Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 4

Ta gọi không gian apphin 71 chiều, trong đó cho hàm vô hướng song tuyến tỉnh xác định của hai đối số vectơ X và y thỏa mãn điều kiện đối xứng và không suy biến, là không gian Euclide 7

CHƯƠNG IV

Tenxơ trong không gian Euclide

Các tính chất tổng quát của không gian apphin vẫn có ý nghĩa, khi ta chọn một độ đo tùy ý, tức là ta cố định một độ đo chung cho mọi vectơ cơ sờ Ở đây chúng ta xây dựng không gian Euclide bằng cách đưa vào không gian

apphin đô đo dưới dang tích vô huóng của các vectơ Trong mục 1.5 chương I

đả trình bày một cách tóm tắt cách xảy dựng không gian Euclide ở đảy xét

kỳ hơn các tính chất của nó và thiết lập đại số và giải tích các lenxơ trong đo.

4.1 Đ in h n g h ĩa tích vô h ư ớ n g , t e n x ơ m ê tric H ê

v e c t ơ c ơ sờ t r ự c chuẩn

4.1.1 T íc h vô h ư ớ n g

Trong không gian apphin n chiều cho hàm vô hướng song tuyến tính nào đấy

ự?(x.y) của hai đối s ố vectơ X và y thỏa inản tính chất đối xứnq

vô h ư ớ n g của chúng và ta ký hiệu một cách đơn giàn là X • y Rõ ràng tích

vò hưởng như vậy thỏa mân các tiên đề (1.1) mục 1.5 chương I

129

1 3 0 C h u ơ n g IV TEN x o TRONG KHÔNG GIAN ẼUCLIDE

Đ inh nghĩa Ta gọi không gian apphin 71 chiều, trong đó cho hàm vô hướng song tuyến tỉnh xác định của hai đối số vectơ X và y thỏa mãn điều kiện đối

xứng và không suy biến, là không gian Euclide 71 chiều.

Như ta đả biết, khi xâv ciựng không gian tuyến tính phải xác định nó trên trường số thực hay phức; do đó ta có không gian apphin thực và không gian apphin phức Trong không gian apphin thực, mọi số đều là thực, khi đó tích

vô hướng X • y của hai vectơ X, y cũng chỉ lấy những giá trị thực, nên không gian Euclide tương úng là thục Không gian Euclide phức được xây dựng từ không gian apphin phức: Không gian Euclide thực lại chia làm hai lớp: không gian Euclide thục sự, trong đó với mọi vectơ x / 0

X 2 = X • X > 0

và không gian giả Euclide, trong đó X2 có thể lấy giá trị dương củng như âm.

Về mặt hình học không gian Euclide thực sự tương tự như không gian

thông thường, chì khác về số chiều; với 71 — 1 ,2 ,3 ta nhận được các không

gian thông thường.

Trong không gian già Euclide X 2 c ó thể dương, âm hoặc bằng không, nên

4 1 ĐỊNH NGHĨA T Í CH VỎ HƯỚNG, T E N X O M ET RI C 131

khi đó

v j ( x : y ) = X y = g l j x ' x j

Tenxơ Q i j gọi là tenxơ metric của không gian Euclide.

Nếu hai vecta X, y trư c g i a o với nhau, tích vô hướng cùa chúng bằng không

X • y = Q i j X X = 0.

Dặc biệt, nếu y = X ta có bình p h ư ơ n g vô h ư ớ n g của vectơ X biểu thị bời (lạng toàn phương

X2 = X ■ X = gijx'xj.

Ve mặt hình học có thề xem đây là bình phương khoảng cách từ điểm

M ( x ì ì x 2) ,£ n) đốn điểm 0 ( 0 ,0 , ,0) Hoàn toàn tương tư ta có thể tính khoảng cách vô cùng nhỏ từ điềm M ( x l íx 21 ,x n) đến điếm M '( x l + dxỵ, , x n 4- d x n):

ds2 = ( M M ') 2 = Qijdx'dxi,

hoặc khoảng cách giữa hai điểm , và AÍ 2 (xỊ2y , X(2)):

M \A Í 2 — 9ij{x (2) ““ x (i))(x ị 2 ) ”

Bây giờ ta chi ra một số tính chất của tenxơ metric:

a) Tenxc/ metric có tính chất đối xứng

9ij = 9ji>

diều này suy từ tính chất đối xứng của tích vỏ hướng.

b) Điều kiện không suy biến đần đến

Det|pt;| ^ 0 Quả vậy, nếu điều kiện này không thỏa man, tức là tồn tại vectơ X / 0 sao cho X • y = 0 với mọi vectơ y Đằng thức này viết dưới dạng tọa độ

Ổ ijxV = 0

với mọi y 1, , y n Từ đây suy ra

0-Tóm lại, đưa vào không gian apphin n chiều tích vô hướng của hai vectơ

tương đương với việc đưa vào tenxơ metric g i j thỏa mãn điều kiện đổi xứng

và không suy biến.

Nếu chuyển từ hệ cơ sờ này sang hệ cơ sờ khác theo quy luật (3.7), thì tenxơ metric thay đổi theo quy luật

Vậy Det|<?ij| là một giả vô hướng có trọng số 2, nếu ớ một hệ tọa độ nào đó

nó khác không, thì ờ hệ tọa độ khác nó củng sẽ khác không.

4.1.3 T e n x ơ m e tr ic p h ả n biến

Ta thiết lập t.ại mỏi hệ tọa độ ma trận có các thành phần gìJ là ma trận nghịch

đảo cùa ma trận Qi j Do điều kiện không suy biến, nên tồn tại ma trận nghịch

dáo và do điều kiện đối xứng nên ma trận g'i (lối xứng Các thành phần của

9 ij bằng

G ij

9 J = — > 0 = D e t|# j|,

trong đó G tJ là phần phụ đại số của thành phần Qij Bây giờ chửng minh ql)

là tenxơ hai lần phản biến, tức là thay đổi theo quy luật

4 1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG, TEN x o MẺTRIC 133

Để đạt mục đích đó, ta chì ra rằng: ma trận gx) nghịch đảo của ma trận ỢtJ

trong một hệ tọa độ, khi chuyển sang tọa độ mới nó thay đổi theo quy luật

trên, thì kết quả nhận được là ma trận g lJ phải là ma trận nghịch đảo của

ma trận g[y

Vì g iJ là ma trận nghịch đảo của g i j y nên tích hai ma trận này cho ma trận dơn vị

9ij9jk = ỏ i

Khi chuyển sang hệ tọa độ mới, theo già thiết gtJ thay đổi theo quy luật trên,

còn Q]k là tenxơ hiệp biến, nên

g't]g’k = B ị B ị A rjA ịg » 9 r = B ị A ị r qg "g r =

= B ịA ịs T g r , = B ịA ịS Ị =

= B ị A l = 61

Vậy g i; là ma trận nghịch đào cùa gfị-, đó là điều cần chứng minh Tenxơ gtJ

gọi là tenxơ mêtric phản biến.

4.1.4 H ệ v e c t a cơ sờ t r ự c chuầii

Trong không gian Euclide, mọi rêpe apphin không còn tương đương nhau về mặt hình học như trong không gian apphin Trong số các rêpe này, có thể tách ra rêpe có tính chất hình học đơn giàn hơn, đó là rêpc trực chuẩn, mà

trong không gian thông thường chính là hệ tọa độ Descartes vuông góc Đó

là hệ nhửng vecta đơn vị trực giao với nhau.

Ta phát biểu một bổ dề đơn giản: trong không gian Euclide mọi vectơ khôrtq thề cùng đẳng hướng, tức là không thề có

X 2 = 0 với mọi X

1 Trường hợp không gian Euclỉde phức TI chiều R n Theo bổ đề trên, luôn

luôn tìm được vectơ không đẳng hướng X , sao cho X 2 ^ 0 Ta chuẩn hóa

vectơ X , tức là chia nó cho độ dài y/ĩ& của nó, điều này luôn luôn làm được

vì ta tiến hành trong không gian phức Ký hiệu

e i = = Ẫ ‘

X 2

Rò ràng eỊ = — = 1, vectơ e\ là vectơ đơn vị Đem ei đặt tại điểm O, qua

0 xây dựng siêu mặt /?n-i trực giao với ei- Siêu mặt này cùng là không gian

134 C h ư ơ n g I V T E Nx o T R O N G KHÔNG GIAN BƯCLI DE

Euclide phức n — 1 chiều, nên ta củng làm như trên, chọn một vecta khỏng đẳng hướng y nào đấy và chuẩn hóa nó, ta dược vectơ đơn vị e2 Sau đó xây dựng siêu mặt /?n~2 đi qua o và trực giao với e*2 Siêu mặt R n - 2 trong / ỉ n_ 1

cũng là một không gian Euclide n - 2 chiều, nên ta lại tiến hành như trên và

Iihận được vectơ đơn vị 63 Quá trình này cứ tiếp tục cho đến mặt phang một chiều /?1, trẽn đó lấy vectơ không đẳng hướng rồi chuẩn hóa nó ta được

vectơ đơn vị e n Kết quà nhận được dảy siêu mặt bao nhau

Các vectơ này độc lập tuyến tỉnh suy ra từ cách xây dựng chúng hoặc chứng minh trực tiếp Chẳng hạn, già sử chúng phụ thuộc tuyến tính

nhân vô hướng hai vế với e i, từ đẳng thức trên suy ra

Ql = 0, làm tương tự như vậy ta được mọi Ql = 0, vậy giả thiết như trên không tồn tại.

Vậy hệ vectơ e i , e2, ,e n lập thành hệ vectơ cơ sà trực chuẩn, hệ tọa

độ tương ứng gọi là hệ tọa độ trực chuẩn Trong hệ này tenxơ mêtric có dạng rất đơn giàn

4 1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH VỎ HƯỞNG, TEN x ơ MẺTR1C 1 3 5

2 Trường hợp không gian Euclide thực n chiều E n.

Theo bổ đề, luôn chọn được vectơ không dằng hướng X (x2 Ạ 0), nhưng

không thể chuẩn hóa ngay bằng cách “7= , nià phải phân ra:

Vectơ có bình phương vô hướng bằng ( -1) gọi là vectơ đơn vị ảo Không

nên hiểu bản thản các vectơ này là ảo, Ĩ1Ó là vectơ thực của không gian giả

Eucliđe thực, nhưng có độ dài ào >/—ĩ = i.

Sau khi xảy dựng được vectơ đơn vị ei thực hoặc ào, ta vạch siêu mặt

En- 1 qua o trực giao với ei: bản thân En- 1 là không gian Euclide thực n - 1 chiều, nên ta lại có thể tìm được vectơ đơn vị e2 thực hoặc ảo Cách làm hoàn toàn tương tự như trong trường hợp phức, chỉ khác là sẽ chuần hóa

1 3 6 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ T R O N G KHÔNG GIAN EUCLJDE

theo m ột trong hai cách trên tùy thuộc vào giá trị X2 Kết quà cho hệ vector

đơn vị trự c chuẩn e i , e2, ,e„, trong đó

-gn = 922 - • ■ • = 9kk - - 1 ,

9k+i,k+i = • • • - 9nn - 1; 9ij = 0 với i ^ j ,

còn tích vô hướng và bình phương vô hướng có dạng

ờ rêpe thứ hai là l, chằng hạn £ > k, ta chứng minh diều này dẫn đến mâu thuẫn, tức là £ phải bằng k.

Xét tập hợp các vectơ đơn vị ejfc+i, , e n ờ rêpe thứ nhất và e 'j , e'2, , c'(

ờ rêpe thứ hai gồm

n — k + i > n (do i > k)

vectơ, vậy chúng phải phụ thuộc tuyến tính Do đó có thể viết

Q^ej + • • • + ale'( = /?k+1efc+ i + • • • + ị3nen.

4 2 KHÔNG GIAN EƯCLIDE THỰC s ự 1 3 7

Bình phương cả hai vế, chú V đến e' • e' = 0 (i -ệ j ) và e'j2 = • • ■ = e'f2 = — 1 cũng như e, • ej = 0 (i í j ) và e£+1 = • • • = éị = 1 ta đirợc

- ( a 1 )2 -(c/ ) 2 = (/?fc+1)2 + • • • + (/T )2.

Điều này chi xảy ra khi Q1 = Q2 = • • • = a* = /jk'4'1 = • • • = p n = 0 tức là

71 - /c + Ị, > n vectơ trên độc lặp tuyến tính, đó là diều vô lý.

Tóm lại ta thấy cách đưa về hệ trực chuẩn của không gian có liên quan mật thiết với tenxơ metric Cho nên có thể xây dựng hệ trực chuẩn, bằng cách đưa ma trận các thành phần tenxơ metric (hay cũng như đối với dạng

toàn phương ca sờ) về dạng chuẩn tắc Số k các vectơ ca sỏr ảo không đổi

chính là kết quả của luật quán tính của dạng toàn phương như ta đã biết trong chương I.

Không gian Euclide thực sự là không gian Euclide thực, trong đó rêpe

trực chuẩn chỉ gồm các vectơ đơn vị thực, tức là số k = 0.

Không gian giả Euclide chỉ số k là không gian Euclide thực, trong dó rêpe trực chuẩn có chứa k vectơ đơn vị ảo.

4.2 K h ô n g g ia n E uclide th ự c sư K h ô n g g ia n già

E u clid e K h ô n g gian đối n g ẫ u c ủ a k h ô n g g ian

E u clid e

4.2.1 K h ô n g g ia n E u c lid e th ự c s ư

Không gian Euclide thực sự là không gian Eucliđe thực, trong đó với mọi vectơ X ^ 0, ta có X.’2 > 0 Cách xây dựng répe trực chuẩn đơn giản hơn

nhiều, vì trong không gian này mọi vectơ khác không đều không đẳng hướng

Mọi vectơ đơn vị e i , e2, , e„ đều là thực, không có vectơ đơn vị ảo (k = 0)

13 8 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ T R O N G KH ÔN G GIAN E UCLI DE

Bình phương vô hướng hay dạng toàn phương cơ sờ Q i j x i x 3 là dạng toàn phương xác định duơnq (xem định nghĩa trong 1.8 chương I), ờ hệ trực chuẩn,

nó có dạng

X2 = (x1 )2 + (x2)2 + • • ■ + (l" )2, khoảng cách giừa hai điểm A/1, AÍ2 luôn luôn là số thực

W J Ã2 = Ạ x \2) - X^ ) 2 4- • • • + (x^2) - lỊ*,))2.

Đặc biệt trong không gian Euclide thực sự ba chiều 71 = 3, các công thức

trên có dạng như ta quen biết trong khỏng gian thông thường Do dó ta thấy

sự trùng hợp giửa không gian Euclide thực sự ba chiều với không gian thông thường, nói đúng hơn chúng là các không gian đẳng cấu Mồi điểm của khônK gian thứ nhất trong hệ tọa độ trực chuẩn tương ứng với các điểm củng có tọa

độ như vậy trong hệ tọa độ Descartes cùa không gian thử hai (thông thường).

Tóm lại, đối với không gian Euclide thực sự chỉ số k = 0, và ngược lại

không gian Euclide chỉ sổ k = 0 là không gian Euclide thực sự.

4.2.2 K h ô n g g ian già E u clid e

Không gian Euclide chi số 1 có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân (phương trình sóng với n đối số) và đặc biệt trong khỏng gian giả Euclide 4 chiều, chi số 1 có ý nghĩa trong lý thuyết tương đối Sau đây ta

chỉ dừng lại xét trường hợp này Khi đó rêpe trực chuẩn có các vectơ ca sờ

e o,ei,e2,e 3:

e ỏ = - l , e f = e | = e ẵ = l ,

bình phương vô hướng của vectơ có dạng

X2 = ~ (x a )2 + (x1 )2 + (x2)2 + (x3)2, tương ứng với tenxơ mêtric Q i j = e, • e j có giá trị

Ẵ.2 KHÒNG GIAN EƯCLIDE THỰC s ự 139

Siêu mặt ba chiều £ 3 xây dựng trên các vectơ đơn vị e i , e2,e.3 và đi qua

gốc o có phương trình

x° — 0.

Vị trí của điểm nằm trên siêu mặt £3, xác định bời ba tọa độ x l ,x2,x 3, trong

dó công thức của bình phương vô hướng có dạng

X 2 = (x1 )2 + (x2)2+ (x3)2.

Rò ràng £3 có dạng hình học thông thường (Euclide thực sự ba chiều) Đổi với mọi mặt ba chiều đi qua đinh của siêu mặt nón đẳng hướng và nằm ngoài mặt nón củng có tính chất nàv (mặt nón đẳng hướng là mặt trên đó chứa các điểm đầu mút của mọi vectơ dẳng hướng xuất phát từ điểm O: từ X 2 = 0 suy

ra phương trình mặt này

- ( x0)2 + (x1 )2 + (x2)2 + (x3)2 = 0 Bây giờ nghiên cửu phép biến đổi từ rêpe trực chuẩn này sang rêpe trực chuẩn

khác Điểm gốc o giừ nguyên, vectơ cơ sớ của rêpe mới là e ^ e ^ e ^ e ^ ; mặt

z?3 dối với rêpe mới ký hiệu là £3 Nói chung phép biến đổi này trong không gian bốn chiều khá cồng kềnh, nhưng ta có thề đưa nó về trường hợp hai chiều bằng phương pháp sau đáy.

Ta gọi phép quay tầm th ư ờ n g là phép biến đổi trong đó mặt £?3 giữ nguyên không đổi, do đó vectơ cơ sờ eo trực giao với J?3 hoặc không thay đổi hoặc thay đổi theo chiều ngược lại, còn các e j ,e2, e3 quay trong siêu mặt £3 Phép quay này xày ra trong không gian ba chiều thông thường, ta đã quen biết trong hình giải tích.

Vậy, nếu chuyền từ rêpe cũ sang rẻpe mới nhờ phép quay tầm thường, thì việc chuyển từ rêpe này sang rêpe khác sẽ rất đơn giản.

Xét mặt hai chiều Ẽ 2 là giao của các mặt ba chiều £3, £3 không trùng nhau, vì nếu trùng thì chuyển từ rêpe cũ sang rêpe mới bằng phép quay tầm thường Bây giờ trong ¿£3 thực hiện phép quay e i , e2,e3 sao cho e2,e3 nằm

trên Ẽ 2 - Sau đó trong E3 thực hiện phép quay sao cho e'2,e'3 cũng

nằm trên Ẽ 2 , hơn nửa trùng với e2, e3 Các phép quay đều thực hiện dược vì chúng đều xảy ra trong không gian thông thường ba chiều £ 3, £ 3

Do đó với các phép quay tầm thường, rêpe mới và củ có thề đạt được:

140 C h ư ơ n g I V T E N X O T R O N G KH ÔN G GIAN E ƯC LI DE

Bây giờ ta xét phép biến đổi rêpe trong inặt phẳng giả Euclide

eố = ^oeo + A ịe i,

e \ = Aỵeo + A \ e \

Rõ ràng A q / 0, ;4| / 0, nếu không sẽ không xảy ra mâu thuẫn, chẳng hạn

A q = 0 thì vectơ đơn vị ảo chì khác vectơ đơn vị thực một thừa số nhân, nếu lấy bình phương vỏ hướng từng vế sẽ dẫn đến vô lý Vì eó, e\ trực giao, suy

Mọi phép biến đổi rêpe trực chuẩn (0, e o , e i ,e2, e3), chính xác đến phép quay tầm thường và dịch chuyển song song có thể đưa về phép biến đổi (4.1), (4.2).

4 2 KHÔNG GIAN E ƯC LI DE T H Ự C s ự 141

4.2.3 K h ô n g g ia n đối n g ẫ u c ù a k h ô n g g ian E u c lid e t h ư c s ư

Già sử ta có không gian Euclide thực sự En với rêpe trực chuần là e i , e2, , e „ Mọi vectơ X đều có thể biểu diẻn một cách duy nhất qua rêpe đó

X = x l e\ 4- £ 2 e 2 H -4- x ne n = x ie t

K hông gian đối n gẫu £* của không Jgian Euclide là tập hợp các phiếm hàm

tuyến tính xác: định trên En\ tức là với mổi vectơ X của En đặt tương ứng vói vectơ xác định x' cùa En

Sự tương ứng một một giữa E n và E„, thể hiện ờ chỗ, nếu X Ỷ y thì

/ (x) ^ / ( y) và vectơ không cũng tương ứng vectơ không

Ký hiệu e' = /( e i) , ta chứng minh rằng chúng lập thành hệ cơ sỏ của

không gian đổi ngẫu £ £ , nói một cách khác, hệ các vectơ e' độc lập tuyến tính Quả vậy, xét tổ hợp tuyến tính Qì e[ + Q2e'2 H - h c*ne^ và cho nó bằng khỏng, ta đirợc

0 ' = a l e\ + a 2e f2 H -f- ctn^n

= « V ( e ì ) + •■• + a n / ( e „ )

= / ( » ‘ei + • • • + a ne„) = /(0),

142 Chương IV TEN x ơ TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE

từ đây suy ra + • • • + a ne n = 0 nhưng hệ vectơ e, dộc lập tuyến tính, nên mọi a ’ bằng không.

Vậy không gian En và không gian đối ngẫu E* có cùng số chiều Hai không gian E n và E * bất kỳ với các tính chất (4.3), (4.4) gọi là hai không

gian đẳng cấu Vậy khỏng gian Euclide và không gian đối ngẫu của nỏ đẳng cấu vói nhau Hai không gian Euclide bất kỳ có tính chất (4.3), (4.4), ngoài

ra còn bảo toàn tích vô hướng, tức là X • y = x' • y', thì hai không gian đó dẳng cấu Euclide.

4.3 Đai số t e n x ơ t r o n g k h ô n g gian E u c lid e

Các định nghĩa và phép tính đối với tenxơ trong không gian apphin cùng hoàn toàn đúng trong không gian Euclide, nên (V đây không nhắc lại lYong mục

này chi nêu các phép tính mới, dó là “phép năng” và “phcp hặ' chỉ sổ của

tenxơ, nghĩa là sự tách biệt cơ bản giữa hiệp biến và phản biến không tồn tại nữa, mà xuất hiện khả năng chuyển từ hiệp biến sang phàn biến.

Muốn chuyển từ tenxơ phản biến x i về tenxơ hiệp biến Xi ta dùng phcp

hạ chi số bằng cách cho cuộn tenxơ x %với tenxơ mêtric g i j

Vì ỹ i j xác định đối với mỗi không gian Euclide, nôn phép tính này cùng xác định một cách đơn trị.

Ngược lại, muốn chuyển từ tenxơ hiệp biến Xi về tenxơ phàn biến X* ta dùng phép nàng chi số hằng cách cho cuộn tenxơ Xị với tenxơ mẽtric gịJ

( 4 6 )

4 3 t) AI s ó TEN x ơ TRONG KHÔNG CIAN Kl.VI.im 1 4 3

Vì các ina trận Ọịj và gÌJ là nghịch (lảo của nhau, nên phép nâng và phép hạ

c hi sổ khử lẫn nhau Chẳng hạn đầu tiên “hạ” sau đó “nâng” chi số của X*,

ta lại được ten xa ban dầu X1.

Bảy giờ xét quan hệ giữa tenxơ Xi và vcctơ X ta có

Xx = QiịX3 = (e, • e j ) x j = e t • e j x j

vậy

x t = X • e ,

Hạ chỉ s ổ trong các thành phần phản biến X1 của vectơ X dần đến tích vô

huớng của vectơ này với các vectơ cơ sỏ Ta gọi các tích vô hướng này là

thành phần hiệp biến X i của vectơ X.

Do đó, có thể mô tả hình học các thành phần của vectơ X như sau: thành

phần phản biến X1 là tọa độ cùa vectơ X trong hệ cơ S(V e,, còn thành phần hiệp biến Xi là hình chiếu cùa vectơ X lẻn các vector cơ sờ e t.

Trên hình 4.1 minh họa thành phần hiệp biến và phản biến của vectơ X trong trường hợp 71 = 2 chiều.

Trường hợp riêng trong hộ tọa độ trực chuẩn

9 ii = i 1 > ỊỊij = 0 ( j ^ ì )

hệ thức (4.5) dần đến: X i =

Trong không gian Euclide thực sự (nói riêng, không gian Descartes thông

thường) x i = X ị y không có sự khác biệt giữa phản biến và hiệp biến Tọa độ

của vecta và hình chiếu của vectơ lên vectơ cơ sờ trùng nhau.

4.3.2 Vector c ơ sỏr p h à n biến

Cũng bằng phép nâng chỉ số, ta có thể xảy dựng các vectơ cơ sỏ phản biến Gọi e* (i = 1 , 2 , ,n ) là các vectơ cơ sờ phán biến của không gian Euclide,

144 Chương IV TEN xo TRONG KHÔNG GIAN EƯCLIDE

Vectơ e i tiy c giao với mọi vecẦơ efc (k Ỷ i)t cờn C(íc thành phần tenxơ mêtric

phản biến là các tích vô hướng của các vectơ cơ sà phản biến.

Nhờ đưa vào vectơ ca sờ phản biến ta thấy rõ ý nghĩa của các thành phần hiệp biốn cùa vectơ bất biến X Quà vậy

X = x e i = X giịè* = x JeJ y

có nghĩa IcL Xj là thành phần hay tọa độ của vectơ X trong hệ cơ sờ (e l , e 2, , en)

Đặc biệt, trường hợp không gian Euclide ba chiều từ đầng thức

lYong hình 4.2 minh họa các vectơ cơ sờ phản biến và hiệp biến trong mặt

phẳng của không gian ba chiều.

Hỉnh ị 2

1.4. DẠNG CHÍNH TẮC c ủ a t e n x ơ đ ổ i XỬNCi HANG HAI 1 4 5

4.3.3 N â n g v à h a chi số c ủ a te n x ơ h a n g b ấ t kỳ

Theo quy luật (4.5), (4.6) ta có thể hạ hoặc nâng chỉ số của một tenxơ có hạng bất kỳ CỈ1Ì có một dieu cần chú ý khi nảng hạ chỉ số là thay đổi vị trí của chi số (phản biến ờ trên, hiệp biến ờ dưới), nên sau khi nâng hoặc hạ thì

đặt I1Ó ờ đâu, trước hav sau Đổ giải quyết điều đó, ta sắp đặt tất cả các chi

số hiệp biến và phản biến theo một thứ tự chung, mỏi chỏ chi tương ứng với

một chỉ số trên hoặc dirới Nếu trên có chỉ số rồi, thì dưới bỏ trống hoặc thay bằng dấu chấm và ngược lại.

T h í dụ 4.1 Tenxơ a 'jf là tenxơ có chỉ số thứ nhất và thứ tư phản biếà, chỉ

số thứ hai, thứ ba hiệp biến Nếu nàng một chỉ số nào đó, thỉ đưa nó lên chồ

trống ờ trên cùa nó và ngược lại Chẳng hạn nâng chỉ số thử hai

yt = a xj x \ trong đó atj = ỹxpCỈy

Vậy toán tử tuyến tính A có thể cho dưái dạng tenxơ hạng hai hiệp biến Oịj Nói riêng, toán tử tuyến tính A dổi xứng hoặc phản đối xứng khi tenxơ dij đối

xứng hay phản dối xứng Điều này chỉ làm dược trong không gian Euclide, CÒIÌ trong không gian apphin không cỏ ý nghĩa vì tại dó không có phép hạ chỉ

số •

4.4 D a n g c h ín h tắ c củ a te n x ơ đối x ứ n g h a n g hai

Giả sừ có tenxơ hạng hai bất kỳ (Iij dối xứng và luôn có thể xem dây là các

thành phần của toán tử tuyến tính A tác dụng trong không gian Euclide sau khi hạ chỉ số trên, tức là

~ 9i pữPj >

1 4 6 C h ư ơ n g I V T E N x o T R O N G KH ÔN G CtlAN E UCLI DE

trong đó alj là các thành phần của toán từ tuyến tính A trong hệ thức y = Áx

(x và y là các vectơ trong khỏng gian Euclide).

Do đó việc tìm dạng chính tắc cùa tenxcy đối xứng hạng hai tương dương với việc tìm giá trị riêng đối với toán từ tuyến tính A như đà trình bày tổng quát trong 1.6 chương I.

Nếu X ^ 0 là vectơ riêng, thì khi áp toán tử tuyến tính A vào nó sê cho

ta một vectơ đồng phương với X, tức là

atJx j - kgljx J = (ojj - kgij)xj = 0 (4.9)

Ta sẽ xuất phát từ hệ phương trình này để lập luận tiếp về sau Đây là hệ

n phương trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các ẩn x*\ vì X Ỷ 0 nén

mọi X J không đồng thời bằng không và do đó định thức các hệ số bằng không

(đả chú ý đến Q ị j và Ọ i j đối xứng) Ta gọi phương trình này là phương trình

đặc trirng của (Iịj để xác định các giá trị riêng k N ó là phương trình đại số

bậc n đối với k } nên bao giờ cùng tồn tại n nghiệm kr (r = l ,2, , n ) , tức

là tồn tại 71 giá trị riêng kr Lần lượt đặt vào hệ phương trình

(4.9), xác định được n vectơ riêng xỊrỳ như đả biết trong 1.6 chương I ờ dây trong không gian Euclidc thục sụ với giả thiết Qij dối xứ n g, ta chứng minh

n giá trị riêng kr đều là thục và n vectơ riêng trục giao với nhau Quả vậy, giả sử giá trị riêng Ả: = Qr + i(ì tương ứng với vectơ riêng X*7 = À«7 -f iụ? (trong

đó i 2 = — 1); dặt vào hệ (4.9), suy ra

( O i ị - a g i j ) X J + p g i j f i j = 0 ,

{aij - agij)ịịj + ¡3gij\j = 0

1.5. T H Ể T Í C H T R O N G KHÔNG GIAN EUCLĨDE TỈH/C 1 47

Nhân phương trình thứ nhất với Ằl và phương trình sau với ụ} (tổng theo

i, theo j từ 1 đến 71) roi trừ hai phương trình vừa nhận được cho nhau và chú ý đến aij đổi xứng, ta được

P(gljXiXJ + = 0.

Vì g%jXiX^ và xác định dương, nên suy ra 0 = 0 Do đó mọi nghiệm

kỵ đều là thực và mọi cũng thực.

Bây giờ chứng minh các vectơ riêng trực giao Già sừ hai nghiệm fc(r) và

fc(5) khác nhau, ta xác định tương ứng xỊ Ị và xị J theo (4.9)

4.5 T h ể tíc h t r o n g k hông gian E u clid e t h ự c C ác

già t e n x ơ q u a n tr o n g của k h ô n g gian E uclide

148 C h ư ơ n g I V T E N x ơ T R O N G K H Ố N G GIAN El iCLIDE

Trong không gian Euclide ta cho định nghĩa khác VC yếu tó thề tích, đó là

yếu tố thề tích tính trong hộ tọa độ trục chuẩn bất kỳ.

Theo ý nghĩa Euclide này, thì thể tích là một vô hu óng thực sụ (bất biến),

vì khi chuyển từ hệ trực chuẩn này sang hệ trực chuẩn khác luôn luôn ta có

J = Det|i4^| = ± 1,

do đó d V f = dV có một giá trị xác định.

Bây giờ ta muốn nhận được vô hướng thực sự, biểu thị yếu tố thể tích Euclide trong hệ tọa độ apphin bất kỳ Nhằm mục đích đó nhân các vế của (4.11) và (4.12) với nhau ta được

gu = 1, q = ± 1, \/\(ỉ] = 1 hệ thức trên cho ta

dW = dxì dx2 • •

-Đặc biệt, ta dùng công thức trên đề tính thể tích Euclide của hình hộp n chiều lập hời các vector a j ? ,a rị Trong mục 3.4 chương III ta đâ xác định thể tích apphin tương ứng là

V = iDetịaiỊI,

trong đó (lị là các thành phần phàn biến của vectơ ậ Do đó theo (4.14),

ta có công thức xác định thể tích Euclide của hình hộp này trong hệ tọa độ apphin bất kỳ:

w = y / ữ I D e t K I I (4.15) Quả vậy, cho afc = Okdxky tức là

dx' (i = k )%

từ công thức vừa nhận được ta trờ lại công thức (4.14).

Trường hợp riêng, trong hệ tọa độ trực chuẩn g = ±1 thể tích này có dạng

w = |Det|aỹ|.

với n = 3, ta có công thức quen thuộc trong hình giải tích.

4.6 C á c hê t ọ a đô cong tr o n g k h ô n g gian a p p h i n

v à k h ô n g gian Eucliđẹ Đ inh n g h ĩa t e n x ơ t r o n g các h ệ t ọ a độ đó T enxơ m ê tr ic t r o n g hê t o a độ

c o n g c ù a k h ô n g gian Euclide

Cho đến nay, ta chỉ xét không gian apphin và khỏng gian Euclide n chiều trong hệ tọa độ apphin (thằng xicn) Bây giờ vẫn xét các không gian này

1 5 0 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ T R O N G K H ÔN G GIAN EƯCLIDE

nhưng trong h ệ t ọ a đ ộ c o n g bất kỳ Nó không những đóng vai trò quan trọng đối với hình học của bản thân các không gian này (để nghiên cứu các dạng cong trong đó), mà còn dùng để chuyển sang nghiên cứu không gian apphin liên thông và không gian Riemann.

Các dại lượng x i gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ apphin (thẳng xiên)

Các vectơ cơ sờ e, là k h ô n g đ ổ i Bảy giờ ta xét cũng vectơ X trong h ệ t ọ a độ

trong dó / \ Y?* là những hàm liên tục, vi phản được với số lần cần thiết Khi

đó Jacôbiên của cả hai phép biến đổi thuận và nghịch đều khác không

Q dần dến xuất hiện tại mỏi diem một rêpe địa phương (A/, g i , g2, ,gn).

Hình ị 3

Đường tọa độ là đường dọc theo nó chỉ có một tọa độ X 1 thay đổi, còn các tọa độ khác không đổi Chẳng hạn đường tọa độ X1, khi đó X chi còn là hàm

ỡx của X 1 so xác đinh đường cong với tham số x l \ đao hàm riêng — r = gi là

ơ x 1

vectơ tiếp tuyến với đường tọa độ X1 Tương tự như vậy có n đường tọa độ

đi qua điểm M

Nếu xét tọa độ cong trong lân cận vô cùng nhỏ cùa điểm Aí, thì chuyển dịch vô cùng nhò từ điểm A /(ÿ ) đến điểm M'(x* -f d x 1) cho ta vi phản vỏ

cùng nhỏ cùa vectơ b á n kính X của điểm M:

M M ' « dx = g id x l H -h g nđxn — g id x * (4.18)

4.6.2 Đ ịn h n g h ĩa t e n x ơ t r o n g h ê t o a độ c o n g

Để tiện viết các biểu thức, từ mục này ta bò dấu gạch ngang trên các biến để chỉ tọa độ cong, mà xem X 1 là tọa độ cong.

1 5 2 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ T R O N G K H ÔN G GIAN EUCLIDE

Già sử tọa độ cong thực hiện phép biến đổi đơn trị thuận nghịch và liên tục vi phân được

còn gi, g ' dóng vai trò eu e' j Quả vậy, khi đó X* = A ị x 1, nên = Aị.

Nhờ quy luật (4.19) ta định nghĩa trường tenxơ trong trường hợp hệ tọa độ cong bất kỳ Giả sử cho trường tenxơ trong miền f2, như vậy có nghĩa là tại

mỗi điểm M thuộc miền Í2 xác định một tenxơ, nói một cách khác: tenxơ là hàm của điểm M

Tương tự như định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ apphin thẳng xiẽn, ờ đáy

ta mờ rộng cho định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ cong bất kỳ; bằng cách thay

A\ bời -T-7T và thay B) bời r ,

còn cách iập luận hoàn toàn tirơng tự.

Đối với tenxơ hạng không hay vô hướng các thành phần của nó ớ hộ cù

và hệ mới thỏa mãn quy luật

a ' ( x \ x 2 , , x n) = a { x \ x 2 , , x n),

Tương tự như vậy đối với tenxơ hạng bất kỳ, chẳng hạn các thành phần cùa

tenxơ hạng ba ờ hệ tọa độ cũ và mới liên hệ với nhau theo quy luật

á ĩ ( x 1 X 2 ' n \ d ĩ * d x q d x r p / 1 2 n \

aj k (x , x ) - Qj,p ỊỊỵ'j Qx ’ ’ ■■■’ h

các dạo hàm riêng tham gia trong các hệ thức trên phải hiểu rằng lấy tại điểm

M đang xét.

Xét một vài tenxơ quen biết

T hí dụ 4.3 Phần tử dx có các thành phần dxi là một tenxơ phàn biến hạng

nhất

d x { = ệ ^ - d x j •

dxi

V à< p

T h í dụ 4.4 Gradiên của một hàm vô hướng ip có các thành phan -—-T là

một tenxcr hiệp biến hạng nhất

154 C h ư ơ n g I V T E N X Ơ T H O N G KHÔNG GIAN EUCLIDK

T hí du 4.7 Tích diat cùa hai vectơ là tenxơ hạng hai phản biến

ảnh hướng gì, vì các phép tính đại sổ đối với tenxơ thực hiện tại riêng tủng

điềm M

4 6 3 T e n x ơ m ê tr ic tr o n g h ệ tọ a độ c o n g c ủ a k h ô n g g ia n E u c lid e Mọi kết quà vừa nêu trên về tọa độ cong, về tenxơ trong không gian apphin đều đúng trong không gian Eucliđe Đưa vào độ đo là xuất hiện thêm vấn đò

mà ta muốn khảo sát trong hệ tọa độ cong Như ta dả biết việc đưa độ do vào không gian apphin, tirơng đương với việc đưa vào tenxa mêtric

đối với rêpe apphin bất kỳ Bảy giờ xét tenxa gtj trong hệ tọa độ cong x ly

xây dựng tại từng điểm M tương ứng với rêpe địa phương , gn) Các thành phần của nó là các tích vô hướng

Với cách lập luận như vậy, ta phải xem tenxơ mêtric là trirờng tenxơ, các thành phần của nó là hàrn của điểm

Biết ten:rơ hiệp biến gij(M ) ta xây dụng tenxơ m ê tn c phản biến giJ{M) thỏa

mân hệ thức

9ij — e, *

4 6 CÁC HỆ TOA t ) ộ CONG 1 5 5

Từ đây suy ra các thành phần của tenxơ gXJ bằng:

9

trong đó ơ ỉ; là phần phụ đại số rủa thành phần gij, còn g = Det|ợij|.

Trong trường hợp hệ tọa độ cong trực giao, các vectơ gi trực giao với nhau từng đôi, nên

Vì Ọij là tenxơ hạng hai, nên khi chuyển sang hệ tọa độ cong mới, nó thay đổi theo quy luật

Theo cách xây cỉựng hệ tọa độ cong (hệ thức (4.16)), ta thấy luôn luôn tồn tại một phép biến đổi ngược lại chuyển từ hệ tọa độ cong sang hệ tọa độ apphin, trong đó tcnxơ metric Qij = const Đặc biệt, tồn tại một phép biến đổi chuyển

hệ tọa độ cong về hệ tọa độ trực chuẩn, trong đó ỹ i j = 0 (i / j ) và ga = ± 1

Nói riêng, hệ tọa độ cong X 1 trong không gian Euclide thực sự chuyển về hệ tọa độ Descartes y ' nhờ phép biến đổi

thì tenxơ metric thay đổi như sau:

là tenxơ metric của hệ tọa độ Descartes (ốw = ep • e ọ; trong đó e, là vectơ cơ

sờ của hệ tọa độ Descartes).

1 5 6 Chương IV TENXƠ TRONG KHÔNG GIAN EƯCLIDE

Vậy, nếu biết quan hệ giữa tọa độ Descartes yl và tọa độ cong £*, thì tenxơ

mêtric của hệ tọa độ cong xác định như sau

4 6 CÁC HỆ TỌA ĐỘ CONG 1 5 7

h dx

dt —

[ Ị dx% dxĩ

= J V t\

Người ta thường thay độ dài cung bằng cách cho vi phân cung

ds 2 = giịdx^dx* = ỏi]dyĩd yi (4.23)

Ta xét tenxơ mêtric và phần tử đường trong một vài hệ tọa độ cong quen biết của không gian Eucliđe thực sự hai chiều (n = 2) và ba chiều (n = 3).

1 5 8 Chương IV TENXO TRONG KHÔNG GIAN EƯCLIDE

T h e o ( 4 2 2 ) , t a c ó

911= ( ể ) 2 + ( i ) 2 =<— 2>2+ = 1

d y l d y l d y 2 d y2

512 = 9 21 = + ã ỉ ĩ ã ỉ 2 = (cos x 2) ( - x 1 sin X 2 ) -f (sin x 2 ) ( x ì COS X2) = 0

1.6. (.Ac H E T O A f)Q CONG 159

d s 2 = ( d y 1)2 4- [dy2)2 - (d.r1)2 f 2cos w / x l d x 2 +■ (rix2)2,

g = Detlatjl = 1 ' lY\ = 1 - cos2 ex = sin2 q > 0.

gw = (ash x1 c o s x 2)2 -f (achx1 sin x 2)2 = (ash x1 )2 4- ( a s in x 2)2

Q '22 = (ash x1 c o s x 2)2 4- (achx1 sin x2)2 = (ash x1 )2 4- (a s in x 2)2

i /12 = 521 = 0 (he t.oa do trtrc giao)

d s2 = ( d y 1 )2 -f (d y 2 )2 = [(a sh x1 )2 4- ( a s i n x 2)2] [(rfx 1 )2 4- (dx2)2],

g = D et|gij| = a4 [(sh x 1 ) 2 4- ( s in x 2 ) 2] 2 > 0 •

T lii d u 4 1 1 He toa do cau (n - 3)

Lien he giira toa do can va toa do Descartes co dang

160 Chương IV TENXO TRONG KHÔNG GIAN EƯCL1DE

tương tự mọi g ij — 0 với i Ỷ j (hệ tọa độ cầu trực giao).

Theo (4.23) ta tính dạng toàn phương

ds2 = (dy1 )2 4- {dy2)2 + (dy3)2

= (đx 1 )2 -f (x1 sinx3)2(dx2)2 + ( x l dx^)2

g = Det|0ij| = Ị(x1)2sin x3] 2 > 0 •

y A/