Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 4

CHƯƠNG IV Tenxơ trong không gian Euclide Các tính chất tổng quát của không gian apphin vẫn có ý nghĩa, khi ta chọn một độ đo tùy ý, tức là ta cố định một độ đo chung cho mọi vectơ cơ sờ. Ở đây chúng ta xây dựng không gian Euclide bằng cách đưa vào không gian apphin đô đo dưới dang tích vô huóng của các vectơ. Trong mục 1.5 chương I đả trình bày một cách tóm tắt cách xảy dựng không gian Euclide. ở đảy xét kỳ hơn các tính chất của nó và thiết lập đại số và giải tích các lenxơ trong đo. 4.1 4.1.1 Đ in h n g h ĩa tích vô hư ớng, t e n x ơ m êtric. v e c tơ cơ sờ t r ự c chuẩn Hê T íc h vô h ư ớ n g Trong không gian apphin n chiều cho hàm vô hướng song tuyến tính nào đấy ự?(x.y) của hai đối s ố vectơ X và y thỏa inản tính chất đối xứnq ¥>(x,y) = và tính chất không suy biến; tưc là với mỗi vectcr X Ỷ 0 có thể tìm được vectơ y sao cho (x,y) = (p(xie í,yi ej ) = xV < p(ei,ej), hay là X y = x ie ĩ • y^ej = ỉ V e i • ej* Đặt < p ( 0 { ,© j ) Gị • G j Ọ ijt 4 .1 . ĐỊNH NGHĨA TÍCH VỎ HƯỚNG, TE N XO METRIC 131 khi đó vj(x: y ) = X y = gljx 'x j . Tenxơ Q i j gọi là tenxơ metric của không gian Euclide. Nếu hai vecta X, y trưc g i a o với nhau, tích vô hướng cùa chúng bằng không X • y = QijX X = 0. Dặc biệt, nếu y = X ta có bình p h ư ơ n g vô h ư ớ n g của vectơ X biểu thị bời (lạng toàn phương X2 = X ■X = gijx'xj. Ve mặt hình học có thề xem đây là bình phương khoảng cách từ điểm M ( x ì ì x 2) . . . ,£ n) đốn điểm 0 ( 0 ,0 ,... ,0). Hoàn toàn tương tư ta có thể tính khoảng cách vô cùng nhỏ từ điềm M ( x l íx 21. .. ,x n) đến điếm M '( x l + dxỵ, . . . , xn 4- d x n): ds 2 = ( M M ') 2 = Qijdx'dxi, . . . , và AÍ2 (xỊ2y . . . , X(2)): hoặc khoảng cách giữa hai điểm M \AÍ 2 — 9ij{x (2) ““ x (i))(x ị 2 ) ” Bây giờ ta chi ra một số tính chất của tenxơ metric: a) Tenxc/ metric có tính chất đối xứng 9ij = 9ji> diều này suy từ tính chất đối xứng của tích vỏ hướng. b) Điều kiện không suy biến đần đến Det|pt;| ^ 0 . Quả vậy, nếu điều kiện này không thỏa man, tức là tồn tại vectơ X / 0 sao cho X • y = 0 với mọi vectơ y. Đằng thức này viết dưới dạng tọa độ Ổ ijxV = 0 với mọi y 1, . . . , y n. Từ đây suy ra 132 C h ư ơ n g I V . TE N XO TR ONG KHÒNG GIAN EUCLIDE hệ n phương trình thuần nhất đối với x \ vì X 0 nên x‘ không đồng thài bằng không, do dó định thức các hệ số bằng không DetỊsýl = 0. Điều kiện cần và đủ để độ đo suy biến là Det|[...]... có tính chất (4. 3), (4. 4), ngoài ra còn bảo toàn tích vô hướng, tức là X • y = x' • y', thì hai không gian đó dẳng cấu Euclide 4. 3 Đai số te n x ơ tr o n g k h ô n g gian E u clide Các định nghĩa và phép tính đối với tenxơ trong không gian apphin cùng hoàn toàn đúng trong không gian Euclide, nên (V đây không nhắc lại lYong mục này chi nêu các phép tính mới, dó là phép năng” và “phcp hặ' chỉ sổ của tenxơ, ... sang hiệp biến và ngược lại Các phép tính này dược thực hiộn nhờ tenxơ mêtric ỹ i j và g t J Muốn chuyển từ tenxơ phản biến x i về tenxơ hiệp biến Xi ta dùng phcp hạ chi số bằng cách cho cuộn tenxơ x %với tenxơ mêtric g i j Xi = 9 ijX J (4. 5) Vì ỹ i j xác định đối với mỗi không gian Euclide, nôn phép tính này cùng xác định một cách đơn trị Ngược lại, muốn chuyển từ tenxơ hiệp biến Xi về tenxơ phàn biến... g k p à jl • T hí du 4. 2 Toán tử tuyến tính A cho bời tenxơ alỳ Từ y = Ax, ta có yi = a 'j x \ hạ chl số i ta được yt = a xj x\ trong đó atj = ỹxpCỈy Vậy toán tử tuyến tính A có thể cho dưái dạng tenxơ hạng hai hiệp biến Oịj Nói riêng, toán tử tuyến tính A dổi xứng hoặc phản đối xứng khi tenxơ dij đối xứng hay phản dối xứng Điều này chỉ làm dược trong không gian Euclide, CÒIÌ trong không gian apphin... về tenxơ phàn biến X* ta dùng phép nàng chi số hằng cách cho cuộn tenxơ Xị với tenxơ mẽtric gịJ ( 4 6 ) 4. 3 t) AI s ó TEN x ơ TRONG KHÔNG CIAN Kl.VI.im 143 Vì các ina trận Ọịj và gÌJ là nghịch (lảo của nhau, nên phép nâng và phép hạ c hi sổ khử lẫn nhau Chẳng hạn đầu tiên “hạ” sau đó “nâng” chi số của X*, ta lại được tenxa ban dầu X1 Bảy giờ xét quan hệ giữa tenxơ Xi và vcctơ X ta có Xx = QiịX3 = (e,... dó không có phép hạ chỉ số • 4. 4 D a n g c h ín h tắc của te n x ơ đối x ứ n g h an g hai Giả sừ có tenxơ hạng hai bất kỳ (Iij dối xứng và luôn có thể xem dây là các thành phần của toán tử tuyến tính A tác dụng trong không gian Euclide sau khi hạ chỉ số trên, tức là ~ 9ipữPj > C h ư ơ n g I V TEN xo TR ONG KHÔNG CtlAN EUCLIDE 146 trong đó alj là các thành phần của toán từ tuyến tính A trong hệ thức... e = -ựg ' V9 ' ựg ' trong đó y/g = (e 1 , e 2 ,e 3) = (Det|ỡ0 |) 1/2 (4. 8) lYong hình 4. 2 minh họa các vectơ cơ sờ phản biến và hiệp biến trong mặt phẳng của không gian ba chiều Hỉnh ị 2 1 .4 DẠNG CHÍNH TẮC c ủ a t e n x ơ đ ổ i XỬNCi HANG HAI 4. 3.3 145 N â n g v à h a chi số củ a te n x ơ h a n g b ấ t kỳ Theo quy luật (4. 5), (4. 6) ta có thể hạ hoặc nâng chỉ số của một tenxơ có hạng bất kỳ CỈ1Ì... của không gian Euclide 4. 5.1 C á c già vô h ư ớ n g Trong mục 4. 1.2 ta đả có D e t ị ^ l = J 2Det.| 9 ,j|, trong đó J = D c t|^ | Đặt g — Det|^jj| và g' = D e tị^ l, ta có thể viết g' = J*9 (4. 10) 148 C h ư ơ n g IV TE N x ơ T R ON G KHỐNG GIAN EliCLIDE \/iỡ ĩ - J \A g \ (đối với rêpe cùng hướng) (4 11) Điều này chứng tò g và y/\g\ đều là các giả vô hướng có trọng số 2 và 1 tương ứng Ta có thể chửng... luật (4. 19) ta định nghĩa trường tenxơ trong trường hợp hệ tọa độ cong bất kỳ Giả sử cho trường tenxơ trong miền f 2, như vậy có nghĩa là tại mỗi điểm M thuộc miền Í2 xác định một tenxơ, nói một cách khác: tenxơ là hàm của điểm M Tương tự như định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ apphin thẳng xiẽn, ờ đáy ta mờ rộng cho định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ cong bất kỳ; bằng cách thay dxl õx * A\ bời -T-7T và thay... dụ 4. 5 Ký hiệu Kronecker là một tenxơ hỗn hạp một lần phản biến một lần hiệp biến ri _ j d x < d x Q SP dxP dx'j q' T hí du 4. 6 Trường vận tốc là vectơ phàn biến 1 54 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ THONG KHÔNG GIAN EUCLIDK Thí du 4. 7 Tích diat cùa hai vectơ là tenxơ hạng hai phản biến apq — upvq, ta có: nên Mọi phép tính dại số đối với tenxơ trình bày trong 3.3, chương III đều áp dụng một cách dễ dàng vào... thị yếu tố thể tích Euclide trong hệ tọa độ apphin bất kỳ Nhằm mục đích đó nhân các vế của (4. 11) và (4. 12) với nhau ta được V W \d V ' = ự\J\dV, (4. 13) 4. 6 149 CÁC HỆ TỌ A Đ Ộ CONG tức là tích \f\g \d V là bất biến của phép biến đổi tọa độ apphin Ký hiệu tích này qua dW: dW = y/\g\dV = y /\g d x [dx 2 • - • dxn (4. 14) Bất biến d W đúng là biểu thị yếu tố thể t ích Euclide trong hộ tọa độ apphin bất ... hip bin dieT cỏc h thc (4. 39), (4. 41) v (4. 42), (4. 43) ta cú a k < U = jE ;dx , ú a = Vfca'gi = VfcOtg* dxk T h du 4. 20 Tớnh i lng i4 = VV* = V i 4* V 2U2 4- V 3V3 h ta tr v h ta cu Ta cú T7 j... y m ' Vi cỏc h thc (4. 32) v (4. 33), ta thy nu bit c h s lin thụng, thỡ tỡm c phộp bin i (4. 32) v ngc li bit (4. 32) thỡ cụng thc (4. 33) xỏc nh h s liờn thụng T h du 4. 15 Trong ta cc y = X1 cosx... TRONG KHễNG GIAN EUCLIDR Ta Cể th vit ( dak Dak = V j a kd j = ( - r i j a t ) d x i dxi vy V; Q* - d x ii - r k a' (4- 43) l h thc o hm hip bin ca vect hip bin dieT cỏc h thc (4. 39), (4. 41)