Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 2

Hệ thống với các thành phàn phần tử của nó xác định trong hệ tọa độ Descartes vuông góc; khi hệ tọa clộ thay đổi tức là hệ vectơ cơ sờ cùa nó thay đổi, thì các thành phần của hộ này củng

2.1 K h á i n iê m về hệ th ố n g Q u y tắ c chi số

2.1 1 H ệ t h ố n g p h ầ n t ử

Hệ thong phần từ trong phép tính tenxor dóng vai trò rất quan trọng Các hệ

thống này đặc trưng bời một hay nhiều chì số, đó là tập hựp nhửng đại lượng

(phần tử) xác định trong hệ tọa độ nào đấy và được sắp đặt theo thứ tự nào đấy Chầng hạn au dij> dijk, Trong chxcơng này ta quy ước các chi sổ bằng

chữ la tinh lấy giá trị 1, 2, 3 Do đó hệ thống (lị gồm ba phần tử a i,a2,a3;

còn a,ij gồm chín phần từ a n ,a i2,a i3, a2i , <*22,023) a3i»a32)«33i v.v

Hệ thống có một chỉ số gọi là hệ thống hạng nhất, có hai chì số gọi là hệ thống hạng hai Tổng quát hộ thống có n chỉ số là hộ thống hạng n, bao gồm 3n phần tử.

T h í du 2.1 Ba thành phần X1,X2,X3 của vectơ X lập thành hộ thống hạng nhất X ị

Chín đại lượng a n ,a i2, • • ,ữ33 trong biểu thức của dạng toàn phương

3 3

»=1 j= 1

4 9

5 0 C h ư ơ n g II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

lập thành hệ thống hạng hai ữ i j •

2 1 2 Q u y t ắ c chỉ số

Ta đưa vào hai quy tắc quan trọng đổi với chỉ số:

a) Trong một biểu thức chỉ số nào đấy chi gặp một lần, ta gọi là chi số

tự do Chỉ số này lấy giá trị 1, 2, 3 Chẳng hạn d i b j k trong dó cả ba chỉ số

Một hệ thống là đ ố i x ứ n g đối với hai chỉ số nào đấy, nếu ta hoán vị hai chi

số đó cho nhau, các phần tử của hệ thống khỏng đổi dấu và giá trị.

T h í du 2.3 Hệ thống aịj đối xứng, nếu

Hệ thống phản đối xứng hạng ba thường dùng là hộ thống c hay là ký hiệu

Levi-Civita eijk có tính chất sau đây:

{1 khi i j k là hoán vị chằn của 1, 2, 3,

— 1 khi i j k là hoán vị lè của 1, 2, 3,

0 khi hai chi số bất kỳ bằng nhau.

Sau đây ta nghiên cửu khái niệm tenxơ, nó là trường licrp riêng của hệ thống, ràng buộc bỏi một quy luật nhất định Hệ thống với các thành phàn (phần tử) của nó xác định trong hệ tọa độ Descartes vuông góc; khi hệ tọa clộ thay đổi (tức là hệ vectơ cơ sờ cùa nó thay đổi), thì các thành phần của hộ này củng thay đổi theo Vấn đề dặt ra là hệ thống này thay đổi như thế nào, thì ta gọi nó là tenxơ?

2.2 T e n x ơ

2 2 1 P h é p b iế n đổi h ệ t ọ a độ (h ệ v e c tơ cơ sờ )

Gọi e¿ (i = 1, 2,3) là hệ vectơ cơ S(V của hệ tọa độ Descartes vuông góc Ta có

{1 * =

Các vectơ này dặt tại gốc tọa độ o lập thành rêpe trục giao Một điểm M trong hệ tọa độ Descartes có thể đặc trưng bời vectơ bán kính O M = x; thành

phần cùa X là hệ số của hệ thức biểu diễn X qua rêpe trực giao

X = I,e¿ = Xiej -f I2 e 2 + Z3e3,

5 2 Chư ơng II TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

Xi còn có thể xem là hình chiếu của vecttt X lên trục tọa độ, tức là

Xi = X • e t1

hay củng là tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Descartes.

Bây giờ ta xem tọa độ của điểm M thay đổi như thế nào, khi ta t hay đổi

hệ trục tọa độ (tức là thay đổi hệ vcctơ cơ S(V) ơ đây cùng như sau này, ta chỉ xét phép quay hệ trục tọa độ (kể cả chiếu gương) xung quanh gốc cố định

o , không xét phép chuyển dịch song song các trục tọa độ Bới vì trong ứng

dụng hình học và vật lý, vị trí của gốc o không đóng vai trò quan trọng Qua phép biến đổi này rêpe trực giao Gi chuyển thành rêpe trực giao e' Tất nhiên các vectơ e' có thể biểu diễn qua e t

Các thành phần A tj lập thành ma trận cùa phép biến đổi hệ cơ sở A — (Aịj).

Ngược lại, từ (2.1) ta có thể biểu diễn các vectơ cơ sờ củ e, qua vectơ cơ

sờ mói e' Iihờ ma trận nghịch đảo {Btj) của ma trận {Aij):

2 2 TEN X ơ 5 3

Do đó:

A \ m A j m == A f jli Áf nj = ỏij. (2*6)

Từ còng th ứ c này, t a th ấy rằng phép biến đổi (2.2) với ma trận trự c giao

( A ị j ) bảo đảm chuyển rêpe trự c giao về rêpe trự c giao Đ ịnh thức củ a m a

vectơ X = O M không đổi nhưng các thành phần củ a nó th ay đổi tù y theo đặt

nó ờ rêpe nào Đ ặ t (2.2) vào hệ thức thứ hai (2.7), ta được:

T a có Aij = e ' • e j = C O S(e',e7) nên

A l l = c o s ( e i,e i) = c o s a ,

A \2 = cos(e'lve2) = sin í*,

.4x3 ss c o s ( e i , e 3 ) = 0

54 Chuơng II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

(Ij cho tronq một hệ tọa độ Descartes nào đấy (tức là trong một hệ cơ sỏ nào

dấy); khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì chúng thay đổi thc 0 quy

luật (2.10) qiổng nhu quy luật (2.2).

Ta thấy rằng các tọa độ của một vectơ cho trước lập thành tenxơ hạng nhất; và ngược lại các thành phần của một tenxơ hạng nhất có thể xem là tọa độ của một vectơ không đổi nào đấy Vectơ là đối tượng bất biến đổi với phép biến đổi tọa độ.

Tất nhiên, không nhất thiết phải hiểu tenxơ hạng nhất nhir vectơ Một

hệ thống dị xác định trong một hộ cơ sờ nào đấy lập thành tenxơ, nếu như khi thay đổi hệ cơ sờ theo quy luật:

5 6 C hĩíơng // TENXO TRONG HỆ TỌA Đ Ộ DESCARTES VUÔNG GÓC

Để dần đốn khái niệm tenxơ hạng hai, ta xét tích điat của hai vectơ x (x i, X 2 , X 3 )

và y(j/i, 2/252/3) vừa nêu ờ trên

Khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì các thành phần của vecta X và vector y củng thay đổi theo quy luật như vậy, nghĩa là:

Mờ rộng ta có thề lấy vectơ ca s ờ kép làm hệ cơ s ờ cho các tenxơ hạng hai A

A —■ ữ j j G | C ị ,

qua phép biến đổi hộ cơ sờ (2.2) tenxơ A không thay đổi

tương tự cách làm đối với (2.10) suy ra

5 8 Chư ơng II TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

Ta cli đến định nghĩa tenxơ hạng hai:

Đ ịnh nghĩa Tcnxơ hạng hai là một hệ thống hạng hai gồm 9 thành phần atj

cho trong hệ tọa độ Descartes nào đấy, khi hệ cơ sà thay dổi theo quy luật

(2.2) thì các thành pỉỉần này thay dổi theo quy luật (2.13).

T h í du 2.7 Ta có thể lấy thí dụ khác về tenxơ hạng hai là các hệ số a,ịj của

phương trình mặt bậc hai tổng quát

Ta có: y = y j G j \ Ax = A(xtet) = X iA e t,

Act — ữj|Gj,

từ hệ thức

y = Ax, suy ra

Vj = G>jịXị.

dij gọi là thành phần của toán từ tuyến tính A

= * Acị, chúng lập thành tenxơ hạng hai Quà vậy

ữ j ị — — Á = A j f f i Á i n O > m n » *

2.3 CẮC PHÉP TÍNH ĐẠI s ó ĐÓI VỚI TEN xo 59

2 2 4 T e n x a h a n g b ắ t k ỳ

Tương tự như tenxơ hạng nhất và hạng hai nêu trên, ta mờ rộng định nghĩa đối với tenxơ hạng bất kỳ Chẳng hạn tenxơ hạng năm c = ũpqrst^p^q^r^a^t

là một hệ thống hạng năm gồm 35 thành phần cipqrst cho trong một hệ cơ sở

nào đấy, khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì các thành phần này thay đổi theo quy luật tương tự đối với từng chỉ số, tức là

®i j kl m = AipAjqAkrAi 3 A mt(lpqr 3 i (2.14)

N h ân x é t Bảy giờ chúng ta chú ý đến một số tính chất cùa tenxơ Mỏi thành phần của tenxa trong hệ tọa độ mói là tổ hợp bậc nhất của các thành phần cùa tenxơ trong hệ cũ Do đó nếu tất cả các thành phần của tenxơ bằng không trong hệ nào đấy, thì chúng cũng bằng không trong hệ mới nhờ phép biến đổi (2.2).

Tính chất quan trọng thử hai cần lưu ý là với các quy luật thay đổi hệ tọa độ như trên, các thành phần của tenxơ thỏa mãn tính chất nhóm Ta dễ dàng nhận được tính chất này, suy từ các công thức biến dổi.

Củng cần nhấn mạnh tính chất bất kỳ của tenxơ Cụ thể là có thể lấy một tập hợp nào đấy các hàm số hoặc hằng số với số lượng cần thiết làm các thành phần của tenxơ trong hệ tọa độ đả chọn Nhờ quy luật biến đổi tenxơ chúng ta xác định thành phần của tenxơ trong hệ tọa độ bất kỳ khác Chẳng hạn chúng ta muốn có tenxơ hạng ba ữ i j k, ta có thể lấy tập hợp bất kỳ 33

số (hoặc hàm) d ị j k làm thành phần của tenxơ trong hệ cơ sờ e n khi đó các

thành phần o!ịjk trong hệ e' sẽ xác định bới công thức tương tự (2.13) hoặc

(2.14).

2.3 C ác p h é p tín h đai số đối với te n x ơ

Đối với tenxor, ta có thể thực hiện một số phép tính bất biến, tức là những phép tính mà kết quả của chúng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.

2 3 1 T ổ n g c á c t e n x ơ c ù n g h ạ n g

Phép tổng (cộng hoặc trừ) chỉ thực hiện trên các tenxơ cùng hạng, mà mỗi thành phần của nó bằng tổng các thành phần tương ứng cùa các tenxơ đã cho.

T h í du 2.9 Nếu A 2= útjfce¿e; efc và B = bijiçeiejeiç là hai tenxơ hạng ba thì

tổng của chúng cho ta

A ± B = c,

6 0 Chương II TEN x ơ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTKS VUÔNG GÓC

hay là

^ b i j k & i & j ® k = { t t ị j k i b i j ỉ c ) ^ ĩ ^ j ^ k

các thành phần Cịjk của c xác định bời phương trình

C i j k = Q>ijk i ^ i j k '

Ta có c là tenxơ hạng ba Quả vậy, nếu ký hiệu cfijk là các thành phần của

C i j k trong hệ tọa độ mới thì:

dịj - bịj có các thành phần bằng không trong hệ cơ sờ này cũng bằng không

trong hệ cơ sờ khác có được qua phép biến đổi (2.2).

2 3 2 T íc h t e n x ơ c á c te n x ơ (p h é p n h â n n g o à ỉ)

Phép nhân có thể thực hiện đổi với hai hoặc nhiều tenxa có hạng bất kỳ bằng cách trong mỗi hệ tọa độ lấy mọi tích có thể có của từng thành phần tenxơ này với từng thành phần tcnxơ kia, kết quả nhận được một thành phần của tenxơ mói Tenxơ mới này có hạng bằng tổng của các tenxơ thừa số.

T h í du 2.10 Nhân tenxơ hạng ba A = aijịceiejek với tenxơ hạng hai

® = hime i e m cho ta tenxơ hạng năm:

2.3. o ÁC PHÉP TÍNH ĐẠI s ó Đ ố i VỚI TEN xo 61

các thành phần Cijktm của nó là Iihừng tích có thể có của từng thành phần

T h í dụ 2.11 Nhân tenxơ hạng ba dijtc với vô hưóng 6, kết quả nhận được:

là lấy tổng theo chỉ số đó, còn các chỉ số khác tùy ý Như vậy các chỉ số tự

do sẽ bớt đi hai, tức là tenxơ mới nhận được có hạng giÀm di hai đan vị Ta nói đả thực hiện phép cuộn tenxơ đả cho theo hai chi số trùng nhau đó.

T h í du 2.12 Cho tenxơ hạng bốn aijtcti cuộn tenxa này theo chỉ số thứ 3

và thử 4, tức là cho k = £, ta có

3

f t ị j k k = ^ ^ Q i j k k = Q i j l l Q i j 2 2 Q»j33 =

* = 1

6 2 C h ư ơ n g II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

Hệ thống Cịj nhận dược bằng phép cuộn tenxơ hạng bốn UijM theo chỉ số thứ

ba và thứ tư ( k = í ) là một tenxơ hạng hai Quả vậy, gọi C ị j là các thành phần của C i j trong hệ tọa độ mới ta có:

Vậy Cịj đúng là tenxơ hạng hai, tức là thấp hơn tenxơ đả cho hai đơn vị •

Ta có thể thực hiện phép cuộn đối với hai chỉ số có thứ tự bất kỳ.

T h í dụ 2.13 Cuộn theo chỉ số thứ nhất và thứ tư của tenxơ hạng năm

tire ià.

3

C j k m ” ^ ^ Q i j k i m = û l j f c l m Q’,2 j k 2 m “ỉ" ^ 3 j k 3 m • •

i= 1 Đối với các tenxơ có hạng chẵn, ta có thể lần lượt cuộn từng hai chỉ số một, mỗi lần sõ giảm di hai đơn vị, cuối cùng nhận dược tcnxơ hạng khóng, tức là vô hướng Vô hướng này gọi là v ế t cùa tenxơ Do đó phép cuộn cho

ta điểm xuất phát quan trọng để nhận được các bất biến của các đổi tượng hình học và vật lý.

2 3 4 T íc h v ô h ư ớ n g c á c t e n x ơ ( p h é p n h â n tro n g )

Đây là phép nhân và cuộn đồng thời các tenxơ.

T h í dụ 2.14 Tích vô hướng của hai tenxơ hạng nhất hay tích vỏ hướng của hai vectơ chính là thực hiện phép nhản hai tenxcr hạng nhất tiếp đến cuộn theo hai chỉ số và cho ta một bất biến

X y = £¿et • Vj Gj = Xi Uj e i • e; = Xi Pj S i j = Xt y x. •

2.3. CÁC PHÉP TÍNH ĐAI s ổ Đ ố i VỚI TENXO 63

T hí dụ 2.15 Tích vỏ hướng của tenxơ hạng hai A và tenxơ hạng nhất b

A b = a¿; e¿ej • bke k = ^ j b k e ^ e j • e*;) = a^bkSjkVi =

T hí du 2.17 Cho tenxơ A vói các thành phần a¿jfc, thiết lập tenxơ mới B

với các thành phần btjk hằng cách ký hiệu chỉ số i y j , k thành j k i

bj k i = Q-ijki

có thể chứng minh dề dàng bjki là thành phần của một tenxơ •

Chú ý rằng đây không phải là tenxơ củ nửa, vì theo định nghĩa tenxơ, các thành phần của nó được xác định nhờ các giá trị của chỉ số thứ nhất, thứ hai v.v Do đó thay ký hiệu chl sổ, dần đến thay bản thân tenxơ.

Tóm lại, tổ hợp bất kỳ các phép cộng, trừ, nhân và cuộn các tenxơ đều cho tenxơ mới Vi vậy, ta có thể biết được tính chất tenxơ của một hệ thống nào đấy bằng cách xem nó được xác định từ các tenxơ bằng các phép tính

nào Chẳng hạn, nếu ãịj và bịj là hai tenxơ, thì Oijbij là một vô hướng, vì nó

được xác định nhờ phép nhân hai tenxa và cuộn theo cả hai chi số.

2 3 6 D ấ u h iê u n g ư ơ c la i v ề t e n x ơ

Ở trên nhờ các phép tính đối với các tenxơ ta nhận được tenxơ mới Ớ đây

ta phát biểu dấu hiệu ngược lại về tenxơ dưới dạng đơn giản, tất nhiên điều này có thể mờ rộng cho hộ thống có hạng tùy ý.

64 Chương II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

T h í du 2.18 Ta có hệ thức

a { i j y k ) b j k = C i,

biết rằng Ci là thành phần của một tenxơ xác định duy nhất, bjk là thành

phần của tenxơ hạng hai tùy ý thì hệ thổng û(tjfc) cũng là thành phần của một t.enxơ có thể biểu thị như sau

=

aijk-Điều cần chú ý là tenxơ bjk phải hoàn toàn tùy ý Ta có thể chọn như

sau: cho một thành phần của nó có giá trị tùy ý, các thành phần khác bằng không •

Một trường hợp riêng quan trọng của mệnh đề trên: giả sừ I i ì , Xị21 , x in

là thành phần của n vectơ tùy ý, X I , X 2 , , x n, nếu biết a¿1i2 ¿nXt1Xi2 X i n

là một bất biến, theo dấu hiệu ngược lại của tenxơ ta có thể kết luận ùi1i2 ịn

ỉà thành phần của tenxơ hạng n Đôi khi người ta dùng tính chất này clể định nghĩa tenxơ.

T h í du 2.19 Hàm vô hướng cp = <fi(x) của đối số là vectơ X là hàm tuyến

tính hay dạng tuyến tính, nếu nó có tính chất sau

ự>(x) bất biến, Xi là thành phần của vectơ X tùy ý nên theo dấu hiệu ngược

lại của tenxơ, ta kết luận ũị là thành phần của tenxơ hạng nhất Ta củng có

2 4 TENXO PHẢN ĐÓI XỨNG VÀ TENXƠ ĐÓI XỬNC, (35

Theo (2.8) a[x[ = d j X j = cijAljx[, suy ra a[ = Aijdj •

T h í dụ 2.20 Hàm vô hướng (¿?(x,y) của đối số là hai vector X và y là hàm song tuyến tính hay dạng song tuyến tính, nếu Ĩ1Ó tuyến tính với từng dối số, tức là

¥?(X! + x 2,y ) = v>(xi.y) + ¥>(x2>y)

<p(x,y) bất biến, Xi, Ị/j là thành phần của các vectơ X, y tùy ý, nên theo dấu

hiệu ngược lại của tenxơ, ta kết luận ãịj là tenxơ hạng hai •

T h í du 2.21 Hàm vô hướng <P(X1,X2,X3,X4) cùa 4 vectơ đối số gọi là hàm

đa tuyến tính hay dạng đa tuyến tính (ờ đây là tứ tuyến tính), nếu nó tuyến

t ính với từng đối số Trong hệ cơ sờ trực chuẩn nó có dạng

ty?(x 1, X21 X3, X.« ) = XiXjXfçXfip^Gi, Cj , 6fc, ©/) — Or{jfç(XiXjXlQX(.

Các vectơ X1, X‘2 , X3, X4 tùy ý, nên theo dấu hiệu ngược lại của tenxa ta có

Tnrớc hết xét tenxor phản đối xứng hạng hai với các thành phần Cịj ta có

C i j = C j ị ( i , j = 1,2,3) (2.15)

nếu i = j thì Cu = — Cịi, suy ra di = 0.

6 6 Chương II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÒNG GÓC

Tenxơ phản đối xứng hạng hai còn gọi là v e c tơ kép Ký hiệu:

C123, hoặc chỉ khác dấu.

Chú ý rằng, trong không gian ba chiều, chỉ có tenxơ phản đối xứng đến hạng ba Nói cách khác, mọi tenxơ phàn đối xứng hạng lớn hơn ba đều có thành phần bằng khóng, vì các thành phần của nó có ít nhất hai chỉ số bằng nhau, do số chi số lớn hơn 3 mà mồi chỉ số chỉ lấy giá trị 1, 2, 3.

2 4 TENXƠ PHẢN f)ÓI XỨNG VÀ TEN x ơ Đ ố l XỨNG 6 7

2 4 2 D ù n g t e n x ơ p h à n dối x ứ n g để tìm c á c b ấ t b iế n

1 Phương p h á p p h ả n đối xứng h ó a Cho một tenxơ, ta có thể thiết lập tenxa mới phản đối xứng từ tenxơ này bằng phương pháp phản đối xứng hóa

Đó là plnrơng pháp dùng các tổ hợp của các hoán vị iuán phiên.

Phản đối xứng hóa đối với hai chì số nào đấy của tenxơ đả cho là thiết lập tenxor mới có thành phần bằng nửa hiệu số của thành phần tenxơ đả cho với thành phàn nhận được từ nó bằng cách hoán vị chi số đả chọn.

T h í dụ 2.22 Cho tenxơ hạng hai d i j bất kỳ, phản đối xứng hóa đối với hai

chi số i , j của nó, tức là thiết lập tenxơ

Cịj = ~~ = a [ij]'

Qj đúng là tenxơ vì phép hoán vị chi số và phép tổng các tenxơ vẫn cho ta

tenxơ; mặt khác C ị j là tenxơ phàn đối xứng, vì ta thấy ngay C ị j = — Cjị •

T h í du 2.23 Cho tenxơ hạng năm atjkim, phản đối xứng hóa hai chỉ số thứ Iihất (i) và thứ tư ự ) có nghĩa là thiết lập tenxơ

Cịjkfm = 2 {^ijk(m Q'tjkim')' •

Phản đối xứng hóa đối với ba chỉ sổ nào đấy cùa tenxơ đả cho là thiết lập tenxơ mới có thành phần tương ứng bằng trung bình cộng của sáu thành phần nhận được từ một thành phần tương ứng bằng cách lần lượt hoán vị

ba chỉ số đả chọn, trong đó với hoán vị chẳn thành phần giừ nguyên dấu, còn với hoán vị lẻ lấy dấu ngược lại.

TỈ1Í du 2.24 Cho tenxa hạng ba CLịjk bất kỳ, bằng phép phẰn đối xứng hóa,

ta thiết lập

Cịjk = &kij “t* ü j k i ü j i k &ikj — Q-kji)} (2.16)

CÓ thể dễ dàng khẳng định C i j k là tenxơ và có tính chất phản đối xứng Ký hiệu là

Cijk =

a\ijk)-Củng có thể phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số của tenxơ có hạng bất kỳ, thí dụ

ci j k f m ==

6 8 Chương II TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC

Theo tính chất của tenxơ phản dối xứng hạng ba, chỉ có một thành phần quan trọng là

Nếu tenxơ Ciii 3 i 3 j lj 3 j 3 là tenxơ phản đối xứng đối với ba chỉ số đầu và ba chỉ

số cuối, thì thành phần C123123 có vai trò quan trọng, vì thành phần này là bất biến tương đối đối với riêng từng ba chi số, nên khi chuyển từ hệ phải sang

hệ trái, nó hai lần nhân với — 1, tức là nó không đổi Vậy c 123123 là bất biến

tu y ê t dối.

Bây giờ xét tenxơ hạng sáu là tích của ba tenxơ cùng hạng hai như nhau

a«l*3*3>l jjj3 — aú j i ahj2ah h '

Dùng phép phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số ¿1*2*3 và ji j2j3 để thiết lập tenxơ phản đối xứng C i l i ĩ i 3 j u J j )

1 ahjì ahÌ 2 a*l>3

^*1 *2*3jlỈ2J*3 0 aÌ 2 jì aÌ 2 j 2 ahj3 »

ữhìi a«3Ì2 aĨ3Ì3 vậy bất biến tuyệt đối sẽ là:

2 4 TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG VÀ TFJNXO Đ ố i XỨNG 6 9

Định thức lập nên tủ các thành phần của tenxơ hạng hai là bất biến đối với phép thay đổi hệ tọa độ.

Điều này củng nhận được bằng cách khác Quả vậy, ta có quy luật thay đổi của các thành phần tenxơ hạng hai

ôịj — AimA j nữTnTJ,

nẽn

Detịayl = Det|i4¿m| • DetỊẲ.jfi ị • Detị 0-17171Ị = DctỊũ-rnnl*

Định thức của các thành phần tenxơ hạng hai bất kỳ là bất biến, chẳng hạn

Det|a¿;| bất biến, thì Det|a¿j - kỗịjI củng là bất biến đối với phép biến đổi hệ

Cho tenxơ hạng ba bất kỳ (Lijkf bằng phép đối xứng hóa ta thiết lập

bijk == 4 “ ßjAit ~ì~ ö /c ij "f" CLjik 4“ &kji H"

dề dàng chỉ ra bijk là tenxơ đối xứng đổi với cả ba chỉ số và ký hiệu là

bịjk = a

(ijk)-7 0 Chương II TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUỔNG GÒC

1 Giá trị chính và hướng chính Một tính chất rất quan trọng cùa tenxơ

hạng hai đối xứng là tồn tại ba hướng chính trực giao với nhau và các giá

trị chính dầu là thục Gọi V là vecto đơn vị hướng chính của tenxơ đối xứng hạng hai A với các thành phần a tj , khi đỏ vectơ A • V sẽ đồng phương vai vectơ V

Hệ số /r gọi là giá tr i chính của tenxa atj đối với hướng chính.

Viết tường minh phương trình trên, ta có:

Với phép biến đổi tọa độ, như trên ta thấy phương trình này bất biến

(xem mục 1.6.5), nên nghiệm của phương trình (tức là ba giá trị k) là bất

biến Khai triển phương trình trên ta được

k 3 - I xk? + I 2k - h = 0, (2.21)

2.1 TKNXƠ PHÁN ĐÓI XỨNG VÀ TEN x ơ ĐÓI XỨNG 71

Giả sử k — a + i/3< tương ứng với i/j = \ j +ifij thay thế vào phương trình

(2.20), cân bằng phần thực và phần ảo ta được

(o,ịj — ơ ỏ i j ) \ j 4“ ị3Sìj[ij — 0>

(cIij — OLỏiị )ịLj f 3 S ị j \ j — 0

Nhân phương trình đầu với ụ.ị và phương trình thử hai với x t (tống theo i từ

1 đến 3 và chú ý atJ đối xứng), rồi trừ vế với vế hai phương trình vừa nhận

được, ta có

Vì mọi Ai, /ii không đồng thời bằng không, từ dây suy ra (3 = 0 Do đó mọi nghiệm của phương trình đặc trưng là thực và mọi giá trị ưj cũng thực.

Bảy giờ ta chửng minh ba hướng chính trực giao với nhau Giả sử hai

nghiệm fc(r) và k(s) khác nhau, ta xác định đirạc tương ứng và Theo

72 Chương II TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỎ DESCARTBS VUÔNG GÓC

Đối với hệ trục chính các thành phần của tenxơ viết dưới dạng ma trận đưa về dạng đường cheo chính

T h í dụ 2.26 Tìm hướng chính và giá trị chính của tenxơ hạng hai dối xứng

A được biểu diền qua ma trận

k 3 - 7k 2 + U k - 8 = (k - \)(k - 2){k - 4) = 0, nghiệm của nó k\ = 1, /ũ2 = 2, &3 = 4.

Già sử u[X) là thành phần của vectơ đơn vị của hướng chính ứng với

k\ = 1 Khi đó theo (2.20) ta có

21/í0 - 4 ° = 0; - I ^ 11 + 21/ị'1 = 0; 0 ■ 1/ị1’ = 0;

(-í11)2 + (-ị0)2 + (■'ỉ")2 = 1