chia cho ds và dùng (5.26) dẫn đến
Dv. ds
Hoán vị p cho q) ta được
Qiĩ-p-vị = 0, với Ç > p + 1.
0, với p > q + l. (5.27)
Dv'
Từ (5.26) và (5.27) ta thấy vectơ ——- trưc giao với moi u\ trừ
ds ' v
«4- 1. 4 ' 4 +1-
Nhưng vectơ —— trực giao với uị, điều này suy từ vi phân hê thức
CLo
9 i ý p v ị = ± 1
cho ta
9i i { Đ v ị ) v ị + g ijV lp ( D v ị ) = 2gXJv'pD v ị = 0.
Cuối cùng, ta có thể khai triển D uxp chỉ qua v xp_ J và i/p+1
Đ v i . .
£ s — Xp>v-Il'ĩ>-1 *Vsp+i^p+i* (5.28)
Ta chứng minh số các hệ số X p q giảni đi một nửa. Nhân vỏ hướng (5.28) với ta được
D v ị j
9ij Vp- 1 — ^p.p-iÊp-i»
trong dó £ p _ i = 1 nếu là vectơ đơn vị, còn 6 p -1 = — 1 nếu i / p _ j là vectơ đcrn vị ảo. Tương tự, nhân (5.28) với i/* + 1
5tj ^p+1 — *p,p+i£p+i-
Mặt khác vì i/p+1, trực giao, nên
5 .6 . Đ Ư Ờ N G T R O N G KHÔNG GIAN R1BMANN. Đ Ư Ờ N G T R Ắ C đ ị a 2 1 9
VI phàn lên
9“ d r ^ + S i í ^ đ r = ữ
dùng hai hệ thức vừa nhận được ờ trên vào đây cho ta
*p,p+l£p+l *+■ ^p+l,p£p = 0. Tư đây ta thấy nếu đặt
•* p ,p + 1 “ */>+1 thì X p + \ tp = i i X p + ị ,
Công thức (5.28) có dạng
Đvl
= ± * p ^ - l + Xp+ivị+l- (5 -29)
Trường hợp không gian Riemann thực sự, thì ờ số hạng thứ nhất chỉ có dấu trừ. Viết tường minh (5.29)
= Xii/ị, ds Dư\1 = ÌXil/ỏ + X^ i 2//.»2, (ỉs D < -2 ds Dun - l , .i d s ~ ± x " - ' ì/" - * = ± x „ _ 2 < _ 3 + X n - I l / * . ! ,
Đảy là công thức Frenet suy rộng, hệ số *1, X2,. . . , x n- i gọi là độ cong của đường tại điểm A/ đang xét.
Trường hợp đường trong không gian Euclide E n, thì không gian E n cũng là không gian tiếp tuyến của chính nó, mọi vectơ v xv đều nằm trong E n, nên ta ký hiệu là vectơ I/p, vi phản tuyệt dối sẽ chính là vi phân của vectơ, nên