Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 2

C H Ư Ơ N G II Tenxơ trong hệ tọa dô Descartes vuông góc Chirơng này đồ cập đến khái niệm tenxơ trong trường hợp dan giản nhất, cụ thể là xét tenxơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc (không gian Euclide 3 chiều thông thường). Tuy nó mang tính chất mờ đầu, nhưng có nhiều ứng dụng quan trọng. 2.1 2 .1 . 1 K h á i n iê m về hệ thố n g . Q u y tắ c chi số H ệ th ố n g p h ầ n t ử Hệ thong phần từ trong phép tính tenxor dóng vai trò rất quan trọng. Các hệ thống này đặc trưng bời một hay nhiều chì số, đó là tập hựp nhửng đại lượng (phần tử) xác định trong hệ tọa độ nào đấy và được sắp đặt theo thứ tự nào đấy. Chầng hạn au dij> dijk, . . . Trong chxcơng này ta quy ước các chi sổ bằng chữ la tinh lấy giá trị 1, 2, 3. Do đó hệ thống (lị gồm ba phần tử a i,a 2 ,a 3 ; còn a,ij gồm chín phần từ a n ,a i 2 ,a i 3 , a 2i , 2 + 0 3 Ò3 = dibi • i=l Chỉ số lặp lại hai lần còn gọi là chỉ số câm và có thề thay bằng chừ khác: (lịbị —Q-Jbj —ClrỴịbỵỵi. Chỉ số nào đấy xuất hiện trên hai lần, thì không biểu thị tổng; nếu biểu thị tổng phải ghi chú riông. Dùng quy ước trên, trong các tổng ta không phải viết dấu tổng Ỵ2 nửa. 2 .1 .3 H ệ th ố n g đối x ứ n g v à p h ả n đối x ứ n g Một hệ thống là đ ố i x ứ n g đối với hai chỉ số nào đấy, nếu ta hoán vị hai chi số đó cho nhau, các phần tử của hệ thống khỏng đổi dấu và giá trị. T h í du 2.3. Hệ thống aịj đối xứng, nếu = ữ jị. Hệ thống bịjk đối xứng với hai chỉ sổ j k , khi bijk = bikj • Một hệ thống là dối xứng tuyệt đối, nếu các phần từ của nỏ không thay đổi khi ta hoán vị hai chi số bất kỳ của nó. 51 2 2. TEN x o Hộ thống dối xứng có dạng đặc biệt dùng rộng rãi trong phép tính tenxor là kỷ hiệu Kronecker 1 khi i = j, 0 khi i Ỷ j- Hệ thống là phàn đối xứ n g đối với hai chỉ số nào dấy, nếu ta hoán vị hai chi số đó cho nhau, các phần từ thay đổi dấu. Thí dụ 2.4. Hộ thống dij phản đổi xứng, nếu ũịj — từ đó suy r a a n = Ö22 = 033 = 0. • Hệ thống phản đối xứng hạng ba thường dùng là hộ thống c hay là ký hiệu Levi-Civita eijk có tính chất sau đây: { 1 khi i j k là hoán vị chằn của 1, 2, 3, —1 khi i j k là hoán vị lè của 1, 2, 3, 0 khi hai chi số bất kỳ bằng nhau. Sau đây ta nghiên cửu khái niệm tenxơ, nó là trường licrp riêng của hệ thống, ràng buộc bỏi một quy luật nhất định. Hệ thống với các thành phàn (phần tử) của nó xác định trong hệ tọa độ Descartes vuông góc; khi hệ tọa clộ thay đổi (tức là hệ vectơ cơ sờ cùa nó thay đổi), thì các thành phần của hộ này củng thay đổi theo. Vấn đề dặt ra là hệ thống này thay đổi như thế nào, thì ta gọi nó là tenxơ? 2.2 Tenxơ 2 .2 . 1 P h é p b iế n đổi h ệ t ọ a độ (h ệ v e c tơ cơ sờ ) Gọi e¿ (i = 1, 2,3) là hệ vectơ cơ S(V của hệ tọa độ Descartes vuông góc. Ta có et . e J = ổtj = ( ° {1 (2.1) *= Các vectơ này dặt tại gốc tọa độ o lập thành rêpe trục giao. Một điểm M trong hệ tọa độ Descartes có thể đặc trưng bời vectơ bán kính O M = x; thành phần cùa X là hệ số của hệ thức biểu diễn X qua rêpe trực giao X = I,e¿ = Xiej -f I2e 2 + Z3e3, Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC 52 Xi còn có thể xem là hình chiếu của vecttt X lên trục tọa độ, tức là Xi = X • e t1 hay củng là tọa độ của điểm M trong hệ tọa độ Descartes. Bây giờ ta xem tọa độ của điểm M thay đổi như thế nào, khi ta t hay đổi hệ trục tọa độ (tức là thay đổi hệ vcctơ cơ S(V). ơ đây cùng như sau này, ta chỉ xét phép quay hệ trục tọa độ (kể cả chiếu gương) xung quanh gốc cố định o , không xét phép chuyển dịch song song các trục tọa độ. Bới vì trong ứng dụng hình học và vật lý, vị trí của gốc o không đóng vai trò quan trọng. Qua phép biến đổi này rêpe trực giao Gi chuyển thành rêpe trực giao e'. Tất nhiên các vectơ e' có thể biểu diễn qua e t e' = A ijej (í = 1,2,3), (2.2) hay là ©1 = ^4lle l + A 12^2 -f j4l3®3> e'2 = A 2 \G\ + ^ 22^2 + ^23^3, = M \ e \ + A ^ 2 + i433©3Từ các hệ thức này suy ra: Ảij = e' • ej (i j = 1,2,3) (2.3) biểu thịcôsincủa gócgiữa trục thứ i cùa hệ mới với trục thử j của hệ cù. Các thànhphầnA tj lập thành ma trận cùa phép biến đổi hệ cơ sở A — (Aịj). Ngược lại, từ (2.1) ta có thể biểu diễn các vectơ cơ sờ củ e, qua vectơ cơ sờ mói e' Iihờ ma trận nghịch đảo {Btj) của ma trận {Aij): et = (2.4) trong đó Bij = e , . e'j ị i j = 1,2,3). (2.5) So sánh (2.3) với (2.5), ta thấy rằng: Bịj — A j i , tức là hai ma trận (^4jj) và (Dij) là chuyền vị và nghịch đảo cùa nhau. Ma trận có tính chất như vậy gọi là ma trận trục giao, ký hiệu như sau ( B tj) = (A y ) " 1 = {AtJ)T . 2 2. TEN Xơ 53 Do đó: A \ m A j m == A f jli Áf nj = ỏij. (2*6) Từ còng th ứ c này, t a th ấy rằng phép biến đổi (2.2) với ma trận trự c giao ( A ị j ) bảo đảm chuyển rêpe trự c giao về rêpe trự c giao. Đ ịnh thức của m a trận trự c giao có g iá trị bằng ± 1 . B â v giờ x ét sự th ay đổi củ a thành phần vectơ X, do tính bất biến của nó t a có X = x,et = x'e', nên xi = x 6i và x' = x e ' , (2.7) vectơ X = O M không đổi nhưng các thành phần củ a nó th ay đổi tù y theo đặt nó ờ rêpe nào. Đ ặ t (2.2) vào hệ thức thứ hai (2.7), ta được: —X * jA. ijXjy CÒI1 đặt (2.4) v à o hệ thức thứ nhất (2.7) d ẳn đến X i == X • B i j C j = B i j X j = A j ị X j . T ó m lại, khi q u ay hệ tọa độ, các thành phần cù a vectơ X cũng thay dổi theo cùng phép biến đổi trự c giao như các vectơ cơ sờ e' = Aijej, 1 J 3 ( 2 .8 ) Xị = Á ị j X j . v à ngược lại: Gị — B y e , — AjiBj, J J (2.9) £f — B ijX j — Ẳ jịX j. T lií dụ 2.5. Hệ trụ c tọ a độ D escartes vuông góc mới nhận đirợc từ hệ củ bằng cách q u ay m ột góc Q quanh trụ c e 3 - H ãy x á c định m a trận củ a phép biến dổi v à các th àn h phần của vectơ X trong hệ cơ sở mới. T a có Aij = e ' • e j = C O S(e',e7) nên A l l = c o s ( e i,e i) = c o s a , A \2 = cos(e'lve 2) = sin í*, .4x3 ss c o s ( e i , e 3 ) = 0 . 54 Chuơng II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC A'ỉ 1 = cos(e'2,e i) = —s in a , A 22 = cos(e 2,e 2 ) = c o s a , ■^23 = cos(é 2 , e 3) = 0. ¿ 3 1 = cos(e'3,e i) = 0, A 32 = cos(e 3, e 2) = 0, ¿33 = cos(e'3,e 3) = 1. Vậy COS a sin a ( A i j ) = I - sin a cos a 0 0 o'* 0 1 theo (2.8) ta có Xị = A ị jX j hay Các thành phần của vectơ = X cos Q sin a 0 I - s i n a co sa 0 0 0 1 ờ hệ cơ sờ mới là x \ = A i j X j = X\ COS a -f- X 2 sin a x f2 = ^ 2j X j = —£i sin a 4- X2 COS Q X3 = A ^ j X j — £ 3 2 .2 .2 • V e c tơ h a y t e n x ơ h ạ n g n h ấ t Mờ rộng vectơ a bất kỳ trong không gian Eucỉide 3 chiều có thể biểu dièn trong hệ cơ sờ trực chuẩn e¿ (hệ tọa độ Descartes vuông góc) dưới dạng a = QịCị == a\e\ fl2e 2 *+■Ù3e 3 - Do tính bất biến cùa vectơ a qua phép biến đổi hộ cơ sờ (2.2), ta có a — Q j ^ j = ù ịe x với e- = A i j C j (theo (2.2)) hoặc e, = Bijdj (theo (2.4)). 2.2. SS TEN XO Thay (2.4) vào hiểu thức của a ta được a = üjBjie'i = a 'e ', suy ra o!ị = ß jjü j = (2 .10 ) Dựa vào các kết quả vừa nhận được, ta đi đến khái niệm tenxơ hạng nhất: Định nghĩa. Tenxơ hạng nhất, là một hệ thống hạng nhất gồm ba thành phần (Ij cho tronq một hệ tọa độ Descartes nào đấy (tức là trong một hệ cơ sỏ nào dấy); khi hệ cơ sờ thay đổi theo quy luật (2.2), thì chúng thay đổi thc.0 quy luật (2.10) qiổng nhu quy luật (2.2). Ta thấy rằng các tọa độ của một vectơ cho trước lập thành tenxơ hạng nhất; và ngược lại các thành phần của một tenxơ hạng nhất có thể xem là tọa độ của một vectơ không đổi nào đấy. Vectơ là đối tượng bất biến đổi với phép biến đổi tọa độ. Tất nhiên, không nhất thiết phải hiểu tenxơ hạng nhất nhir vectơ. Một hệ thống dị xác định trong một hộ cơ sờ nào đấy lập thành tenxơ, nếu như khi thay đổi hệ cơ sờ theo quy luật: e i = AijQj, thì các thành phần Qị cũng thay đổi theo quy luật nhir vậv a, “ Aijdj. T h í dụ 2.6. Các hệ số dị trong phương trình mặt phang cố định CXịduị 1 củng lập thành một tenxơ hạng nhất. Quả vậy, theo (2.8) ta có: a i^ i ữ jX j (Ij Á ị j X ị y suy ra: (xi.y) + ¥>(x 2 >y). V?(Ax.y) = \(x, y 1 + Yĩ) = v?(x, yi ) + ¥>(x, y 2), v?(x, Ay) = Xtp(x,y). Trong hệ trực chuẩn et ta có X = Xị Cị Ị y = yjej, có thể viết dưới dạng (p = C i i j X i y j . V2 — y3 = UĨ\X2 — hay là y = U) X X. Bảy giờ xét tenxơ phản đối xứng hạng ba hay là vector - ba Cijfc.Ta có cijk = Cfctj ~ Cjfct = = ~~c kji = ~~Cịkj mọi thành phần có hai chi số lấy giá trị như nhau đều bằng không, chẳng hạn d j j = 0. Do đó chỉ có 6 thành phần khác không là C123 = C312 = C231 = - C 213 = “ C132 = - C 3 2 1 . Điều này có nghĩa là với hoán vị chẵn các chỉ số thành phần vectơ- ba không đổi, còn với hoán vị lé, chúng thay đổi dấu. Vectơ-ba chỉ có một thành phần độc lập, chẳng hạn C1 2 3 , còn các thành phần khác hoặc bằng không, hoặc bằng C123, hoặc chỉ khác dấu. Chú ý rằng, trong không gian ba chiều, chỉ có tenxơ phản đối xứng đến hạng ba. Nói cách khác, mọi tenxơ phàn đối xứng hạng lớn hơn ba đều có thành phần bằng khóng, vì các thành phần của nó có ít nhất hai chỉ số bằng nhau, do số chi số lớn hơn 3 mà mồi chỉ số chỉ lấy giá trị 1, 2, 3. 2 .4 . 67 TENXƠ PHẢN f)ÓI XỨNG VÀ TEN x ơ Đ ố l XỨNG 2 .4 .2 D ù n g t e n x ơ p h à n dối x ứ n g để tìm c á c b ấ t b iế n 1. Phương p h á p p h ả n đối xứng h ó a . Cho một tenxơ, ta có thể thiết lập tenxa mới phản đối xứng từ tenxơ này bằng phương pháp phản đối xứng hóa. Đó là plnrơng pháp dùng các tổ hợp của các hoán vị iuán phiên. Phản đối xứng hóa đối với hai chì số nào đấy của tenxơ đả cho là thiết lập tenxor mới có thành phần bằng nửa hiệu số của thành phần tenxơ đả cho với thành phàn nhận được từ nó bằng cách hoán vị chi số đả chọn. T hí dụ 2.22. Cho tenxơ hạng hai d i j bất kỳ, phản đối xứng hóa đối với hai chi số i , j của nó, tức là thiết lập tenxơ Cịj = ~~ = a [ij]' Qj đúng là tenxơ vì phép hoán vị chi số và phép tổng các tenxơ vẫn cho ta tenxơ; mặt khác C ị j là tenxơ phàn đối xứng, vì ta thấy ngay C ị j = —Cjị. • T hí du 2.23. Cho tenxơ hạng năm atjkim, phản đối xứng hóa hai chỉ số thứ Iihất (i) và thứ tư ự ) có nghĩa là thiết lập tenxơ Cịjkfm = 2 {^ijk(m Q'tjkim')' • Phản đối xứng hóa đối với ba chỉ sổ nào đấy cùa tenxơ đả cho là thiết lập tenxơ mới có thành phần tương ứng bằng trung bình cộng của sáu thành phần nhận được từ một thành phần tương ứng bằng cách lần lượt hoán vị ba chỉ số đả chọn, trong đó với hoán vị chẳn thành phần giừ nguyên dấu, còn với hoán vị lẻ lấy dấu ngược lại. TỈ 1 Í du 2.24. Cho tenxa hạng ba CLịjk bất kỳ, bằng phép phẰn đối xứng hóa, ta thiết lập Cịjk = CÓ thể dễ dàng khẳng định hiệu là &kij “t* üj k i Cijk üj i k &ikj — Q-kji)} (2.16) là tenxơ và có tính chất phản đối xứng. Ký Cijk = a\ijk)Củng có thể phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số của tenxơ có hạng bất kỳ, thí dụ c i j k f m == Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC 68 Theo tính chất của tenxơ phản dối xứng hạng ba, chỉ có một thành phần quan trọng là C123 = 7 ( a 123 + «312 + «231 - «213 - «132 — «321 )• (2.17) 0 2. Xác định bất biến bang tcnxơ phản đổi xứng. Xét trường hợp tenxor aljk là tích của ba tenxơ hạng nhất &ijk — XiyjZk> trong đó Xi, ĩjj, Zk có thể xem như th àn h phần củ a b a vectơ X, y , z, x á c định. Khi đó c 123 = g ( ® lỉ/2 Z 3 + X\ 1 yi 6 Z\ X 3y\Z 2 + X2V3Z\ - X2 V\Zz - X \ y 3Z2 - X3VĩZ\) X'2 X3 V2 ?/3 Z1 z3 Định thức này bằng tích hỗn tạp (x ,y ,z ) nếu tính trong hệ tọa độ phải và bằng (—x ,y ,z ) nếu tính trong hệ trái, nên C123 gọi là b ất biến tư ơ n g đối. Nếu tenxơ Ciii3i3j lj 3j 3 là tenxơ phản đối xứng đối với ba chỉ số đầu và ba chỉ số cuối, thì thành phần C123123 có vai trò quan trọng, vì thành phần này là bất biến tương đối đối với riêng từng ba chi số, nên khi chuyển từ hệ phải sang hệ trái, nó hai lần nhân với —1, tức là nó không đổi. Vậy c 123123 là bất biến tu y êt dối. Bây giờ xét tenxơ hạng sáu là tích của ba tenxơ cùng hạng hai như nhau a«l*3*3>ljjj3 — aú j i ahj2ah h ' Dùng phép phản đối xứng hóa đối với ba chỉ số ¿1 *2*3 và ji j 2j 3 để thiết lập tenxơ phản đối xứng C i l i ĩ i 3 j u .J j ) ^*1*2*3jlỈ2J*3 1 ahjì 0 aÌ2jì ữhìi ahÌ 2 a*l>3 aÌ2j 2 ahj3 » a«3Ì2 aĨ3Ì3 vậy bất biến tuyệt đối sẽ là: C123123 = r 6 au a \2 “ 21 «31 “ 22 023 = gDet|etij| «32 «33 013 (2.18) 2.4. 69 TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG VÀ TFJNXO Đ ố i XỨNG Định thức lập nên tủ các thành phần của tenxơ hạng hai là bất biến đối với phép thay đổi hệ tọa độ. Điều này củng nhận được bằng cách khác. Quả vậy, ta có quy luật thay đổi của các thành phần tenxơ hạng hai ôịj — AimA j nữTnTJ, nẽn Detịayl = Det|i4¿m| • DetỊẲ.jfi ị • Detị 0-17171Ị = DctỊũ-rnnl* Định thức của các thành phần tenxơ hạng hai bất kỳ là bất biến, chẳng hạn Det|a¿;| bất biến, thì Det|a¿j - kỗịjI củng là bất biến đối với phép biến đổi hệ tọa dộ. 2 .4 .3 T e n x ơ đ ối x ứ n g Ta nói tenxơ đối xứng dối với hai chi số nào đấy, nếu như khi thực hiện phép hoán vị hai chì số đó cho nhau, các thành phần của tenxơ không dổi. T hí du 2.25. Tenxơ aijk đối xứng với hai chỉ sổ i, j nếu như 0.tj k = Gjik- • Đặc biột, đối với tenxơ đối xứng hạng hai có nhiều ý nghĩa quan trọng. Dối với tenxơ này ta có: Oij = ũji. (2.19) Nến cho một tenxơ hạng hai tùy ý a¿¿, thì nhờ phépđối xứng hóata có thể thiết lập tenxơ mới đối xứng như sau bịj = = —( d i j - f ữ j i ) . Cho tenxơ hạng ba bất kỳ (Lijkf bằng phép đối xứnghóa ta thiết bijk == 4 “ ßjAit ~ì~ö /c ij "f" CLjik 4“ &kji H" dề dàng chỉ ra bijk là tenxơ đối xứng đổi với cả ba chỉ số và ký hiệu là bịjk = a (ijk)- lập 70 Chương II. TENXO TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUỔNG GÒC 1. hạng hai trị chính hạng hai vectơ V Giá trị chính và hướng chính. Một tính chất rất quan trọng cùa tenxơ đối xứng là tồn tại ba hướng chính trực giao với nhau và các giá dầu là thục. Gọi V là vecto đơn vị hướng chính của tenxơ đối xứng A với các thành phần a tj , khi đỏ vectơ A • V sẽ đồng phương vai A • V = kv, hay là ũ/ịj 1Sj —■A,l^ị —/cỗịj ISj Ị dẫn đến (dịj - k ổ ij)i/j = 0. (2 .2 0 ) Hệ số /r gọi là giá tri chính của tenxa atj đối với hướng chính. Viết tường minh phương trình trên, ta có: (a n - k)vI + Ỡ12 Ỉ/2 + ai3^3 = 0, 012^1 + (a 22 ~ k)l/\2 + ữ23^3 = 0, (cIij — OLỏiị )ịLj f 3 S ị j \ j — 0. Nhân phương trình đầu với ụ.ị và phương trình thử hai với x t (tống theo i từ 1 đến 3 và chú ý atJ đối xứng), rồi trừ vế với vế hai phương trình vừa nhận được, ta có 4“ = 0. Vì mọi Ai,/ii không đồng thời bằng không, từ dây suy ra (3 =0. Do đó mọi nghiệm củaphương trình đặc trưng là thực và mọi giá trị ưjcũng thực. Bảy giờ ta chửng minh ba hướng chính trực giao với nhau. Giả sử hai nghiệm fc(r) và k(s) khác nhau, ta xác định đirạc tương ứng và Theo (2 .20 ): ( « 0 - * ( r ) £ ij) « 'jr) = 0 , (°ij - = 0. Nhân phương trình trôn với và phương trình dưứi với I^rl rồi trừ đi nhau, chú ý rằng a tj và Sịj dối xứng, ta được (*(r) - kịề))Siji/Ịr)vỊs) = 0, vì fc(r) Ỷ k(s) nẻn nhau. = 0, tức là hai vectơ i/(r* và ư {'s) trực giao với 72 Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỎ DESCARTBS VUÔNG GÓC Đối với hệ trục chính các thành phần của tenxơ viết dưới dạng ma trận đưa về dạng đường cheo chính k1 0 0 k2 0 0 Phép biến đổi từ hệ tọa dộ sau O t . \X 2 X ' ầ 0 0 ^3 về hệ trục chính O x \ x 2^5 cho hời bảng T hí dụ 2.26. Tìm hướng chính và giá trị chính của tenxơ hạng hai dối xứng A được biểu diền qua ma trận 3 -1 0 -1 3 0 °\ 0 3 A. 1/ Để xác định giá trị chính ta có Det|atj —kỗịj\ 3-k -1 0 -1 3- k 0 0 0 1- = ( l - f c ) [ ( 3 - f c ) 2 - l ] = 0, hay là k 3 - 7k 2 + U k - 8 = (k - \)(k - 2){k - 4) = 0, nghiệm của nó k\ = 1, /ũ2 = 2, &3 = 4. Già sử u[X) là thành phần của vectơ đơn vị của hướng chính ứng với k\ = 1. Khi đó theo (2.20) ta có 21/í0 - 4 ° = 0; - I ^ 11 + 21/ị'1 = 0; 0 ■1/ị1’ = 0; (-í11)2+ (-ị0)2 + (■'ỉ")2 = 1 2A. TENXƠ PHẢN ĐÓI XỨNG VÀ TEN x ơ Đ ố i XỨNG 73 suy ra ỉ/í 1 = i/ị1 ' - 0 . ỉ/g1 '1 - ± 1 , v ậ y I/ 1,1 = { 0 , 0 , ± 1 }. Với k = 2 hộ phưcmg trình (2.20) cho ta „ - „ f = 0, = - 4 2> = 0 , + < 42,)ỉ + í - r )2 - 1 suy ra 1-” = l/ị2) = ± ụ = . 4 21 = 0 và 1,(21 “ { ± ’ * ^ 2 ,0 }' V(Vi A"3 = 4 từ (2.20) dẫn đến -„l” - 4 31 = 0 . —- »ị31 = 0, - 3 * f = 0, r í 3’)2 + ( 4 ” )2 + (■?’>’ = 1 cho ta ,/Ị3) = - í / ị 3* = ± _ , 4 3 )= 0 , i/(() = { ± - ^ , T - ^ , o } Hướng cùa các trục chính được xác định bằng các cosin chi phương cho theo bảng sau Xi 0 1 ±4= %/2 Xọ -r s -H x3 12 0 1 ±1 0 ± ^2 1 0 *72 Từ dây nhận dược ma trận cùa phép biến đổi hệ tọa độ / (A ii) 0 ± ị y/ 2 1 ± -7 = \ v/2 0 ±ị s/ 2 _ 1 ^-7= \/2 ±1\ 0 0 = A / ì 0 0' chuyển ma trận (a,j) đã cho về dạng đường chéo Ị 0 2 0 I . Quả vậy theo ,0 0 4. 74 Chương II. TEN x ơ TRONG HỆ TOA ĐỘ DESCARTES VƯÒNG GÓC Ta CÓ thể viết dưới dạng ma trận A* —A A A 1 / 0 0 ±1\ 3 —1 0 -1 3 0 00 1 \± l 0 0 / 2. Hệ thức Hamiỉton-Cayley. Bằng cách nhân trực tiếp ma trận ta nhận được bình phương cùa tenxơ A, nó chính là tích vỏ hướng với chính nó A2 = A • A. Kết quả nhận dược cũng là tenxơ hạng hai có các thành phần dịkakj• Tương tự luỹ thừa ba Â3 = (A-Â) • A củng là tenxơ hạng hai có thành phần at*afcmamj v.v... Do đó nếu các thành phần của A cho dưới dạng đường chéo chính, thì luỹ thừa n cùa tenxơ này có dạng Từ những kết quả này cho thấy tenxơ A và các luỹ thừa nguyên của A đều có cùng hirớng chính. Các giá trị chính thỏa mãn phương trình (2.21), ma trận bicu diễn các thành phần của (A)n có dạng dường chéo chính như trên, nên bản thân tenxơ A củng thỏa mãn phương trình (2.21) (A)3 - /,(A )2 + / 2(A) - / 3(E) = 0 trong đó E là tenxơ đrrn vị. Hệ thức này có tên gọi là hệ thức Hamilton-Caylcy. Nhân vô hướng hai vế với A và chuyển vế ta được (A)'1 = /i(A )3 - h ( A ) 2 4- /s(A), khử (A)3 từ hai hệ thức này dẫn đốn (A)4 = (/? - / 2)(A)2 + ( h - h h ) ( Ấ ) + / i / s (E). Tiếp tục quy trình này ta nhận được mọi lũy thừa nguyên của A đều là các tổ hợp tuyến tính của (A)2, (Â) và E. 2.4. TKNXƠ PHẢN OỐI XỨNG VÀ TENXƠ ©ÓI XỨNG 75 Thi du 2.27. Dùng công thức Hamilton-Cayley xáo định (A)* dối với tenxơ 1 (A) = I 0 0 3 -1 0 -1 ’ 0 - 2, Phương trình đặc trưng 1- k 0 -1 0 3- k 0 -1 —0 0 -2 - k dẫn đốn k 3 —2k 1 - 6A- + 9 — 0. vậy (A)3 - 2 ( A ) 2 - 6 ( A ) + 9(E) = 0 do đó (A)4 = 2(A)3 + 6(A)2 - 9(Â) suy ra (A)4 = 10(A)2 + 3(A ) - 18(E) = 10 1 0 -1 '5 0 0 81 0 2 .4 .4 0 3 0 - 1 \ ,ị 1 0 0 - 2 / 'v - l 0 -1 3 0 0 -2 0 3 1 0 1 0 -2 - ' 1 0 0' - 18 I 0 1 0 ,0 0 1 7\ 0 2 6/ P h â n tíc h m ộ t te n x ơ h ạ n g h ai t h à n h t c n x ơ đối x ứ n g v à t e n x ơ p h à n đối x ứ n g Cho một tenxơ hạng hai bất kỳ otj, nếu dùng phép phản đối xứng hóa ta thiết lập tenxa phản đối xứng Cij — Q|tj| = ~ (2.22) và bằng phép đối xứng hóa ta thiết lập được tenxơ đối xứng bịj = G(«j) = (2.23) Chương II TEN x o TRONG HK TỌA f>ộ DESCARTES VƯỎNG GÓC 76 Hai hệ thống b ị j và d j quả dúng là tenxơ vì nó đều được thiết lập từ các tcnxơ bằng phép hoán vị và phép tổng, hơn thế nửa tenxcr btJ đối xứng và tenxơ Cij phản đối xứng vì Cộng vế với vế hai hệ thức (2.22) và (2.23), ta được Qtj —bịj -+■Cịj. Vậy tenxơ hạng hai bất kỳ Qịj đều có thề phân tích thành tổng của tenxa đối xứng b ị j và tenxơ phản đối xứng d j . T hí du 2.28. Cho tenxơ hạng hai, các thành phần của nó sắp đặt dưới dạng ma trận Bằng phép đối xứng hóa ta nhận được tenxơ blJ đối xứng Bằng phép phản xứng hóa nhận được tenxơ Cij phản xứng Rõ ràng / 3 4 \ —3 2.5 -2 5\ /3 1 16 = 1 1 3 7/ \ \ 9/2 1 \ 9/2 7 / / 0 -3 + 3 0 \~ 4 -3 /2 4 \ 3/2 . • 0 ) T rư ờ n g te n x ơ . Vi phân tr ư ờ n g te n x ơ TVong các mục trên ta xét các tenxơ riêng biệt, ờ đảy ta đưa vào khái niệm trường tenxơ và vi phân các tenxơ. 2.5. 2.5.1 TRƯỜNG TEN X ơ VI PHÂN TRƯỜNG TEN x ơ 77 Đ in h n g h ĩa Nếu tại mỗi dem AI của khônq gian cho trước một tenxơ có hạng nào đó và có giá trị thay đổi tủ điểm, này sang điềm kia, thì ta có trường icnxơ với hạng xác định (hạng của tenxơ đã cho). Như vậy, trường tenxơ được cho dưới dạng các thành phần của nó là hàm của điểm A/, chẳng hạn với tenxơ hạng bốn, ta có: tức là các thành phần của tenxơ phụ thuộc vào cách chọn điểm M. Nếu xét t rường tenxơ trong một hệ tọa dộ nào đấy, thì điểm A/ được xác định bằng các tọa độ của nó Xi,£2,£3; khi dó các thành phần tenxơ sẽ cho dưới dạng hàm của tọa độ điểm aijkt = aijkt [x 1 , 1 2 , 1 3 )- (2-24) Trường tenxa có thể cho trong toàn không gian, cùng có thể cho trong miền nào đấv của khỏng gian. Khi đó các thành phần của tenxơ sẽ là hàm xác định trong miền dó. Sau này ta giả thiết các hàm này liên tục và vi phân được đến hao nhiêu lần do ta yêu cầu. T h í dụ 2.29. Trường tenxơ hạng không hay là trư ờ n g vô hướng là trường mà tại mỏi điểm M cho một sổ a xác định a = a(M ) = a (x i, £ 2 , £ 3 ). a(M) chỉ phụ thuộc vào cách chọn điểm A/, nhưng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Chẳng hạn: trường nhiệt độ thay đổi, trirừng thế, tỉ khối của vật khỏng thuần nhất, V. V. . . • T hí du 2.30. Trường tenxơ hạng nhất cho dưới dạng ai = a t(A/) = a i(x x ,x 2 ,x 3), các thành phần a, có thể xem như thành phần của vectơ a xác định tại mỏi điểm M a= a ị(M )ei do đó cho trường tenxor hạng nhất tương đirang với cho trường vectơ. Chẳng hạn vectơ trường điộn từ, vectơ vận tổc chuyển động cùa chất lòng, vectơ mật độ dòng điện, V. V. . • 78 Chương II. TEN x o TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VƯÒNG GÓC Trong các mục trên, ta *^3 )» cho nên chuyển từ điểm M đến điểm vô cùng gần M \ các thành phần tenxơ đả cho thay đổi như sau A atj = aij{M') = a ý ( n + r f ii,x 2 + d x 2, t 3 + dx3) - oi;( x i, 1 2 , 1 3 ) Ô O jj 1 ỠXk 2! = - rr^dxk 4- - d 2d i j ƠXkOXỊ dxkdxỊ + ... 79 2.5. TRƯỜNG TBNXO VI PHÀN TRƯỜNG TENXO Phần tuyến tính của gia số có dạng ^ - d x k = datJ. dxk (2.25) Tenxơ có các thành phần datj gọi là vi phân tuyệt đối cùa trường tenxơ (lịj Ta có thể viết A = ûjjejej và dA = d d ije ^ j. Hệ thống d(iịj quả là tenxơ, vì theo giả thiết a Xj là tenxơ, nên qua phép biến (loi hệ tọa độ (2.2), ta có a'ij = AimAjnamn. (2.26) Vi phản cả hai vé và chú ý rằng A i j không phụ thuộc vào cách chọn điểm M, ta được dữ ịj = Á im A jndQ m n‘ của các thành phần tenxơ ũịj) ta Bây giờ xét các đao hàm riêng ỠXk chứng minh rằng chúng lập thành tenxơ mới có hạng cao hơn tenxơ ã ị j một đơn vị. Quà vậy, khi chuyển sang hệ tọa độ mới các thành phần này có dạng: 7d x*k - W ƠXỊ dxk *■"> theo công thức biến đổi tọa độ (2.9) Xị = Bijx'j = Ajix'j ta có dx j _ dx'k ~ còn a'XJ có thể xem là hàm của XỊ,X2,X3 , vì theo (2.9) chúng là hàm của do đó đạo hàm (2.26) theo biến Xi ta dược A.A. ƠXt — ■'Mm * * j n dQmn ƠXị Thế các kết quả vừa nhận được vào (2.27), cho ta điều cần chứng minh: dQ«J = A dx[ ~ A *m jn Airfdamn ■ W d xt 80 Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC Trường tenxơ Ỡ gọi là đạo hàm tuyệt đối của trường tenxơ d i j . Trong công thức (2.25) dan dat: = ^— -dxk dxk xem tenxơ dan là kết quả của phép cuôn của hai tenxơ dxk và . J ỡ ■ dxk G hi chú. Trong một số tài liệu người ta kýhiệu đạo hàm riêng như sau: da d x k - a 'k daij s = ^ v v- (đặt dấu phẩy sau đó viết chỉ số của biến lấy đạo hàm). Tương tự như cách thiết lập vi phân tuyệt đối và đạo hàm tuyệt đối cấp một của trường tenxơ ta có thể xây dựng vi phân tuyệt đối và đạo hàm tuyệt đối cấp hai và cấp cao hơn của trường đó. Chẳng hạn đối với trường tenxơ hạng hai dij các đạo hàm riẽng d 2a ,j dxkdxf _ a'3,ht lập thành đạo hàm tuyệt đối cấp hai của tenxơ CLij, đó là một tenxơ cấp bốn. Kết quả của phép cuộn tenxơ này với các vi phân dxk và dxỊ dẫn đến biểu thức của vi phản tuyệt đối cấp hai của tenxơ ữịj (ỉ ũịj = aij'kỉdxkdx(. Một cách tổng quát, vi phân tuyệt đõi cấp p của một trường tenxơ nào đây khả vi đến cấp p cũng là một tenxơ có cùng hạng với tenxơ xuất phát, còn đạo hàm tuyệt đối cấp p là trường tenxơ có hạng lớn hơn p dơn vị so với trường xuất phát. Từ các kết quả trên ta có thể khai triển tenxơ tại một lân cận điểm M theo công thức Taylor Otj(xi + A j? i,X 2 4- A x 2 ,X 3 4- A X 3 ) = a lj ( x i , x 2 ì xz) + (ỉdij( x 1 ,X 2 ,X 3) 4^ r f2Oij ( x i,x 2,X3) + ••• + ^ịd” oỹ-(xx,x2,X3) + . . . (2.28) 2.5. TRƯỜNG TENXƠ VI PHẢN TRƯỜNG TEN xo 2 .5 .3 81 V i p h â n tr ư ờ n g v ô h ư ớ n g (tr ư ờ n g t e n x ơ h ạ n g k h ô n g ) Già sử ta có trường vô hướng (p = 0, < 0, a u > 0 (cực «11 012 > 0, «12 «22 a 12 a 13 012 0.22 «23 > 0 - cực tiểu au 012 > 0, 0-12 a22 «13 a 23 033 an CỈ12 0, a u < 0, 2 .5 .4 ữii a n ay2 > 0 (cự c tiểu) a 12 022 an a ' 2 > 0 (cực đại). • V i p h â n tr ư ờ n g v e c tơ - t e n x ơ h ạ n g n h ấ t G iả sử t a có t r ư ờ n g te n x ơ h ạ n g n h ấ t a = 0 ,e i, tro n g đó a, — ữt(#i ỊX2ĩ £ 3 ), đ ạ o h à m tuyệt, đối c ủ a t r ư ờ n g này dũi dxi lậ p t h à n h te n x ơ h ạ n g hai, đỏi khi gọi là gradien c ủ a t r ư ờ n g vectơ. Vi p h â n tu y ộ t dối c ủ a t r ư ờ n g có d ạ n g dữ ị — dxk dxfc = Qj kdxic tro n g đổ dxic là tọ a độ c ù a v e c tơ d x = M M ' . N h ư t a đ ă biết tro n g m ục 2.2.3 t e n x ơ h ạ n g hai ai k sinh t ư ơ n g ứ n g p h é p biến đổi tu y ế n tín h A, do vậy biểu t h ứ c vi p h â n t u y ệ t đối c ủ a t r ư ờ n g vectơ có th ể viết d a = A (M ) • dx vì đ a 23 a ( M ') — a ( M ) , còn d x = M M \ với độ chính x á c đến đại lư ợ n g nhỏ bậc cao p h é p biến đổi A ( M ) t á c d ụ n g lên vectơ vô cùng n hỏ M M ' = d x cho ta gia số tư ơ n g ứ n g c ủ a t r ư ờ n g vectơ a(M ) a(M ') —a(M ) = Aa(M ) « A(M)dx. 84 Chương II. TENXƠ TRONG HỆ TỌA BỘ DESCARTES VƯÓNG GÓC Hệ thức này chỉ ra rầng phép biến đổi tuyến tính Ấ (M ) xác định phần chính tuyến tính của gia số trường vectơ a tại M. Khảo sát vết của phép biến đổi tuyến tính A(M) Vết A(M) = a u = , VÌ ai k là tenxơ hạng hai, nên vết của nó là một bất biến, ta gọi nó là divergent của trường vectơ a _ dai _ dai = ƠXị í» = ƠX\ da 2 , ôa3 "*■' ƠX2 ơx3 (2'3°) Trường cùa bất biếnnày là một trường vô hướng. Bây giờ xétvectơ ztọa độ của nó nhận được bằng phép cuộn tenxơ với tenxơ eịjk ddj Zk - a, J dat e i j k ~fai = ~ e i j k d ĩ j vectơ này gọi là rot cùa trường vectơ a z = rot a. Viết tường minh các thành phần cùa vectơ rota dai rot a — /ô a 3 ddj — C\jk ~Q k da2\ /dũi ởa3\ (da2 day\ - la ĩ ỉ ■ 8*;)®*+ l ẽ ì ■ ẽ í ) 2 + la i í ■ ũ 2) (2-31) Div và rot của trường vectơ là những khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ. Việc chứng minh tính bất biến cùa nó đối với cách chọn hệ tọa độ được thực hiện một cách dề dàng do bản chất tenx.ơ của các khái niệm này. Ta gọi trường vectơ a = a(M ) là solenoit trong miền V nếu trong miồn này d iv a = 0, còn trường vectơ là không xoáy trong V nếu rota = 0. Trường vectơ không xoáy còn gọi là trường có thể\ vì rằng từ ro ta = 0 dần đến tồn tại hàm vô hướng gọi là hàm thế sao cho a = gradự thỏa mản đồng nhất hệ thức rot grad j = 0, div w = — - = e i j ị cQ‘j ỏ k i ^ i^k ^ k i U)jU)jỏii — -2(jjjUj = 2|cư|2, rot V = C/rniộ” == £tini&ijkMjfìkrĩi&t = *" ồ(lzỗmj )ỗmịi:UJjGị = (ỏtjỏkk = 2oye/ = 2o>, rot w = €(mi"Q "4*MịUlịQ&km ~~ M = = 2a/e/ + eimiUiUmet - eiiiú 2e i = 2a/e* = 2a. • T h í dụ 2.37. Trường điều hòa là trường có tính chất đồng thời vừa là trường thế vừa là trường solenoit. Quả vậy, ta có A = — ei „ ddj p ddj ỡdị d iv , = V . 11= g e , . e i = J,j g = g „ da, dũj rota = V x a = ^ - e , X 6j = e , j k ^ r e k, ỚXị « A ip = V • Vy? = V [...]... 0 (cc ô11 0 12 > 0, ô 12 22 a 12 a 13 0 12 0 .22 23 > 0 - cc tiu au 0 12 > 0, 0- 12 a 22 ô13 a 23 033 an C 12 0, a u < 0, 2 5 4 ii a n ay2 > 0 (c c tiu) a 12 022 an a ' 2 > 0 (cc i) V i p h õ n tr n g v e c t - t e n x h n g n h t G i s t a cú t r n g te n x h n g n h t a = 0 ,e i, tro n g ú a, t(#i X2 Ê 3 ), o... vi k\ = 1 Khi ú theo (2. 20) ta cú 21 /ớ0 - 4 = 0; - I ^ 11 + 21 /'1 = 0; 0 1/1 = 0; (-ớ11 )2+ (-0 )2 + ('" )2 = 1 2A TENX PHN ểI XNG V TEN x i XNG 73 suy ra /ớ 1 = i/1 ' - 0 /g1 '1 - 1 , v y I/ 1,1 = { 0 , 0 , 1 } Vi k = 2 h phcmg trỡnh (2. 20) cho ta - f = 0, = - 4 2> = 0 , + < 42, ) + ớ - r )2 - 1 suy ra 1- = l /2) = = 4 21 = 0 v 1, (21 { * ^ 2 ,0 }' V(Vi A"3 = 4 t (2. 20) dn n -l - 4 31 =... l tớch ca ba tenx cựng hng hai nh nhau aôl*3*3>ljjj3 aỳ j i ahj2ah h ' Dựng phộp phn i xng húa i vi ba ch s 1 *2* 3 v ji j 2j 3 thit lp tenx phn i xng C i l i i 3 j u J j ) ^*1 *2* 3jl2J*3 1 ahjỡ 0 aè2jỡ hỡi ahè 2 a*l>3 aè2j 2 ahj3 ằ aô3 2 a3è3 vy bt bin tuyt i s l: C 123 123 = r 6 au a \2 21 ô31 22 023 = gDet|etij| ô 32 ô33 013 (2. 18) 2. 4 69 TENX PHN I XNG V TFJNXO i XNG nh thc lp nờn t cỏc thnh... trng l C 123 = 7 ( a 123 + ô3 12 + 23 1 - 21 3 - ô1 32 ô 321 ) (2. 17) 0 2 Xỏc nh bt bin bang tcnx phn i xng Xột trng hp tenxor aljk l tớch ca ba tenx hng nht &ijk XiyjZk> trong ú Xi, jj, Zk cú th xem nh th n h phn c a b a vect X, y , z, x ỏ c nh Khi ú c 123 = g ( đ l /2 Z 3 + X\ 1 yi 6 Z\ X 3y\Z 2 + X2V3Z\ - X2 V\Zz - X \ y 3Z2 - X3VZ\) X '2 X3 V2 ?/3 Z1 z3 nh thc ny bng tớch hn tp (x ,y ,z ) nu tớnh trong. .. trờn ta c k 3 - I xk? + I2k - h = 0, (2. 21 ) 2. 1 71 TKNX PHN ểI XNG V TEN x ểI XNG trong ú /1 = ô11 *f 2* 2 + a 33 Tan n 12 a \2 22 /3 4- 22 2 23 ô33 23 + ô33 ô13 ô13 ô11 1 a j a ij)- = Det|a*j| Cỏc i hrng / 1 , / 2 , /3 l cỏc bt bin chớnh ca tenx at; Chỳng ta chng minh rng tt c nghim ca nú l thc Gi s k a + i/3< tng ng vi i/j = \ j +ifij thay th vo phng trỡnh (2. 20), cõn bng phn thc v... trỡnh trờn, ta cú: (a n - k)vI + 12 /2 + ai3^3 = 0, 0 12^ 1 + (a 22 ~ k)l/ \2 + 23 ^3 = 0, ... 0 12 > 0, ô 12 22 a 12 a 13 0 12 0 .22 23 > - cc tiu au 0 12 > 0, 0- 12 a 22 ô13 a 23 033 an C 12 0, a u < 0, ii a n ay2... 21