Bây giờ ta chứng minh tính chất cơ bản của đường trắc địa bằng định lý sau dảy:
Đ ịnh lý. Đề một đường trong không gian Ricmann có độ dài cục trị, đièu kiện cần và đủ là dường đó là đuờng trắc địa (nói riêng, trong không gian Eucliđe En, dường đó là đường thẳng).
C h ứ n g m inh. Ta tính biến phân độ dài cung của đường trong vn. Giả sừ A
và B là hai điểm trong không gian Riemann và đường cong AMD xác định bới phương trình
(¿1 ^ t ^ ¿2» ¿1 ứng với A, ¿2 ứng ứng với B). Chiều dài của đường A M B
xác định bời
Bây giờ xét các đường khác A N D khá gần dường A M D được dặc trưng bởi phương trình phụ thuộc tham số Q
Phương trình (5.33) xác định trong Vn mặt hai chiều, khi đó vi phân thường
ỗ của bất biến
X' = x'(í), (i = 1 ,2 ,... ,n )
A 11
(5.33)CÓ độ dài là 5 + ỏs, hiệu sổ độ dài cùa hai đường này CÓ độ dài là 5 + ỏs, hiệu sổ độ dài cùa hai đường này
A 11
ờ đây dấu d là vi phân theo f, còn ỏ là vi phản theo Q. Ta có
f • t ì
(5.34)
dxx dxJ 9ij dt dt
5.6. Đ Ư Ờ N G T R O N G KHÒNG GIAN RIEMANN Đ Ư Ờ N G T K Ắ C ĐỊA 2 2 5
CÓ thể thay bằng vi phản tuyệt đổi D:
d x i dxJ \ / dxi dxi
_ / dx* \ -— / dxi dxi \ dxi — d x l
\ 9i>~dt~dt) = \ 9i]~dt~dt) = 9i]~dt ~dt'
Ta có cdxi D - ~ = ố + rí. Ệ V = dt dt kp dt d „ : i . d x p ỗ x i = -Ị-ỗx* + r{,.ổx = ỡ -7—, dt Pk dt dt
(D - tương ứng với biến thiên a, còn t không đổi; D - tưang ứng với biến thiên í, a không đổi). Khi đó
dxl dxJ \ _ 9 dx* dt di / dt. dt phương trình (5.34) dưa về dạng hay là ôs ỉ s = ỉ = ti ti tị *‘% íxiL - b t H , - ỉ 9i>D% ^ - t\
Hai đầu y4 và B cổ định: x *(íi,a) = const, x*(Í2jữ ) = const, nên ổx; tại hai đầu bằng không, do đó
<5s
*2
= - gi’Dỉ Ỗ2?. (5.35)
Từ đảy, nếu đường x { — x*(£) có độ dài cực trị, tức là ỏs = 0, thì dường đó là đường trắc địa. Quả vậy cho Ss = 0, thì