Hai hệ thống b ị j và d j quả dúng là tenxơ vì nó đều được thiết lập từ các tcnxơ bằng phép hoán vị và phép tổng, hơn thế nửa tenxcr btJ đối xứng và tenxơ Cij phản đối xứng vì
Vậy tenxơ hạng hai bất kỳ Qịj đều có thề phân tích thành tổng của tenxa đối xứng b ị j và tenxơ phản đối xứng d j .
T h í du 2.28. Cho tenxơ hạng hai, các thành phần của nó sắp đặt dưới dạng ma trận
/ 3 - 2 5 \ /3 1 1 \ / 0 - 3 4 \
4 1 6 = 1 1 9/2 + 3 0 3/2 . •
\ —3 3 7 / \ \ 9/2 7 / \ ~ 4 - 3 / 2 0 )
2.5 T r ư ờ n g te n x ơ . Vi p h ân t r ư ờ n g t e n x ơ
TVong các mục trên ta xét các tenxơ riêng biệt, ờ đảy ta đưa vào khái niệm trường tenxơ và vi phân các tenxơ.
Cộng vế với vế hai hệ thức (2.22) và (2.23), ta được
Qtj — bịj -+■ Cịj.
Bằng phép đối xứng hóa ta nhận được tenxơ blJ đối xứng
Bằng phép phản xứng hóa nhận được tenxơ Cij phản xứng
2.5. TRƯỜNG TEN X ơ VI PHÂN TRƯỜNG TEN x ơ 77
2 .5 .1 Đ in h n g h ĩa
Nếu tại mỗi dem AI của khônq gian cho trước một tenxơ có hạng nào đó và có giá trị thay đổi tủ điểm, này sang điềm kia, thì ta có trường icnxơ với hạng xác định (hạng của tenxơ đã cho).
Như vậy, trường tenxơ được cho dưới dạng các thành phần của nó là hàm của điểm A/, chẳng hạn với tenxơ hạng bốn, ta có:
tức là các thành phần của tenxơ phụ thuộc vào cách chọn điểm M. Nếu xét t rường tenxơ trong một hệ tọa dộ nào đấy, thì điểm A/ được xác định bằng các tọa độ của nó Xi,£2,£3; khi dó các thành phần tenxơ sẽ cho dưới dạng hàm của tọa độ điểm
aijkt = aijkt [ x1,1 2,1 3)- (2-24)
Trường tenxa có thể cho trong toàn không gian, cùng có thể cho trong miền nào đấv của khỏng gian. Khi đó các thành phần của tenxơ sẽ là hàm xác định trong miền dó. Sau này ta giả thiết các hàm này liên tục và vi phân được đến hao nhiêu lần do ta yêu cầu.
T h í dụ 2.29. Trường tenxơ hạng không hay là trư ờ n g vô hư ớng là trường mà tại mỏi điểm M cho một sổ a xác định
a = a (M ) = a (x i, £2, £3).
a(M ) chỉ phụ thuộc vào cách chọn điểm A/, nhưng không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ. Chẳng hạn: trường nhiệt độ thay đổi, trirừng thế, tỉ khối của
vật khỏng thuần nhất, V. V. . . •
T h í du 2.30. Trường tenxơ hạng nhất cho dưới dạng
ai = a t (A/) = a i(x x ,x 2 ,x 3),
các thành phần a, có thể xem như thành phần của vectơ a xác định tại mỏi điểm M
a = a ị ( M ) e i
do đó cho trường tenxor hạng nhất tương đirang với cho trường vectơ. Chẳng hạn vectơ trường điộn từ, vectơ vận tổc chuyển động cùa chất lòng, vectơ mật độ dòng điện, V. V. . •