/ j'fjî li i ■r T| J* |\
274 Chương VI cơ HỌC CÁC MỎI TRƯỜNG LIÊN Tực
Trong hệ tọa độ cong bất kỳ phương trình (6.27) có dạng
Ề 4 + , ( g : + „"T;m) = 0.
Theo công thức tính div của một vectơ (xem mục 4.9 Chương IV) ta có di vv = Ụịv' =_ 1 9 < n -i\
* = ự ĩ ủ {^ v ) ’
phương trình liên tục dẫn đến
d p p d ị
d t + f g ử {'/ ĩ v ) = ữ ‘
T h í dụ 6.10. Viết phương trình liên tục trong hệ tọa độ trụ (với g = (x1 )2 = r2) ta có ị p p_ d t X1 Chuyển qua các thành phần vật lý ta có d p ( d v r . 1 d v 0 É d v z , V r \ n t ì + p \ a 7 + r õ í + a ỉ + 7 ) - ° -
Trong hệ tọa độ cầu (r, 0,<p) với g = r4sin2y?, phương trình liên tục có dạng
d
{ ,+ ^ ^ [ ẳ (r2sin'íw‘) + ẳ (r2si"»’',2)+è (r2sto,™3)] = 0
Biểu diễn qua các thành phần vật lý ta có
dp ( d v r 1 Ovq ỜVư, 2vr Vư, \
r r . 4. p l zZ L ^--- -— — 1 -I— Ir . 4- _ 4- Ị — 0. •
dt \ dr r sin ip 09 rdip T rtg<p /
Trong m ôi trư ờ n g không nén dư ơc, mật độ khối lượng của mỗi phần tủ’ không phu thuòc thời gian, tức là ^ = 0, phương trình (6.27) có dạng
d t
= 0 hay là div V = 0.
d u J
Khi đó trường vận tốc V có thể biểu thị như sau
ỠSỊq
6.4. CÁ C ĐỊ N H L U Ậ T c o BẨN CỦA CHMTLT 275
hàm s(x,<) gọi là th ế v e c tơ của vận tốc V .
Phương trình liên tục củng có thể biết dưới dạng biến Lagrange. Do điều kiện bào toàn khối lượng, ta phải có
/ / / />o(X,0)dV0 = Ị Ị Ị p{x,t)dV,
Vo V
ờ đây cả hai tích phân lấy theo cùng những phần tử mỏi trường; nói cách khác V là thể tích chứa các phần tử môi trường mà ờ thời điểm t = 0 chúng chiếm thể tích Vo- Dùng (6.2) và hệ thức dV = J d\ 0 ta biến đổi hệ thức trên
I I I p0( X ,0)dV0 = 1 1 1 p(x(X, t ), t )JdV0 = Ị Ị Ị p(X,t)JdV0.
Vo Vo Vo
Do thể tích Vb chọn tùy ý, từ đây suy ra
po = pj-
Điều này có nghĩa là tích p j không phụ thuộc thời gian, tức là
= 0. (6.29)
Phương trình (6.29) gọi là phư ơng trình liên tụ c th e o Lagrange.
6.4.2 Đ in h lý b iế n th iê n đ ộ n g lư ơ n g . P h ư ơ n g t r ì n h ch u y ển đ ộ n g . P h ư ơ n g t r ì n h c â n b ằ n g
Giả sừ tại thời điểm í, xét thể tích V mỏi trường liên tục chuyển dộng, giới hạn bới mặt 5 . Trong toàn thể tích xác định trường vận tốc V và chịu tác
dụng của lực khối f)K , còn trên biên mặt s tại mổi phần từ vô cùng nhỏ chịu
tác dụng của vectơ ứng suất TV Động lượng tổng cộng của khối lượng mỏi trường chứa trong V bằng
Q (t) = J J J p v d V hay là Qi(t) = J J Ị pVịdV.
V V
Đ inh lý v ề đ ô n g lư ơ n g . Biến thiên động lượng theo thời gian của miền nào đấy của môi trường bằng tổng lục tác dụng lên mièn dó
ắ ///pyrdV = // Tl,dS + ///pKdV' (6'30)