do đó
d iv v = a ~ = = eijiU>j = 0,
div w = — - = e i j ị cQ‘j ỏ k i ^ i ^ k ^ k i U )jU )jỏii
— -2(jjjUj = 2|cư|2,
rot V = C/rniộ” == £tini&ijkMjfìkrĩi&t
= *" ồ(lzỗmj )ỗmịi:UJjGị = (ỏtjỏkk
= 2oye/ = 2o>,
rot w = €(mi"Q = "4* MịUlịQ&km ~~ M
= 2a/e/ + eimiUiUmet - eiiiú 2e i = 2a/e* = 2a. •
T h í dụ 2.37. Trường điều hòa là trường có tính chất đồng thời vừa là trường
thế vừa là trường solenoit. Quả vậy, ta có
A<£ = divgrad</> = 0,
grad(/? tương ứng với trường a có thế, tức là a = grady?, tiếp đến d iv a = divgrad<£ = 0, tức là a là trường solenoit. •
G h i chú. Trong một sổ tài liệu người ta dùng toán tử V = e . A
ơXị
để viết các phép tính vi phân đổi với trường vô hướng và trường vectơ thường dùng trong Cơ học, Vật lý. Vậy
J — dtp gradv>=: Vv> = — ei „ ddj p ddj ỡdị d i v , = V . 11= g e , . e i = J,j g = g „ da, dũj ro ta = V x a = ^ - e , X 6j = e , j k ^ r e k , ỚXị C/Xị « Ỡ2<£ Aip = V • Vy? = V </? = dXịdXị và một vài phép tính hỏn hợp khác rotgrad = 0, divgrad = A,
2.5. THƯỜNG TEN XO VI PIIẢN TRƯỜNG TEN x ơ 872 .5 .5 V i p h â n t r ư ờ n g t e n x ơ k h ô n g d ừ n g 2 .5 .5 V i p h â n t r ư ờ n g t e n x ơ k h ô n g d ừ n g
Cho t.(Vi nay ta nghiên cửu trường tenxơ, trong đó tenxcr phụ thuộc vào vị trí của điom trong không gian, mà không phụ thuộc vào thời gian. Các trường
U' ĩ \x< r như vậy gọi là trường dừng. Nếu tenxơ không nhửiig phụ thuộc vào
VỊ t r i đirm không gian mà còn phụ thuộc vào thời gian, thì trường đó gọi là
trường không dừng. Các thành phần của tenxor thuộc trường này là hàm của tọa độ X, điểm M và thời gian t. Chẳng hạn tenxcr hạng ba C.Ó các thành phần
(lịjk — Q>ijk(*^1 ĩ *^2» *^3* 0•
Tốc độ thay đổi trirừng tenxơ theo thời gian tại điểm A/ cố định nào đó
ỡ
đircyc biểu diễn bồi đạo hàm riêng , có thể thấy dề dàng nó lập thành trường tenxơ có cùng hạng với trường xuẩt phát. Bây giờ giả thiết rằng trường tenxơ ciijk mô tà tính chất nào đấy của môi trường vật chất mà các phần tử của nó chuyển động. Cần xác định các thành phần của tenxơ Oijfc liên quan đến phần từ ấn định nào đấy thay đổi thế nào khi phần tử này chuyển động. Giả sử quỷ đạo chuyển động của phần tử xác định bời phương trình
X i = X i ( t),
khi đó tốc độ thay đổi các thành phần của tenxơ axjk liên quan đến phần từ dỏ sò hằng
d& ịjk _ d&i j k d ^ i j k dxf
dt dt d x t dt
Đại lượng là các thành phần vận tốc của phần tử của mỏi trường vật chất chuyển dộng thường được ký hiệu là Vị, do đó
dO'ijk d c iijk d d i j k
* = a f + dxi <2 32)
SỐ hạng thứ nhất bên vế phải biểu thị sự thay đổi của các thành phần tenxơ ữijk tại một điểm cố định A/, còn số hạng thứ hai liên quan đến chuyển động của phần từ trong không gian thường được gọi là thành phần kéo theo.
Công thức (2.32) đủng với mọi trường tenxơ không dừng có hạng tùy ý.