Để CÓ được tham số T dọc theo đường, sao cho a đồng nhất bẳng 1, ta cần dặt r = J a(t)dt\ thì dr = a(t)d£, khi đó hệ thức trên có dạng dxi dr = a . dxi
Tham số T trên đường trắc đia, sao cho -7— là vectơ tiếp tuyến dich chuyền aT
song song, gọi là tham số chính tắc.
Bây giờ ta viết phuơng trình vi phán của đường trắc địa dưới dạng phương trình thông số với tham số chính tắc:
x i = x\ t ).
(ịx*
Điều kiên dich chuyển song song của al cũng là dịch chuyển song song cùa -3—
(ÍT
dọc theo đường phải tìm, tức là
dxi
Da1 = D - J - = 0.
dr dxl
Điều kiên để vectơ dich chuyển song song doc theo đường phải tìm là
dr
đòng thời cả đường trắc địa, cả tham sổ r trên nó phải chính tắc.
dxx
Dùng công thức dich chuyển song song (5.11) đối với vecta
(ỈT
J- d x k .dxk k dxi i
= d-j- + r * — = 0
dr dr J dr
ta được
chia cả hai vế cho (i r, dẫn đến phương trình vi phân trắc địa với tham số chính tắc
/5.6. Đ Ư Ờ N G T R O N G KHÔNG GIAN HIKMANN Đ Ư Ờ N G T R Ắ C đ ị a 2 2 3
Xem x * ( t ) là hàiĩi phải tím, phưang trinh trén cho đạo hàm cấp hai biếu diẻn qua hàm phải tìm (trong r^a*1, . . . , xn)) và đạo hàm cấp một của nó, đó là trường hợp riêng của hệ chính tấc các phương trình vi phân thường, nỏ có nghiệm duy nhất khi biết giá trị ban đầu rùa hàm phải tìm và dạo hàm cấp một của nó với điều kiện hàm r* liên tục vi phân được, v ề mặt hình học, có nghĩa là luôn luôn chỉ có thể vạch một đường trắc địa di qua điểm cho trước, theo hướng cho trước. Trường hợp không gian apphin A n, các đường thẳng là đường trắc địa.
Trường hợp không gian liên thông không xoắn L„ thì:
ta hình dung không gian apphin là trường hợp riêng của không gian này. 'ữong không gian apphin ta có thể đưa về tọa độ X { tại đó = 0, cho nên nếu không gian liên thông không xoắn đưa vồ hệ tọa độ x ' trong miền fì' tại dó r'J = 0, thì có thể đồng nhất không gian này với một. phần của không gian apphin. Nhưng nói chung không làm được cho toàn không gian, mà chỉ có thổ làm được trong lân cận nào đấy của từng điểm, khi đó không gian liên thông gọi là apphin địa phuợng (tương tự Euclide địa phương). Nếu trong hệ tọa độ X 1 tại điểm M cho trước ta c ó = 0 . thì tọa độ X i gọi là t ọ a đ ộ t r ắ c đ ị a
tại M . Không gian liên thông không xoắn òó thể làm được như vậy.
T h í du 5.1 6 . Để minh họa ta xét chất điểm chuyển động dọc theo đường
d x k
trắc đia. Coi r là thời gian, thì là vectcy vân tốc vk của chất điổm hướng
CIT
theo tiếp tuyến quỳ đạo. Do đó
D v k d2x k k dxi dx*
dr d r2 * iJ dr (ỈT
cho ta gia tốc tuyệt đối bằng không dọc theo đường trắc địa. •
5.6.3 Đ ư ờ n g t r ắ c đia tro n g Vn
Trước hết, ta lấy tham số chính tắc của dường trắc địa trong Vrì là độ dài
dx*
cung 5, vì khi đó là vectơ đơn vị tiếp tuyến với đường trắc địa; phương
as