hãy tìm:
ữịjXj\ b) (iịjXị\ c) d) (iijXiiỊj\ e) ũịjytXjỊ
g) n>jA j \ h) dij - ị s tjakk', i) (a.j - ị(ikkỏij)xi\ k) ( a tJ - ị ỏ tJakkj x , y } .
2 .1 3 . Chứng minh rằng nếu tenxơ Qijk (lối xứng theo chi số i, j và phàn xứngtheo chỉ số jy k thì nó bằng không. theo chỉ số jy k thì nó bằng không.
2 .14 . Chứng minh rằng nếu tcnxơ ữijk đối xứng theo hai chỉ số đầu (a,ijk = Gjifc) và với mọi vectơ X — x te i ta c ó hệ thức a , i j k X i X j X k = 0 , thì d i j k + CLịki +
ữki j = 0*
2 .1 5 . Chứng minh rằng, với tenxơ atj và vectơ bất kỳ X = Xịeị ta có
ũtj i j = aXị, a = const, thì
ữij = 0tỏij.
2.16. Chứng minh rằng nếu tenxơ ũijk đối xứng theo chỉ số i và j thì
Q,{ijk) = 7ị{a ijk (ljki ^ k i j ) ‘
2.17. Cho tenxơ hạng hai ữịj viết dưới dạng ma trận
/2 3 2 \(a*j) = 5 7 - 2 , (a*j) = 5 7 - 2 ,
\4 - 4 0 /
hảy phân tích thành tổng của tcnxơ đối xứng bịj và tenxơ phản xứng Cịj va xác định a) C i j d i j \ b) bịjCịj\ c) C ị j X t \ d) CijXịXj\ c) bjjXi\ g) b i j X ị X j, trong dỏ
Xi = (2, 3, - 4 ) .
2.18. Chứng minh rằng nếu tenxơ Oịjk phản xứng theo hai chỉ số i và J thì
ổ
2.19. Chứng minh rằng trong không gian ba chiều mọi tenxơ hạng p > 3
phản biến đều đồng nhất bằng không.
2.20. Chứng minh rằng với tenxơ hạng bốn a.ịjkt và với các vecta X = Xịet
y = ĩ/jej bất kỳ ta có hệ thức (iijktXiyjXkyt = 0, thì
2 .6 . BÀI TẬP 9 3
2.21. Chứng minh rằng au; aịjCiij và cljkckjp(iip bất biến đối với phép biếndổi tuyến tính của hệ tọa độ. dổi tuyến tính của hệ tọa độ.
2.22. Dùng ký hiệu tenxơ, chứng minh đẳng thức vectơ
a X (b X c) = (a • c )b — (a • b)c (a X b) • a = 0.
2.23. Chửng minh rằng định thức
2.25. Hảy chỉ ra tenxơ đối xứng A và A2 có cùng hướng chính và tìm tenxơv/A, trong đó v/A, trong đó
hây phân tích thành tổng của tenxơ đổi xứng và tenxơ phản xứng. Tìm giá trị chính của phần tenxơ đối xứng.
a n a 12 a 13D e t |a y |= «21 a2 2 <*23 D e t |a y |= «21 a2 2 <*23 <*31 «32 ^33 CÓ thể viết dưới dạng eijkQu&2j a3k'
2.24. Dùng kết quả cùa bài 2.23
Dct A = Dct|ajj| = eijka\iũ2jazkĩ
chửng minh rằng
det(A • B) = detAdet®.
2.26. Tìm giá trị chính và hướng chính của tenxơ đối xứng B
('hươt!'ì l ì . T I - V V ĩ ] 1«>m; III r o \ m> !>i;SC’ Al<ỉ h.s \ I ' >N<; <;o<
2 .2 8 . Tìm InrtrïiL’ clũnli V £ị:\ trị chính <11.1 trnxư dối xứng ĩ]j <ó dein*;
/ 3 - 1 0
( T; ; ) = Ị - 1 3 0
\ 0 0 1
chứng minh rang tcnxư TtJ ijk lnrứng chính (rùng V«Vi lỉ trứng chilli: < 11 ;I tenxcr Tị j.
2 .2 9 . Cho hàm / = (ilj.rtSj. trong đổ ( I ị j là những hằng số. chửng minh n.ní',
0 ! , ..., H '¡ ...
g ; - K + • , ) » , '»
2 .3 0 . Cho «ij là tenxơ hạng hai, chứng iniuh rằng (tạo hàm cùa I1Ó theo biốn
Xk là tenxơ hạng ba.
2 .3 1 . Cho r2 = ỊxỊ2 = J t.r, va f r Ui hàm l>ất kỳ nia /’. chửng minh rằng
= / V ) -
r
A (/(r )í = / » + — ■r
2.3 2 . Chứng niiiìh các cóng thíp SIU dây:
a) grad (if -f V’) = građ<p4* grad r: (liv (a 4- b) - (liv a <iiv b,+ V;) “ + A0: rot (a -h b) rot a 4- rot b: + V;) “ + A0: rot (a -h b) rot a 4- rot b:
b) grad (ự>ĩp) = ựgrad V’ -t VRrađ r'; iliv(ý*a) ỹ d iv a • a • gratlỹrot (<¿a) = (fTOt a + grady? X a. rot (<¿a) = (fTOt a + grady? X a.
c) div rot a = 0, rot gradifi = 0. rot rot a - grad (liv a - Aa;d) div(a X b) = b • rot a - a • rot b d) div(a X b) = b • rot a - a • rot b
2.33. Giả sử X = S ị e t1 r !x \''jịXI. c. Cl, c*2 là những vectơ kiiõng (loivà a = const . Chứng minh rằng và a = const . Chứng minh rằng
a) grad r n = n ra"2x, grad - -77X, grad (c • x) = c;
r rỏ
X 2