclide thông thường) có thể xét mặt một chiều Vi (dường cong)

và mặt hai chiều V 2 •

Mặt m chiều là không gian Riemann m chiều, nên trong đó ta cũng có thể

xây dựng khái niệm tenxa.

T h í du 5.4 Hệ thống a^7 lập thành tenxơ, nếu chúng thay dổi theo quy luật

Các phép tính đối với tenxơ củng thực hiện tại từng điểm trên mặt m

chiều, kể cà phép nâng và hạ chi số nhờ tenxơ mêtric Gap.

5.3.4 H ê số liê n t h ô n g tro n g không g ian R ie m a n n

ở các phần trên ta mới xét riêng hình học apphin liên thông sinh ra bời hệ

số liên thông T ị j ( M ) và hình học Riemann suy bời tenxơ mêtric Bảy

giờ trong không gian Riemann ta luôn có thể xảy dụng hệ số liên thông r i j ( M )

một cách duy nhất, có các tính chất sau đảy

a) độ xoắn bằng không Tịj — Tjịf

b) cùng chuyển dịch song song hai vectơ a ưả b dọc theo đường nào đấy

thì tích vô huớng của nó không đổi.

Hệ số liên thông trong không gian Euclide thỏa mãn tính chất độ xoắn bằng không, nên đưa hệ số liên thông vào không gian Riemann theo tính chất a), là muốn giữ tính chất đó Tính chất b) cho ta thấy các tính chất apphin

và mêtric của các vectcr phải không dổi, nói riêng độ dài của chúng và góc giữa chúng phải không đổi khi dịch chuyển song song theo đường, nó gần với tính chất của không gian Euclide.

Bây giờ xác định hệ số liên thông thỏa màn hai tính chất a) và b) Ta có

a b = ỹ i 3 a ỳ

do đòi hỏi tích vô hướng a • b không đổi khi dịch chuyển song song theo đường nào đấy, nên

d( a • b ) = (¡(gijd'bi) — 0 ,

206 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIẾN THÔNG VÀ KG RIEMANN

Do tính chất độ xoắn bằng không, hệ số r j j và r « i đối xứng với hai chi sổ

t, j Đến đây về hình thức hoàn toàn trùng với kết quả trong mục 4.7 chương

IV Vì vậy, tương tự (4.36), ta có

r = 1 ( d9ư ^ _ d9ij \

tJỈ 2 \ d x i dx' d x f /

và

Công thức (5.22) cho ta nghiệm duy nhất của bài toán dặt ra Hệ sổ liên thòng

vừa nhận được trong không gian Riemann gọi là hệ sổ liên thông Ricrnann.

5 3 KHÔNG GIAN RIEMANN I ỉ NXO MF'nUC 2 0 7

T hí du 5.5 Cho không ‘M a l i R i e m a n n v<Vi trnxơ rxiòtric <711 = 1, <J 2'2

(sÌ7ir[)2 ff 12 — <721 — 0 hộ số liên thông R i c m a n n ró dạng

các còn lại đều bằng1 không •

5.3.5 T í n h t h ể tíc h t r o n g k h ô n g gian R ie m a n Vn

Trong không gian Ricmann ta xét hình hộp tọa độ vò cùng nhỏ tại điểm đang

xót A í ( x i)y cạnh của hình hộp đó là những đoạn vô cùng nhò của đường tọa

độ giửa điểm M ( x l , , x n) và M i ( xx, ì x i + d xiĩ , £ n) Trong không gian

Euđiđe tiếp tuyến gia số vô cùng nhỏ M M i tương ứng với vectơ vô cùng nhỏ

cổ thành phần đối với rêpe địa phương

Ta thay hình hộp bằng hình hộp tương ứng trong không gian Euclide tiếp tuyến có các cạnh là các vectơ nêu trên Theo công thức (4.15), tính thể tích hình hộp trong không gian Eudide

Nếu xem thề tích của miền D trong không gian Riemann là lập b<Vi các

thể tích của các hình hộp tọa độ chia miền D, ta có thề thay chúng bằng các

208 Chương V KHÔNG GIAN APPH1N LIÊN THÔNG VÀ KG RI EM AN N

hình hộp trong không gian Euclide tiếp tuyến Tổng các thể tích này cho ta

thể tích miền D

W d = I x/ịgị ■ d x ' ■ ■ ■ d x n , = J Vĩ:ĩãị-dx 1 (5.23)

D

nó bất biến đối với phép biến đổi tọa độ X 1

Nếu trong không gian Riemann cho mặt m chiều vm, mặt này củng là không gian Riemann m chiều Trên rnặt đó ta có thể tính thề tích miền m chiều theo công thức tương tự (5.23)

Như ta đã biết Gaß là tích vô hướng từng đôi một của m vectơ tiếp

tuyến với đường tọa độ ua trên mặt Kn, vì vậy

V \ G \ = y J \ D e t \ G a0\\

là thể tích cùa hình hộp 771 chiều xây dựng bời m vectơ (ữ =

trong không gian Euclide tiếp tuyến.

T h í du 5.6 Trường hợp riêng, với mặt hai chiểu V2, ta có thề tích hai chiều, tức là diện tích trên mặt

W D = Ị s /\G \d u xdu2 = J \ J \ G u G 22 - G 2 12\d u l d u \

C a 0 ờ đây chính là hệ số của dạng toàn phương thứ nhất của mặt •

5.4 K h ô n g gian E u clid e là t r ư ờ n g h ợ p riê n g c ủ a

k h ô n g gian R ỉ e m a n n

Ta thấy không gian Euclide hoàn toàn được xác định khi cho tenxơ mẻtric

gi j ( M) , tương tự như không gian Riemann Vì vậy có thể nói không gian

5 4 KG EUCLIDE - TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA KG R1EMANN 2 0 9

Euclide là trường hợp riêng của không gian Rie-mann, điều này thể hiện ờ chỏ

trong không gian Euclide luôn luôn có thề chuyền về hệ tọa độ đặc biệt (cụ thề

là hệ tọa độ apphin thang xiên), trong đó các thành phần của tenxơ mêtric là nhùng hằng sổ:

= const.

lYong khi đó đối với không gian Riemann nói chung ta không làm được như vậy Vì dù hệ tọa độ mới được chọn như thế nào, ta củng không thể có được trong hệ tọa độ đó các thành phần của tenxơ mêtric là hằng số Điều đó có nghĩa là trong không gian Riemann không tồn tại hệ tọa độ thẳng tương tự như tọa độ apphin Sau này ta thấy điều phân biệt cơ bản là trong không

gian Riemann tồn tại độ cong khác không, còn trong không gian Euclide độ

cong bằng không.

Nếu trong không gian Riemann vn nói chung ta không tìm được hệ tọa độ

£*, dể cho gij(M ) trong đó không đổi, nhưng có thể làm dược diều đó tại riêng

lân cận từng điểm của nó, thì ta gọi không gian vn là Euclide địa phương Trong không gian Euclide ta không phải xây dựng tại mỏi điểm M không

gian tiếp tuyến như trong không gian Riemann Quà vậy, mỗi tenxơ phản

biến a' trong không gian Euclide cho tại điểm nào đấy của tọa độ cong hoàn

toàn xác định một vectơ cũng trong không gian đó

a = a*gt.

Vì vậy không gian Euclide là không gian tiếp tuyển của chính nó tại điểm bất

kỳ.

Như đả nói ờ trén, mặt Vrn {m chiều) trong không gian Riemann v n cũng

là không gian Riemann Điều này cho ta phương pháp thuận tiện để nhận được các không gian Riem&nn, nếu như trong trường hợp riêng ta lấy khỏng

gian Euclide làm không gian chứa vn

T h í du 5.7 Ta xét lý thuyết mặt trong không gian Euclide thông thường f?3 Trên mặt, xác định bời hai tham số u \ u 2 ta có dạng toàn phương thứ nhất là bình phương vi phân cung

ds2 = E ( u l , u 2 )(du ì )2 + 2F ( u l , u 2 )duldu 2 4- G ( u l , u 2 )(du2)2 (5.24)

Do đó có thể xem mặt là không gian Riemann hai chiều có dạng toàn phương inêtric (5.24) và tenxơ mêtric tương ứng

G \ \ = 2?, Cĩ 12 — Ơ21 = F, G 22 = G.

2 1 0 Chương V KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THỎNG VÀ KG K1EMANN

Hình học Riemann hình thành trên mặt do dạng toàn phương (5.24) gọi là

hỉnh học nội tại của mặt •

Tương tự như vậy, trong không gian Euclide nhiều chiều En (cả giả

Euclide), ta cỏ thể viết các mặt vm (m chiều) bất kỳ là nhửng không gian

Riemann Cách khảo sát này có ưu điểm là, có thể viết phương trình mặt Vm

trong tọa độ apphin x \ đo đó có thể viết phương trình tham số của mặt dưới

dạng vectơ Gọi X là bán kính vectơ của điểm trên mặt

Qua M vẽ mọi dường cong trên mặt, ta có —y— là mọi tenxơ trong vm, còn

— là moi vectơ tiếp tuyến với vm tai diểin đó Moi vectơ tiếp tuyến — lấp

ỡx

đày mặt phẳng Arn xây dựng trôn các vcctơ —— , các vectcr này tiếp tuyến

với các: đường tọa độ Một đặc điểm cần chú ý là mọi vectơ đang xét và mặt

phẳng Am đều thuộc không gian Euclidc chứa mặt đang xét, không như trong

không gian Riemann chúng thuộc không gian tiếp tuyến Aj, xảy dựng riêng

tại mỏi điểm M.

Phần tử đường trên mặt vm có thể xác định bằng công thức

ds = d x ,

hay là

ds 2 = dx • d x = • ^ ã d u ữdu1* 1

dua ơvP

5.5 GIẢI TÍCH T E N X ơ TIU N<; KHÔNG GIAN UKN I HỎNG 211

suy ra

ữữ = ã ? ôĩĩ^ ’

Vấn đề đặt ra là cho trước không gian Riemann Vm, có thể xem nó là mặt m

chiều của không gian E jì được khỏng Người ta chứng minh được rằng không

gian chứa E n phải có số chiều

m(m + 1)

Thí dụ 5.8 Trong không gian J?3 ta có thế xét các mặt một chiều, hai chiều,

trong không gian E(ỳ có thể xét các mật một chiều, hai chiều và ba chiều •

5.5 Giải t í c h te n x ơ tr o n g k h ô n g gian liên t h ô n g Ln

v à k h ô n g gian R i e m a n n Vn

ờ đây đưa vào khái niệm vi phân tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến cùa tenxơ

Trong mục 4.8 chương IV ta đà xét kỷ các phép tính này trong không gian apphin và không gian Eudide; đối với không gian apphin liên thông và không

gian Riemann cách thiết lập hoàn toàn tương tự Điều đó giải thích ờ chỗ, cho một tenxa ơ điểm M của không gian liên thông apphin, các thành phần của nó đối với hệ tọa độ Xx rủng có thể xem là thành phàn của nó đối với rêpe địa phương (A/, g i , , g;») trong không gian apphin tiếp tuyến An tại M Vì vậy ờ dây chi nêu lại Iihĩrng kết quả chính, mà khỏng nhắc lại các lập luận chặt chẽ.

5.5.1 Vi p h â n tu y ệ t đối và đạo h àm h iệ p b iế n t r o n g L u

Vi phân tuyệt (lối của tenxơ phàn biến hạng nhất ak

Dak ^ d a k + Tịi aid x ỉ ì

còn dối với tenxơ hiệp biến hạng nhất a*, thì

Dak = daic - r lkjatd x \

trong đó hộ sổ liên thông r£ là các hàm cho trước đối với từng không gian apphin liên thòng cụ tho.

212 Chương V KHÒNG GIAN APPH1N LIÊN THÒNG VÀ KG RIEMANN

Ta CÓ thể mờ rộng đối với tenxơ có hạng và loại bất kỳ, chẳng hạn dối với

tenxơ alj k

D a)k = da)k + r mfafkdx( - r^ mkd x l - r%a)md x ‘.

Nếu tenxa alj k xác định trên đường £* = x*(í) thì đạo hàm tuyệt đối theo t sè

Oa* i

jữfc - ỡxí'

V /o jfc = - g r + - r > ‘mfc - i r , a ‘ m

5.5.2 V i p h â n t u y ệ t dối v à đạo h à m h iê p b iế n t r o n g Vn

Mọi công thức vừa nêu trên tất nhiên cũng đúng đối với hệ số liên thông cùa không gian Riemann (công thức (5.22)) Nhưng do có tenxơ inêtric gij các

5 5 GIẢI TÍCH TEN X ơ TRONO KHÔNG GIAN LIÊN THÒNG 2 1 3

(riêng đối với tenxơ này tất nhiên cũng đúng trong không gian liên thông

apphin L n)\ còn từ đạo hàm hiệp biến hệ thức gĩmgmj = ta chứng minh được

Đ iữv-aV ) = (D g iịỳ b * + Oi^Da^V 4- g a ^ D ìP = 0

vì D(jij luôn luôn bằng không, còn Da', Dbi bằng không do dịch chuyển song

song các vectơ này.

Chú ý rằng trong không gian Riemann củng đưa vào dề dàng những khái niệm cơ bản của giải tích vect.ơ tương tự như không gian thường.

T h í dụ 5.10 Mổi trường vô hướng (p = fp(xl ì x 2ì f x n) tương ứng với trường vectơ - građiên:

- K 7

-Vi = V i * = g hoặc cho bằng các thành phần phản biến

V í dụ 5.11 Mỗi trường vectơ a‘ = a '( x l , x 2, , x n) tương ứng với trường

divecgiăng là trường vô hướng bất biến

2 1 4 Chương V KHÔNG GIAN APPH1N I.IÉN THÔNG VÀ KG ÍUEMANN

Div grad của trường vô hướng ip cho ta toán tiV Laplace đối với tp

tương tự (5.22), ta tính hộ số liên thông của mặt

2 \ l h F l h F ~ ỡ u W ’

? l 0 = ^ r a/Jỉ.

Công thức dịch chuyển song song của vectơ aa theo đường

ua = ua (t) (a = 1 , 2 , , m)

5 . 5 . GIẢI TÍ CH T E N X ơ T R O N G KHÔNG GIAN LIÊN TH Ô NG 2 1 5

có dạng tương tự như (5.11)

daa = - r %yaßd u \

Nếu aQ là tcnxơ hạng nhất phản biến trên mặt xác định dọc theo đircrng ua (t),

thì các thành phcin của nó là hàm của t, khi đó

là đạo hàm hiệp biến của tenxơ aQ.

Tirơng tự ta có đạo hàm tuyệt đối theo t của aa

Daứ (laa y dur

Vrtip-y Q^r ' * araßy * ßr^a'y * T'yapơ'

Chú ý Các chỉ số Ililạp chạy từ 1 đến m tùy thuộc vào số chiều của mặt.

T hí dụ 5.13 Tính dạo hàm hiệp biến V7ÒQ trên mặt cầu bán kính R Tenxơ

metric có dạng Gil = 1, ơ22 = (/Î sin lí1)2, G12 = Ơ21 = 0> các hệ số liên thông được tính tương tự như trong thí dụ 5.5 Khi đó

2 1 6 C h ư ơ n g V KHÔNG GIAN A J T H I N LIKN T H Ô N G VÀ KG KIKMANN

5.6 Đ ư ờ n g t r o n g k h ô n g gian R i e m a n n Đ ư ờ n g t r ắ c

đia t r o n g k h ô n g gian L n và Vn

5.6.1 Đ ư ờ n g t r o n g k h ô n g gian R ie m a n n

ơ đây giới hạn khảo sát hình học nội tại của đirừng t rong không gian Riemann

vn, trường hợp rièng là không gian Euclide En, rút ra công thức Fronet suy rộng có nhiều áp dụng sau này.

Cho đường cong dưới dạng tham sổ

xi = trong đỏ giả thiết X 1 liên tục, n lần vi phản được theo t Tại mỗi điồm A/

của đường có thể thực hiện lấy đạo hàm tuyệt đôi theo t của hàm x \ ta được vecta tiếp tuyến a'

(dấu c là nằm trong hay là thuộc).

Bảy giờ tại mồi điểm của đường có thể gắn một cách tự nhiên rêpe trực chuẩn nhờ các vectơ đon vị

^¿t • • • 1 li trong đó:

(ỉxl

1 /ị hướng theo tiếp tuyến E\ nó trùng với vectơ tiếp tuyến - ị - đã dươc

chuẩn hóa.