Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 3

C H Ư Ơ N G IIITenxơ trong không gian apphin Trong chương I, ta đà nhắc lại lịnh nghĩa không gian apphin, nó clirợc xây dựng trên một hộ tiên đề; hệ quả của nó đả phán ánh các tính chất

C H Ư Ơ N G III

Tenxơ trong không gian apphin

Trong chương I, ta đà nhắc lại (lịnh nghĩa không gian apphin, nó clirợc xây dựng trên một hộ tiên đề; hệ quả của nó đả phán ánh các tính chất hình học nhir ta đả biết, chẳng hạn với mọi phép biến đoi apphin của không gian (phép biến đổi tuyến tính) giử nguyên các tính chất song song của hai đường thẳng, tính chất đường thang hoặc mặt phang của một hình, tỉ số giửa các đoạn thẳng song song v.v

Người ta đả đùng hệ tiên đề cùa phép tính vecttt làm khcVi điểm xây dựng

không gian apphin n chiều Phép tính vectơ có thể xem là phép tính hình

học trực tiếp, vì các dối tượng của nó cùng như các phép tính trên nó có đặc trirng hình học trực tiếp Đồng thời trong hình học, phương pháp tọa độ lại

t hường đóng vai trò rất quan trọng, trong đó mọi đối tượng hình học không khảo sát trực tiếp bằng phương pháp hình học, mà đùng phương pháp của dại sổ, của giải tích Phép tính tenxơ đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp này; đầu tiên người ta xâv dựng tenxơ, đó là hộ các đại lượng phản ánh các đoi tượng hình học hoặc vật lý xác định, chúng biến (lồi theo một quy luật nào đấy, khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác Sau dó người ta đưa vào các phép tính và các hệ thửc có tính bát biển (lối với các tenxơ, tức

là những phép tính và hệ thức giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác.

3.1 P h é p b iế n đổi h ệ to a đô (h ê v e c tơ c ơ sớ ) a p p h in

K h á i n iệ m về p h à n b iế n v à h iệ p b iế n

3.1.1 M ờ rô n g k h á i n iệ m h ệ th ố n g v à q u y ư ớ c chỉ số

Từ chương này trờ về sau, ta xảy dựng tenx<7 trong trường hạp tổng quát

97

9 8 C h ư ơ n g III TEN x o THONG KH ÔN G GIAN APPIỈIN

với không gian n chiều, do đó cần mở rộng các khái niệm về hệ thống và định

lại quy ước VC chì số.

Hẹ thống hạng không vẫn như trước là hệ thống chì có một thành

phần a.

Hộ thõng hạng nhất chia làm hai loại, một loại với chỉ số trẽn, một loại

với chỉ số dưới Đối với mỗi loại hệ thống hạng nhất gồm Tì thành phần

được sắp đặt theo một thứ tự nào đấy Chẳng hạn hệ thống a,, hộ thống o' (i = 1,2* — >

Hệ thống hạng hai gồm ba loại: hệ thống aX) với hai chì số dưới, hộ thống

aXJ với hai chi số trên và hệ thống hồn tạp a'j với một chi số trẽn và một chi

số dưới Đổi với mỗi loại hệ thống hạng hai gồm n 2 thành phần sắp đặt theo

một thứ tự nào đấy Chẳng hạn hệ thống ciij có Tì 2 thành phàn tưang ứng

với i tj = 1 ,2 , ,71.

Tương tự, ta có khái niệm về hệ thống hạng bất kỳ, chẳng hạn hệ thống

các giá trị cùa các chỉ số i, J, fc, ể, m = 1 , 2 , , n.

Do vậy, ta định lại quy ước về chỉ số:

a) Nếu có chi số tụ do trong một biều thức, thì diều đó có nqhĩa là chi sổ

đó có thề lấy giá trị tùy ý tủ Î đến n.

b) Nếu trong một biểu thúc ta gặp lại hai lần một chi số, trong đỏ mộỉ à trên và một ở dưới, thì có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó tủ 1 đến n.

T h í du 3 1

a\ = ^ a] = aỊ 4- «2 + • • • +

i — 1

«= 1 j=i

Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng có thể thay bằng chử khác, mà không ảnh

hường đến giá trị của hệ thống, nên ta còn gọi nó là chỉ s ố càm.

3.1.2 B iế n đổi hệ vector cơ sờ

Như đã biết trong 1.4 chương I, trong không gian apphin n chiều tồn tại hệ n

vectơ dộc lập tuyến tính, ta lấy nó làm hệ vectơ cơ sờ ei,e-2, .e n, đem đặt tại điềm o nào đấy ta được rêpe apphin Mọi vectơ X khác của không gian

Thí du 3.2 Trong không gian hai chiều 71 = 2 ta có thể lấy hệ hai vectơ độc

lập tuvến tính ei = {1 ,0 }, e 2 = {1,2} làm hệ cơ sờ Vectơ X = {5,4} biểu

(lií*n trong hệ cơ sớ { e i , e2} như sau

T h í du 3.3 Ta lấy ba vectơ không đồng phẳng ei = {1 ,0 ,0 }, e2 = {1, —1,0},

e.3 = {0,2,1} hàm hệ cơ sở của không gian ba chiều (n = 3), Cần biểu diễn

vectơ X = {5 ,1 ,2 } trong hệ ca sờ này

X = x l e\ 4- £2e2 + T3e3.

Để xác định x * ,x , £ 3 ta có hệ phương trình

X 1 4- X 2 = 5, — X 2 + 2x3 = 1, X3 = 2,

100 Chương i í l n-NXƠ TRONG KHỔNG GIAN AiTHlN

suy ra X 3 = 2, X 2 = 3, X 1 = 2 vậy X — 2ei + 3e> + 2e-j, tọa (lọ apphin cùa vccta X trong hệ cơ sờ ( e i % c-j.c:i) là {2,3,2} •

T h í d u 3 4 Cách làm tương tự ta có thổ Xíic định các tọa dộ apphin rủa vcctơ X trong hệ c ơ s ở rủa không gian n chièu, với 71 bất k v hửu hạn K<*t

quả dẫn đến việc phải gi Ai hệ n phương trình đại số tuyến tính để xác: ílịnh

các tọa độ X 1 X 2 , , x n của vcctơ X.

Chằng hạn biểu diền vectơx = { 1 ,- 2 ,3 ,3 } trong hệ cơ sờ e\ = {2 ,0 ,0 ,0 }

e 2 = { - 1 ,1 ,1 ,0 } , ©3 = {0, 3, -1 ,0 } , e 4 = {0 ,1 ,2 ,3 } ta được

X = 2ei — e .3 + e.ị,

tọa độ apphin của vectơ X trong hệ cơ sờ này là {2,0, — 1, r } •

Bảy giờ ta xét sự thay đổi của hệ vectơ cơ sờ Gọi e'j,02, ,e'n là hộ vcctơ cơ sờ mới, theo (3.1) mỏi vectơ này dều biểu thị qua các vectơ e t

Hệ vectơ ca sớ mới có thể chọn tùy ý, chi ràng buộc một điều kiện duv nhất

là chúng phải độc lập tuyến tính Điều này tương đương với độc lập tuyến tính của các hàng của ma trận phép biến đổi (3.2)

3 1. P H É P BIẾN t ì ỔI H Ệ TOA ĐÒ 101

Nói cách khác, định thức t.ircmg ứng phải khác không

Det I A ị I Ỷ 0

Kl.i đó ma trận (3.3) cho ma trận nghịch đảo (DJt)

(BỊ) =

tức là phép hiến đổi (3.2) là thuận nghịch, ta có thổ biểu diẻn các vectơ cơ sờ

cù qua vectơ cơ sỡ mới

Ta thấy các giá trị Aị và B Jt đều là nhửng hằng số nôn phép biến đổi (3.2)

hoặc (3.4) gọi là phép biến đổi tuyến tính Hệ tọa độ apphin thẳng xiên sau phép biến đổi cũng trờ thành hẹ tọa độ thẳng xiên.

Trong hình 3.2 biểu diên tượng trưng hệ tọa độ apphin trong trường hợp

n = 3.

102 C h ư ơ n g ỈU TEN xo T R O N G KHÔNG GIAN APPHIN

Bảy giờ ta xem các thành phần của một vectơ bất biến X thay đổi như t hố nào, khi hệ cơ s ờ thay đổi Gọi X 1 là thành phần của vectơ X trong hệ cơ s ò

T h í ( l u 3 5 C l i o v e r t i r X :5o 1 le > c ầ n t n n i (li<’ n v o r t í r X t m n u li< v a s à

iil'Vi S 1 II k hi ttur«' h im p lu ’p l>i¿u <1oi l i f (<r S(‘V

104 C h ư ơ n g I I I TEN x ơ T R O N G KHÔNG GIAN APPHIN

trong đó x { = Bj x i Ma trận (Bj) là ma trận chuyển vị của ma trận ( Bị ),

vậy tọa độ của vectơ X trong hệ cơ sờ mới bằng

Tọa độ của vectơ X trong h ệ cơ sở mới bằng

.'V

vectơ X trong hệ cơ sờ mới c ó dạng

X = e '] — Ae'-2 + e'3 •

3 2 T E N XO 105

3 1 3 K h á i n iê m v ề h iệp b iế n và p h àn h iế n

Từ các cách biến đổi trên, ta đưa vào khái niệm hiệp biến và phản biến.

Khi hệ vectơ cơ sò thay đổi, tất cả các vectơ hoặc hộ thống nào đấy củng thay đổi theo quy luật của vector cơ sở, thì ta gọi là các vectơ hoặc hệ thống hiệp biến (tức là thay đổi theo quy luật (3.7)) Ta đặc trưng hiệp biến bằng

chỉ số dư ớ i

Các thành phần của vectơ bất biến thay đổi theo quy luật ngưcTc với quy luật thay dổi của vectơ cơ scV, tức là theo quy luật (3.8) Cách biến dổi như vậy gọi là phản biến; mọi vecta hay hộ thống thay đổi theo quy luật (3.8)

gọi là vectơ hay hộ thống phản biến Phản biến được đặc trưng bằng chỉ số

trên.

3-2 T e n x ơ

3.2.1 T e n x ư h ạ n g k h ô n g hay là vô h ư ớ n g (h o ăc b ấ t b iế n )

Một hộ thống chỉ gồm một đại lượng ữ không thay đổi khi thay đổi hệ tọa

độ, thì ta gợi hệ thống này là một vỏ hướng hay một đại lượng bất biến hoặc tenxơ hạng không Khi đó ta có

á — a,

trong đỏ a' là giá trị của hệ thống trong hệ biến mới.

3 2 2 T e n x ơ h a n g n h ấ t

của tenxơ phản biến hạng nhất là các toa đô X1 của vectơ bất biến X Vì vector

X cố định, các tọa dộ , x n có giá trị xác định trong mọi hệ tọa độ và

biến đổi theo quy luật (3.8)

x'* = B}xj

Mờ rộng cho trường hợp tổng quát ta có dịnh nghĩa sau:

Đinh nghĩa Một hệ thống có n thành phần trong mỗi hệ tọa độ (hệ vectơ

cơ sà) cho bài n (tại lượng a 1,« 2, ,a n được đánh sổ nhờ một chi số trênỊ

khi chuyền tủ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác chúng biến đổi theo quy luật

tương tụ như quy luật (3.8), tức là

1 0 6 i r -nu ỉ ỉ i 11 Nx<J 1 |{ ( ) N ( i K ilO N G ( » I AN XPIMIIN

quy luật thay đổi này trùng với quy luật (3.7) thay đổi của vectơ cơ sờ, I1ÔI1

hộ thống a t lập thành tetixơ hi<‘|> biến hang nhất M(V rộng ta có dịnh nghĩn sau:

Đ inh n gh ĩa Một hệ thổnq hạng nhối gồm n thành phun trong mồi hi lọa

độ cho bờ ĩ n đại lượng (ỉ 1 ,( 1 1 a1t được drính số nhừ một chi sổ dưới, khỉ

chuyên từ hệ tọa (ỉộ này sang hệ tọa độ khác chúng biển đôi theo quy luật

(3.7), tức là:

«, = A 'a jy

ta nói hệ thống đó lả trnxơ hiệp biến hạng nhất hay vr< tơ hiệp bit lì.

*Tenxa hạng nhất xác ilịnh như voctếĩ bất bii>n c tiiầg như ác t.onx<* hang cao hưu tlịnli nghĩa sau này là ntnriiK đối linnig hát hiiMì khõiiị! phu lihi'H xào Ịihrp l>it*n đổi lua <to, nliưiii* các thành phần cùa chúng thay <!<>! thro qu\ luat «1ã HCMI

a) Hệ thổng hạng hai alJ gọi là tenxơ phản biến hạng hai, nếu các thành

phần cùa nó sau phcp biến đổi hệ tọa độ xác định bởi quy luật

a « = B ị B ị a " ,

trong đó á ' j và alJ là các thành phần trong các hệ tọa độ tương ứng của

tenxơ phàn biến hạng hai.

Thí dụ 3.7 Tích điat của hai vectơ X - x * e i , y = y J e j lập thành tenxơ phản biến hạng hai:

c) Hệ thống hạng hai àj gọi là terixơ hồn tạp hạng hai, nếu các thành

phần cùa nó biến đổi theo quy luật:

1 0 8 C h ư ơ n g I I I T EN XO T R O N G KHÔNG GIAN AP PHI N

Ta CÓ y = Ax = A(x'e,) = x’Áe,-; biểu thị Ae¿ qua các vectơ cơ sờ

Các hệ số gọi là thành phần của toán tử tuyến tính A, ta chứng minh

nó lập thành tenxơ hổn tạp hạng hai Quả vậy ờ hệ tọa độ mới

/ '# I

Ae' = dị

mặt khác theo (3.7) e\ = A jej, nên

Ae- = A (A ịe j) = A ịA e j = Aidjetc.

Thay efc theo (3.4) vào đây ta được

Ae' = A ịB Ìa Ịe í.

So sánh hai biểu thức của Ae't, suy ra điều cần chửng minh

á* = A ịB ịa* •

Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa tenxơ hạng bất kỳ Chằng hạn

hệ thống hạng ba a*jk lập thành tenxơ hỗn tạp hạng ba, khi các thành phần

của nó thỏa màn quy luật:

a% = B ị Ă ị A ị a ' ,

Ta thấy rằng, hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ sổ, còn loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn tạp), xác định bời vị trí của chỉ số, vì vậy khi nói đến tenxơ, ta khòng cần nói thêm hạng và loại của nó.

Nếu n là sổ chiều của không gian, trong đó ta xét các thành phần của tenxơ, thì một tenxơ hạng r có nT thành phần.

trong đó X1, X2 , , x n là tọa độ cùa điểm M Ta có thể giả thiết các hàm này

liên tục và khả vi với số lần do ta yêu cầu.

Ý nghĩa hình học và vật lý của trường tenxơ thề hiện ờ chổ, đối tượng hình học đang xét thay đổi từ điểm này sang điểm kia (chẳng hạn tenxơ độ cong cùa một mặt), còn đối tượng vật lý thì ngoài ra còn phụ thuộc thời gian (chẳng hạn tenxơ cường độ của trường điện từ trong không thời gian 4 chiều).

1 1 0 C h ư ơ n g III T E N xo T R O N G KHÔNG GIAN APPHI N

3.2.6 P h â n b iê t t e n x ơ với m a t r â n

Trong định nghĩa tenxơ, điổn hình như công thức đối với tenxơ hạng nhát al

và a¿:

a * = và a\ = Aịdjy

ta thấy hệ thống a ', dị lập thành tenxơ xác định tại điềm cho trvớc, nếu các

thành phần của nó lấy tương ứng với một rêpe cho trước và thay đổi theo

một quy luật xác định (dó là các quy luật dă nêu ờ trên); tircrng tự Iihư vậy

đối với các hệ thống là tenxơ hạng cao hơn Trong khi đỏ ổ*, A\ không phải

là tenxơ, mà là thành phần của ma trận phép biến đổi hệ tọa độ, thiết lập

mối quan hộ giửa hai hệ tọa độ khác nhau.

Như trong 1.6 chương I, ta đả xét các tính chất của ma trậiìy nó là một

hệ thống các đại lượng xác định một hệ tuyến tính Do phép Iihân và cuộn

đồng thời được sử dụng trong ma trận, nên ta có thổ xác định tenxơ dưói

dạng ma trận dối với các tenxơ có hạng nhỏ hơn hoặc bằng hai, nlnrng inọi

ma trận không phải là tenxơ Ký hiệu A là ma trận (i4¿), B là ma trận (Dị) nghịch đảo của ma trận A , và T là tenxơ hạng nhất hoặc hạng hai, thì

- với tenxơ hiệp biến hạng nhất a\ — A \ d j có the viết

T h í du 3.10 Cộng hai tenxơ a'ji' và blj k hạng ha một lần phản biến và hai lần hiệp biến sẽ cho ta teiixơ c'jk cùng hạng ba một lần phản biến và hai lần

hiệp biến Trong mỗi hệ tọa (1ộ, thành phần của tenxơ thứ nhất cộng với thành phần tương ứng của tenxơ thứ hai cho ta thành phần tương ứng của tenxơ tổng

c j k - aij k + l)tj k

-Quả vậy, trong hệ tọa độ mới

và theo già thiết «ỉ* và b'jk là các tcnxa nên

đó số lần phàn biến bằng tổng sổ lần phản biến của các tenxơ thừa số, đối với

số lần hiệp biến củng vậy Các thành phần của tenxơ tích là nhửug tích có thể của các thành phần các tenxơ thừa số sắp đặt theo thử tự xác định.

112 C h ư ơ n g I IỈ T E N X O T R O N G K H ÔN G GIAN A P P H I N

T h í du 3.11 Nhân tenxơ hạng bốn a ¿Ị (hai lần phản biến, hai lần hiệp biến)

với tenxơ hạng ba bqr (một lần phản biến, hai lần hiệp biến) cho ta t e n x c r

hạng bảy (ba lần phản biến, bốn lần hiệp biến ¿¿Iqr

Nếu trong tích hai tenxơ, nếu có một là tenxơ hạng không (vô hirớng), thì ta

có trường hợp tích một tenxơ với một vô hướng sẽ cho ta tcnxơ giữ nguyên cấu trúc.

T h í du 3.12 Nhân vô hướng A với tenxơ a* cho ta tenxơ Xcij, quà vậy

3.3.3 P h é p c u ộ n các t e n x ơ

Giả sử một tenxơ hỏn tạp bất kỳ có hạng không bé hơn hai, cho một chỉ số trên bằng một chỉ số dưới nào đấy, thì có nghĩa là lấy tổng từ 1 đến 71 theo chỉ sổ đó Kết quả sẽ nhận được tenxơ mới có hạng giảm đi hai đơn vị; ta nói

đả thực hiện phép cuộn theo hai chỉ số đó.

y á ; = X B ịA ^aị = B ịA tX a ị •

T h í dụ 3.13 Cho tenxơ hạng ba al]k, ta cuộn theo chì số i, k , nghĩa là cho

i = k