- trên phần biên Su cho chuyển dịch và phần biên Sơ cho ứng suất.
d) phươngtrình tương thích biến dạng (6.18) đưa về một phươngtrình
d2e ụ d2E22 _ 2 d2e n d x \ ^ d x \ d x \ d x2
Tương tự như cách làm trong trường hợp tổng quát, dùng các hệ thức c) và b) ta đưa phương trình a) về dạng trong đó Ỡ9 ị.lA *u q 4* (A 4- ---p K a = 0, C/Jbfỵ . Ỡ2 Ô2 A . = -r-õ + d x \ d x ị
Nếu giải theo ứng suất, thì ngoài phương trình a) bổ sung phương trình tương thích d); phương trình này cằn biến đổi sang phương trình ràng buộc các thành phần ứng suất. Kết quả nhận được chính là trường hợp riêng của. phương trình Beltrami - Michell, nếu không có lực khối nó có dạng
A .(ơ u + Ơ22) — 0 (điều kiện Lévy).
6.7.2 ứ n g s u ấ t p h ẳ n g
Trong bài toán ứng suất phầng các thành phần ứng suất Ơ3 3,ƠJ3,Ơ23 bằng không, các thành phần còn lại là hàm của X \,X2
ơaữ = ơQa ( i i , x 2) (o t,0 = 1,2),
khi đó các phương trình cơ bản có dạng a) ^ + p K a = 0, OXß L\ - 1 + ^ _ u - ĩ _ v b) Sotß — ~ ^a/3 “ £33 — \ _ 1 ( d u a d u ß \ £a(} 2 \ dxp d x Q / ’ d 2£n d2 £ 2 2 2 d2e n d x ị d x ’ị d x \ d x2
Phương trình cân bằng theo chuyển dịch nhận được từ các hệ thức a) b) c) có dạng
E A E de. _
■A*UQ -f- — --- 7 -h p K a — 0. 2(1 + 1/) * Q 2(1 - ư ) d x a
ổ .7. CÁCH Đ Ặ T BÀI T O Á N PHANG CỬA LTĐH 295
v è mặt toán học, ta thấy bài toán ứng suất phẳng cùng tương tự như bài toán biến dạng phẳng.
6.7.3 H à m ứ n g s u ấ t A iry
Cả hai loại bài toán phầng giải theo ứng suất đều đưa về phương trình cản bằng
ậ —^ = 0 (không có lưc khối)
dxp
và điều kiện Lévy
A*(<7n 4- Ơ22) = 0.
Từ hệ phương trình cân bằng, ta thấy có thể biểu diễn các thành phần ứng suất qua đạo hàm riêng của hàm ứng suất Airy F (x1,22)
d 2F _ d 2F _ d2F
° n d x \ * ơ22 d x \ ’ ơ n d x \ d x2
các phương trình cân bằng khi đó thỏa mân đồng nhất, còn diều kiện Lévy (lẫn đến
f)4p Ị)*F dAF
A *A - f = V Í F = 2ã ^ f + = °'
Hàm F là hàm lưỡng điều hòa, tất nhiên để hoàn toàn xác định nó cần dùng (tiều kiện biên.
Trường hợp bài toán phầng trong tọa độ cực, thì phương trình cân bằng không lực khối có dạng
Õ ơ ỵ ỵ 1 ỡ ơ r Q t ơ r r Ơ Q Q ^ ^
d ơ ro 1 dơ oe 2ơrớ _
d r + r d 0 r ~
Lấy hàm ứng suất Airy F = F(r, 0) và biểu diễn các thành phần ứng suất qua nó 1 d F 1 d 2F rr r dr + r 2 Ỡ92 ’ d 2F ơ°6 ~ ỡ r2 ! d ( 1d F \ ơrd ~ ~ c f r \ 7 ~ d ẽ ) '