Người ta mỏr rộng một cách tương tự khái niệm này để xác định độ cong của không gian n chiều
5.7.2 T e n x ơ độ cong tro n g không gian a p p h i n liên th ô n g L n
Ta có thể hình dung độ cong của không gian này là sự lệch hình học của nó so với hình học của không gian apphin. Chúng ta sẽ đánh giá sự lệch dó trong lân cận vô cùng nhỏ của một điểm M và đặc trưng sự lệch đó bằng một tenxơ tại điểm dó gọi là tenxơ độ cong hay là tenxơ Riemann - Chrừtoffel.
Trong L n xét trường tenxơ hạng nhất phản biến
nó tương ứng với vectơ phản biến trong không gian apphin tiếp tuyến tại từng điểm M đang xét. Bảy giờ ta mờ rộng khái niộm dịch chuyển song song vectơ theo chu tuyến như vừa nêu trên, ờ đây ta làm trong lân cân vô cùng nhỏ cùa điểm M . ở trên di theo hai dường khác Iihau theo thử tự trước sau, thì ở đây ta lấy vi phân tuyệt dối theo hai hướng khác nhau rồi cũng theo thứ tự trước sau và xét hiệu số (như đâ biết vi phân tuyệt đổi tính được cần đến khái niệm dịch chuyển song song), tất nhiên việc làm này có trừu tượng hơn vì là không gian n chiều.
Trước hết lấy vi phản tuyệt đối Da1 của tenxơ a* khi dịch chuyển vỏ cùng nhỏ từ M theo một hướng nào đấy kết quả vần được một tenxơ phán biến hạng nhất tại My nên t.a lại lấy vi phân tuyệt đối D* khi chuyển dịch vô cùng nhò từ M theo một hướng khác} ta được tenxơ D*Dá1. Ngược lại, tính
DD*ax khác trước bằng thứ tự lấy vi phân; sau đó xét hiệu của chúng. Ta có
Do' = dn' + ữjka?dxk t
D' Da' - d'{Da') + r jk (Daj )dmx k ,
(dấu * tương ứng với hướng khác); vậy
D*Da' = d*(da' 4 r)kaj dxk) + r ) k{da} + r j(paedxp) d ' x k = á* da' + {dtrijk)aj dxk + r l]kd'a:dxk + r)kajd*dxk
+ r ]kdaJd ' x k + Vjkr J(pa(d x pd*xk .
Khi tính ngược lại DD*a\ thì sổ hạng thứ nhất và thử tư không đổi vì (i và
d* có thề hoán vị cho nhau, ngoài ra số hạng thứ ba và thứ năm sẽ thay đoi vị trí; nên khi lấy hiệu D*Dal và DD*ai các số ke trẽn sẽ triệt tiêu, kết quả
5 . 7 . » 0 C O N G T R O N G KHONG GIAN T EN XO f ) 0 CONG 2 3 1
nhan diroc (thay chi so cam trorig so hang thu hai cho j va () D 'D a ' - D D ' a1 = ( d T l(k)atdTk + r jfcrJtpatd x pd ' x k
- (dT'(k)aed, x k - r 'pr\kat d*xpd x k .
Dat
/)r* dYl ,
d*r'(k = — ^ c f j p; dr;* = - r r ^ d x p
vao he thirc tren ta di den:
D-Da- - D D ’ a- - - ( S + l y * - ^ Dira vao ky hieu
«V + n/«- - - r‘tr;p, (5.36)
ta co
D*Dal - D D 'a ' = - R % kaldxpd*xk. (5.37)
Cac he so /Z^pA. lap thanh tenxa hang bon mot lan phan bien, ba Ian hiep bien. Dieu nay co the suy true tiep: ve trai la tenxa phin bien hang nhat (chi so z), ben ve ph&i cac tenxa dxr , d*xk deu la tenxa phan bien hang nhat, theo dan hieu ngirac lai ciia tenxa ta dirac dieu khang dinh tren.
Tenxa R l'(pk lap nen tu he so lien thongP \ theo cong thuc (5.36) goi Id tenxa do cong hay tenxa Riernann - Christoff el cua khong gian apphin lien thong Ln• Ta co the thay de dang no ph&n doi xirng theo hai chi so pk.
Cong thiic (5.37) con goi la hoan vi luan phien vi phan tuyet. doi bac hai cua tenxa a* vai chuyen dich vo cung nho dxl, d*xl.
Tirang tir.ta c6 the tim hoan vi luan phien vi phan tuyet doi bac hai ciia tenxa a*
D* Da, - DD*ai = R(ipkaedxpd ' x k
va doi vai tenxa bat ky, chang han tenxa arst: