Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 1

• 1 VL ờ i n ói cl a u Trong toán học., vật lý học và nói riêng trong cơ học, ta thường gặp các loại đại lượng: có loại chỉ quan hệ với giá trị bằng số như nhiệt độ, khối lượng, tỉ khối

T * • ? • 1 V

L ờ i n ói cl a u

Trong toán học., vật lý học và nói riêng trong cơ học, ta thường gặp các loại đại lượng: có loại chỉ quan hệ với giá trị bằng số (như nhiệt độ, khối lượng, tỉ khối, năng lượng v.v ); có loại ngoài giá trị bằng số cần phải kể đến hướng của nó trong không gian (như chuyển dịch của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực v.v ), có loại đặc trưng cho một trạng thái (như biến dạng, ứng suất của môi trirờng liên tục, năng xung lượng của trường điện từ, độ cong tại mỗi điểm của không gian phi Euclide v.v )

Các đại lượng thuộc loại thứ nhất được đặc trưng bời các vô hướng, loại

thứ hai bời các vector và tổng quát hơn cả loại thứ ba được dặc trưng bồi các tenxơ Dựa vào khái niệm tenxơ, ta có thể bao quát mọi đặc trưng của tất

cả các đại lượng, xem c.hiing như những tenxơ hạng không (vô hướng), hạng nhất (vectơ) và hạng tùy ý Tenxơ có đặc điểm chung là không phụ thuộc vào cách chọn hộ tọa độ dùng để mô tả chúng, nghĩa là trong mồi hệ tọa độ

có thể cho tenxơ bằng một hệ thống dại lượng nào dấy, gọi là các thành phần của tenxơ Tenxơ là bất biến, CÒI1 các thành phần của nó thay đổi đối với cách chọn hệ tọa độ Nếu các thành phần của tenxơ dà cho trong một hệ tọa

độ, thì ta có thể xác định các thành phần của nó trong bất kỳ một hệ tọa độ nào khác, vì trong định nghĩa tenxơ đả bao hàm quy luật biến đổi các thành phần Iiày Các quy luật vật lý và cơ học được biểu diên dưới dạng các hệ thức ten-xơ, viết các phương trình dưới dạng tenxơ cho phép thiết lập các quy luật bất biến, không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ Do tính chất tuyến tính và đồng nhất của các phép biến đổi tenxơ, nẽn các phương trình tenxa đả đúng trong hệ tọa độ này, củng đúng trong hệ tọa dộ khác Tính bất biến của các hệ thức tenxơ đối với phép biến dổi hệ tọa độ là một trong Iihửng nguyên Iihân cơ bản để sử dụng có hiệu quả phép tính tenxơ trong cơ học và vật lý.

Cuốn sách này nhằm giới thiệu phép tính tenxơ và một số ứng dụng của

nỏ trong cơ học và vật lý, giúp các bạn đọc làm quen với phép tính này dưới

iv LỜI NÓI t)ẰU

dạng đơn giản, chỉ cần dùng những kiến thức dã học trong đại số tuyến tính

và giải tích toán học, đồng thời nêu ứng dụng cùa I1Ó trong viộc xây dựng các

hệ thức cơ sờ của cơ học các môi trường liên tục, cơ học cổ điển (Newton), điện học và lý thuyết tương đối.

Cuốn sách gồm hai phần: phần I, ngoài việc trình bày ngắn gọn phép tính tenxơ, chủ yếu là trong không gian Euclide và không gian Riemann (các khái niệm cơ bản về tenxơ, phép tính đại sổ và phép tính vi phân dối với tenxơ), còn trình bày riêng tenxơ trong hệ tọa độ Descart.es (không gian Euclide t hông thường), giúp bạn đọc không cần đi sâu vào phép tính tonxơ cùng có được khái niệm đơn giản và ứng dụng tenxơ trong các lĩnh vực cơ học thông thường Phần II, trình bày một số ứng dụng phép tính tenxơ dể thiết lập các hệ

thức cơ sờ của cơ học ưiôi trường liên tục (thủy khí động lực học, đàn hồi và

dèo), cơ học cổ điển (Newton), diện học và lý thuyết tương đối.

Cuối mỗi chương thuộc phần I có một lưạng bài tập thích đáng để người đọc tự kiềm tra kiến thức của mình Đáp án hoặc chỉ dẫn giải các bài tập được trình bày ờ phần cuối sách Các công thức, thí dụ, bài tập ờ các chương được đánh số bằng hai chừ số, số đầu chỉ chương, số sau chi thử tự Kết thúc mổi thí dụ được ghi nhận bằng dấu •

Sách có thể dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên các trường dại học, học viên cao học, nghiên cứu sinh và tài liệu tham khảo cho các cán bộ khoa học, kỹ thuật liên quan đến cơ học.

Sách được hoàn thành nhờ sự quan tâm và tạo điều kiện của lánh đạo Khoa Toán - Cơ - Tin học, lảnh dạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, lãnh đạo Đại học Quốc gia Hà Nội, dã dược Hội dồng thẩm định sách chuyên khảo cấp Đại học Quốc gia Hà Nội thông qua và Đại học Quốc gia Hà Nội cho phép

ấn hành, tác già bày tỏ lời cảm ơn chân thành.

Mong nhận được đóng góp ý kiến của bạn đọc về nội dung và cách trình bày cuốn sách.

T ác giả

M ụ c l ụ c • •

Trang

C hư ơ ng I M ôt số khái n iệm trong dai số tu y ế n tín h 3

1.3 Hộ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 7 1.4 Hệ vectơ cơ sờ (rêpe) Không gian apphin Tọa độ apphin 8 1.5 Không gian Euclide và khái niệm về không gian inêtric 9

C h ư ơ n g II T e n x ơ tron g hê to a đô D esca rtes v u ô n g góc 49

V

3.4 Tenxơ đối xứng và tenxa phản đổi xứng Tích ngoài của các

C h ư ơ n g IV T en xơ tron g không gian E uclide 129 4.1 Định nghĩa tích vô hướng, tenxa mêtric Hệ vector cơ sờ trực

4.2 Không gian Euclide thực sự Không gian giả Eucliđe Không

4.4 Dạng chính tắc của tenxơ đối xứng hạng hai 145 4.5 Thể tích trong không gian Euclide thực Các giả tenxơ quan

4.6 Các hệ tọa độ cong trong không gian apphin và không gian

Euclide Định nghĩa tenxa trong các hệ tọa độ đó.

Tenxơ mêtric trong hệ tọa độ cong của không gian Euclide 149 4.7 Dịch chuyển song song Hệ số liên thông 165 4.8 Vi phản tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến 174 4.9 Các toán tir vi phân bất biến: grad, div, rot Công thức Stokes,

PHÉP TÍNH TEN X ơ vii

5.2 Không gian apphin liên thông L n Không gian liên thông không

5.3 Không gian Riemann v n Tcnxơ mẽtric, hộ số liôn thông trong

5.4 Không gian Euclide là trường hợp riêng của không gian

5.7 Độ cong trong không gian Ln và v n Tenxơ độ cong Riemann

-Christoffel Tenxơ Ricci - Einstein Đồng nhất thức Bianchi 227

6.4 Các định luật cơ bần của cơ học môi tnrờng liên tục 272

B - LÝ THUYẾT ĐÀN HÒI TUYẾN TÍNH

6.13 Những hiệu ứng xuất hiện khi vật rắn biến dạng không mô tà

6.14 Nhừng định luật biến dạng dỏo đơn giản 313 6.15 Một vài nét về lý thuyết dẻo hiện nay 321

C h ư ơ n g V II D ông lire hoc cổ điển (N ew to n ) 333

7.2 Động lực học của hệ chất điểm với các liên kết hôlônôm vô thời 348

PHÉP TÍNH TEN XO ix

10.1 Hạt tích điện trong trường điện từ Tenxơ trường điện từ 421 10.2 Thế 4 chiều Vectơ mật độ dòng 4 chiều 426

10.4 Tenxơ năng xung lượng của trường điện từ 434

10.6 Hình học Riemann của không thời gian cong 4 chiều trong

10.7 Chuyển động của hạt trong trọng trường 444 10.8 Tenxơ năng - xung lượng trong lý thuyết tương đối rộng 446 10.9 Phương trình Einstein của trường hấp dần 447

P h ầ n I

P h é p tí n h te n x ơ

1

C H Ư Ơ N G 1

Một số khái niệm trong dai số tuyến tính

Trong chương này nhắc lại một cách sơ lược những khái niệm chính và một

số định lý quan trọng (không chứng minh) của đại số tuyến tính, được sử dụng trong cuốn sách.

1 1 1 T â p h a p

Hệ thống các đối tuợng, liên kết với nhau bằng dấu hiệu chung gọi là tậ p

hựp, bản thân những đối tượng đó là phần từ cùa tập hợp.

Người ta biều diễn tập hợp bằng cách cho đầy đủ các phần tứ của nó

Số phần tứ này h ữ u han thì tập hợp là hữu /lạn, ngược lại ta có ỉập hợp vô

hạn Đối với tập hợp vô hạnì thường người ta chỉ ra các tính chất đặc trưng của nó Tập hợp trố n g là tập hợp không chứa một phần tử nào cà.

Phần tử X thuộc tập hợp A có thể ký hiệu một cách đơn giản

X € A.

Trên tập hợp ta thực hiện các phép toán đại số, đó là quy luật dặt tương

ứng hai phần từ nào dấy của tập hạp theo một thứ tự xác định, sẽ cho duy nhất một phần tử thứ ba cũng thuộc tập hợp đó Ký hiệu một cách tirợng trưng phép tính tổng quát trên tập hợp bằng dấu * (có thể là tổng, tích )

a E Ay b € A a * b = c E A

3

4 Chương I MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐAI s ố TUYỂN TÍNH

Phép toán có tính chất giao hoán, nếu

thiết giao hoán), với phép toán đó tôn tại p h ép to á n Iighich đào.

Nhóm Abel là nhóm với phép toán có tính chất giao hoán.

Chú ý rằng, không nên xem phép toán nghịch đảo là một phép toán dộc lập của nhóm, vì nó có thể xác định qua phép toán chính.

Chẳng hạn nhóm với phép cộng phép toán nghịch dào là phép trừ, phần

từ nghịch đảo của a là ( - a ) và tồn tại phần từ không duy nhất sao cho

a 4- 0 = a; còn nhóm với phép nhân, từ phép toán nghịch đảo suy ra tôn tại

phần tử dơn vị e, sao cho với mọi a € Ny thì ae = a Do đó đối với phần tử

1.2 KHÁI NIỆM VÈ KHÔNG GIAN TUYỂN TÍNH 5

bố, trong đó phép cộng có tính chất giao hoán và có phép toán nghịch đào

Vành giao hoán nếu như phép nhân có tính chất giao hoán, ngược lại là vành không giao hoán.

Tính chất phán bổ thể hiện như sau, với mọi a ,b yc E V

(a 4- b)c = ac 4- òc7 a(ò + c) = aò + ac.

T rường T là vành giao hoán, trong đó tồn tại phần tử đơn vị, và mọi

phần tủ khác không đều có phần tử nghịch đảo.

Như vậy, đối với các phần tử của trường T phải thỏa mãn các điều kiện

- có phần tử nghịch đảo - a của phần từ a: a + (—a) = 0.

2 Với mỏi cặp a,6, có tương ứng phần từ ab (tích của a và b), trong đó:

- tích có tính chất giao hoán ab = bay

1 Với cặp vecta X, y có tương ứng vectơ tổng X *f y, trong đó:

6 Chương I MỘT s ó KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYỂN TÍNH

- tổng giao hoán: X + y = y + X,

- tổng kết hợp: x + ( y + z) = ( x - f y ) f z ,

- tồn tại vectơ 0 sao cho: X + 0 = X,

- với mọi vectơ X tồn tại vectơ đối —X, sao cho:

X + (—x) = 0

2 Với cặp a , X, trong đó a là số thực, còn X là vectơ, có tương ứng QX

là một vectơ, trong đó phép nhân với một số có tính chất kết hợp:

a(/?x) = (a/?)x, ex = X với mọi X.

3 Phép cộng và phép nhản liên hệ với nhau bằng hệ thức phản bố:

a ( x + y ) = a x + a y ,

( a + ¡ 3 ) x = Q X + / ? x

Từ tính chất 1), ta thấy tập hợp các vectơ là nhóm Abel với phép cộng

Tập hợp vectơ có các tính chất ờ trôn là không gian tuyến tính trên trường

tuyến tính phức.

Phần tiV của không gian tuyến tính bất kỳ ta cũng gọi là vectơ.

T h í dụ 1.4 Tập hợp các vectơ nằm trên một đường thẳng lập thành khỏng gian tuyến tính, vì cộng các vectơ hoặc nhân các vectơ này với một số thực đều cho ta các vectơ nằm trên đường thẳng đỏ và các tiên đề 1 - 3 thỏa mãn •

T h í du 1 5 Tập hạp các vectơ nằm trên một mặt phẳng lập thành không gian tuyến tính Tưcnig tự tập hợp các vecta không gian cũng lập thành không gian tuyến tính •

T h í dvi 1.6 Tập hợp các đa thức bậc không lớn hơn n lập thành không gian

tuyến tính, vì cộng các đa thức hoặc nhân các đa thức này với một số thực

đều cho ta đa thứ c có bậc không lớn hơn Tì và thòa mãn các tiên đề 1 - 3 •

T h í du 1.7 Tập hạp các hàm liên tục trên đoạn [a, 6] lập thành không gian tuyến tính C Ịa,6] •

1.3 HỆ VECTƠ ĐỘC LẬP VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 7

t í n h

Hệ vectơ gọi là độc lập tuyến tính, nếu nó hoặc chì gồm một vector khác không,

hoặc là không một vector nào trong hệ có thể biểu dièn tuyến tính qua các vectơ còn lại.

Hệ vectơ độc lập tuyến tính thỏa mản:

Dinh lý 1.1 Hệ vectơ Xj,X'2, , x n dôc lâp tu y ế n tín h khi và chỉ khi tủ

đẳng thức

a \X \ + a 2x 2 H - h a nx n = 0,

suy ra mọi hệ sổ của tô hợp tuyến tính nảy bằng không.

Hệ vectơ x i,X2, ,X n gọi là phu thư ôc tu y ế n tín h , nếu có thể chọn dược các số ữ ỉ , , a n> sao cho

aiXỊ + «2X2 H -+ ùfnx n =5 0,

trong đó có ít nhất một otị khác không.

T h í du 1.8* Vecta 0 là phụ thuộc tuyến tính, vì ta có oO = 0 với mọi a 0

Mọi vcctơ a Ỷ 0 là độc lập tuyến tính, vì a a = 0 chỉ khi a = 0 •

T h í du 1.9 Hệ hai vectơ a và b đồng phương là hộ phụ thuộc tuyến tính

Quà vậy, nếu a Ỷ 0 thì b = Aa hay là Aa + ( — l)b = 0 Hai vectơ a và b không đồng phương là độc lập tuyến tính Quả vậy, già thiết ngược lại oa + ß b = 0 với ß 0, suy ra b = - —a dần đến a và b đồng phương •

T h í d ự 1.12 Năm phần từ ( “vector”) của không gian tuyến tính C[a,6]

= sin2 t, <f2( 0 = COS2 t , <ps(t) = í, <p\{t) = 3, <pò{t) = el là hệ phụ thuộc

tuyến tính vì ta có

3<¿>1 (í) + 3<p2(t) + (V3(í) - tp4(t) + 0^5 (t) = 0 •

8 C hu ơn g I MỘT só KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI só TUYỂN TÍNH

đô a p p h i n

Giả sử trong không gian tuyến tính K hửu hạn chiều có hệ vectơ độc lập tuyến tính, mà mọi vectơ của K đồu biểu thị tuyến tính qua nó, thì hệ vcctơ

độc lập cực đại ấy gọi là h ê v e c t ơ cơ s ờ của klióng gian.

Số vectơ độc lập này gọi là số chiều của không gian, ký hiệu là dim K Nếu dim K = n, không gian K có n chiều.

Trong không gian Tỉ chiều mọi hệ 71 vectơ độc lập tuyến tính lập thành hệ

vectơ cơ sờ, còn mọi hệ n 4- 1 vectơ sẽ phụ thuộc tuyến tính.

Gọi e i, e2, , e n là hệ vectơ C.Ơ sờ cùa khộng gian Ky khi đó mọi vectơ X

đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ này một cách duy nhất:

X = Xiei -f X2&1 H -+ £„en.

Các giá trị x i , x2, , x n gọi là tọa độ của vectơ X đỗi với hệ vectơ cơ sờ

© l i • • • > e n , hay còn gọi là t o a đ ô a p p h in của vectơ X đối với hệ vectơ cơ sờ

đả cho.

Không gian tuyến tính với tiên đề về chiều nêu trên gọi là không gian

a p p h in A n.

Ta gọi rêp e ap p h in là hệ vectơ cơ sỏr với điểm 0 nào đấy chọn làm gốc

rêpe (xem như các vecta cơ sờ xuất phát từ 0) Một điểm M của không gian này tương ứng một-một với vectơ O M = x; khi đỏ các giá trị Xi là tọa độ apphin của điểm M

Như vậy là cho rêpe apphin dần đến xảy dụng hệ tọa độ apphin cho cá

vectơ, cho cả điềm.

T h í du 1.1 3 Hai vectơ ai = {1, —2} và 3.2 = {2,5} độc lập tuyến tính cỏ thể lấy làm cơ sờ cùa không gian hai chiều Vectơ b = { 5 , - 1 } biểu diễn tuyến tính qua a i, a 2 như sau

b = 3 a i + a 2

Vậy (3,1) là tọa độ của vectơ b đối vói hệ cơ sờ a i, a2- •

T h í d u 1.1 4 Ba vectơ a i = {1 ,1 ,1 }, a*2 = {1 ,1 ,2 }, a3 = {1,2,3} lập thành hệ cơ sử của không gian ba chiều, vì chúng độc lập tuyến tính Vectơ

a = {6, 9,14} C.Ó thể biểu diễn tuyến tính qua các vectơ này

a = a i + 2a2 -f 3a3- •

1 5 KHÔNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VÈ KHỔNG GIAN METRIC 9

T h í dụ 1.15 Trong không gian các đa thức có bậc không lớn hơn 71, có thể lấv hệ các phần tử

Po(t) = 1, Pl(t) = t, p2(t) = p n(t) = í"

làm hê cơ sờ của không gian này Quả vậy hệ này độc lập tuyến tính vì từ

hộ thức

a 0 + a \ t 4* Ơ 2 12 H -h ơ ntn = 0 với mọi t, suy ra

Oo = ƠI = = • • • = «n = 0 Không gian có (n + 1) chiều.

Tọa độ của đa thức P (t) = Co + Cl# + C 2 Ỉ2 H -+ cn£n trong hệ cơ sỏr này

l à c á c h ệ s ố Co, C\ , C 2 , , C tị. •

T h í dụ 1.16 Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a,6], ký hiệu là C[a,b\

có vô hạn chiều, vì các hàm 1,X ,T 2, ,irn,- • • € C[a,b} độc lập tuyến tính

với mọi n •

T h í dụ 1.17 Các nghiệm cùa phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần

nhất lập thành một không gian tuyến tính Hệ cơ sờ của nó là n nghiệm bất

kỳ dộc lập tuyến tính của phương trình này (không gian n chiều) Tọa độ của nghiệm nào dấy trong hệ cơ sờ đà cho là hệ số khai triển của nó theo các phần tiV của hệ cơ sờ •

tuyến tính Có nhiều cách, nhưng có hiệu quả hơn cả là đưa dưới cỉạng tiên

đề tích vô huớng của những vectơ.

Không gian tuyến tính thực gọi là không gian Euclide E n nếu với mỏi cặp vecta X, y thuộc En tương ứng với m ột số thực X • y (tích vô hvớ ng ), thỏa

mãn các tiên đề sau đây:

10 Chương Ị MỘT s ó KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI só TUYẾN TÍNH

Có thể chỉ ra một cách dễ dàng phương pháp tổng quát đưa tích vô hirớng vào không gian tuyến tính thực Giả sử e, (i = 1 ,2 , ,n ) là hệ vectơ cơ sờ của không gian này,.x y là hai vectơ của nó:

X = X i e i + X 2&2 H - +

y = ĩ/ie i + V 2 e 2 H -+ yne n.

Tích vô hướng của X và y có thể xác định như sau

X • y = X\y\ + X2V2 + • ■ • + XnVn- (1.2)

Tích vô hướng này thỏa mãn các tiên dề trên Không gian tuyến tính với

tích vô hướng vừa xác định là không gian Euclide E n Tích vô hướng ( ùng

với X, y là hai vectơ bất kỳ cúa không gian Euclide Dấu đầng thức xảy ra

khi và chi khi các vectơ X và y đồng p h ư ơ n g.

Vectơ X của không gian Eưclide E n là chuẩn hóa nếu (x -x) = 1, hệ vectơ

là chuẩn hóa nếu mọi vectơ của nó là chuẩn hóa Mọi hệ vectơ khác không đều có thổ dược, chuẩn hóa.

Hai vectơ X, y của E n là trư c giao, nếu X • y = 0 Hộ vccta của E n là

trực giao, nếu các vectơ của nó từng đôi một trực giao Hệ vector trực giao được chuẩn hóa, gọi là hệ vectơ trư c chuẩn.

Người ta đả chứng minh được định lý sau đây:

Đ inh lý 1.2 Trong không gian Euclide hữu hạn chiều bất kỳ Enf tồn tại một

hệ vectơ cơ sớ trực chuẩn e Ị , , e*

1.5 KHỐNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VÈ KHỔNG GIAN METRIC 11 Khi đó một vecttt X bất kỳ có thể biểu thị một cách duy nhất qua các e*

X = ( 3 \ e \ + • •• +

trong ỔS

Dựi vào nhửng khái niệm trên, ta định nghĩa:

1 Độ dài |x| của vectơ X thuộc E n là giá trị

4 Khoảng cách p ( A ,B ) giữa hai tập hợp các vectơ A, B của cùng một

không Ịian là đại lượng

< • e> = &ij =

1 khi i = j

0 khi i Ỷ

j-12 Chương I MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ó TUYKN TÍNH

1 5 KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VẾ KHÔNG GIAN METRIC 13

T h í du 1.20 Trong không gian C[a,òỊ tích vỏ hướng của hai hàm f ( t ) và

q(t.) có thể xác định bằng công thức

/ 9

VÌ nó hoàn toàn thỏa màn các tiên đề (1.1) về tích vô hướng

Độ dài cùa vectơ f ( t ) bằng

14 Chương ỉ MỘT s ố KHÁi NIỆM TRONG ĐẠI s ố TUYẾN TÍNH

1 5 2 K h ô n g g ia n u n ita

Không gian tuyến tính phức gọi là không gian unita Ưn, nếu như m ỗi cặp

vectơ X, y của Ưn tương ứng với giá trị phức x - y (gọi là tích vô hướng, thỏa

Giả sừ X, y là hai vectơ thuộc không gian tuyến tính, thi các tọa độ x/c,

Uk của chúng thỏa mãn bất đẳng thức Holder

Một tập hợp gọi là không gian m etric, néu nhu mỗi cặp phần tứ của

nó đặt tương ứng một số thực không ảm gọi /ó khoảng cách, trong đó thỏa

man các tiên de:

1 5 KHÔNG GIAN EƯCLIDE VÀ KHÁI NIỆM VẾ KHÔNG GIAN METRIC 15

1) Ị){xyy) = p(y>x)}

2) p(x, y) > 0 nếu X Ạ y; p ( x y y) = 0 nếu X = y,

3) />(x,y) ^ />(:r,z) 4- p(z,y).

Cá<: tiên đề này gọi là các tiên đề khoảng cách, tiên đồ 1) là tiên đề đối

xứ n g, tiên đề 3) là tiên đề tam giác.

Có thể phát biểu khái niệm về giới hạn như sau: phần từ Xo của không gian metric X là giới hạn của dăy {xn} các phần từ X \ ÌX 2 1 ,x n, thuộc

X nếu đảy khoảng cách p(xo)X i) y p(xo, X 2 ) , ,p(xo,:rn) , dần đến không

Ta viết:

Xn —► Xo hay là lim x n = Xo

n— *oo

và nói dày {x n} hội tụ trong X

H ình cầu S(a> r) trong không gian metric X là tập hợp các phần tử X € X

thỏa mãn điều kiộn

Nếu cho tập hợp A/ c X , phần từ X £ X là đ iểm giớỉ han của tập A/,

nếu mọi lân cận cùa X có chửa ít nhất một phần từ cùa M không trùng vói

X Tập hợp lập nên bởi tập M và các điềm giới hạn của nó gọi là tâp hợp dóng của M và ký hiệu là M Nếu M = M , thì M là bao đóng.

1 .5 4 K h ô n g g ia n đ in h c h u ẩ n

Với khái niệm không gian metric, ta tập trung vào một tính chất của tập hợp

là tồn tại khoảng cách trong nó; còn với khái niệm không gian tuyến tính, ta chú ý đến các phép toán đại số trong tập hợp Bây giờ ta khảo sát không gian tuyến tính với khoảng cách Thực ra ta đã gặp không gian tuyến tính metric,

đó là khỏng gian Euclide và unita với khoảng cách (1.7) Nhưng việc đưa vào tích vô hướng về thực chất không những là đưa vào khoảng cách giữa các

phần tử mà còn phải ke đến góc giữa chúng Thường thì trong không gian

tuyến tính chỉ đòi hỏi định nghĩa khoảng cách K hông gỉan dinh chuẩn là một dạng không gian tuyến tính có tính chất như dâ nêu trên.

Vậy: không gian tuyến tính thực hoặc phức X gọi là không gian định chuẩn, nếu như với mỗi vectơ X £ X đặt tương ứng một số thực ||x|| gọi là

chuẩn của vectơ X thỏa mãn các tiên đề sau:

16 Chương I MỘT s ố KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI s ố TU,YẾN TÍNH

Từ tiên đề hai suy ra rằng với mọi vectơ X khác không có thể tìm được số

A sao cho chuẩn Ax bằng đan vị; có thể lấy A = llxll"1 Vectơ có chuẩn hằng đơn vị gọi là v e c tơ chuẩn hóa.

Không gian định chuần trỏr thành không gian metric nếu đặt

y ( x ) € C [ a ,b ] ||y|| = max |y(x)| •

T h í dụ 1.24 Không gian Dn gồm các hàm xác định trên đoạn [ơ,ò] cc đạo

hàm liên tục đến cấp n Chuẩn được xác định bời công thức

n

llvll» = X ì w j y (fc)(x)l- •

Ta dà biết khái niệm về hàm: cho hai tập hợp các số thực X , Y và thiết lập

quy luật cứ mổi s ố X € X đặt tương ứng duy nhất một s ố y € Y Quy luật

đó biểu thị hàm dơn trị của biến thực X cho trên tập hợp X Bây giờ xem X ,

Toán tử A cũng có thể chỉ tác dụng trong tập X , điều đó có nghĩa là với mỏi phần từ X € X đặt tương ứng với phần tử y = A x cũng thuộc tập X Trong tnrờng hợp này ta còn gọi là phép biến đổi

Sau này ta chi quan tâm đến các to á n t ử tu y ế n tín h , nó thỏa mãn tính chất sau:

Cho không gian tuyến tính X , Y trên cùng trường T, xét toán từ A có miền xác định là X , còn miền ảnh là Y , T oán t ừ A là tu y ế n tín h , nếu

A (au -f /3v) = q A u 4- jỡAv, (1-13) vói mọi vectơ U, V 6 X và với mọi số a , / Î 6 T.

Toán từ không là toán tử đặt tương ứng mọi vectơ X của X với vectơ khòng cùa Y :

0 = Ox.

Toán t ử dồng nhất E hay toán từ đơn vị đặt tương ứng mỗi vectơ

X ¿ X với chính nó

X = Ex.

Toán tử IB là toán tử đối của toán tử Â, khi

B x = —Ax

Mọi toán từ đều dira vectơ không về vectơ không

0 = AO.

Gọi Uỉxy là tập hợp mọi toán từ tác dụng từ X vào Y , trong đó hai toán

t ừ b ằ n g n hau , nếu thỏa mản

Bây giờ xét ba không gian tuyến tính vY, Yy z cùng trên trường T Gọi

A là toán tử ánh xạ X vào y , B là toán tử ánh xạ Y vào z Khi đó toán tủ

c ánh xạ X vào z là tích của toán tủ B vói toán tử A:

Cx = ®(Ax) với mọi X 6 X ,

ký hiệu là

c = BA

Tích của hai toán tử tuyến tính cũng là toán từ tuyến tính, nói chung tích này không giao hoán Tích hai toán tử không phải là phép toán đại số, vì nó không xác định với mọi cặp toán tử tùy ý, nhưng nó thỏa màn các tính chất

sau đảy:

(AB)C = A(BC),

A(BA) = (AB)A = B(AA),

(A 4- B)C = AC 4- BC, A(B + C) = AB + AC

Toán tử A“ 1 gọi là toán tử nghịch đảo của A (với Á là toán từ không suy biến), nếu

1 Xét một cách tổng quát toán từ tuyến tính ánh xạ từ không gian m

chiều X vào không gian TI chiều Y Tồn tại và duy nhất toán từ tuyến tính

A, ánh xạ mỏi vectơ cơ sớ efe của X vào vectơ của Y.

Ae* =