(5.40)
(5.41)Dùng hai công thức cơ bản này có thể tính hoán vị luân phiên đạo hàm hiệp Dùng hai công thức cơ bản này có thể tính hoán vị luân phiên đạo hàm hiệp biến cấp hai của tenxơ bất kỳ.
T h í dụ 5.19.
- V p V * c £ t = - R rị pk a í t + R ^ ị k a tt + R \ ip k a at' •
5.7.4 T e n x ơ đô cong tr o n g k h ô n g g ian R i e m a n n Vn
Hộ số liên thông Riemann là một dạng riêng cùa hệ số liên thông, liên hệ với tenxơ mêtric trong không gian Riemann theo còng thức (5.22). Đem thay vào cỏng thức độ cong (5.36), ta được tenxơ độ cong trong không gian Riemann, nó có nhiều tính chất quan trọng mà trong Ln, ữ n không có. Hạ chỉ số nhờ tenxơ mêtric, ta được tenxơ dỏ rong hiệp biến
(ờ đây ta hình dung hai số hạng đầu như v pr qik một cách hình thức và chỉ ứng với một chỉ số q, nên
Xitp* = = ( S r + r ? / ịj p t k 0 x k
Sau khi biến đổi, dẫn dến
5. 7. fc>6 C O NG T R O N G KHONG GIAN T E N X O t ) Q CONG 2 3 5
tircmg tir vai hai so hang sau). Ta c o:
r - 1 d 9ki d g ik
fkx 2 d x k d x * d xx .
thay vao he thirc tren, suy ra
R = I 32.9fr _ 02fl<fc _ ^2g«p \ pj r . _ r i n
2 v d x (d xp d x kd x l d x ' d xp d x (d x k / kt (p} pi ikj
_ 1 / d 2gkl d 2g(p _ d 2g(k _ d 2gip \
2 v dx*dxp d x kd x l d x ld xp dx*dxk )
+ 9j m ( r kt mr fpj - TpimTekj)- (5.43)
Ta thay tenxa do cong hiep bien co tinh chat: no khong doi khi hoan vi cap chi so dau cho cap chi so thir hai (gifr nguyen th\r tir trong tirng cap)
R-i t,pk = Rpk,i(
va no phan doi xirng doi vai hai chi so dau, ciing nhir ,doi v6i hai chi so sau
Rit,pk = - R ( i iPk, Ri(,pk = ~R-i?,kp‘
Do do, trong n4 thanh phan chi c6
n V - 2)
12
thanh phan doc lap; vai n = 2, N = 1 va voi n = 3, N = 6.
T h i du 5.20. Cho khong gian Riemann hai chieu xac dinh bai tenxa metric
3i i = a 2. ¡722 = a2 sin2 x l , 512 = 321 = 0
xac dinh tenxa do cong R u pk ctia khong gian nay. Thanh phan doc lap cua tenxa why chi co mot, theo cong thirc (5.43) ta c6
Ft - 1 ( 9,2 912 d 2g n _ Q2g22 _ Q2g\\ \
1221 2 \ d x * d x x d x2d x l d x ldx* d x ^ d x 2/
+ 9n(r 21 ¡1^211 — i^mr22i) ff12(r2i2r2n — r 1 1 2^2 1)