vectơ này gọi là rot cùa trường vectơ a
z = rot a.
Viết tường minh các thành phần cùa vectơ rota
dai ddj
rot a — — C\jk ~Q k
/ ô a 3 da2\ / d ũ i ởa3\ ( d a2 da y\
- l a ĩ ỉ ■ 8*;)®*+ l ẽ ì ■ ẽ í ) 2 + l a i í ■ ũ 2) (2-31)
Div và rot của trường vectơ là những khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ. Việc chứng minh tính bất biến cùa nó đối với cách chọn hệ tọa độ được thực hiện một cách dề dàng do bản chất tenx.ơ của các khái niệm này.
Ta gọi trường vectơ a = a(M ) là solenoit trong miền V nếu trong miồn này d iv a = 0, còn trường vectơ là không xoáy trong V nếu rota = 0. Trường vectơ không xoáy còn gọi là trường có thể\ vì rằng từ ro ta = 0 dần đến tồn tại hàm vô hướng gọi là hàm thếsao cho a = gradự thỏa mản đồng nhất hệ thức rot grad <p = 0.
Bây giờ ta xét div của trường vectơ a, trong dó a là grad của trường vô hướng ip. Ta có
2.5. TRƯỜNG TEN XO VI PHÁN TRƯỜNG TEN xo 85V dtp V dtp có các thành phan (lị = 7T ", do đó Ỡ X ị _ dai _ d 2tp _ d 2<p d2<p ỡ2y? ỠXi dxịdxi dxỊ 1 d x ị + d x ị Toán từ ỠXị d x ị d x ị
gọi là toán tử Laplace. Nhờ toán từ này ta viết div của trường vectơ gradíp div(grady?) = A</>.
Nếu trường vô hướng thỏa mản điều kiện A<p = 0, trường này có tên gọi là trường điều hòa. Phương trình
d 2tp a y d2ự>
dxỊ d x ị d x \
gọi là phương trình Laplace, hàm X2, £3) thỏa mãn phương trình này gọi là hàm điều hòa.
T h í d u 2 .3 5 . Cho X = |x| = y/XịXịy tính grad |x|. Ta có
ỡ | x | d y / X ị X i X j _ X grad X = e; = y - ej = “7= e ; = • ỜXj ƠXj y/XịXi |x| Tirơng tự , a Q ớ|x| Q X . . gr ịx[ = - = - w 5 ■ (a = const)' •
T h í d u 2 .3 6 . Tính div và rot của trường vận tốc và gia tốc w của cố thề quay quanh một điểm cố định
V = ( J X X , w - a x x + w x ( w x x ), trong đó a và CƯ là các vectơ không đổi.
Viết các thành phần của hai vectơ V và w:
Vị = Ci j l cU j X Ị c W ị — Ci j f c d j X l Ị “t"
“ Cị jf cQ,jXỊlỊ *+“ ( ỏ t j ồ m k àị