Lý thuyết tương đối hẹp với công cụ toán học là phép tính tenxơ trong không gian giả Euclide bốn chiều chỉ số 1, đã xuyên suốt nội dung ca bản cùa toàn bộ vật lý học hiện đại, ở mọi nơi
Trang 1CH ƯƠ N G IX
Lý thuyết tương dối hẹp
Lý thuyết tương đối xuất hiện là kết quả của sự tích lũy lâu dài các kết quà thực nghiệm dẫn đến biến đổi sâu sắc quan niệm về dạng biểu hiện vật chất
và chuyển dộng của nó Lý thuyết tương đối hẹp với công cụ toán học là phép tính tenxơ trong không gian giả Euclide bốn chiều chỉ số 1, đã xuyên suốt nội dung ca bản cùa toàn bộ vật lý học hiện đại, ở mọi nơi C.Ó nói đến chuyển động của vật thể với vận tốc 1ỚĨ1 (với vận tốc nhỏ I1Ó có kết quả như động lực học cổ điển)
9.1.1 H ê q u y c h iế u q u á n t í n h
Đe 1Ĩ1Ô tả các quá trìn h xày ra trong thiên nhiên ta cần phải dùng đến hệ quy
chiếu, đó là hệ tọa độ dùng để chỉ vị trí của các hạt trong không gian, cùng với đồng hồ để chỉ thời gian
Hệ quy chiếu, trong đó chuyển dộng tự do của các vật thể, tức là chuyền dộng của các vật không chịu tác dụng của lực ngoài, xảy ra với vận tốc không đổi, được gọi là hệ quy chiếu quán tính.
Nếu hai hệ chuyển động thẳng đồu đối với nhau, trong đó một hộ là quán tính, thì hệ kia củng là quán tính Ta suy ra mọi hệ quy chiếu chuyển (lộng thẳng đều đổi với một hệ quy chiếu quán tính đều là hệ quy chiếu quán tính
Mô tả thực tế các quy luật thiên nhiên còn phải sử dụng các nguyên lý đối xứng hình học sau đây
393
Trang 2394 C h ư ơ n g I X L Ý T H U Y Ế T T Ư Ơ N G Đ ( 5 i H Ẹ P
1 Nguyên lý đòng nhất của không gian Các điểm khác nhau của không gian trong mỗi hệ quy chiếu quán tính xác định là tương đương hay đói xứng với nhau Nói cách khác, các tính chất vật lý của mỗi hệ cô lập (xem như một tập toàn thể) không thay đổi đối với mọi phép tịnh tiến trong không gian
2 N g u yên lý đông n h ấ t của thời gian Tất cả các thời điểm khác nhau là tương đương hay đối xứng với nhau Điều đó có nghĩa là các tính chất vật lý của mỏi hệ cô lập là không thay đổi, dù rằng hệ đó diễn biến ớ thời diểm này hay thời điểm khác
3 Nguyên lý đẳng hưómg của không gian Các phương khác nhau của không gian là tương đương hay dối xứng với nhau Nói cách khác, các tính chất vật
lý của mọi hệ cỏ lập không thay đổi đối với phép quay trong không gian
9.1.3 N g u y ê n lý t ư ơ n g đối
1 Nguyên lý tương đối Galilei Ngay từ khi cơ học cổ điển xuất hiện như một ngành khoa học nghiên cứu các chuyển động cơ học của vật thể, Galilei khẳng định rằng: các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như nhau trong CÁC hệ quy chiếu quán tính khác nhau Đó là n guyên lý tư ơng đối Galilei Điều đó có nghĩa là các định luật về chuyển động của vật thể phải có hiệu lực trong mọi hệ quy chiếu quán tính Các định luật này là định luật thứ hai của Newton
trong đó F là vectơ lực tác dụng lên hạt có khối lượng ra
Nguyên lý tương đối Galilei tương đương với sự khẳng định toán học như sau: phương trình của định luật thứ hai Newton bất biến đối với phép biến đổi Galilei chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác:
t r o n g đ ó r ' v à r là b á n k í n h v e c t ơ chì vị t r í c ủ a h ạ t 771 đối v ớ i h ệ q u y ch iếu
quán tính K ' và K] hệ K ' chuyển động thằng đều đối với hệ •À’ với vận tốc không đổi V Theo Galilei thời gian trôi như nhau trong mọi hệ quán tính, tức là giả thiết thời gian tuyệt đối. Tập hạp các phép biến đổi này lập thành nhóm gọi là nhóm Galilei. Đạo hàm theo t hệ thức trẽn suy ra công thức hợp vận tốc Galilei
d / s ^
v' = V - V.
Trang 3là vô hạn.
Mikenson về sự khỏng phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân không và các thí nghiệm khác trong thiên văn vào năm 1905 Einstein đả đưa ra lý thuyết tương đối hẹp Nội dung của thuyết này gôm hai tiên đề
a) Các quy luật vật lý học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu quán tính (nguyên lý tương đối)
Nói cách khác» các phương trình mô tà các định luật vật lý bất biến đối với phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hộ quán tính khác Tổng quát hơn nguyên lý Galilei trong cơ học cổ điển, ờ đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lý đều bất biến trong các hệ quy chiếu quán tính
b) Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chán không đèu bằng nhau dổi với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng
c = 2,99793 • 108m /s « 3 • 108m /s
Cơ học dựa trên thuyết tương đối hẹp của Einstein gọi là cơ học tương đổiy nó bao trùm cơ học cổ điển xem dó là trường hợp riêng khi vận tốc truyền tưorng tác (vận tóc ánh sáng) dần đến vô hạn
Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác chính là phép biến đổi Lorentz mà ta sẽ đề cập đến, tập hợp các phép biến đổi này lập thành nhóm Lorcntz.
Khác với cơ học cổ điển, không gian và thời gian ờ đây đều là tuơng đối
Điều này có nghĩa là các hệ thức không gian giữa các biến cố khác nhau phụ thuộc vào việc mô tả chúng trong hệ quy chiếu nào Điều khẳng định rằng hai biến cố ò thời điểm khác nhau cùng xảy ra ớ cùng một nơi trong không gian hoặc cách nhau một khoảng xác định nào đấy có nghĩa khi và chỉ khi nêu rõ điều khẳng định đó ờ hệ quy chiếu nào Thời gian cũng trôi đi một cách khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau Điều khẳng định rằng khoảng thời gian trôi giữa hai biến cố có nghĩa khi và chi khi nêu rỏ điều khẳng định đó
Trang 4396 C h ư ơ n g I X L Ý T H U Y Ế T T Ư Ơ N G Đ Ó I H Ẹ P
đối với hệ quy chiếu nào Nói riêng, các biến cố xảy ra đồng thời trong một
hệ quy chiếu nào đấy sẽ không đồng thời trong hệ quy chiếu khác
9.2.1 K h ô n g th ờ i g ia n M in k o w sk y
G ià sử rằng địa điềm xảy ra biến cố nào đấy được xác định trong hệ tọa độ Descartes bằng ba số y i (i = 1 ,2 ,3 ) gọi là tọa độ không gian Ngoài ra, người quan sát dùng hệ tọa độ đó cùng với đồng hồ để đo các thời điểm xảy ra biến
cổ tương ứng với các vị trí không gian Biến cố được hoàn toàn xác định bằng bốn dại lượng y ì ì y 2)y 3,t- Đổi với hệ tọa độ khác, biến cố này xác định
bời bốn đại lượng ị / 1, y 2, y 3, tf Ta cũng có thể dùng cách biểu thi hình
học khác, bằng cách lấy khỏng gian bổn chiều, trong đó đòi hỏi phải có 4 đại lượng để xác định vị trí cùa điểm Mỗi một biến cố (vị trí và thời điểm xảy ra) biểu diễn bằng một điểm của không gian này Không gian như vậy gọi là
k h ô n g g ia n b iến cố hoặc k h ôn g - thờ i g ian , đỏi khi còn gọi là “ thế giới” Điểm của nó gọi là điềm thế g iớ ị đường cong trong nó gọi là đường thế giới
Nguyên lý Einstein kéo theo sự cần thiết phải xác định điểm bằng các tọa độ của nó trong không - thời gian
G iả sử lấy hai hệ quy chiếu quán tính K và K ' trong không gian Euclide thông thường (Descartes) và xét chuyển dịch vô cùng nhỏ của sóng điện từ trong chân không của không gian dó Xét hai biến cố (ĩ/1 , y2,2/3, t) và (y l -h
d y 1, , t + dt) tương ứng với hệ K , chuyển dịch vô cùng Iihò của sóng sẽ là
d i 2 = (dyl )2 + ( dy 2)2 + ( dy 3)2 = Sijdtfdy1 (i, j = 1,2,3)
theo nguyên lý Einstein, ta có vận tốc truyền sóng điện từ
d t
c ~ d t '
suy ra
c2dt2 = de2 = (dy1)2 + (ỉ/2)2 + (dy3)2.
Đặt d s2 = (dy1 )2 -f (d y 2)2 -I- (dy3)2 — c2d t2, ta phải có
d s2 = 0
Tương tự dối với hệ K f
Trang 59 2 ĐÒNG HỌC TƯƠNG t)ố l 397
theo nguyên lý Einstein, nên ta có
ds 2 = (dy 1 )2 + (dy 2)2 4- (dy 3)2 — c2dt 2 = 0
Nguyên lý Einstein kéo theo tính chất là công thức biến đổi tuyến tính giủa các tọa độ { yl , y 2,2/3 , t ) và (y 1 , y 2, y 3, tf) phải bảo đảm tính bất biến của dạng toàn phương
- c2d t2 + (rfy1 )2 + (d y2)2 + ( d ì / ) 2 = - c 2d t 2 + (rfy 1 )2 + ( d ý 2)2 + ( d ỷ 3)2.
(9.3)
Đại lượng dơ = [(cdt)2 - (rfî/1 )2 — (áy2)2 — (dy3)2] 1/2 gọi là k h oản g giữa hai biến cổ vô cùng gần nhau Nếu ( y l , y 2, y ' \ t ) và (y 1 ,ỹ 2,ỹ 3 ,ĩ) là hai biến
cố tùy ý thì khoảng giừa chúng bằng
<712 = [c2(i - ĩ)2 - (y1 - ỹ1)2 - (y2 - y1)2 - (y3 - ỹ3)2]
1/2-Các công thức này theo quan điểm toán học cho pháp xem khoảng như là khoảng cách giừa hai điểm trong không - thời gian
Bảy giờ ta xét khái niệm thời gian riêng. G iả sử trong hệ quán tính K
nào đấy, theo rõi chiếc đồng hồ chuyển động so với người quan sát Tại mỏi thời điểm có thể xem chuyển động này là đều, vì vậy tại mỏi thời điểm có thể đưa vào hệ tọa dộ K ' gắn chặt với đồng hồ chuyển động Hệ tọa độ này cũng
là quán tính
Trong khoảng thời gian vô cùng nhò dt (theo đồng hồ cố định gắn liền với
hệ K ), chiếc đồng hô chuyển động đi được một khoảng
V ( đ y 1)2 + (d y2)2 + (dy3)2 ,khi dó thử xem chiếc dồng hồ chuyển động cho ta khoảng thời gian dt' bằng hao nhiêu Trong hệ K ' gan vơi dồng hồ chuyển động, thì đồng hồ này dứng
y én, tức là d ý l = dy 2 = (ly 3 = 0 Do tính bất biến của khoảng ta có
d ơ2 = c2d t2 — (dp1)2 — (dy2)2 — (d y3)2 = c2dt 2,suy ra
d t, _ i t Ạ _ w Ẹ + ( d f g J W I '
nỉiưng
Trang 6thời gian tính theo đòng hồ chuyển động cùng với đối tượng cho trước gọi là
thời gian riêng của đối tượng đó Thời gian riêng của dổi tượng chuyền động bao giờ củng nhỏ hơn khoảng thời gian tương ứng trong hệ cố định
B ảy giờ thiết lập quan hệ giửa không - thời gian với hình học của không gian giả Euclide bốn chiều chỉ sổ 1 (trình bày trong mục 4.2 chương IV ) Hộ vecta cơ sờ trực chuẩn của nó là e o ,e i,e2,e3, trong đó
Trang 79 2 Đ Ộ N G HỌC T Ư O N G Đ Ó l 3 9 9
chuẩn nào đấy jr0, x l , j 2,jr3 Xem rằng có thể biểu thị được mỗi biến cố
M (x°y X1, J 2,.r3 ) của không gian giả Euclide, sao cho
Như vậy là không gian biến cố ánh xạ tuơng ứng, đơn trị lên không gian giả Euclide, tọa độ của biến c ố tính theo hệ quán tính K nào dấy sẽ đóng vai trò tọa độ trục chuẩn trong không gian giả Euclide.
có dạng bất biến tương tự như (9.3) Dạng toản phương của không gian giả Eucliđe không xác định dương, nhưng Ọij có thể lấy giá trị không đổi trong toàn không gian Không gian có dạng toàn phương ca sờ (9.7) gọi là k h ô n g gian M in k o w sk y , tenxơ ( Ị i j có dạng (9.6) gọi là t e n x a cơ s ở M inkow sky«
9.2.2 N h ó m b iế n đổi L o re n tz
Như trên ta thấy chọn hệ quán tính K trong không gian biến cố tương dương với chọn hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian giả Euclide, còn chuyển từ
hệ quán tính K sang hệ quán tính K \ tương đương với chuyển từ hệ tọa
độ trực chuẩn này sang hệ trực chuẩn khác Phép chuyền sau thực hiện nhờ công thức
3 _ 3
X = y .
Ta có
r/x = d x 'e t — d x ° e 0 4- d e x l e1 4- d x 2e 2 + dx3e3,suy ra
Trang 8Ở đây chì cần giữ dấu cộng dưới mẫu số, vì dấu trừ chi tương ứng với ch iều
ngược lại Công thức này rõ ràng khác với cỏng thức biến đổi Galilei (9.2),
ta đâ chuyền từ quan điểm cổ điển sang quan điểm tương đối Trước hết xét
quán tính này chuyển dộng với hệ quán tính khác
Xét điểm M gắn với hộ K ', tọa độ ý l y ý 2}ý 3 của nó không đổi, nhưng thời gian tf thay đổi Đối với hộ K diểm M chuyển động; vi phản ba hệ thức sau của (9 11) và chú ý đến dy 1 = dy 2 = dy 3 = 0, ta được
Trang 1000Theo tính chất giả trực giao, suy ra
/
1
(■A))
00
V 2
c‘
00
B ây giờ xét một vài hệ quả của phép biến đổi Lorentz
a) Sự co lại của chièu dài các vật chuyền động. G iả sử trong hệ K dể nằrn yên một cái thanh dọc theo trục y 1 , chiều dài cùa thanh trong hệ này bằng
t = Ý - y \
y , y 1 là tọa độ hai đầu thanh Ta xét chiều dài của thanh trong hệ K \ tọa
độ hai đầu của nó y ' 1, ỹ 1 trong hệ K ' tại cùng thời đicm t' suy từ (9.13)
v t' + ý l ^ v t' + ỹ'x
1
Trang 11Chiều dài riêng của thanh là chiều dài trong hệ quán tính, khi nó nằm yên
Đó là chiều dài lớn nhất, còn chiều dài ờ trong hệ, tại đó thanh chuyền động
với vận tốc V sẽ giảm đi với tỉ số y 1 -Y •
Vì các kích thước ngang của vật không thay đổi khi nó chuyển động, nên thề tích V cũng giảm đi theo công thức
trong đó V là thể tích riêng của vật
b) Sự chậm lại của đồng hồ chuyền động. Từ công thức biến đổi Lorentz củng có thể nhận được kết quả đối với thời gian riêng (9.4) G ià sử gắn chặt dồng hồ vào hệ K ' và xét hai biến cố xáy ra cùng tại một chổ (y ì 1y ,2/ ) của không gian trong hệ K f. Thời gian trong hệ K ' giữa hai biến cố đó là
— t' — t f. B ây giờ tìm thời gian At giữa hai biến cổ này trong hệ K \ từ (9.13) ta có
/ V '
t ễ + ZĩV cr
c) Tỉnh không giao hoán của phép biến đổi Lorentz. Phép biến đổi Galilei
có tính giao hoán, tức là kết quà tổng hợp của hai phép biến đổi Galilei liên tiếp (vái vận tốc V\ và \;2 khác nhau) không phụ thuộc vào thứ tự tiến hành hai phép hiến đổi này Nhưng nói chung phép biến đổi Lorent.z không có tính chất đó Về mặt toán học, phép biến đổi này là phép giả quay trong không gian bốn chiều, do đó kết quà của hai phép quay phụ thuộc vào thứ tự thực hiện chúng
Trang 12404 C h ư ơ n g I X L Ý T H U Y Ế T T Ư Ơ N G Đ Ó I H Ẹ P
B ảy giờ xác định công thức liên hệ giữa vận tốc của chất điểm chuyển động trong một hệ quán tính với vận tốc cũng của chất điểm đó trong hệ quán tính khác K ý hiệu
từ (9.12), ta có
Đây là công thức biểu diễn định lý tổng hợp vận tốc trong thuyết tương đối Trường hợp giới hạn c oo, các còng thức này có dạng như trong cơ học cổ điển (hựp vận tốc Galilei) Từ các công thức trên, có thể suy ra tính bất biến của vận tốc ánh sáng trong chân không đối với các hệ quán tính Quà vậy, nếu tr = c thì từ (9.16) ta tìm được
Từ các công thức này ta củng tìm được công thức quang sai ánh sáng, tức là
sự lệch của ánh sáng khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác
Đường cong trong không thời gian Minkowsky có vi phân cung cho theo cóng thức (9.7)
Chia ba hệ thức sau cho hệ thức trước ta được
Trang 13dơ* = y / ( d x 0 ) 2 - [d x 1 ) 2 — (rix2)2 - (rfx3)2 = y j[ -g ĩj)d x * d &
Các kết quả trước vẫn giừ nguyên không có gì thay đổi, nếu ta dùng không
- thời gian có (lạng toàn phương ca sở d ơ 2 = ỌịJd x id xJ với tenxơ mêtric
9ij = ~ 9 ì j i tửc là
ởoo = ^ Pa« = - 1 (a = 1 ,2 ,3 ) , glị = 0 (i # j)
Ngưừi ta đà chửng tỏ rằng trong không - thời gian đó vecíơ vận íốc đơn vị
hay ưecto ¿zếp tuyến đơn vị của đường cong quỷ đạo