BÀI điều KIỆN môn TOÁN CAO cấp học PHẦN i

BỘ TÀI CHÍNH HỌC VIỆN TÀI CHÍNH - - BÀI ĐIỀU KIỆN MƠN TỐN CAO CẤP HỌC PHẦN I LỚP: CQ59/10.21 NHÓM:3 THÀNH VIÊN: Lê Văn Quốốc Trung Nguyêễn Bùi Tuấốn Anh Nguyêễn Phương Dung Nguyêễn Hà Thu Nguyêễn Vũ Minh Chấu Nguyêễn Th Thăốm ị Ngố Minh Nguyên Hà Ngọc Linh Hoàng Tuấốn Dương 10 Văn Thị Nga 11 Nguyêễn Minh Hiêốu 1|Page download by : skknchat@gmail.com Bài Trong không gian R , cho véc tơ: A   2,1, 3,  ; B  1,  2, 0,  1 ; C   1, 2,  1, 4 ; D  4,  5,1, 3 Tính A  B ;3A  2B ; A  B  2C ; B  3D ;  A  2B , C  Lời giải: A  B    2,1,3, 0   1,  2, 0,  1   5, 4, 6,1 A  B 3  2,1, 3, 0   1,  2, 0,  1   4,  1, 9,  2 A  B  2C   2,1, 3,    1,  2, 0,  1    1, 2,  1,    1,  1, 5,   B  3D  1,  2, 0,  1   4,  5,1, 3  13,  17, 3, 8  A  2B, C  19 Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  A1 , A2 , A3  , với A1  1,  1, 0 ; A2  2,3,  1 ; A3  0,5,  1 ; X   2,1,5 Lời giải: Theo định nghĩa ta cần tìm số a1 , a2 , a3 cho  1  2  0               a1   a2   a3      0   1   1           Thực phép tính với biểu thức vectơ vế trái dẫn đến đẳng thức tưởng ứng    2   1  3  5   2  3   1  Đẳng thức vectơ tương ứng với hệ phương trình với ẩn số a1 , a2 , a3 2|Page download by : skknchat@gmail.com a1  a2  a3    a1  3a  5a 1  0a  1a  a 5  phương trình vơ nghiệm ta khơng có biểu diễn tuyến tính Bài Sử dụng định nghĩa, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau:  A  0,  2,1 ; A  2,1,  3 ; A  6,  1,    Lời giải: Trong R xét hệ ta có: 1 A1   A2  3 A3 0 0  2     0     1     2    3      1   3   7             2  6     1  2  3    1  32  3 0 0 0  hệ phương trình có vơ số nghiệm Vậy hệ vectơ  A1 ; A2 ; A3  phụ thuộc tuyến tính Bài Xét xem hệ véc tơ sau có sở không gian tương ứng không?  A  1,  1, 2 ; A  0, 2, 3 ; A   1, 3,  1  , không gian R 3 Lời giải: Hệ cho gồm vectơ không gian R nên thỏa mãn điều kiện cần cho sở R Xét hệ thức vectơ : 1 A1  2 A2  3 A3 03 3|Page download by : skknchat@gmail.com  3 0  1     1  22  33 0    1    3 0 sở R 1 0  2 0   0  hệ vectơ độc lập tuyến tính Vậy Bài Bằng định nghĩa, sở tìm biểu diễn tuyến tính véc tơ cịn lại qua sở hệ véc tơ:  A  2,1,  1 ; A    1, 0,  ; A   0,1,  ; A    1,  2,    Lời giải:  2   1     A1   ; A2    1   2     Xét hệ vectơ: Xét đẳng thức vectơ: 1 A1  2 A2 03 21  2 0  0 1  1    2 0   0  2   dễ thấy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 1 0  0 ; dẫn đến hệ  A1 , A2 độc lập tuyến tính Giả sử: A3 3 A1  4 A2 2      1    3 1        2 3   A  A1  A Giả sử: 4|Page download by : skknchat@gmail.com A4  A1   A2 2             2          A4  A1  A2 Như vậy, vectơ biểu diễn tuyến tính qua  định nghĩa thì A1 , A2  A1 , A2 Theo sở hệ vectơ theo đề cho Bài Một hãng dùng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ:  1  2     A1  2 ; A2   ; A3  1  1      1  2 ; A4  2    3  3     ; A5  0  2  1     AJ véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j a) Chứng minh rằng, hệ tuyến tính B  A2 , A4 , A5  hệ độc lập Lời giải :  2  3  3       A2  1  ; A4 1  ; A5   1   2 1        Trong R xét vectơ xét 1 A2  2 A4  3 A5 B để hệ độc lập tuyến tính 1 A2  2 A4  3 A5 03 2  3  3         1 1    1        1  2 1            5|Page download by : skknchat@gmail.com 2 1    3 0    1  2 0        0  Vậy hệ minh) B  A2 ; A4 ; A5  1     0    hệ độc lập tuyến tính (điều phải chứng b) Viết biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế biểu diễn tuyến tính Lời giải: Ta có: A1 1 A2  2 A4  3 A5 1   2  3  3          1    2    3   1  1   2 1         1 2     3      2  1  2    1            A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 Vậy lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất đơn vi sản phẩm đơn vị sản phẩm lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm Ta có: A3 1 A2  2 A4  3 A5 1  2 3 3          1    2    3    2 1   2 1         6|Page download by : skknchat@gmail.com  1  1 2          2  1  2   2      2       3  3 3  A  A  A  A  A  A  A  A 2 2 2 Vậy lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm và2 đơn vị sản phẩm lượng vật liệu đủ để sản xuất đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm Ý nghĩa kinh tế: bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm c) Tính số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 10, 40, 50, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại Lời giải: số lượng vật liệu đủ đề sản xuất theo yêu cầu : vật liệu 10 A1  40 A2 50 A3  60 A4  20 A5 1  2 1  3  3         10    40    50    60    20   1  1  2  2 1             10   20  10     80   40  40    50   100  100    180  60   120    60  380    220  20  290     7|Page download by : skknchat@gmail.com n Bài Cho A B, véc tơ không gian R Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng:    độc lập tuyến tính a) Các hệ véc tơ  phụ thuộc tuyến tính A  B, A  B A, B lời giải: Đặt: P   A; B  Ta có: ; P   A; B  Q  A  B; A  B độc lập tuyến tính  1 A  2 B 0  1 2 0 Giả sử ngược Q  A  B; A  B phục thuộc tuyến tính, tồn  A  B   2  A  B   số thực 1 2 không đồng thời    1    A   1    B  1  2 0  1 2 VÔ LÝ  1  2 0    Q  A  B; A  B độc lập tuyến tính b, h  A, B   h  A, B , A  B  Lời giải: gọi hệ vectơ C sở hệ vectơ  A, B  nên vectơ  Do C sở  diễn tuyến tính qua hệ C (1) A, B Mà vectơ  A  B A, B biểu biểu diễn tuyến tính qua hệ vectơ  Từ (1),(2) ta có vectơ A, B  A  B biểu diễn qua hệ C  hệ C sơ hệ  A, B, A  B 8|Page download by : skknchat@gmail.com (2)  h  A, B   h  A, B, A  B  Bài Cho hai ma trận: 1 2 A  1 1 B   3   2 ; 1  4  a, Tính A  B ; A  B; 2A  3B ; A  5B lời giải: 2 A  B  1 1 2 A  B  1 1       1   1   2 3 1  2 1  4    2     2 2 2A  3B  2 1 1 2 3A  5B  3 1 1 0 1 4 3   3    1  4    2 8 1 5     11     7 3    1  1   7   3  18  6  2 29   16  b) Tìm ma trận X,Y biết rằng: A  3X B ; 2 A  B  Y  Y  3A  5B Lời giải: A  3X B  X     X  1  3 1 B A  7 3     2 A  B  Y  Y  3A  5B  Y  A  3B 9|Page download by : skknchat@gmail.com 8   Y   7 9   Bài Cho ma trận:   1   A   ;  2    2  1 B  ;  3  1    C   1 0     Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau phương pháp ma trận nghịch đảo: XA  C T  B Lời giải: T Gọi D  B  C 1 2  0 1 1  3  1 3 0     3   1  6 1 Ta có detA = 0 nên tồn A T Xét : XA  C  B  XA  B  C T  XA  D  X DA  (1) Thiết lập ma trận ghép:   A E    2 1  1 0    0 0   5 0    1 3  0    1  10 | P a g e download by : skknchat@gmail.com  x1  x  x  x  x  x  2x  2x   x  3x  x  x   x  0,j 1,  j 9  10  Lời giải: Chuyển hệ phương trình dạng tắc, sử dụng ẩn bù x5 , x6 thu hệ: 9  x1  x  x  x  x  x  x  2x  2x  x  10   x  3x  x  x  4   x j 0, j 1,   x1  x2  x3  x4  x5 9  x  x  2x  2x  x6 10    x 3x 4x x 4     x j 0, j 1,    1  9   à  1  2 10   3    0    Xét   3       3  3   1    3  3  0    1        35    26       1 0 1 19  1  4   13  4   1   4  24 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Nhìn vào dịng ma trận thấy nửa trái gồm hệ số nhỏ nửa phải dương nên:  Hệ phương trình khơng có nghiệm khơng âm  Hệ phương trình vơ nghiệm Bài 19 Một hãng dùng loại vật liệu thô liệu để sản xuất loại sản phẩm trung gian Sau đó, từ loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất loại thành phẩm Cho ma trận: 1  A  2  1 2 2    , B  4   1 3  1 2  3 aij cho ma trận A số đơn vị vật liệu loại i b dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm trung gian loại j, jk cho ma trận B số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất đơn vị thành phẩm loại k  i, k 1, 3, j 1, 4 a) Gọi xj  với j 1, số đơn vị thành phẩm loại j mà hãng sản xuất sử dụng hết 41 đơn vị vật liệu thô loại 1, không 38 đơn vị vật liệu thơ loại 27 đơn vị vật liệu thô loại Viết hệ ràng buộc x tuyến tính xác định j , j 1, Lời giải: Ma trận định mức tiêu hao vật liệu thô để sản xuất thành phẩm là: 25 | P a g e download by : skknchat@gmail.com 17  AB  16 11  Gọi X   x1 xuất x 0, j 1,3 j T x3  x2 12 11 14   14  17  , số lượng thành phẩm mà hãng sản  Ta có hệ ràng buộc tuyến tính xác định thành phần  17 x1  12 x 14 x  16x  11x  14x   11x  8x  17x   x j 0, j 1,3 (1) xj là:  41 38  27 b) Tìm nghiệm riêng hệ lập ý a) phương pháp khử toàn phần Lời giải: Sử dụng ẩn bù x4 , x5 ta thu hệ: (2)= 41  17 x 12 x 14 x  16 x 11x 14 x  x 38   11x  8x  17x  x  27   x 0, j 1,5  j  17 12 14 0 41   à  16 11 14 38   11 8  17  27    Xét ma trận 23   1  2  2      75 11     8    11 17  27   8 8   26 | P a g e download by : skknchat@gmail.com    23  43 5  0  4  135 17 0  4   1  0   2  Cho x3 0, x5 0  x1 1, x2 2, x4 0 Vậy nghiệm riêng biệt hệ (2) là: 1  nghiệm riêng biệt hệ (1) là: 1 0 0 T T Bài 20 Một công ty sản xuất loại sản phẩm, biết chi phí giá bán (10.000 đồng) tính cho đơn vị sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Chi phí Giá bán A B C D a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm cần sản xuất để với mức chi phí 210 triệu đồng tổng số tiền lãi (tổng doanh thu trừ tổng chi phí) khơng 130 triệu đồng tổng số lượng sản phẩm loại không 8.000 đơn vị Lời giải: Gọi X  x1 x2 x sản xuất j x3 0, j 1, x4  T số lượng sản phẩm loại cần  27 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Ta có: triệu đồng => 100 ( 10.000 đồng ) 130 triệu đồng => 13.000( 10.000 đồng ) 210 triệu đồng => 21.000 ( 10.000 đông) Theo ta có hệ ràng buộc tuyến tính sau : 3 x1  x2  x3  x4 21.000  2x  x  2x  x 13.000   x1  x2  x3  x4  8000   x j  0, j 1, (1)    b, Bằng phương pháp khử tồn phần, tìm nghiệm sở hệ ràng buộc viết phần a) Lời giải : Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu hê: 3 x1  x2  x3  x4 21.000  x  x  x  x  x 13.000   x  x  x  x  x  8000   x 0, j 1, (2)  j 3  2 1 1 Xét Ã= 1 1 1  21.000   13.000   8000  0  0 13.000    1   1 5000   1 1  8000    0   1 0   1 1  3000    1 5000  1  3000   1  3000    1  1 5000  0  1 1    28 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Cho x3  x5  x6 0  x1 5000, x2 3000, x4 0 Vậy số nghiệm sở hệ phương trình (2) :  5000 3000 0 0 T  Nghiệm sở hệ (1) là:  5000 3000 0 T Bài 21 Một hãng định sản xuất loại sản phẩm A, B, C, D Định mức chi phí vật liệu số tiền lãi (1.000 đồng) đơn vị sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Chi phí vật liệu lãi A B C D 3 a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm cần sản xuất cho tổng chi phí vật liệu 300 triệu đồng, tổng số hai loại sản phẩm không 120.000 đơn vị tổng số tiền lãi không 420 triệu đồng Lời giải : Gọi x1, x2 , x3 , x số lượng loại sản phẩm A,B,C,D Theo ta có hệ ràng buộc tuyến tính sau:  2x1  2x  4x  2x 300.000 x  x 120.000  3 x  x  x  x 420.000   x j  0, j 1,  (1) (2) b) Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm nghiệm sở hệ ràng buộc viết ý a) Lời giải: 29 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu hệ: (3)  2x1  2x  4x  2x x  x  x5  3 x  x  x  x   x j 0, j 1,   2  1 0    3 Xét à =  0   1 0    2 0   1 0 0   0    1       300.000 120.000  x6 420.000 0 300.000   120.000   420.000  60.000    120.000   60.000  30.000    120.000   2  30.000  1 15.000  2  1 0  135.000   2  1  15.000  2  Cho x2 x3  x6 0  x1 135.000, x4 15.000, x5 15.000 Vậy nghiệm hệ (1) là:  135000 0 15000 15000 0 T Bài 22 Khảo sát thị trường loại hàng hóa có liên quan 1, 2, Lượng cung lượng cầu loại hàng hóa i hàm phụ thuộc vào giá thị trường hóa cho bởi:  Pi i 1,  loại hàng 30 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Hệ phương trình cung:  q s1 12   p1  s  q  14  p2 ,  s  q   p3  q d1  20  p1  p2  d  q 17  p1  p2  p3  q d 70 p p   1  hệ phương trình cấu  tham số thực Thị trường hàng hóa i gọi cân q s i q d i ,i 1,3 a) Hãy lập hệ phương trình để xác định mức giá p1 , p2 , p3 làm cân ba thị trường ba loại hàng hóa dạng ma trận Tìm điều kiện  để hệ phương trình thu hệ Cramer Lời giải: Thị trường loại hàng hóa cân khi:  q1s  q1d 12   p1  20  p1  p2  s  d  q2  q2   14  p2 17  p1  p  p  qs  qd   p  70  p  3 p      3 p1  p2 8  p1    p3 31 1   p1  3 p2  p3 79  Dạng ma trận: 3     1  3   p1      p2   31       p3   79  Xét hệ (1) có: (1) Là hệ phương trình gồm phương trình ẩn Ma trận hệ số vế trái là: 31 | P a g e download by : skknchat@gmail.com     A  1  3 0  1  det A    3 0.3 2. 3   1 1.1   1.0.0  2.  1    1.   3  2      3  9     3  9 3  9  Để (1) hệ Cramer detA 0  3  9      21 x         21  b) Với  1 , sử dụng phương pháp khử toàn phần xác định mức giá cân thị trường ba loại hàng hóa Lời giải:   1   2  à    có 1 0  1   0  0  8  31 79   1   1  4    0 23    0  1 75        4  2     P1 10  0 10       0 11    P2 12  P 11  12     32 | P a g e download by : skknchat@gmail.com Vậy mức giá cân thị trường loại hàng hóa 1,2,3 10,12,11 Bài 23 Với giá trị m hệ phương trình tuyến tuyến dạng ma trận sau có nghiệm khơng tầm thường: 2 1  3  0 1    X 2 X 1  m Lời giải: Theo đề ta có: 2 1  3  0 1 0  1   m  x1 x   x3   x4   x1   2x     x3     x4       0 x2  2 x1  x2  x1 x  x  x   x 0  x  x2  x3  x4  x2 1      x3  x 0  x  x  2x 3x 3x   2x2  x3  mx4  2x4  x3   m  2 x4   x2 Ma trận 0  à  3  0 0 1 1 1 m 0  0 0  0 Để X có nghiệm khơng tầm thường  h  A h  à  0  1  1 >0 Vậy dạng toàn phương biểu thức hàm tổng doanh thu xác định dương The end 38 | P a g e download by : skknchat@gmail.com ... lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất đơn vị thành phẩm lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i. .. lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , 10 đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất đơn vị thành phẩm lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i. .. , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất đơn vị thành phẩm lo? ?i , ta cần đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i , đơn vị vật liệu lo? ?i Ðể sản xuất