Trong các mục trên, ta <1à xét các phép tính đối với các tenxơ riêng biệt, các phép tính này chuyển sang các trường tenxơ một cách tự động, có nghĩa là ta thực hiện các phép tính trên các trường tenxơ tại tửng điểm M của miền khảo sát. Chằng hạn tổng hai tenxơ của hai trường cùng hạng
Cịj(M) = + bịj(M)
hay tích hai tenxơ của hai trường
Cịịk(M) = aij(M)bk(M )
đều thực hiện tại từng điểm M.
2 .5 .2 V i p h â n trư ờ n g ten x ơ
Vấn đề có ý nghĩa thực tiẻn là tenxơ đã cho thay đổi như thế nào từ điểm này đến điểm khác ờ lân cận vô cùng nhồ của điểm A /(xi,Z2, £3) cho trước. Gọi M' là điểm ờ lản cận vỏ cùng nhò cùa M .
Ký hiệu vectơ bán kính của điểm M là
X = O M = xteị,
...►vị trí tương đối cùa M ' so với M xác định bời vectơ vỏ cùng nhỏ M M f có vị trí tương đối cùa M ' so với M xác định bời vectơ vỏ cùng nhỏ M M f có dạng
M M' % dx = d x le l
do tính bất biến cùa dx dối với cách chọn hệ tọa độ, nên dXị cũng lập thành tenxơ hạng nhất. Vecta bán kính điểm M': OM' = O M -f M M ' có các thành phần X i 4- d x t.
Bảy giờ xét tnrờng tenxơ nào dấy7 chẳng hạn tenxơ hạng hai A = atj e le J
với các thảnh phần
clịj — Qịj ( A/) — ữịj(x1)^2 >*^3)»
cho nên chuyển từ điểm M đến điểm vô cùng gần M \ các thành phần tenxơ đả cho thay đổi như sau
Aatj = aij{M') -
= a ý ( n + r f i i ,x2 + d x2, t 3 + dx3) - oi;( x i ,1 2,1 3)
Ô O jj 1 d 2d i j
= - r r ^ d x k 4- - d x kdxỊ + ... Ỡ X k 2! Ơ X k O X Ị
2.5. TRƯỜNG TBNXO VI PHÀN TRƯỜNG TENXO 79
( l ị j
Phần tuyến tính của gia số có dạng
^ - d x k = datJ. (2.25)
d x k
Tenxơ có các thành phần datj gọi là vi phân tuyệt đối cùa trường tenxơ
Ta có thể viết
A = ûjjejej và dA = d d i j e ^ j .
Hệ thống d(iịj quả là tenxơ, vì theo giả thiết a Xj là tenxơ, nên qua phép biến (loi hệ tọa độ (2.2), ta có
a'ij = AimAjnamn. (2.26)
Vi phản cả hai vé và chú ý rằng A i j không phụ thuộc vào cách chọn điểm M, ta được
d ữ ị j = Á i m A j n d Q m n ‘
Bây giờ xét các đao hàm riêng của các thành phần tenxơ ũ ịj) ta
Ỡ X k
chứng minh rằng chúng lập thành tenxơ mới có hạng cao hơn tenxơ ã ị j một đơn vị.
Quà vậy, khi chuyển sang hệ tọa độ mới các thành phần này có dạng:
7 * -d x k WƠ X Ị d x k *■">
theo công thức biến đổi tọa độ (2.9) Xị = Bijx'j = Ajix'j ta có
d x j _
dx'k ~
còn a'XJ có thể xem là hàm của XỊ,X2,X3, vì theo (2.9) chúng là hàm của do đó đạo hàm (2.26) theo biến Xi ta dược
A . A . dQmn
— ■'M m * * j n
Ơ X t Ơ X ị
Thế các kết quả vừa nhận được vào (2.27), cho ta điều cần chứng minh:
dQ«J = A A Airfdamn ■