gian trên.
5.2. Cùng với các không gian cho bới các tenxơ mêtric nêu trên, hãy tínhcác tenxơ độ cong Rịj mn. các tenxơ độ cong Rịj mn.
5.3. Chứng minh rằng trong không gian Riemann hai chiều trực giao, thì
/?12 = 0, R \1(J22 = R ỉ i g n , R - 2—1221 , t r o n g đó /ỉ = yiJR,j. Ỡ 119 2 2 5.4. Chửng minh rằng Vfct>i = gtj V kvj (i , j , k = 1 ,2 ,... ,n) ni 1 d 9 à „ ^ ịk ~ 2g d x k - ỡ xfc( tr o n g đó g = D e t|ý ij|.
5.5. Chứng minh tính đối xứng của tenxơ Ricci - Einstein
Ri j =
5.6. Cho không gian Riemann hai chiều nằm trong không gian Euclide bachiều xác định bời t.enxơ mêtric sau đây chiều xác định bời t.enxơ mêtric sau đây
gu = R 2, £22 = ( Rs in x 1)2, <712 = #21 = 0 (mặt càu) hày tính tenxơ độ cong Ri j mn và đường trắc địa trong không gian đó.
5.7. Chứng minh rằng trong mặt m chiều của khỏng gian n chiều, công thứctính đạo hàm hiệp biến cũng có dạng tương tự như trong không gian n chiều. tính đạo hàm hiệp biến cũng có dạng tương tự như trong không gian n chiều.
Giả sừ x i = u2, . . . ,um ) (i = 1 , 2 ,. .. }n) thì Ví<& = ^ + - r > £ ơ (a,/3,'r,ốJ ơ = 1 , 2 5.8. Chứng minh rằng p ơ r ổ _ r ơ p ổ n « 0 7 Q UP Q u l “h l o - y A / ?ơ 1 a / ?1 7 ơ > p _ Q7Ố _ p<7 Ị-» _ pcr p
tt<Sa,0-y — 1 Q[^3 Ó7Ơ 1 »71 Wơ- 5.9. Chứng minh rằng:
ÍI.S. BÀI T Á P 2 3 9X / „ , * D° l\ . X / „ , * D° l\ . a) * < “ M = r f r “ + “ * ' L, „ rr ớa« ỡrtíJ b) - v „ „ s - p - ^ . c) - ¿ r { G aea‘ b») = (V-íi„}/<° -ị. ( V A ) « “ Ỡu7
5.10. Chửng minh phép cuộn theo hai chi số có thổ thực hiện trước hoặc sauphép tính đạo hàm hiệp biến mà không thay dổi kết quả tính toán. Tương tự phép tính đạo hàm hiệp biến mà không thay dổi kết quả tính toán. Tương tự như vậy đối vơi phép nâng hoặc hạ chi số.
5.11. Chi ra trong không gian hai chiều trực giao
D... _ ự § d ( 1 dg22\ , d ( 1 dgn \ ] 1212 2 .ỡx1 ' ựg d x ì ) d x2 V y/g d x2 / J 5.12. Chứng minh rằng V i / ĩ ị = \ V j R , «M4 trong dó /?* = gikRkj> R = gỳ R i J- 5.13 Chứng minh rằng s 0.
5.14. Chỉ ra, nếu R i j = pgtJ thì p = —, trong đó R = g i j R i j .
5.15. Tìm độ cong và độ xoắn của đường đinh ốc tròn
X1 = a, = ớ, X* = kữ.
Hăy chỉ ra vectơ tiếp tuyến 1/0 tại mèi điểm của đường lập với trục X3 một góc không đổi.
5.16. Chi ra góc giữa hai đường tọa <1ộ u1, li2 trên mặt hai chiều bằng
G\2
cos 9 =
5.17. Tìm phần từ diện tích trên mặt cần bán kính r, phương trình mặt chobời bời
trong đó yl là tọa độ Descartes.
5.18. Mặt cầu trong £ 3 xác định bời phương trình
y1 = a sin u l cosu2, J/2 = a sin u1 sin I/2, y3 = a c o su 1. hoặc viết trong hệ tọa độ Descartes
y y s (y1)2 + (y2)2 + (í/3)2 = á2.
Chửng minh đườn<Ị trắc địa là cung của đường tròn lớn. 5.19. Tìm đường trắc 'lia trẽn mat trnũL' £,3
y L ■- u1 COSI/2, y2 = u 1 sin u 2, y3 = 0 ,
trong đó y i là tọa độ Descartes.
5.20. Cho không gian Yi xác định bởi
ds2 — ơ2sin2u l (du¿ )2 -f a2(du1)2,
hãy xác định độ cong vỏ hướng /?. 5.21. Cho mặt tròn xoay trong £3
y 1 = u 1 COSỈÌ2 , y 2 - u 1 s i n u 2 > y 3 — / ( t i 1) ,
hày xác định độ cong vô hướng /1.