Tenxơ độ cong tại mồi điểm của không gian cho phép xác định độ lệch so với giá trị ban đầu của một vectơ bất kỳ tại điểm nào đấy sau khi dịch chuyển song song theo một chu tuyến kín vô cùng nhỏ.
Do đó, để khỏng gian apphin liên thông Ln là không gian apphin thường thì điều kiện cần và đủ là độ xoắn
và độ cong
K i p k — 0. 5.7.3 T e n x ơ độ cong t r o n g Ưn
Trường hợp không gian apphin liên thông không xoắn L® (SỊj = 0), thì điều kiện cần và đủ để nó là không gian apphin thường là tenxơ độ cong R lịvk = 0. Trong không gian liên thống không xoắn L®, tenxơ độ cong có một so tính chất sau. 1. Đồng nhất thức Ricci. Cóng thức (5.36) có thể viết K ì p k = ^ p i k “ A \ ipy trong đó A * =r 4- r i rị p dxP ỈP tk-
Trong L0 hệ số liên thông r %Ịk đối xứng theo í, fc; nên
Aptk - A %pkt.
Bây giờ ta hoán vị vòng quanh ba chỉ số dưới của R^ịpk ta nhận được ba tenxơ, đem cộng lại và chú ý đến các hệ thức nhận được ờ trên sẽ dẫn đến kết quà
ỉ? .ipk + & ữ p + V p ic t = 0 (5-38)
dó là đồng nhất thức Ricci Quả vậy, thay các giá trị của tenxơ R qua A vào (5.38), ta có
A p tk “ A \ tp + A \ kp - A lpkf + A \ pị - A \ pk
dùng tính chất dối xứng của A theo hai chỉ số sau ta suy ra hệ thức này bằng không.
5.7. Đ Ò C O NG T R O N G KHÒN<; GIAN TEN x ơ H Ò CON(ỉ 2 3 3
2. Oồng nhất thức Bianchi - Padov. Đổi với «lạo hàm hiệp biến của tenxơđộ cong V ta có đồng nhất thức sau đây