Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 3

C H Ư Ơ N G III Tenxơ trong không gian apphin Trong chương I, ta đà nhắc lại (lịnh nghĩa không gian apphin, nó clirợc xây dựng trên một hộ tiên đề; hệ quả của nó đả phán ánh các tính chất hình học nhir ta đả biết, chẳng hạn với mọi phép biến đoi apphin của không gian (phép biến đổi tuyến tính) giử nguyên các tính chất song song của hai đường thẳng, tính chất đường thang hoặc mặt phang của một hình, tỉ số giửa các đoạn thẳng song song v.v... Người ta đả đùng hệ tiên đề cùa phép tính vecttt làm khcVi điểm xây dựng không gian apphin n chiều. Phép tính vectơ có thể xem là phép tính hình học trực tiếp, vì các dối tượng của nó cùng như các phép tính trên nó có đặc trirng hình học trực tiếp. Đồng thời trong hình học, phương pháp tọa độ lại t hường đóng vai trò rất quan trọng, trong đó mọi đối tượng hình học không khảo sát trực tiếp bằng phương pháp hình học, mà đùng phương pháp của dại sổ, của giải tích. Phép tính tenxơ đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp này; đầu tiên người ta xâv dựng tenxơ, đó là hộ các đại lượng phản ánh các đoi tượng hình học hoặc vật lý xác định, chúng biến (lồi theo một quy luật nào đấy, khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Sau dó người ta đưa vào các phép tính và các hệ thửc có tính bát biển (lối với các tenxơ, tức là những phép tính và hệ thức giữ nguyên dạng khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. 3.1 3.1.1 P h é p biến đổi h ệ to a đô (hê v e c tơ c ơ sớ) a p p h in . K h ái n iệm về p h à n b iế n v à h iệ p b iế n M ờ rô n g k h ái n iệ m h ệ th ố n g v à q u y ư ớ c chỉ số Từ chương này trờ về sau, ta xảy dựng tenx + 2e-j, tọa (lọ vccta X trong hệ cơ sờ ( e i %c-j.c:i) là {2,3,2} • apphincùa T h í du 3 .4 . Cách làm tương tự ta có thổ Xíic định các tọa dộapphinrủa vcctơ X trong hệc ơ s ở rủa không gian n chièu, với 71bất k v hửu hạn. K e n — ^ne l + ^ne 2 + ■+ ^nen» hay là viết một cách ngắn gọn hoặc viết dưới dạng ma trận í< ) e' Mỉ \ e'J u Ãị A\ Aị ... ... A ’ỉ \ Aị ... A\\j \ < w /e ,\ e2 Hệ vectơ ca sớ mới có thể chọn tùy ý, chi ràng buộc một điều kiện duv nhất là chúng phải độc lập tuyến tính. Điều này tương đương với độc lập tuyến tính của các hàng của ma trận phép biến đổi (3.2) (Aỉ) (A \ Aị A\ Aị U1 \™n Al71 ... A?) AZ n/ (3.3) 3.1. 101 P H É P BIẾN tì ỔI HỆ TOA ĐÒ Nói cách khác, định thức t.ircmg ứng phải khác không Det IA ị I Ỷ 0. Kl.i đó ma trận (3.3) cho ma trận nghịch đảo (DJt ) Bị Dị ... ... B?\ b\ Uẳ B ị ... k ì (Bì b\ (BỊ) = tức là phép hiến đổi (3.2) là thuận nghịch, ta có thổ biểu diẻn các vectơ cơ sờ cù qua vectơ cơ sỡ mới (3.4) e, = B /e', hay là Tì / e„ = B ị e \ + • • • + B ”e'n. Hai nia trận { A ị ) và ( BJt ) là nghịch đảo của nhau, nên ta có B ị A ị = ỗị hoặc B ị A j = Sj. Công thức này có thể nhận được bằng cách đặt (3.2) vào (3.4): ej = B ị A ị e j , từ dây suy ra kết quả trên: B ỉ A i = ¡¡. Ta thấy các giá trị Aị và B Jt đều là nhửng hằng số nôn phép biến đổi (3.2) hoặc (3.4) gọi là phép biến đổi tuyến tính. Hệ tọa độ apphin thẳng xiên sau phép biến đổi cũng trờ thành hẹ tọa độ thẳng xiên. Trong hình 3.2 biểu diên tượng trưng hệ tọa độ apphin trong trường hợp n = 3. C h ư ơ n g ỈU . TEN xo TR ONG KHÔNG GIAN APPHIN 102 Bảy giờ ta xem các thành phần của một vectơ bất biến X thay đổi như t hố nào, khi hệ cơ s ờ thay đổi. Gọi X 1 là thành phần của vectơ X trong hệ cơ s ò mới, tức là X = £ 'e', mặt khác trong hệ củ: X = xJ e thay e, theo (3.4) vào hệ thức dưới, rồi so sánh với hệ thức trên: X le' = X' ta được (3.5) x Ệị = hay là X 1 = B \x 1+ B \x2 •+• • • • + B \ x n, X 2 = B \x2 B ịx2 + . •. + B]lx nì + x n = B^x1 + £ £ x 2 + . . . + B ”x n, hoặc dưới dạng ma trận f * l\ (B\ Bf X 2 [ x ’n / Bị Ur z?2" ... ... ( x x\ Bị B n) X2 rn .) * V 103 ' HI i MIÍA f.M'l HI TOA ir«/' h i . I n < 0 t i l « ’ M ỉ í ỉ V li« í|;ii!': r1 ( 3 .0 ) .1 M l t ! ãii f r o l i c mil}» tlnVi (3.* « iK ) 1Á ỉiĩ, Bl¡ ỊKI) uu\ t r ậ n (lì. l ì}. Tóm lại. h i ế n dố i hi' v»rtcơ sờ Ae, = aịej, dẫn đến y*ej = vậy y 7 = a{x*. Các hệ số gọi là thành phần của toán tử tuyến tính A, ta chứng minh nó lập thành tenxơ hổn tạp hạng hai. Quả vậy ờ hệ tọa độ mới / '# I Ae' = dị mặt khác theo (3.7) e\ = A jej, nên Ae- = A (A ịej) = A ịA ej = Aidjetc. Thay efc theo (3.4) vào đây ta được Ae' = A ịB Ìa Ịe í. So sánh hai biểu thức của Ae't, suy ra điều cần chửng minh á* = A ịB ịa*. • Tương tự như trên, ta có thể định nghĩa tenxơ hạng bất kỳ. Chằng hạn hệ thống hạng ba a*jk lập thành tenxơ hỗn tạp hạng ba, khi các thành phần của nó thỏa màn quy luật: a% = B ị Ă ị A ị a ',. Ta thấy rằng, hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ sổ, còn loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn tạp), xác định bời vị trí của chỉ số, vì vậy khi nói đến tenxơ, ta khòng cần nói thêm hạng và loại của nó. Nếu n là sổ chiều của không gian, trong đó ta xét các thành phần của tenxơ, thì một tenxơ hạng r có nT thành phần. 3.2. 109 TENXO 3.2.4 T r ư ờ n g ten x cr Ở trên ta xét nhừng tenxơ riêng biệt, ờ đây ta phát biểu dịnh nghĩa đối với tnrờng tenxơ là đối tượng chính cần khảo sát trong hình học và vật lý. Ta gọi trường t.enxơ trong không gian apphin n chiều, chẳng hạn trường tenxơ hạng năm aj? , nếu nhir tại mỏi điểm M của không gian cho trước một tenxơ xác định có cấu trúc như vậy, tức là ữ Trường tenxơ có thể cho trong toàn bộ không gian, củng có thể chỉ cho trong một miền nào đấy của không gian. Nếu đưa vào không gian hệ tọa độ xác định nào đấy, thì các liên hệ hàm trên có thể viết dưới dạng trong đó X1, X2 , . . . , x n là tọa độ cùa điểm M. Ta có thể giả thiết các hàm này liên tục và khả vi với số lần do ta yêu cầu. Ý nghĩa hình học và vật lý của trường tenxơ thề hiện ờ chổ, đối tượng hình học đang xét thay đổi từ điểm này sang điểm kia (chẳng hạn tenxơ độ cong cùa một mặt), còn đối tượng vật lý thì ngoài ra còn phụ thuộc thời gian (chẳng hạn tenxơ cường độ của trường điện từ trong không thời gian 4 chiều). 3.2.5 Đ ịnh lý c ơ bản Nếu các thành phần của một tenxơ đều bằng không tại một điềm M nào đấy trong một hệ tọa độ, thì chúng cúng bằnq không tại điềm đó trong bất kỳ một. hệ tọa độ nào khác của khônq gian đang xét. Nếu chúng đồng nhất không trong một hệ, thì chúng giù nguyên tính chất đó trong hệ bất kỳ khác. Chứng minh. Ta xét thí dụ tenxa hạng hai a'j chẳng hạn. ở hệ tọa độ mới, ta có nếu ờ hệ củ tất cả các a **7 bằng không, thì do quy luật cộng suy ra tất cả các a 'i cũng bằng khỏng. □ C h ư ơ n g III. TE N xo T R O N G KHÔNG GIAN APPHIN 110 3.2.6 P h â n b iêt te n x ơ với m a t r â n Trong định nghĩa tenxơ, điổn hình như công thức đối với tenxơ hạng nhát al và a¿: a *= và a\ = Aịdjy ta thấy hệ thống a ', dị lập thành tenxơ xác định tại điềm cho trvớc, nếu các thành phần của nó lấy tương ứng với một rêpe cho trước và thay đổi theo một quy luật xác định (dó là các quy luật dă nêu ờ trên); tircrng tự Iihư vậy đối với các hệ thống là tenxơ hạng cao hơn. Trong khi đỏ ổ*, A\ không phải là tenxơ, mà là thành phần của ma trận phép biến đổi hệ tọa độ, thiết lập mối quan hộ giửa hai hệ tọa độ khác nhau. Như trong 1.6 chương I, ta đả xét các tính chất của ma trậiìy nó là một hệ thống các đại lượng xác định một hệ tuyến tính. Do phép Iihân và cuộn đồng thời được sử dụng trong ma trận, nên ta có thổ xác định tenxơ dưói dạng ma trận dối với các tenxơ có hạng nhỏ hơn hoặc bằng hai, nlnrng inọi ma trận không phải là tenxơ. Ký hiệu A là ma trận(i4¿), B là ma trận (Dị) nghịch đảo của ma trận A, và T là tenxơ hạng nhất hoặc hạng hai, thì - với tenxơ hiệp biến hạng nhất a\ — A \d j có the viết T' = A t T; - với tenxơ phản biến hạng nhất à i = B jdi có thể viết T 7 = BT; - với tenxơ hiệp biến hạng hai a'j = A^A'jdpq = A^OpqẢị có thể viết T' = A t TA; - với tenxơ phàn biến hạng hai a ij = B ịB qdw = B ịa pqBq viết là T' = BTBt \ - với tenxa hỗn tạp (lị = A^Bqầp r = = A^aịBq viết là a tj b t . 3-3 111 CÁC P H É P TÍNH ĐỐI VÓI TE N x ơ 3.3 C ác p h é p tín h đối với t e n x a Trrức hết chúng ta nghiên cứu các phép tính đại số (lối vứi tenxư tức là xét các phép tính bất biến cơ bần như phép cộng, nhân, cuộn, hoán vị chỉ số các toiiXtt. Tính bất biến của phép tính thể hiện ở chỗ, dem áp chúng vào các H'lixa, kết quả cho một ten xơ xác định không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa (lộ Các phép tính thực hiện với các tenxor tại riêng từng điểm M của không gian. 3.3.1 P h é p cộng các te n x ơ Phép cộng chỉ thực hiện (lối với các tenxơ cùng hạng cùng loại (cùng cấu trúc), tức là các tenxơ có số chỉ số trên như nhau và có số chỉ số dưới như nhau. Kết quà của phép cộng cho ta tenxơ mới có cùng cấu trúc. T hí du 3.10. Cộng hai tenxơ a'ji' và blj k hạng ha một lần phản biến và hai lần hiệp biến sẽ cho ta teiixơ c'jk cùng hạng ba một lần phản biến và hai lần hiệp biến. Trong mỗi hệ tọa (1ộ, thành phần của tenxơ thứ nhất cộng với thành phần tương ứng của tenxơ thứ hai cho ta thành phần tương ứng của tenxơ tổng cjk - aij k + l)tj k - Quả vậy, trong hệ tọa độ mới và theo già thiết «ỉ* và b'jk là các tcnxa nên a% - B ‘Al’ AJaJ.; b% = f y A 'j A í q , , do đó c j k = B ; A ] A rk ( a r r +b% r ) = B'p A ] A kr c%r . . 3.3.2 P h é p n h â n các te n x ư Phép nhân được thực hiện đối với mọi tenxơ có hạng và loại tùy ý. Kết quả nhận được tenxơ mới có hạng bằng tổng hạng của các tenxơ thừa số, trong đó số lần phàn biến bằng tổng sổ lần phản biến của các tenxơ thừa số, đối với số lần hiệp biến củng vậy. Các thành phần của tenxơ tích là nhửug tích có thể của các thành phần các tenxơ thừa số sắp đặt theo thử tự xác định. 112 C h ư ơ n g IIỈ. TE N X O TRONG KHÔNG GIAN AP P HI N T h í du 3.11. Nhân tenxơ hạng bốn a ¿Ị (hai lần phản biến, hai lần hiệp biến) với tenxơ hạng ba bqr (một lần phản biến, hai lần hiệp biến) cho ta t e n x c r hạng bảy (ba lần phản biến, bốn lần hiệp biến ¿¿Iqr ¿ĩ? kiqr = - à kJt ÌP qr • Thực vậy, trong hệ tọa độ mới trong đó * '8 = b = B l A nq A ịb Z , nen cMp kĩq r = - nR = D Nếu trong tích hai tenxơ, nếu có một là tenxơ hạng không (vô hirớng), thì ta có trường hợp tích một tenxơ với một vô hướng sẽ cho ta tcnxơ giữ nguyên cấu trúc. T hí du 3.12. Nhân vô hướng A với tenxơ a* cho ta tenxơ Xcij, quà vậy y á ; = XBịA^aị = B ịA tX a ị. 3.3.3 • P h é p cu ộ n các te n x ơ Giả sử một tenxơ hỏn tạp bất kỳ có hạng không bé hơn hai, cho một chỉ số trên bằng một chỉ số dưới nào đấy, thì có nghĩa là lấy tổng từ 1 đến 71 theo chỉ sổ đó. Kết quả sẽ nhận được tenxơ mới có hạng giảm đi hai đơn vị; ta nói đả thực hiện phép cuộn theo hai chỉ số đó. T hí dụ 3.13. Cho tenxơ hạng ba al]k, ta cuộn theo chì số i, k , nghĩa là cho i= k 3 .3 . 113 C Á C FH É P TÍNH ĐÓI VỚI T E N X Ơ Cần chứng minh Cj là tenxơ hạng nhất. Quả vậy trortg hệ tọa độ mới ájk — BpAjAịa%r , c'j = 4 cho i = k ta được = B ị A ' A y „ = s'r A y „ = = A ]a',, = • T hí d u 3.14. Cho tenxor hạng hai a* (tương ứng một toán tử tuyến tính A nào đấy), bây giờ thực hiện phép cuộn ữj = ữỊ -Ị- Ö2 4- • • • 4- a™ cho ta một vô hirớng gọi là vết của toán từ tuyến tính. • T hí d ụ 3.15. Nhản và cuộn hai tenxơ nhân hai tcnxcT k Cịj cLij và bk theo chi số i, k. Trước hết 1A• — Ù ịj0 rồi cuộn theo chi số I = k = dijb1 = ttijó1 -f Ü2jb2 H-----+ anjbn . 3.3.4 • P h é p h o á n vị chl số Phép hoán vị chỉ số một tenxơ là thiết lập một tenxơ mới có cùng cấu trúc vói các thành phần không thay dổi, nhưng sắp xếp theo thứ tự khác do việc hoán vị chi số. T h í d u 3.16. Từ tenxcr aljk hoán vị hai chỉ sổ j k ta được tenxơ b) k 3.3.5 = a kj- • D ấ u hiệu ngirợc lại củ a tenxcr Nếu cho một hệ thống trong hệ cơ sờ nào đấy, đem nhân nó với một tenxơ (cùng ờ trong hệ cơ sờ đó) có p lần phản biến và q lần hiệp biến và sau Ị. phép cuộn ta được một tenxơ củng ờ trong hệ đó với 8 lần phản biến và t lần hiệp biến, thì hệ thống đả cho là tenxơ có 5 -f í - p lần phản biến và t 4- í - q lần hiệp biến. Đỏ là mệnh đề về dấu hiệu ngược lại của tenxơ. T hí d u 3.17. Cho i j k f m c*m» C h ư ơ n g III. TEN XO TR ONG KHÔNG GIAN APPHIN 114 theo dấn hiệu ngược lại ta có thể khẳng định hệ thống a(ijktm) là tenxơ hạng năm o#m (ờ dây p = 1 , q = 1 , i = 2 , s = 1 , t = 2 ). Thật vậy, trong hệ tọa độ mới, ta có úi _ '( . k cim» „/ VÌ /i ; = ~ RJT Ask hrs ’ r* = c im — Au^Av r* r r r u i; nên í,; = A ^ B i b ị . Thế vào dẳng thức trên đi đến 4 »»,** = B ỉ A ĨA"mciv = B ‘A Ĩ A ^ r, tm)b', do đó suy ra 3.3.6 n _ -S t a (rstuv) — a r u v P h é p tín h vi p h â n đối • với t r ư ờ n g t e n x ơ Bây giờ ta xét một phép tính bất biến nửa là vi phân tu y êt đối, tức là chuyển sang lĩnh vực giải tích tenxơ. Giả sừ trong miền D xác định trường tenxơ, chẳng hạn trường điểm M có tọa độ £*, khi đó OjJk = a ị a í x 1 , ® 2, * 3 ). Vi phân các hàm này, ta có 3.4. TENXO ĐÓI XỨNG VÀ TEN x ơ PHẢN Đố l XI 'NG 115 công thức trên biểu thị vi phân toàn phần cùa các hàm ajk' Ta khầng định rằng kij = Q]ki = ~~Q]ik = = • Trong tenxư phản đổi xứng các thành phàn có hai chỉ số bằng nhau thì bàng không, chẳng hạn như: a u = 0; a J) = 0 ; a ikk = 0; (lfcjj = 0 ; v . v . . . Do đó tenxơ hạng hai phàn đối xứng có 712 thành phần thì chi có ■ ^— thành phần độc lập; còn tenxcr hạng V phán đối xứng hoàn toàn có n r thành ỊỊỈ phần thì chi có —, — — 77 thành phan đôc: lâp. r !(n — r y 2 Phóp phản đối xứng hóa. Từ teiixơ bất kỳ đa cho, muốn thiết lập tenxơ phản đối :cứng với N chỉ số đả chọn (cùng loại), ta phải lấy N \ các hoán vị có thể, với hoán vị chẵn giữ nguyên dấu, còn với hoán vị lè lấy dấu ngược lại, sau đó lấy trung bình cộng của tất cả N \ tenxơ này. Phép phàn đối xứng hóa cùng còn gọi là phép hoán vị luân phiên. Thí du 3.22. Trường hợp N = 2, từ tenxơ (Iịj bất kỳ, ta thiết lập tenxơ phản đối xứng c tj = ữ Ịij| = 2 ~ a j*)* Trường hợp N = 3, ta có !/ Cijk — ^[¿_7Ar] ““ g \®ijk Q-kij Qjki Qjik ttikj \ Qkji)' # Chương ỊỊI. TEN xo THONG KHÔNG GIAN APPHIN 118 3 .4 .3 Đ ịnh lý q u a n trong Một ỈCTÌXƠ hạng hai (hiệp biến hoặc phản biến) bao giờ củng phán tích được thành, tổng hai tenxơ: một đối xúng và một phản đối xứng. C hứ ng m inh. Giả sử (I ị j là tonxơ bất kỳ; dặt bịj = ta thấy bij = b j i ) bij là tenxơ đối xứng, sau đó đặt cij ~ 2 (a O ““ a >i)’ ta thấy Ci j là tenxơ phản đối xứng Ctj = trên cho ta Qij — bịj -C ji. Cộng vế với vế hai hệ thức ■+* C ị j . □ 3.4.4 T ích ngoài của các vectơ 1. Tích ngoài của hai vectơ. Cho hai vectơ ai và a '2 với các thành phần a\ và aJ2 ( ijj = 1 , 2 , . . . ,71), các tích a\aị và a\a\ lập thành tenxơ, hiệu số atJ = (a\aJ2 —dị ax2) = aị a\ a2 a 2 , n(n — 1 ) cũng là tenxơ. Đó là một teuxơ phản đối xứng hạng hai, nôn chl có A thành phần độc lập ay = - a * \ a” = 0 ( i j = 1 , 2 , . . . ,n). Ta gọihệthức trên là tích ngoài của hai vectơ ai và a 2 và cóthể kv hiệu ai A a 2,hay còn gọi nó là VCCẤƠ kép. Có thể xom đây là sự mờrộng “tích vectơ” của hai vectơ từ tọa độ Descartes ba chiều sang tọa độ apphin n chiều. Tích ngoài có những tính chất đại số sau đây a i A (»2 + *3) = a i A a 2 + aj A a3, (ai + a-)) A a ,3 = ai A a .3 + a -2 A a 3 , a(ai A ao) = a a i A a2 = ai A aa-2, ai A ao = - a 2 A ai, ai Aaj = 0. 3 .4 . 119 TEN x ơ ĐÓI XỨNG VA T K N X O PIỈ \.\ Đ ổ l x r N C Ta xem vectcr kép là vrrĩư chi lnrớiig của mật phầng hai chieu trong không gian 71 chiều. 2. Tích ngoài của ba vectơ Ngmri ta định nghĩa tích ngoài của ba vectơ a i ì a 3 với các thành phần a\ , «2 *«3 như sau aijk — «i ttỊ «2 «2 «í 4 «3 «3 4 = a ịa ịũ s 4* a\ - a\< iia3 — n\ — Đây là tenxơ hạng ba phản dối xứng hoàn toàn, có r thành phần dộc ư.ựl ố )! lập, ta còn gọi là vectơ - ba. Trong trường hợp riêng, với không gian ba chiều, tenxơ nàv chi có một thành phần độc lập a 123 = tt312 = a 231 = a 213 = a 132 = a321 = - a , mọi (Iljk = 0 khi có hai chi số bằng nhau. Giá trị a này bằng thể tích cùa hình hộp lập bời ba vectơ a i,a 2,a 3 a\ a 123 = aị 4 «ỉ a\ «2 À 4 4 Ta nhận lại được tích hổn tạp trong phép tính vectơ thông thường ( a i , a 2>a3) = (a3,ai,a2) = (a*2 , a 3,a i) = = - ( a 2, a i , a 3) = - ( a i , a :!, a 2) = - ( a 3, a 2,ai). 3. Tích ngoài của r vectơ. Tương tự như trên, ta định nghĩa, tích ngoài của V vectơ a i , a-2 , . . . , ar nhir sau a aỊ a2 \ 2 a dr lk là tenxơ bất kỳ phản đối xứng. Chứng minh rằng d(¿ j k) - a(i kj) là tenxơ, từ đó chứng minh rằng nếu û(i j phản xứng theo j, k thì û(i j là tenxơ. 3.12. Chỉ ra rằng nếu xứng, thì aạj) là tenxơ là bất biến đối với mọi vectơ X* và a,ạj) dối a,ịj. 3.13. Hảy chỉ ra rằng phương trình tenxơ a* At = aAj, trong đó a là bất biến, CÒĨ1 Aj là vec.tơ tùy ý, đòi hỏi phải có ÜJ = aỏy 3.14. Chứng minh rằng nếu al , b> , Ck thì au j là tenxơ. j tyûïb*Ck là một vô hướng đối với mọi vectơ 3.15. Chi ra rằng, nếu mọi thành phần của giả tenxơ bằng không trong một hệ tọa độ, thì chúng cùng bằng không trong bất kỳ hệ tọa độ nào khác. 3.16. Chứng minh rằng, nếu a* là tenxơ thực sự, thì Det|a*-| là vỏ hướng thực sự. Chương 11!. TENXƠ TRONG KHÔNG GIAN A1'PHIN 128 3.17. Chửng minh rằng, nếu dịj là t.enxơ hiệp biến hạng hai, thì Dot|afJ| là giả vô hướng trọng số 2 . 3.18. Hây tìm số thành phần độc lập của các tenxơ hoặc giả tenxa sau (tây a) a'aJ - vpỉ\ b) - a>b\ c) (al - b'){a> - ý ) d ) e fm "a'(b L c * \ e) fc6rVcj 3.19. Nếu A là một nghiệm của phương trình Det|aý — Xbịj\ = 0,hãychỉ ra rằng A cùng là nghiệm cùa phương trình Det|a'i; —A6'; | = 0, trong đó 4 3.20. Hây bfị} = = với D e ta il ^ 0. viết quy luật biến đổi của tenxơ hạng bốn các loại. chỉ ra rằng, nếu a m n là tenxơ thực sự với Det|amn| = A dương, reijk khác không thì V Atịjk và —j=. cũng là tenxơ thưc sư. 3.21. Hảy V A 3.22. Chửng minh rằng phần phụ đại số cùa các thành phần trong định thức: Det|a*| lập thành tcnxơ, nếu a* là tenxơ. 3.23. Chứng minh rằng 77—77— là tenxơ hiệp biến hang hai, nếu ip là hàm Ơxlơxì bất biến của biến xm. 3.24. Chửng minh rằng, nếu ifi = d ijx'xi, thì 7—- ■= (Iịj + Hảy suy ra d x 'd x ĩ rằng, nếu là bất biến thì (Iịj + djị là tenxơ hiệp biến đối với phép biến dổi tuyến tính. Qjị. 3.25. Cho dijk = Ufcat; + UịQjk - hày chỉ ra rằng Qtjk = &k)i > neu Iiịj = (Iji. [...]... , 1 } trong h c S(V ny 3. 3 Hóy xỏc nh cỏc thnh phn cựa vect X = ei 2e -2 4- 5e 3 trong h c s mi, sau phộp bin i h c s e\ e -7 -h 2 e 3 , ộ 2 = 4- 3e 2 4- e .3 , G3 2ei 4 62 4 6 3 - 3 6 127 BI T P 3. 4 Chng minh rng ô' = AjCi'i; a, = Ba! 3. 5 Nu (Ij l tenx phn i xng, chng minh rng a ijx ixj ng nht bng khụng 3. 6 Nu cỏc di lng di õy l tenx, thỡ cỏc h thc sau ỳng trong mt h ta no y, chng s ỳng trong. .. ôi tt ô2 ô2 ôớ 4 3 3 4 = a a s 4* a\ - a\< iia3 n\ õy l tenx hng ba phn di xng hon ton, cú r thnh phn dc .l )! lp, ta cũn gi l vect - ba Trong trng hp riờng, vi khụng gian ba chiu, tenx nv chi cú mt thnh phn c lp a 1 23 = tt312 = a 231 = a 2 13 = a 132 = a321 = - a , mi (Iljk = 0 khi cú hai chi s bng nhau Giỏ tr a ny bng th tớch cựa hỡnh hp lp bi ba vect a i,a 2,a 3 a\ a 1 23 = a 4 ô a\ ô2 4 4... cú 1 , c thl Êằ1 23 _ Ê 31 2 _ (7 ^31 _ Ê.2 13 _ Ê. 132 _ Ê ,32 1 _ Q Dựng ký hiu h thng e ta cú th vit: ỗ p g r = e pqrC ^ c l cỏc thnh phn ca tenxa cho trong h ta mi, khi ú gia cỏc thnh phn c v mi ca tenx ny liờn h vi nhau theo quy lut bit: c',jk = BBBèC^, hay l c mr = A?Aq j A kr C'ijk Tớnh cht phn di xng gi nguyờn khi thay i h ta nờn 2 ỗ 'i j k = ộ ^ c ' Xột thnh phn c 1 23 c 1 23 = c = A jA C 'ijk... apphin nh nhau Vic xột cỏc vn c ny trong h ta cong cú rờpe thay i ti tng im s c cp trong chng sau cựng vi khụng gian Euclide 3. 6 B i t õ p ch n g III 3. 1 Trong khụng gian hai chiu cho h ca s ei = {1,1} v e 2 = { 1,1} Hy biu din vect X = {4,6} trong h c s ny v dựng hỡnh hc minh ha 3 2 Trong khụng gian bn chiu cho h c s e i = { 1 , 1 , 0 , 0} , e -2 = {0, 1,1, 0}, e 3 = { 0 , 0 , 1 , 1 } , e 4 = {0,0,0,1}... i A (ằ2 + *3) = a i A a 2 + aj A a3, (ai + a-)) A a ,3 = ai A a 3 + a -2 A a 3 , a(ai A ao) = a a i A a2 = ai A aa-2, ai A ao = - a 2 A ai, ai Aaj = 0 3 4 119 TEN x ểI XNG VA T K N X O PI \.\ l x r N C Ta xem vectcr kộp l vrr chi lnriig ca mt phng hai chieu trong khụng gian 71 chiu 2 Tớch ngoi ca ba vect Ngmri ta nh ngha tớch ngoi ca ba vect a i ỡ a 3 vi cỏc thnh phn a\ , ô2 * 3 nh sau aijk... tc l dx xdx 2dx 3 = d x ldx 2 dx3 Th tớch apphin khụng phi l bt bin khi thay i h c s, m l gi vụ hng trng s (-1 ) Do ý ngha ca d V , nờn mi i lirng thay di nh dV gi l dung lcmg (th tớch) vụ hng T hớ du 3. 24 Khi lng apphin Ta gi tớch dm = p (x l 1 x 2 ỡ x 3 )dxỡ dx 2 dx 3 3.5 125 GI TEN x V MT TBNXO l khi lng apphin, trong ú p (xl , x 2 , J'*) l "mt apphin" a phng ti im Z1, ! 2, ! 3 Khi thay i h c... ta x i v ta X (3. 11) * cú dng (3. 6) trong dú ma trn (A'j) l ma trn chuyn v cựa ma trn phộp hin i h vect c s vi nh thc (tc l Jacobiờn ca phộp hin di) khỏc khụng: J = Det \Aj\ 0 Bõy gi ta inr rng khỏi nim tenx cho i tng ô* thay i theo quy lut ỏk = ( J ) M B ^ A a ^ , (3. 12) 3 5 GI TEN x V MAT t ) T E N x o 121 trong ( J ) ^ l nh thc J ly tha A ớ Quy lut (3. 12) khỏc vi quy lut (3. 11) ch tha s... ba vect a i,a 2,a 3 a\ a 1 23 = a 4 ô a\ ô2 4 4 Ta nhn li c tớch hn tp trong phộp tớnh vect thụng thng ( a i , a 2>a3) = (a3,ai,a2) = (a*2 , a 3, a i) = = - ( a 2, a i , a 3) = - ( a i , a :!, a 2) = - ( a 3, a 2,ai) 3 Tớch ngoi ca r vect Tng t nh trờn, ta nh ngha, tớch ngoi ca V vect a i , a-2 , , ar nhir sau a a a2 \ 2 a dr ... Trong h c s mi vect 1' U 4, 3/ cú dng X , , 3 x T h du 3. 6 Cho vect X = 2ei - e *2+ 6e , cỏc thnh phn ca nú thay di nh th no thc hin phộp bin i h c s e = ei + e 2, e2 - e2 - ^3, e3 = e i 2e3... cú mt thnh phn c lp a 1 23 = tt312 = a 231 = a 2 13 = a 132 = a321 = - a , mi (Iljk = cú hai chi s bng Giỏ tr a ny bng th tớch cựa hỡnh hp lp bi ba vect a i,a 2,a a a 1 23 = a ô a ô2 4 Ta nhn... GIAN A P I 'HIN Trng hp khụnggian ba chiu 71 = 3, s thnh phn khỏc khụng cú 6, cũn thnh phn c lp ch cú , c thl Êằ1 23 _ Ê 31 2 _ (7 ^31 _ Ê.2 13 _ Ê. 132 _ Ê ,32 1 _ Q Dựng ký hiu h thng e ta cú th vit: