d x i d x j i j ' ji)
và điều kiện điểm dừng nêu trên, bằng công thức Taylor ta nhận được biểu thức cùa gia số hàm f ( x1,^2, X3)
A/ = f(xĩ + + &x2,x° + =
= — a i j A x i A x j + 0 (A x 2),
trong đó AXi = X ị — còn 0(A x2) chỉ các số hạng có bậc nhỏ từ ba trcV lên. Do các số hạng nhỏ bậc ba trờ lên nhỏ han nhiều so với các số hạng bậc hai nên dấu của gia số này phụ thuộc vào dấu cùa dạng toàn phưong alj A x ìAxj.
Nếu dạng này xác định dương thì A / > 0, tức là
f ( x Ị + A l l , 1° + Ax 2 > + Ax3 ) > / (1? ,x ị txíj),
tại điểm { x ị . x ^ x ị ) hàm f ( x1,X2,X3) đạt cực tiều. Nếu dạng toàn phương xác định âm thì A / < 0 dần đến
f { x ° + A x i,x ° + A.t2,X3 + A1 3) < f ( x ° , x2,2:3),
tại điểm (xjjX^Xß) hàm đạt'cực đại
Theo điều kiện Sylvester ta nhận được điều kiện đủ để hàm f ( x ì ì x2i x3) đạt cực tiểu hoặc cực đại tại điểm dừng (X1,X2»C3) tươn& úng như sau:
2.5. TRƯỜNG TENXƠ. VI PHẢN TRƯỜNG TEN x ơ 83> 0, «11 012 > 0, > 0, «11 012 > 0, «12 «22 < 0, au 012 > 0, 0-12 a22 ữii a12 a 13 012 0.22 «23 «13 a 23 033 a n CỈ12 <113 «12 «22 023 > 0 - cự c tiểu < 0 - c ự c đại.
a u > 0 (cự c tiể u ) , a n < 0 (cự c đại), còn đối với h à m h ai biến
«11 > 0 , a n ay2 > 0 (cự c tiểu) a12 022 a u < 0, a n a ' 2 > 0 (cự c đại). • 2 .5 .4 V i p h â n tr ư ờ n g v e c tơ - t e n x ơ h ạ n g n h ấ t G i ả s ử t a có t r ư ờ n g t e n x ơ h ạ n g n h ấ t a = 0,e i, tr o n g đó a, — ữt(#i Ị X2ĩ £3),
đ ạ o h à m tuyệt, đối c ủ a t r ư ờ n g n ày
dũi dxi
lậ p t h à n h t e n x ơ h ạ n g hai, đỏi khi gọi là g rad ien c ủ a t r ư ờ n g vectơ. Vi p h â n tu y ộ t dối c ủ a t r ư ờ n g có d ạ n g
dữ ị — dxfc = Qj kdxic
d x k
tr o n g đổ dxic là t ọ a đ ộ c ù a v e c tơ d x = M M ' . N h ư t a đ ă b iết tr o n g m ụ c 2.2.3 t e n x ơ h ạ n g h ai ai k sin h t ư ơ n g ứ n g p h é p biến đổi t u y ế n tín h A, do vậy biểu t h ứ c vi p h â n t u y ệ t đối c ủ a t r ư ờ n g v e ctơ có t h ể viết